Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Transkrypt

1 Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

2 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania Odpowiedź A C B B C A B A D A C B B C C D A D C D A A D D A Zadanie 6 ( punkty) Rozwiąż nierówność x x+ 0 Przykładowe rozwiązania zadań otwartych Obliczam miejsca zerowe funkcji kwadratowej ( ) Δ= ( ) = 9 8= Δ = f x = x x+ : + x = = x = = Rysuję fragment wykresu funkcji kwadratowej f i na jego podstawie odczytuję rozwiązanie nierówności: 6 y x - Odpowiedź: x, Uwaga: Można przedstawić funkcję f w postaci f ( x) ( x )( x ) rozwiązanie nierówności - = i odczytać

3 Zadanie ( punkty) Rozwiąż równanie x x + x = 0 Stosuję metodę grupowania, by przedstawić lewą stronę równania w postaci iloczynowej: x x + x = x x + x = x + x Z równania ( x )( x ) ( ) ( ) ( )( ) + = 0 otrzymujemy, że x + = 0 lub 0 x = Równanie x + = 0 nie ma rozwiązań Rozwiązaniem równania x = 0 jest liczba Odpowiedź: Jedynym rozwiązaniem jest x = Zadanie 8 ( punkty) W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A = (, ) i C ( 6,) wierzchołkami kwadratu ABCD Wyznacz równanie prostej BD = są przeciwległymi Obliczam współczynnik kierunkowy prostej AC: a AC = =, a następnie wyznaczam 6 współczynnik kierunkowy prostej BD prostopadłej do AC: a BD = Wyznaczam współrzędne środka S odcinka AC: S =, = (,6) i wyznaczam równanie prostej o współczynniku kierunkowym, przechodzącej przez punkt S Odpowiedź: y = x+ Zadanie 9 ( punkty) Kąt α jest ostry i tgα = Oblicz sin α + cosα I sposób rozwiązania: Z definicji funkcji tangens mamy sin α cosα =, zatem sinα = cosα Podstawiam tę równość do tożsamości sin α + cos α = i otrzymuję cos α + cos α = 9, a stąd cos α = Zatem cos α = lub cosα = Ujemny wynik odrzucam, ponieważ zgodnie z warunkami zadania kąt α jest kątem ostrym Obliczam wartości funkcji sinα =, a następnie wartość wyrażenia sinα + cosα = + = Odpowiedź: sin α + cosα =

4 II sposób rozwiązania: Rysuję trójkąt prostokątny, w którym oznaczam przyprostokątne x i x oraz zaznaczam kąt ostry α tak, aby tgα = x x Z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość przeciwprostokątnej: ( ) ( ) x + x = x Zatem przeciwprostokątna ma długość x Obliczam wartości funkcji sinα = i cosα = Stąd sinα + cosα = + = Odpowiedź: sin α + cosα = Zadanie 0 ( punkty) m + m + m + 9 Wykaż, że dla każdego m ciąg,, jest arytmetyczny 6 I sposób rozwiązania: Wystarczy sprawdzić, że zachodzi następujący związek między sąsiednimi wyrazami an + an+ ciągu: an = m + m + m + 9 Mamy a =, a =, a = 6 m+ m+ 9 a+ a + 9 Zatem m+ + m+ m+ m+ = = = = = a 6 m + m + m + 9 Stąd wynika, że ciąg,, jest arytmetyczny dla każdego m 6 II sposób rozwiązania: m + m + m + 9 Mamy a =, a =, a = 6 Wystarczy sprawdzić, że a a = a a Obliczamy: m + m + m + 9 m + = 6 6 m + 6 m m + 9 m 6 = m + m + =

5 Zadanie ( punkty) Trójkąty ABC i CDE są równoboczne Punkty A, C i E leżą na jednej prostej Punkty K, L i M są środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek) Wykaż, że punkty K, L i M są wierzchołkami trójkąta równobocznego B M D A Z warunków zadania wynika, że BAC = DCE = 60, więc odcinki AB i CD są równoległe Czworokąt ACDB jest trapezem Odcinek KM łączy środki boków nierównoległych w tym trapezie, więc jest równoległy do jego podstaw Wobec tego MKL = 60 Podobnie ACB = CED = 60, więc odcinki BC i DE są równoległe Czworokąt BCED jest trapezem Odcinek ML łączy środki boków nierównoległych w tym trapezie, więc jest równoległy do jego podstaw Wobec tego KLM = 60 Odpowiedź: Dwa kąty trójkąta KLM mają miarę 60, zatem jest to trójkąt równoboczny Zadanie ( punktów) Uczeń przeczytał książkę liczącą 80 stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o dni wcześniej Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę Oznaczam: x liczba stron przeczytanych każdego dnia, y liczba dni Zapisuję i rozwiązuję układ równań: x y = 80 ( x+ 8) ( y ) = Z pierwszego równania mamy x =, zatem y ( y ) = 80 y y ( y)( y ) = 80y Po uproszczeniu otrzymuję równanie y y 80 = 0 Rozwiązaniem równania są liczby: oraz Odrzucam ujemną liczbę dni Odpowiedź: Uczeń przeczytał książkę w ciągu dni K C L E

6 Zadanie ( punkty) Punkty A = (,0) i B = (,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = x Oblicz współrzędne punktu C I sposób rozwiązania: Punkt C leży na prostej o równaniu y = x i na okręgu, którego środkiem jest środek przeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie długości tej przeciwprostokątnej Obliczam długość przeciwprostokątnej AB: = ( ) + ( 0 0) = 0 Wyznaczam współrzędne środka przeciwprostokątnej: S = (,0) Zapisuję równanie okręgu: ( x ) + y = y = x Rozwiązuję układ równań ( x ) + y = Otrzymuję równanie z jedną niewiadomą: x x + = 0 Rozwiązaniem tego równania są liczby: x =, x = AB Odpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty: C = (,) oraz (,) II sposób rozwiązania: C = Oznaczmy współrzędne punktu C przez ( x, y ) Wtedy = ( ) + ( 0 0) = 0 = ( ) + ( 0), BC ( x ) ( y 0) AC x y = + Trójkąt ABC jest prostokątny, więc spełniona jest równość ( ) ( ) AB, AC + BC = AB, czyli x + y + x + y = 0 Punkt C leży też na prostej o równaniu y = x, zatem aby obliczyć jego współrzędne, należy rozwiązać układ równań: ( x ) + y + ( x ) + y = 0 y = x x x+ + x + x x+ + x = 00 x 8x+ 8= 0 x x + = 0 x =, x = Odpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty: C = (,) oraz (,) C = 6

7 Zadanie ( punkty) Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60 cm Jedna przyprostokątna jest o cm dłuższa od drugiej Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta Oznaczam: a, b długości przyprostokątnych danego trójkąta Zapisuję układ równań a = b+ ab = 60 Otrzymuję równanie z jedną niewiadomą ( ) 60 b + b =, którego pierwiastkami są liczby b = 8 oraz b = Odrzucam ujemny pierwiastek, gdyż b jest długością odcinka Zatem b = 8, a = 8+ = Teraz obliczam długość przeciwprostokątnej c= a + b = 8 + = 89 = Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość cm