Wokół nierówności Dooba
|
|
- Jacek Baran
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Matematyczno-Przyrodniczych Praca wykonana pod kierunkiem dra Adama Osękowskiego Instytut Matematyki Czerwiec 29
2 Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora pracy
3 Streszczenie W pracy udowodniono, że stała w nierówności Dooba w L p jest optymalna wykorzystując operator Hardy ego Littlewooda. Korzystając z nierówności maksymalnej Dooba wyprowadzono pewną nierówność maksymalną dla funkcji określonych na odcinku. Dzięki niej pokazano wreszcie, że jeśli f lnα+ + f <, to T f lnα + T f <, dla α, gdzie f : [, ] R, zaś T, to operator Hardy ego-littlewooda. Słowa kluczowe nierówność Dooba, operator Hardy ego-littlewooda. Matematyka Dziedzina pracy kody wg programu Socrates-Erasmus 6G46 Martingales and classical analysis Klasyfikacja tematyczna On Doob s inequality Tytuł pracy w języku angielskim
4
5 Spis treści Wprowadzenie Dwa analityczne wnioski z nierówności Dooba Dowód optymalności stałej p p Analogon nierówności Dooba w L Postawowa nierówność Czy można poprawić ln α+? Bibliografia
6
7 Wprowadzenie Wiadomo, że stała p p w nierówności Dooba w L p jest optymalna. Jak to udowodnić? Jeden ze sposobów analityczny, to rozważyć operator Hardy ego-littlewooda, oszacować jego normę z góry korzystając z nierówności Dooba, zaś z dołu, wskazując odpowiedni przykład fukcji wybijającej normę. Zaletą tego podejścia jest to, iż dużo łatwiej wymyśleć przykład odpowiedniej funkcji niż przykład odpowiedniego martyngału. Dlatego w rozdziale zobaczymy jak z nierówności Dooba wywnioskować potrzebną nierówność dla funkcji z odcinka, dzięki której pokażemy w rozdziale 2 optymalność wspomnianej stałej. W rozdziale wyprowadzimy też z nierówności maksymalnej Dooba pewną nierówność maksymalną dla funkcji. Będzie ona kluczowa w rodziale 3, gdzie zajmiemy się pewną nierównością dla funkcji z odcinka motywowaną nierównością Dooba w L. Na wstępie przypomnijmy sobie jeszcze kilka użytecznych dla nas oznaczeń, definicji i twierdzeń. Przez L p [a, b], p, a < b + gdy a lub b jest nieskończone mamy na myśli odpowiednio przedziały, b], [a, + oznaczamy przestrzeń liniową funkcji całkowalnych z p-tą potęgą. Formalnie L p [a, b] : {f : [a, b] R b a f p < }/, gdzie f g f g p.w.. Z normą f p : b a f p /p jest to przestrzeń Banacha. Niech T [, lub {,, 2,...} lub podprzedział w tych zbiorach oraz ustalmy przestrzeń probabilityczną Ω, F, P. Definicja.. Filtracją nazywamy wstępującą rodzinę F t T pod-σ-ciał σ-ciała F, tzn. dla każdych s, t T, s < t mamy F s F t. Definicja.2. Niech dana będzie rodzina zmiennych losowych X t t T całkowalnych, adaptowanych do filtracji F t T, tzn. dla każdego t T zmienna X t jest F t mierzalna. Wówczas X t, F t t T nazywamy martyngałem względem danej filtracji F t, gdy EX t F s X s p. n. dla s, t T, s < t. Przykład.. Jeśli X jest zmienną losową całkowalną, to rodzina X t : EX F t, t T jest martyngałem względem filtracji F t T całkowalność mamy z całkowalności X, a to, że rodzina jest adaptowana i spełnia warunek martyngałowy wynika łatwo z podstawowych własności warunkowej wartości oczekiwanej. Definicja.3. Dla martyngału X t, F t t T określamy jego funkcję maksymalną następująco X t : sup X s. s [,t] T Zachodzi bardzo dobrze znane twierdzenie pochodzące od Dooba 5
8 Twierdzenie.. Niech X t, F t t T będzie martyngałem prawostronnie ciągłym w przypadku czasu ciągłego, tzn. dla p. w. ω Ω funkcja t X t ω jest prawostronnie ciągła. Wówczas zachodzą nierówności PX t α α E X t {X t α}, t T, α >.. E X t p p p E X t p, p >, t T..2 p 6
9 Rozdział Dwa analityczne wnioski z nierówności Dooba Ustalmy p >. Operator Hardy ego-littlewooda będziemy oznaczać przez T i definiujemy go na jak następuje { dla x T fx : x x f dla x > dla rzeczywistej funkcji całkowalnej f określonej na przedziale [, M] lub [, +. Weźmy przestrzeń probabilistyczną Ω, F, P [, ], B[, ], miara Lebesgue a oraz filtrację F t : σ[, t], B[ t, ], t [, ]. Dla ustalonej funkcji nieujemnej i nierosnącej f L p [, ] definiujemy martyngał prawostronnie ciągły por. Przykład. X t ω : Ef F t ω { t t f dla ω < t fω dla ω t Zauważmy, że EX p sup t [, ω t t f sup T fs p fω p dω s ω,] p fω p dω T fω p dω, przy czym ostatnia równość wynika z następującego faktu. Fakt.. Dla nieujemnej, nierosnącej i całkowalnej funkcji f : [, ] R zachodzi f T f 2 T f jest funkcją nierosnącą Dowód. jest oczywiste wobec monotoniczności f. Dla dowodu 2 ustalmy x [, oraz h > takie, że x + h [, ]. Mamy x + ht fx + h T fx x+h x+h x x f f h x f x ft T fxdt. 7
10 Z nierówności Dooba w L p.2 mamy więc T f p Cp p p gdzie oznaczamy C p : p. Zauważmy, że założenie o monotoniczności f w powyższej nierówności można opuścić bez utraty ogólności. Niech bowiem f : [, ] R będzie nieujemną, całkowalną funkcją. Biorąc fx : sup{t R {f > t} x} czyli f to odwrotny ogon dystrybuanty funkcji f mamy, że f jest nieujemną i nierosnącą fukncją o tym samym rozkładzie co f, tzn. { f > t} {f > t}, więc w szczególności f f. Ale ponadto Istotnie, liczymy x x f f x l [,ft] sdsdt {f s} x ds, { f s} [, x] ds T f T f. f p, {f s} [, x] ds [, { f s} ] [, x] {f s} x ds, więc T fx x x f x f x T fx. Zatem nasza nierówność zachodzi dla dowolnej nieujemnej funkcji f L p [, ], bo zachodzi dla f. Stosując ją dla f, jeśli f L p [, ] już jest dowolną funkcją, wykazaliśmy tym samym następujący wniosek Wniosek.. Niech p >. Dla dowolnej funkcji f L p [, ] zachodzi nierówność T f p C p p f p.. Stosując dla tego samego martyngału nierówność maksymalną Dooba. dostajemy też w jednej chwili bardzo pożyteczną nierówność {T f t} f, t {T ft} dla t > i f : [, ] [, nierosnącej, całkowalnej. Można się jednak spróbować zastanowić nad analitycznym dowodem tego faktu. Ustalmy t >. Skoro T f jest funkcją nierosnącą, to {T f t} jest przedziałem [, r], dla pewnego r [, ] albo zbiorem pustym, gdy t > sup [,] T f wtedy oczywiście w powyższej nierówności mamy równość. Przy czym z ciągłości funkcji T f na przedziale, ] f jest całkowalna wynika, że T fr t, gdy t inf [,] T f T f, czyli wówczas r t {T f t} tr f f. Jeśli zaś t < T f, to {T f t} [, ] i mamy Tym samym udowodniliśmy t {T f t} t < T f {T ft} f {T ft} Wniosek.2. Dla nierosnącej funkcji całkowalnej f : [, ] [, oraz t > zachodzi {T f t} f..2 t Jeśli ponadto t T f, to zachodzi równość. {T ft} f. 8
11 Rozdział 2 Dowód optymalności stałej p p Opierając się na wniosku. będziemy chcieli najpierw udowodnić, że T Lp[, L p[, C p. Ustalmy w tym celu M > i weźmy nieujemną funkcję f L p [, M]. Korzystając z. dla funkcji x fmx L p [, ] i wykonując prostą zamianę zmiennych w całce dostajemy M T f p C p p Pozostał jeszcze jeden mały krok. Mianowicie ustalmy nieujemną funkcję f L p [, i weźmy f n : fl [,n] L p [, n]. Mamy z ostatniej równości, że M T f n p l [,n] C p p Ale fn p f p, T f n p l [,n] T f p, więc z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności monotonicznej mamy T f p C p p Stosując tę nierówność dla f, gdy f L p [, jest dowolna oraz uwzględniając, że oczywiście T f T f dostajemy natychmiast f p. Fakt 2.. Niech p >. Dla dowolnej funkcji f L p [, ] zachodzi T f p C p p co oznacza, że T Lp[, L p[, C p. Zachodzi także takie oszacowanie Fakt 2.2. T Lp[, L p[, p p, p >. Dowód. Ustalmy a, p i weźmy fx : x a/p l [, ] x. Mamy f p p f p. dx x a a, 9 f p n. f p, 2.
12 czyli f L p [,. Liczymy dalej T fx { gdy x x x ds gdy x > s a/p a/p x x a/p l [, x, skąd T f p p a/p p x p x a/p p dx a/p p x a p x a/p dx. Zatem korzystamy z nierówności między normami dla miary probabilistycznej o gęstości x a x a p T f p f p a/p p a/p x a/p p x a x a dx x a p x a/p x a dx, skąd T a/p a/p a a a /p x a/p a dx p p a a/p a/p a /p a + a a/p p p. x a a/p Wobec Faktu 2.2 mamy p Wniosek 2.. Stała C p p w nierówności Dooba w L p.2 jest optymalna, tzn. nie można jej zastąpić żadną mniejszą liczbą.
13 Rozdział 3 Analogon nierówności Dooba w L 3.. Postawowa nierówność Nietrudno zauważyć, że operator T nie jest ograniczony w L [, ] wystarczy wziąć b, i zauważyć, że T x x b x x t b x b x b x b x b b x x b. Naśladując dowód nierówności Dooba w L por. [Doo53] pokażemy jednak, że Twierdzenie 3.. Dla α istnieje stała C α >, że dla dowolnej funkcji całkowalnej f : [, ] R zachodzi T f ln α + T f C α + f ln α+ + f. 3. Dowód. Jak już widzieliśmy w rozdziale 2, możemy bez utraty ogólności zakładać, że f jest nieujemna i nierosnąca. Oczywiście możemy też założyć, że f ln α+ + f jest całkowalna. Najpierw rozważmy przypadek α >. Skoro x ln α x ln α x + α ln α x, x >, to T f ln α + T f.2 ln α t + α ln α tl {T fxt} dt dx ln α t + α ln α t {T f t} dt ln α t + α ln α t t fx fx fxl {T fxt} dx dt ln α t + α ln α t l t {T fxt} dt α + lnα+... l {T fxe α+ }dx + e α+ α + α + α+ + α + α C α + + T fx + ln α + T fx + dx dx... l {T fx>e α+ }dx 2 fx α + lnα+ + T fxl {T fx>e α+ }dx 2 α + f lnα+ + T f,
14 gdzie C α : 2e α+ α + α. Jeśli α, to już pierwsza równość powyżej nie jest prawdziwa, ale ostatnie oszacowanie jest prawdziwe, jednak na początku trzeba rachować trochę inaczej. Otóż T f + C + T fl {T f} + {T f t}.2 + 2f ln + T f. Zauważmy jeszcze, że zachodzi Lemat 3.. Dla < a b, α mamy T fl {T f>} + T f l {T f>} fl t {T ft} + a ln α+ + b a ln α+ + a + α + b ln α + b. e Dowód. Wystarczy rozważyć kilka przypadków.. a, b ; wtedy nierówność jest oczywista 2. a < b; wtedy wobec znanej nierówności ln x x e, x > mamy co daje tezę w tym przypadku a ln b ln b b e α + b, e 3. < a b; wtedy mamy wobec monotoniczności funkcji x x α, x, że f ln + T f a ln α+ b ln α+ a α + ln b a t α dt a ln b ln a ln α b ln a a ln b a lnα b a b/a e lnα b e b lnα b. skąd Dzięki temu lematowi i początkowym rachunkom możemy dalej szacować tak przy czym C α T f ln α + T f T f ln α + T f C α + 2 α + f lnα+ + f + 2 e T f lnα + T f, C α + 2 f ln α+ + f C α + f ln α+ + f, 2/e α + e C α 2 e 2e α+ α + α 2 2eα+2 e 2 α + e 2 α + e 2 α + α. 2
15 Wniosek 3.. Dla α, M > istnieje stała C α,m >, że dla dowolnej funkcji całkowalnej f : [, M] R zachodzi M M T f ln α + T f C α,m + f ln α+ + f. Dowód. Korzystając z powyższego twierdzenia dla funkcji x fm x i zamieniając zmienne w całce widać, że wystarczy wziąć C α,m C α M. Uwaga 3.. Bardzo duży rząd stałej C α, który nam wyszedł w twierdzeniu 3. można poprawić na liniowy! Posłużą nam do tego dwie proste obserwacje. Fakt 3.. Dla funkcji wypukłej ϕ: [, ] [, ] oraz funkcji całkowalnej f : [, ] [, ] zachodzi w każdym punkcie z [, ] następujące oszacowanie Dowód. Jest to zwykła nierówność Jensena. ϕt f T ϕ f. Fakt 3.2. Funkcja ϕ α : [, [, zdefiniowana wzorem ϕ α x : x ln α + x jest dla α wypukła. Dowód. Zauważmy, że dla x > mamy ϕ αx ln α x + α ln α x >, ϕ αx α ln α x + α ln α 2 x >, x tzn. na przedziale, nasza funkcja jest ściśle rosnąca i wypukła. Ponieważ ϕ α [,], jest ona wypukła. Niech α. Mamy z powyższych obserwacji oraz twierdzenia 3. dla α takie nierówności T f ln α + T f ϕ α T f T ϕ α f C + ϕ α f ln + ϕ α f. Dalej, pozostaje naturalnie oszacować punktowo wyrażenie podcałkowe jak następuje ln + ϕ α f α + ln + f. Istotnie, jeśli ϕ α f, to lewa strona jest równa ; jeśli ϕ α f >, to także f > i mamy lnϕ α f ln f + ln ln α f ln f + α ln ln f α + ln f. Zatem T f ln α + T f C + α + f ln α+ + f. 3
16 3.2. Czy można poprawić ln α+? Jest jeszcze jedno naturalne pytanie: czy rząd logarytmu prawej strony nierówności 3. można obniżyć? Dokładniej, czy dla każego lub słabiej, pewnego α istnieje stała C < oraz liczba δ,, że dla dowolnej funkcji całkowalnej f : [, ] [, zachodzi T f ln α + T f C + f ln α+δ + f? 3.2 Aby rozstrzygnąć ten problem wystarczy oczywiście wskazać odpowiedni przykład funkcji. Zauważając jednak, że nierówność 3. daje się w pewnym sensie odwrócić co jest też ciekawe samo w sobie, możemy zredukować problem, jak się zaraz okaże, do dowodu intuicyjnie oczywistego faktu. Wprowadźmy następującą klasę funkcji dla α A α : {f : [, ] [, Poniższy fakt pokazuje po co to robimy. f ln α + f < }. Fakt 3.3. Niech α. Dla funkcji nierosnącej f : [, ] [, mamy f A α+ T f A α. Dowód. Implikacja jest treścią twierdzenia 3.. Dla dowodu implikacji przeciwnej ustalmy najpierw α >. Wobec początkowych rachunków z dowodu twierdzenia 3. mamy T f ln α + T f ln α t + α ln α t {T f t} dt skąd f ln α+ + f α + wniosek.2 Fakt. + ln α t + α ln α t {T f t} l {tt f} dt ln α t + α ln α t t fx α + lnα+ t + ln α t f fxl {T fxt} l {tt f} dx dt T fx T f α + lnα+ + T f + ln α + T f T f ln α + T f f dx, α + lnα+ + T f + ln α + T f, zatem f A α+, bo łatwo widzieć, że założenie T f A α pociąga całkowalność funkcji f mamy f T f e + T fl {T fe} e + T f lnα + T f. Niech teraz α, czyli f jest taka, że funkcja T f jest całkowalna. Szacujemy analogicznie jak wyżej T f wniosek.2 {T f t} dt {T f t} l {tt f} dt fxl t {T fxt} l {tt f} dx dt fx ln t T fx T f dx, 4
17 czyli więc f A. f ln + f Fakt. f ln + T f T f + f ln T f, Ustalmy α, δ,. Jeśli znajdziemy nierosnącą funkcję f A α+δ \ A α+, to wobec powyższego będzie T f lnα + T f, ale f lnα+ + f <, co daje odpowiedź negatywną na postawione na początku pytanie. Pozostaje udowodnić zapowiadany, intuicyjnie jasny fakt. Fakt 3.4. Jeśli < α < β, to A β A α. Wniosek 3.2. Dla α, δ, istnieje nierosnąca funkcja f A α+δ \ A α+. Dowód. Wystarczy wziąć jakąkolwiek funkcję g ze zbioru A α+δ \ A α+ i za szukane f przyjąć g odwrotny ogon dystrybuanty funkcji g tak jak robiliśmy na początku rozdziału 2. Wtedy f jest niemalejąca i ma ten sam rozkład co g, czyli f A α+δ \ A α+. Dowód faktu 3.4. Najpierw dowodzimy, że zachodzi inkluzja. Niech f A β. Mamy f ln α + f e + f ln α + fl {fe} + f ln β fl {f>e} e + f ln α + fl {f>e} f ln β + f <. Teraz pokażemy, że inkluzja jest właściwa. Niech fx : ψ α x ln x, gdzie a R a później dobierzemy oraz definiujemy funkcję ψ α : ϕ α [, : [, [,, gdzie funkcja ϕ α została zdefiniowana w Fakcie 3.2 w Fakcie 3.2 widzieliśmy, że ϕ α [, jest funkcją ściśle rosnącą, więc odwracalną. Wtedy całkujemy podstawiając s ln x f ln α + f ϕ α f ds s a <, dx x ln x a o ile a >. Przyjmujemy więc, że a >. Chcemy jeszcze aby f lnβ + f. Wykonując znowu podstawienie s ln x mamy f ln β + f Pokażemy teraz, że ϕ α f ln β α f e s s a lnβ α ψ α s a ds. ln ψ e s α s lim a. s s x ln x a lnβ α ψ α x ln x a dx Oznacza to, że wyrażenie podcałkowe jest tego rzędu przy s, co sβ α s, więc całka, która a nas interesuje będzie skończona, jeśli tylko a β α <, czyli biorąc a, + β α 5
18 mamy tezę. Granicę tę zaś uzasadnia reguła de l Hospitala i obserwacja, że pomijamy już rachunki e s ln ψ α s a. s a s + a ln ψ α e s s a Uwaga 3.2. Można uzasadnić negatywną odpowiedź na tytułowe pytanie bezpośrednio. Otóż, ustalmy α, δ,. Dla każdego C > znajdziemy po prostu funkcję f, że nierówność 3.2 nie zachodzi. Ustalmy zatem C > i rozważmy fx :, x,. Dobierzemy odpowiednie x b b,. Mamy dwa razy całkujemy przed podstawienie, kładąc y ln/x, z by f ln α + f x b lnα x b dx b α y α e by dy b α b α z α e z dz b α Γα +. b α Zatem Dalej liczymy T f i całkę z T f T fx dx x x b b x b, T f ln α + T f b x b ln b + ln α x b dx b α b x b lnα x b dx Γα +. b α+2 T f lnα b + T f α + f lnα+δ + f b Γα + α+2 b + α Γα + δ + b α+δ+ b α Γα + b δ b α+δ+ + b α+δ Γα + δ +, b więc biorąc b dostatecznie bliskie otrzymamy, że f > C, czyli nierówność przeciwną do 3.2. T f lnα + T f + f lnα+δ + 6
19 Bibliografia [Doo53] J. Doob, Stochastic Processes, New York
8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoOptymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Dworczak Nr albumu: 91564 Optymalne stałe w nierówności typu LlogL dla ciągłych martyngałów Praca licencjacka na kierunku MATEMATYA
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 6
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy
Bardziej szczegółowoWażne rodziny nad- i podmartyngałów dla symetrycznego błądzenia losowego
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Joanna Dys Nr albumu: 233996 Ważne rodziny nad- i podmartyngałów dla symetrycznego błądzenia losowego Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowo1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowo