Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Transkrypt

1 Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

2 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania Odpowiedź A D C B D C A A D B A B A B C C A A B B B D

3 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu 3 MODEL OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH Zadanie 3. ( pkt) Rzucamy dwa razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, Ŝe w drugim rzucie wypadnie parzysta liczba oczek. I sposób rozwiązania Oznaczamy: A zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu w drugim rzucie parzystej liczby oczek. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia Ω 36. Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu A: A Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A: ( A ) P. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe ( A) 8 P. 36 II sposób rozwiązania Oznaczamy: A zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu w drugim rzucie parzystej liczby oczek. Wypisujemy wszystkie moŝliwe wyniki doświadczenia i zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzaniu A. (, ) (, ) (3, ) (4, ) (, ) (6, ) (, ) (, ) (3, ) (4, ) (, ) (6, ) (, 3) (, 3) (3, 3) (4, 3) (, 3) (6, 3) (, 4) (, 4) (3, 4 ) (4, 4) (, 4) (6, 4) (, ) (, ) (3, ) (4, ) (, ) (6, ) (, 6) (, 6) (3, 6) (4, 6) (, 6) (6, 6) Zliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A: Ω 36 i A 8. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A: ( A ) P. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe ( A) 8 P. 36

4 4 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Zdający otrzymuje... pkt gdy: poprawnie obliczy Ω 36 i A 8 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd poprawnie wypisze wszystkie zdarzenia elementarne oraz poprawnie zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu w drugim rzucie parzystej liczby oczek i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A: P ( A). Uwaga. JeŜeli zdający błędnie wyznaczy Ω (np. Ω 6 ) lub A (np. A 3), to przyznajemy 0 punktów za całe zadanie.. JeŜeli zdający wyznaczy P ( A) > lub P ( A) < 0, to przyznajemy 0 punktów za całe zadanie. 3. JeŜeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu Ω lub A i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąŝe zadanie, to przyznajemy punkt. Zadanie 4. ( pkt) RozwiąŜ nierówność x + x + 6 > 0. Rozwiązanie Wyznaczamy wyróŝnik trójmianu kwadratowego x + x + 6 : b 4ac < 0, zatem trójmian kwadratowy x + x + 6 nie ma pierwiastków. Szkicujemy wykres paraboli y x + x + 6 i odczytujemy rozwiązanie. x R

5 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy wyróŝnik trójmianu kwadratowego 3 i zauwaŝy, Ŝe trójmian nie ma pierwiastków. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda rozwiązanie nierówności: x R (lub inny równowaŝny zapis). Uwaga. Przyznajemy 0 punktów zdającemu, który rozwiązuje nierówność inną niŝ w treści zadania.. JeŜeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróŝnika trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąŝe nierówność, to przyznajemy punkt. Zadanie. ( pkt) Kąt α jest kątem ostrym. Wiedząc, Ŝe tg α, oblicz wartość wyraŝenia sinα. cos α I sposób rozwiązania Rysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia: a długość przyprostokątnej leŝącej przy kącie α, a długość przyprostokątnej leŝącej naprzeciw kąta α, c długość przeciwprostokątnej. a tgα a a a c α Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy ( a ) + a c 4a + a c a c c a Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy a a sin α c a a a cos α c a

6 6 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu sinα Stąd. cos α II sposób rozwiązania sinα cosα sin α + cos α sinα cosα + cos ( cosα ) α 4cos α + cos α cos α i cosα > 0 cos α Stąd sin α. sinα Zatem cos α sinα cosα sin sin α + sin sin 4 α α + sin α 4 α 4 sin α i sinα > 0 sin α Stąd cos α. III sposób rozwiązania Dla tg α odczytujemy z tablic trygonometrycznych: α 63. Stąd sin 63 0, 89 oraz cos 63 0, 44. sinα Zatem. cos α Zatem sin 63 cos 63 0,89 ( 0,44) 0,89 0,06 4,3.

7 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu 7 I, II i III sposobu oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: przekształci dane wyraŝenie do postaci wyraŝenia zawierającego tylko sinα sinα i wykorzysta jedynkę trygonometryczną, np. cosα, sin α + sin α 4 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd przekształci dane wyraŝenie do postaci wyraŝenia zawierającego tylko cosα i wykorzysta jedynkę trygonometryczną, np. sin α cosα, 4cos α + cos α i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości i (lub ich wielokrotności) nawet z błędem rachunkowym oraz zapisze a a sin α i na tym zakończy c a obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości i (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym oraz zapisze a a cos α i na tym zakończy c a narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i (lub ich wielokrotności), obliczy długość przeciwprostokątnej i zaznaczy w tym trójkącie poprawnie kąt α odczyta z tablic przybliŝoną wartość kąta α : α 63 (akceptujemy wynik α 64 ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy: sinα sinα obliczy wartość : cos α cos α sinα sin 63 obliczy przybliŝoną wartość : 4, 3. cos α cos 63

8 8 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Uwaga. Jeśli zdający przyjmie, Ŝe sinα i cosα, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający nie odrzuci odpowiedzi ujemnej, to otrzymuje punkt. 3. Za rozwiązanie, w którym zdający błędnie zaznaczy kąt α na rysunku i z tego korzysta oceniamy na 0 punktów. Zadanie 6. ( pkt) Punkty A, B, C są środkami boków trójkąta ABC. Pole trójkąta A B C jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ABC. C C B Rozwiązanie A A B Trójkąty ABC i A B C są podobne (cecha kkk). PoniewaŜ odcinek C B łączy środki boków AC i BC, to AB C' B'. Zatem skala podobieństwa przekształcającego trójkąt A B C na trójkąt ABC jest równa. Obliczamy pole trójkąta ABC P 6. ABC 4 P A ' B ' C' Zdający otrzymuje... pkt gdy zauwaŝy podobieństwo trójkątów i wyznaczy skalę podobieństwa:. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie obliczy pole trójkąta ABC: P 6. ABC

9 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu 9 Zadanie 7. ( pkt) WykaŜ, Ŝe róŝnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4. Rozwiązanie Wprowadzamy oznaczenia: n, n+ kolejne liczby parzyste n + n 4n + 8n + 4 4n 8n n + ( ) ( ) ( ) Zatem róŝnica ( + ) ( n) 4( n + ) n jest liczbą podzielną przez 4. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie zapisze róŝnicę kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych i poprawnie zastosuje wzór skróconego mnoŝenia: ( n + ) ( n) 4n + 8n + 4 4n. Zdający otrzymuje... pkt gdy wykaŝe, Ŝe róŝnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną n + n 4 n +. przez 4: ( ) ( ) ( ) Zadanie 8. ( pkt) Proste o równaniach y 9x i y a x + są prostopadłe. Wyznacz liczbę a. Rozwiązanie Proste o równaniach y 9x i y a x + są prostopadłe, zatem ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek a a. PoniewaŜ a 9, a a Stąd 9 a a 9 a 9 Zatem a lub a. 3 3, to a a 9 a. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie zapisze warunek prostopadłości prostych: 9 a lub a. 9 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy i poda obie wartości a:,. 3 3

10 0 Zadanie 9. ( pkt) Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Prosta przechodząca przez wierzchołek A równoległoboku ABCD przecina jego przekątną BD w punkcie E i bok BC w punkcie F, a prostą DC w punkcie G. Udowodnij, Ŝe EA EF EG. Rozwiązanie Rysujemy równoległobok ABCD i wprowadzamy oznaczenia A B E F D C G Trójkąty AEB i DEG są podobne (cecha kkk), więc EB EA. ED EG Trójkąty BEF i ADE równieŝ są podobne, więc EB EF. ED EA Zatem EA EF. Stąd EA EF EG. EG EA Zdający otrzymuje... pkt gdy: zauwaŝy podobieństwo trójkątów AEB i DEG i zapisze poprawny stosunek boków: EB EA ED EG zauwaŝy podobieństwo trójkątów BEF i ADE i zapisze poprawny stosunek boków: EB EF ED EA Zdający otrzymuje... pkt EA EF gdy zapisze, Ŝe i przekształci proporcję do postaci EA EF EG. EG EA

11 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Zadanie 30. (4 pkt) W trapezie równoramiennym ABCD ramię ma długość 0. Obwód tego trapezu jest równy Wiedząc, Ŝe tangens kąta ostrego w trapezie ABCD jest równy, oblicz długości jego 4 podstaw. Rozwiązanie Rysujemy trapez i wprowadzamy oznaczenia a, b długości podstaw trapezu d długość ramienia trapezu h wysokość trapezu d α b h 3 tg α 4 a b + y y a y Obwód trapezu jest równy a + b + d 40. Stąd a + b 0. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość odcinka y. ( h ) + ( y) d ( 3x ) + ( 4x) d 9 x + 6x 0 x 00 / : x 4 x Stąd 4 x 8. Zatem a b + 4x b + 6. a + b 0 b b 0 b 0 6 Stąd b i a 8. Podstawy trapezu ABCD mają długości a 8 i b.

12 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zapisanie równania wynikającego z obwodu: a + b 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie długości odcinka y: y 8. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Obliczenie długości jednej z podstaw trapezu: a 8 lub b. Rozwiązanie pełne...4 pkt Obliczenie długości obu podstaw trapezu: a 8 i b. Uwaga. JeŜeli zdający przyjmie, Ŝe h 3 oraz y 4 i konsekwentnie rozwiąŝe zadanie, to za całe rozwiązanie przyznajemy punkt.. JeŜeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąŝe zadanie, to przyznajemy 3 punkty. Zadanie 3. (6 pkt) Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa. JeŜeli pierwszą i trzecią liczbę pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o jeden, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego. I sposób rozwiązania Ciąg ( a a r, a r), + + jest ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, Ŝe a + a + r + a + r. Stąd 3a + 3r. a + r Ciąg ( a a + r, a r) jest ciągiem geometrycznym Zatem ( a r ) a ( a r), + Rozwiązujemy układ równań + r ( ) a( a + r) r a + r ( a + r ) a( a + r) ( ) a( 0 a ) r a 6 a ( 0 a ) +. + r a a 0a Rozwiązując równanie a 0a otrzymujemy a lub a 8. 8 Zatem lub. r 3 r

13 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu 3 Obliczamy wyrazy ciągu arytmetycznego: II sposób rozwiązania Ciąg ( a b, c) a a 3 8 lub a a 3 8., jest ciągiem arytmetycznym. a + c Z treści zadania i własności ciągu arytmetycznego wynika, Ŝe a + b + c i b. a, b, c jest ciągiem geometrycznym. Zatem ( b ) a c. Ciąg ( ) + b + c a + c Rozwiązujemy układ równań b ( b ) a c a + c a + + c 3a + 3c 30 + c 0 a + c a + c a + c b b b ( b ) a c ( b ) a c ( b ) a c + c 0 0 b ( b ) a c 0 c b 6 0c c Rozwiązując równanie c 0c otrzymujemy c lub c 8. Po podstawieniu otrzymujemy ciąg arytmetyczny 8 b c lub b. c 8 0 c b ( ) ( 0 c) Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Wykorzystanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego do zapisania wyrazów ciągu: a, a + r, a + r i zapisanie warunku a + r. a + c Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego oraz zapisanie: b i a + b + c. c

14 4 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań ( a + r ) a( a + r) i a + r. + b + c a + c Zapisanie układu równań b. ( b ) a c Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 4 pkt Zapisanie i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą: a 0a + 6 0, a, r 3lub a 8, r 3, c 0c + 6 0,. c lub c 8. Uwaga Jeśli zdający obliczy tylko jedną wartość, to otrzymuje 3 punkty. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Rozwiązanie pełne... 6 pkt Obliczenie wszystkich wyrazów ciągu:,, 8 lub 8,,. Zadanie 3. (4 pkt) Oblicz pole czworokąta ABCD, którego wierzchołki mają współrzędne (,) B (, 3), C (,), D ( 0,). I sposób rozwiązania Zaznaczamy punkty A (,), B (, 3), C (,), ( 0,) współrzędnych i rysujemy czworokąt ABCD. A, D w układzie h h

15 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Przekątna AC dzieli czworokąt ABCD na dwa trójkąty: ACD i ABC. Wysokość w trójkącie ACD jest równa h 4 i jest jednocześnie odległością punktu D od prostej AC o równaniu y. Zatem pole trójkąta ACD jest równe P AC h. PoniewaŜ AC 4 i h 4, to P AC h Wysokość w trójkącie ABC jest równa h 4 i jest jednocześnie odległością punktu B od prostej AC o równaniu y. Zatem pole trójkąta ABC jest równe P AC. PoniewaŜ AC 4 i h 4, to P AC h Pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól trójkątów ACD i ABC. Zatem P ABCD P + P Pole czworokąta ABCD jest równe 6. h II sposób rozwiązania Zaznaczamy punkty A (,), B (, 3), C (,), ( 0,) współrzędnych i rysujemy czworokąt ABCD. D w układzie h h Przekątna BD dzieli czworokąt ABCD na dwa trójkąty: ABD i BDC. Wysokość h w trójkącie ABD jest równa odległości punktu A od prostej BD, a wysokość h w trójkącie BDC jest równa odległości punktu C od prostej BD. Zatem pole trójkąta ABD jest równe P BD h, a pole trójkąta BDC jest równe P BD h.

16 6 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu y + 3 8( x + ) y 8 x + Postać ogólna równania prostej BD: 8 x y + 0. Wyznaczamy równanie prostej BD: y + 3 ( x + ) Obliczamy długości wysokości h i h, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej. 8 ( ) h h Obliczamy długość odcinka BD: BD ( 0 + ) + ( + 3) Pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól trójkątów ABD i BDC. PoniewaŜ BD 6 i PoniewaŜ BD 6 i Zatem P ABCD P + P h 6, to P BD h. 0 0 h, to P BD h Pole czworokąta ABCD jest równe 6. Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Podział czworokąta na dwa trójkąty i wyznaczenie równania prostej AC: y lub prostej BD: y 8 x +. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie odległości punktów B i D od prostej AC: 4 0 lub odległości punktów A i C od prostej BD: i. 6 6 Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Obliczenie pól trójkątów ACD i ABC: P P 8 lub pól trójkątów ABD i BDC: P 6 i P 0. Rozwiązanie pełne...4 pkt Obliczenie pola powierzchni czworokąta ABDC: 6.