dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów spotkam się z następującmi charakterstkami geometrcznmi figur płaskich: pole powierzchni figur moment statczn figur względem danej osi moment bezwładności figur względem danej osi moment dewiacji (odśrodkow) względem danch osi biegunow moment bezwładności promień bezwładności wskaźnik wtrzmałości rdzeń przekroju. Omówim teraz pierwszch sześć pozostałe w toku dalszch wkładów i ćwiczeń. Rozważm figurę płaską pokazaną na rs.. stanowiącą obszar określon w kartezjańskim układzie osi ( ) a d b Polem powierzchni tej figur nazwam: Rs.. d [m ] ( > 0). Momentem statcznm figur płaskiej o polu względem osi nazwam : S d [m ] ( > < 0). Momentem statcznm figur płaskiej o polu względem osi nazwam : S d [m ] ( > < 0). Obliczam moment statczne tej figur względem nowch osi ( ) przesuniętch o a i b względem osi ( ). Ponieważ: b i a to:
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. S ( b) d d S b S d ( a) d S a. S S b S S a (.) gdzie: a i b współrzędne początku nowego układu w starm. Postawm teraz takie zadanie: mając osie () znaleść położenie nowch osi ( c c ) względem którch moment statczne będą równe zero. Z równania (.) łatwo otrzmujem współrzędne początku nowego układu osi ( c c ) względem którch moment statczne są równe zero: S S ; c (.) c Punkt C o współrzędnch określonch wzorami (.) nazwać będziem środkiem ciężkości figur płaskiej a osie które przechodzą przez środek ciężkości nazwam osiami centralnmi. Osie centralne figur płaskiej to osie względem którch jej moment statczne są równe zero. Wzor (.) pozwalają wznaczć moment statczn figur względem dowolnej osi bez konieczności całkowania jeśli tlko znam jej pole powierzchni i położenie jej środka ciężkości C. C h z S z h Zdefiniujem teraz kolejno moment bezwładności moment dewiacji i biegunow moment bezwładności. a O ρ d b Rs.. Momentem bezwładności figur płaskiej o polu (rs..) względem osi nazwam: d [m ] ( > 0). Momentem bezwładności figur płaskiej o polu względem osi nazwam: d [m ] ( > 0).
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. Momentem dewiacji figur płaskiej o polu względem układu osi () nazwam: d [m ] ( > < 0). Biegunowm momentem bezwładności figur płaskiej o polu względem bieguna O nazwam: 0 ρ d [m ] ( > 0). Ponieważ: ρ + to łatwo zobaczć że: 0 + co pozwala stwierdzić że: biegunow moment bezwładności względem dowolnego punktu równa się sumie momentów bezwładności względem dwóch do siebie prostopadłch osi przechodzącch przez ten punkt. Obliczm moment bezwładności i dewiacji tej figur względem nowch osi ( ) przesuniętch o a i b względem osi ( ). Ponieważ: + b i + a to: d a d + ( + b) d ( + b + b ) d + b S + b d ( ) ( + a + a ) d + a S + a ( + a)( + b) d + as + bs ab d +. eśli stare osie () są osiami centralnmi to S 0 oraz S 0 i otrzmujem wzor stanowiące treść twierdzenia Steinera: c + b c + a + ab cc (.) gdzie: moment bezwładności i dewiacji względem osi centralnch zgodnie c c cc równoległch z osiami ( ) a i b współrzędne środka ciężkości figur w układzie ( ). Wznaczm teraz moment bezwładności i dewiacji względem układu osi (ξη) obróconego względem początku układu () o kąt α jak to pokazane jest na rs... η ξ d α η ξ α Rs..
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. Łatwo zobaczć że współrzędne punktu w nowm układzie związane są ze współrzędnmi w starm układzie poprzez zależności: ξ cosα + sinα; η sinα + cosα co można zapisać w postaci macierzowej: ξ cosα η sinα sinα cosα cosα sinα gdzie: - macierz przejścia od układu starego do nowego jej wiersze to sinα cosα współrzędne wersorów kierunkowch nowch osi w starm układzie. Zgodnie z definicjami momentów bezwładności i dewiacji otrzmujem: ξ η d ( sinα + cosα ) d cos α + sin α sinα cosα ( cosα + sinα ) d sin α + cos α sinα cosα ξ d + η ξη ξ η d d ( cos α + sinα ) ( sinα + cosα ) cos α sin α + sinα cosα sinα cosα. Po wkorzstaniu zależności trgonometrcznch: sin α sinα cosα cos α ( + cos α ) sin α ( cos α ) mam ostatecznie: cosα cos α sin α + + cos α sin α ξ + cos α + sin α (.) η sin α + cos α. ξη Warto zapamiętać te zależności. Wzor o identcznej strukturze jeszcze nie raz pojawią się w wtrzmałości materiałów. Bez trudu można stwierdzić że: + ξ + η czli że suma momentów bezwładności figur płaskiej względem dwóch dowolnch ale prostopadłch do siebie osi o wspólnm początku jest wielkością stałą i co możem dodać równa się jej biegunowemu momentowi bezwładności względem punktu początkowego.
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich... Główne osie i moment bezwładności Postawim teraz ważne ptanie: o jaki kąt α należ obrócić układ osi () ab moment bezwładności w nowm układzie osiągnęł wartości ekstremalne. est to proste zadanie poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej. Warunki zerowania się pochodnch momentów bezwładności ξ i η względem kąta α: dξ sin α cos α 0 dα dη sin α + cos α 0 dα dają jedno równanie: sin α + cos α 0. Z powższego równania którego lewa strona to moment dewiacji ξη względem nowch osi otrzmujem: tg α α arc tg + n π (.5) co dowodzi że osie względem którch moment bezwładności osiągają wartości ekstremalne a moment dewiacji jest równ zero są do siebie prostopadłe. Tworzą one układ osi któr nazwać będziem układem głównch osi bezwładności. Zatem: główne osie bezwładności figur płaskiej w dowolnm punkcie to dwie prostopadłe osie względem którch jej moment dewiacji jest równ zero a moment bezwładności są ekstremalne (główne moment bezwładności). Policzm wartości głównch momentów bezwładności. Wkorzstując wzor trgonometrczne: sin α tg α ; + tg α cos α + tg α w którch za otrzmujem: tg α wstawiam wzór (.5) podstawiam je do wzorów na ξ oraz η i 5
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. + + ( ) ( ) + + tg ( ) ( ) α + + tg α + tg α + ( ) ( ) + + + co ostatecznie zapiszem w postaci: + ma + + (.6) + + Wzór (.5) podaje jednie kąt transformacji układu wjściowego do układu głównch osi bezwładności nie określając jednak której osi odpowiada ma a której. Można wprowadzić zależności podające położenie tch osi; przedstawiają się one następująco: tgα ma tgα ; tgα tgα (.7) ma We wzorach (.7) α ma oznacza kąt o jaki należ obrócić oś do pokrcia się z główną osią bezwładności względem której moment bezwładności jest maksmaln. nalogicznie definiujem kąt α. W wtrzmałości materiałów interesować nas będzie przede wszstkim położenie tzw. głównch centralnch osi bezwładności rozważanej figur tj. osi głównch poprowadzonch przez jej środek ciężkości. Względem tch osi zerują się moment statczne bo są one osiami centralnmi oraz moment dewiacji bo są one osiami głównmi. Moment bezwładności względem tch osi nazwać będziem głównmi centralnmi momentami bezwładności. Na koniec kilka ważnch uwag praktcznch: jeżeli figura posiada oś smetrii to jest ona jedną z jej głównch centralnch osi bezwładności jeżeli figura posiada dwie osie smetrii to są one jej głównmi centralnmi osiami bezwładności prz obliczaniu momentów statcznch bezwładności i dewiacji warto korzstać z własności addtwności całki podwójnej (równa się ona sumie całek po obszarach częściowch) i podzielić rozważaną figurę na części którch obliczane moment oraz położenie środków ciężkości znam a następnie zesumować te częściowe wniki. α > 0 umowa znaków 6
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. Warto więc znać i pamiętać charakterstki geometrczne kilku podstawowch figur płaskich. bh bh h/ 6 h/ hb hb 6 h/ h/ b h 0 7 b/ b/ b/ b/ r π r π r 0 r/ r 0.r π r 8 0 0.059 r 0.059 r r π r 0.065 r Promieniem bezwładności figur płaskiej o polu względem dowolnej osi Z nazwam wartość dodatnią: z iz [m]... Przkład Przkład... Wznaczć główne centralne osie i moment bezwładności danej figur płaskiej. 0 C 6 wmiar w [cm] α C C.68 0 0.997 7 ma α ma 56 9
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. Rozwiązanie Podzielim figurę na trz części: trójkąt prostokąt i półkole. Położenie środka ciężkości: 0.5 * 6 * + * 6 + 0.5 * π *.8 cm 0 S 0.5 * 6 * * + * 6 * + 0.5 * π * * 88. cm ( ) + * 6 *.5 + 0.5 * π * * ( + * ). 8 S 0 0.5 * 6 * * π cm S 0.8 S 0 88. c 0.997 cm c. 68 cm..8.8 Moment bezwładności i dewiacji względem osi centralnch: 6 * * 6 π * π * c + * * 6 * (.68) + + * 6 * 0.5 + + *.5 0. 9 cm 6 8 * 6 6 * c + * * 6 * (.997) + + * 6 * 0.50 + 0.* + 6 cc π * + * * +.00 * π 69.75 cm 6 * + * * 6 * 50 7 (.68)(.997) + * 6 * 0.5 * 0. + π * * + *. 5 * +. 00 76 6 * π. Główne centralne osie i moment bezwładności: cm. ma c + c + c c + cc 0. 9 + 69. 75 + 0. 9 69. 75 + + 76. 6 6. 7 + 8. 5 9. 698 cm c + c c c + cc 0. 9 + 69. 75 0. 9 69. 75 + 76. 6 6. 7 8. 5 5. 996 cm 76. 6 o ' tgα 59 α 56 9 cc ma. c ma 69. 75 9. 698 76. 6 o ' tgα 0 65 α. cc. c 69. 75 5. 996 ma 8
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. Sprawdzenia: + 0. 9 + 69. 75 7. 695cm c c + 9. 698 + 5. 996 7. 69 cm ma o α + 58 9 + 90. ma α ' o ' o Przkład... Wznaczć główne centralne osie i moment bezwładności układu stalowch kształtowników walcowanch. C wmiar w [cm].7 6.87 90 90.058 α 0 0.87 C α 77 0 C 6.97 0.0.99 6.00 6.00 Rozwiązanie Dane z tablic profili walcowanch: wmiar w [cm] η α 6 6. cm 8 cm 5 cm 0.0.99 ξ. cm 5 cm 5 cm η 88 cm tg α 0.66 5.8.0 6.97 9
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. Obliczenie momentu dewiacji kątownika względem osi własnch w oparciu o dane z tablic: tg α ma tg α ma ( ma ) ma osie (ξ η) to główne centralne osie kątownika prz czm ξ ma a η zatem: tg α + + + ma ma ma ma tg α ma ma α ( ) tg [ ( + )] ma ( ) 0.66 ( 88 5) 6. 50 tg α η cm. Położenie środka ciężkości cąłego układu kształtowników:. +. 7.0 cm S. *. 9 70 006 cm. S. * 0. 99 56 058 cm. S 56. 058 S 70. 006. 7 cm c. 87 cm. 7. 7. c Moment bezwładności i dewiacji względem osi centralnch: (.87) + 5 +. *.058 57. 09 5 +. * cm c (.7) + 8 +. * 6.87 9. 898 5 +. * cm c (.7) * (.87 ) +. * 6.87 *.058. 750 6.50 +. * cm. cc Główne centralne osie i moment bezwładności: 57. 09 + 9. 898 57. 09 9. 898 ma + +. 750 8.99 + 7.689 99.68 cm 57. 09 + 9. 898 57. 09 9. 898 +. 750 8.99 7.689 50.05 cm. 750 o ' tgα tgα ma. 50 α 77 0 9. 898 99. 68. 750 o ' tgα tgα 0. α 0. 9. 898 50. 05 Sprawdzenia: 57.09+ 9.898 97.989 cm c + c 0
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. + 99.68 + 50.05 97.988 cm o ' o ' + α 77 0 + 0 α 90. o Przkład... Łatwo można sprawdzić że moment bezwładności względem dowolnej osi przechodzącej przez środek ciężkości kwadratu o boku a wnosi a. To spostrzeżenie bardzo ułatwi wznaczenie głównch centralnch momentów bezwładności niżej pokazanch figur płaskich o dwóch osiach smetrii. C C a a a a ( a) a a a ( a) ( a ) a 5a a 5a + Przkład... Wznaczć główne osie bezwładności przechodzące przez wierzchołek trójkąta i moment bezwładności względem tch osi. α 70 58 α 9 0 6 wmiar w [cm] Rozwiązanie Prowadzim układ dwóch prostopadłch do siebie osi ( ) przechodzącch przez wierzchołek trójkąta. Obliczam moment bezwadności i dewiacji względem tch osi.
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. 6 * 6 cm 6 * cm. Prz obliczaniu bh wkorzstano wzór na moment bezwładności trójkąta prostokątnego względem osi przechodzącej przez jego wierzchołek i równoległej do jego podstaw. Prz obliczaniu bh wkorzstano wzór na moment bezwładności trójkąta prostokątnego względem osi przechodzącej przez jego podstawę. W obu wzorach którch wprowadzenie prz wkorzstaniu twierdzenia Steinera jest bardzo proste h jest wmiarem tego boku trójkąta któr jest prostopadł do osi względem której liczm moment bezwładności. * 6 + * * 6 * * ( ) 7 cm. 7 Główne moment i osie bezwładności przechodzące przez wierzchołek trójkąta: + 6 + 6 + + + + ( 7) 0. 85 cm + 6 + 6 + + ( 7) 7. 75 cm 7 o ' tgα 0. 5 α 9 0 0. 85 7 o ' tgα. 900 α 70 58. 7. 75 Bardzo ważne przpomnienie. W każdm punkcie płaszczzn w której dana jest figura można wznaczć dwie wzajemnie do siebie prostopadłe osie względem którch moment dewiacji będzie równ zero a moment bezwładności będą ekstremalne. Osie te nazwają się osiami głównmi i tlko głównmi. Osie główne wznaczone w środku ciężkości figur są osiami głównmi centralnmi. Ich własnością jest zerowanie się momentów statcznch (bo to osie centralne) oraz zerowanie się momentu dewiacji i osiąganie ekstremalnch wartości momentów bezwładności (bo to osie główne). Przkład..5. Wznaczć moment bezwładności ξ i η oraz moment dewiacji względem osi przechodzącch przez punkt K dla danej niżej figur płaskiej. ξη 6 η wmiar w [cm] 60 K 0 ξ
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich. Rozwiązanie Należ zastosować wzor transformacjne (.). Moment bezwładności i dewiacji względem osi ( ): 6 * 9 * 6.500 cm 9 * 6 * * * ( 5) +. 000 cm 6 * 9 + * 6 * 9 * ( ) * [ 0 + * * ( 5) *.5] 9. 500 cm. 7 Moment bezwładności i dewiacji względem osi (ξ η): ξ η + + cos o o ( 60 ) sin ( 60 ) 6.0 +.0 6.5.0 + * 0.5 + 9.5 * ( 0.866) 66. 680 cm + + cos o o ( 0 ) sin ( 0 ) 6.0 +.0 6.5.0 + * ( 0.5) + 9.5 * 0.866 6. 80 cm o o 6.5.0 ( 60 ) + cos ( 60 ) * ( 0.866) 9.5 * 0.5 65. 6 ξη sin cm. Sprawdzenie: + 6. 500 +. 000 680. 500 cm ξ + η 66. 680 + 6. 80 680. 500 cm