Mtemtyk dl biologów wykłd 10. Driusz Wrzosek 13 grudni 2016
Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłki zstosowni Zstosowni cłek: obliczni pól i objętości figur, długości krzywych; rozwizywnie równń różniczkowych służcych do opisu różnych procesów; oblicznie położeni obiektu (wrtości funkcji) korzystjc ze znjomości prędkości tego obiektu (pochodnej funkcji). Cłkownie jest w pewnym sensie dziłniem odwrotnym do różniczkowni. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 1 / 36
Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Definicje Definicj Funkcję F : D, tk że F = f nzywmy funkcj pierwotn funkcji f. Definicj Cłk nieoznczon funkcji f nzywmy jej dowoln funkcję pierwotn i oznczmy f (x)dx. Wtedy f (x)dx = F(x) + c, gdzie c jest dowoln stł zś F (x) = f (x). Funkcj pierwotn i cłk nieoznczon to nieml to smo, mimo to w prktyce używ się jednk obu terminów. Funkcję f w tym kontekście nzyw się funkcj podcłkow. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 2 / 36
Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłki podstwowych funkcji f (x) = cos x, f (x) = sin x, F(x) = sin x + c F(x) = cos x + c f (x) = x p, F(x) = 1 p + 1 xp+1 + c, p 1 f (x) = x, f (x) = x 3, F(x) = 1 2 x2 + c F(x) = 1 4 x4 + c f (x) = x = x 1/2, F(x) = 2 3 x3/2 + c = 2 3 x 3 + c f (x) = e x, f (x) = 1 x, F(x) = e x + c F(x) = ln x + c Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 3 / 36
Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Podstwowe wzory (f (x) + g(x)) dx = (f (x) g(x)) dx = dl kżdej zchodzi f (x)dx + g(x)dx f (x)dx g(x)dx (f (x)) dx = f (x)dx Cłkownie przez części f (x)g(x)dx = f (x)g(x) f (x)g (x)dx Cłkownie przez podstwienie [ ] y = g(x) f (g(x))g (x)dx = = dy = g (x)dx f (y)dy. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 4 / 36
Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłkownie przez części przykłdy x e x dx = [ f (x) = e x ] g(x) = x f (x) = e x g (x) = 1 = x e x 1 e x dx = = x e x e x + C = x (e x 1) + C Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 5 / 36
Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłkownie przez części przykłdy x e x dx = [ f (x) = e x ] g(x) = x f (x) = e x g (x) = 1 = x e x 1 e x dx = = x e x e x + C = x (e x 1) + C [ ] f 1 ln xdx = (x) = 1 g(x) = ln x f (x) = x g (x) = 1 = x ln x x 1 x x dx = = x ln x 1 dx = x ln x x + C = x (ln x 1) + C Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 5 / 36
Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłkownie przez części przykłdy x e x dx = [ f (x) = e x ] g(x) = x f (x) = e x g (x) = 1 = x e x 1 e x dx = = x e x e x + C = x (e x 1) + C [ ] f 1 ln xdx = (x) = 1 g(x) = ln x f (x) = x g (x) = 1 = x ln x x 1 x x dx = = x ln x 1 dx = x ln x x + C = x (ln x 1) + C [ ] f x sin x dx = (x) = sin x g(x) = x f (x) = cos x g = x ( cos x) 1 ( cos x) dx = (x) = 1 = x cos x + cos x dx = sin x x cos x + C Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 5 / 36
Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Cłkownie jest dużo trudniejsze niż różniczkownie Nie istniej ogólne wzory n cłkę z iloczynu lub ilorzu funkcji ni n cłkę funkcji złożonej. Zwykle, by policzyć cłkę (znleźć funkcję pierwotn) trzeb umiejętnie stosowć dostępne wzory n cłkownie przez części i cłkownie przez podstwienie. Który wzór i w jki sposób zstosowć nie zwsze jest oczywiste. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 6 / 36
Definicj Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Cłk oznczon funkcji f : [, b] w grnicch od do b nzywmy liczbę b f (x)dx = F(b) F() = F(x) b, gdzie F jest dowoln funkcj pierwotn funkcji f. Przykłd 2 1 x 3 dx = 1 2 4 x4 = 1 1 4 24 1 4 14 = 1 4 16 1 4 = 33 4. Określmy funkcję górnej grnicy cłkowni Wtedy x x f (s)ds. d x f (s)ds = d (F(x) F()) = f (x). dx dx Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 7 / 36
Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Przy obliczniu cłek często wykorzystuje się nstępujc włsność. Niech F będzie funkcj pierwotn do f : [x 1, x 2 ]. Rozptrzmy funkcję złożon g(x) = f (x + b), gdzie i b to pewne stłe. Funkcj pierwotn do g jest funkcj G(x) = 1 F(x + b), ztem x2 x2 g(x)dx = f (x + b)dx = 1 x 1 x 1 (F(x 2 + b) F(x 1 + b)). Przykłdy 1 0 2 1 e 5x+2 dx = 1 5 1 1 + 2x dx = 1 2 (e 12 e 7) ln 1 + 2x 1 0 = 1 2 ln 3 1 2 ln 1 = ln 3 2 Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 8 / 36
Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Podstwowe włsności cłki oznczonej dl c b mmy c f (s)ds + c b c f (s)ds + b c f (s)ds = b f (s)ds bo f (s)ds = F(c) F() + (F(b) F(c)) = = F(b) F() = b f (s)ds. Jeśli α jest dowoln liczb i g pewn funkcj cigł, to b (f (s) + αg(s))ds = = b b f (s)ds + b f (s)ds + α b αg(s)ds = g(s)ds. Pierwsz włsność sugeruje, że definicję cłki oznczonej możn rozszerzyć n funkcje kwłkmi cigłe mówic, że cłk z funkcji kwłkmi cigłej jest sum cłek obliczonych n przedziłch cigłości funkcji. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 9 / 36
Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Cłk oznczon jko pole pod wykresem funkcji y 1 xdx = 1 1 0 2 x2 0 = 1 2 1 1 2 0 = 1 2 Wrtość tej cłki jest równ polu trójkt prostoktnego wyznczonego przez oś poziom ukłdu współrzędnych i wykres funkcji f (x) = x. y = x 1 0 x dx 1 x Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 10 / 36
Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Przez pole podzbioru płszczyzny możn rozumieć liczbę równ sumie (n ogół nieskończonej) liczby wszystkich pól kwdrtów zwrtych cłkowicie w tej figurze rozmieszczonych tk, że mog one mieć wspólne jedynie frgmenty swoich krwędzi. Im dokłdniej chcemy pokryć zbiór kwdrtmi, tym mniejszych kwdrtów musimy użyć. Pole trójkt prostoktnego chcemy przybliżyć z pomoc sumy pól kwdrtów zwrtych w trójkcie. Im dokłdniejsze przybliżenie, tym mniejsze musz być kwdrty wypełnijce w sumie trójkt, le żdn skończon liczb kwdrtów nie wystrczy do cłkowitego pokryci trójkt. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 11 / 36
Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Jeśli figur nie jest ptologiczn, to tk nieskończon sumę szeregu pól kwdrtów zdefiniowć możn jko pole zbioru. T definicj wystrcz do tego, by określić pole figury ogrniczonej wykresem funkcji cigłej i osimi współrzędnych, pondto umożliwi w prktyce oblicznie przybliżonych wrtości pół figur. Funkcj f : [, b] cigł, niemlejc i nieujemn. Dl x [, b] P(x) pole figury ogrniczonej od góry przez wykres funkcji od punktu (, f ()) do punktu (x, f (x)) i od dołu przez oś poziom. Wtedy dl h > 0, tkiego że x + h [, b] hf (x) P(x + h) P(x) hf (x + h) i dzielc stronmi przez h dostjemy f (x) P(x + h) P(x) h f (x + h). h f (x) f (x + h) P(x) x x + h b Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 12 / 36
Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Przechodzc do grnicy z h 0 i korzystjc z definicji cigłości i definicji pochodnej otrzymujemy P (x) = f (x) więc P jest funkcj pierwotn f, ztem x f (s)ds = P(x) P() = P(x), gdyż P() = 0 z definicji P. Pole figury ogrniczonej wykresem funkcji i osi x wynosi P(b) = b f (s)ds. Anlogiczne rozumownie możn przeprowdzić dl funkcji nieujemnej i nierosncej. Jeżeli dziedzinę [, b] dnej funkcji f cigłej możn rozbić n skończenie wiele przedziłów, tkich że n kżdym z nich funkcj jest nierosnc lub niemlejc (czyli monotoniczn), to (korzystjc z tego, że cłkę z tej funkcji możn przedstwić jko sumę cłek po odcinkch, n których funkcj jest monotoniczn), otrzymujemy wniosek, że i w tym przypdku pole pod wykresem funkcji f i osi x równe jest cłce b f (x)dx. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 13 / 36
Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru S funkcje cigłe n odcinku, których dziedziny nie możn rozbić n skończenie wiele przedziłów monotoniczności (tę włsność m np. sinusoid wrszwsk). Mimo to, brdziej subtelne rgumenty wykorzystujce koncepcję sum Riemnn umożliwij udowodnienie: Stwierdzenie Pole P obszru pomiędzy wykresem dowolnej funkcji cigłej i nieujemnej f : [, b] i osi x jest równe cłce oznczonej b f (x)dx. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 14 / 36
n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru x 1 x 2 x 3 x 4 Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 15 / 36 i=0 b
n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 15 / 36 i=0 b
n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 15 / 36 i=0 b
n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 15 / 36 i=0 b
n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 15 / 36 i=0 b
n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 15 / 36 i=0 b
n 1 Q n = f (x i ) x i. i=0 Cłki i krzywe Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Cłk oznczon, pole obszru Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b n 1 f (x)dx f (x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 15 / 36 i=0 b
Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Objętość bryły obrotowej Podobnie wyprowdz się wzór n objętość bryły obrotowej. Rozwżmy funkcję f : [, b], tk że f (x) > 0 dl x (, b) i bryłę w przestrzeni 3, której powierzchni boczn powstje poprzez obrót wykresu funkcji f wokół osi x. x Aby obliczyć przybliżon wrtość objętości tej bryły trzeb pocić j cięcimi prostopdłymi do osi x n plstry i zsumowć objętości wszystkich plstrów. Kżdy plster po wyrównniu brzegów to wlec. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 16 / 36
Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Objętość wlc o promieniu podstwy r i wysokości h wynosi πr 2 h. Dzielimy odcinek [, b] n n mniejszych odcinków o końcch x 0 =, x 1 <... x i < x i+1... x n = b wyznczjc punkty, przez które przechodz cięci. Sum wszystkich objętości wlców plstrów wynosi n 1 π i=0 (f (x i )) 2 x i. Po przejściu do grnicy przy zgęszczeniu podziłów odcink [, b] otrzymuje się wzór n objętość V f bryły obrotowej powstłej przez obrót funkcji f : [, b], b V f = π f 2 (x)dx. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 17 / 36
Definicj Cłki i krzywe Cłk oznczon, pole obszru Wrtości średni funkcji f : [, b] nzywmy liczbę Przykłd f = 1 b b f (x)dx. Smochód porusz się po prostej strtujc w chwili t = 0 z punktu x 0 z prędkości v(t)[ m s ]. W chwili t = T położenie smochodu wynosi x(t) = x 0 + T 0 v(t)dt[m], gdyż funkcj określjc położenie (współrzędn) smochodu jest funkcj pierwotn do funkcji określjcej prędkość smochodu. Wrtość średni funkcji określjcej prędkość smochodu to v = 1 T v(t)dt [ m T s ], czyli 0 v = x(t) x 0. T Ten ilorz to po prostu prędkość średni. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 18 / 36
Cłki i krzywe Cłk niewłściw Cłki niewłściwe Rozwżymy terz cłki z funkcji określonych n przedziłch nieogrniczonych typu [, + ) lub (, ], lub (, + ). Niech F będzie funkcj pierwotn funkcji f i złóżmy, że istnieje grnic lim F(x). Poniewż x + x f (s)ds = F(x) F(), to Definicj Cłk niewłściw funkcji f n odcinku [, + ) nzyw się liczbę + f (s)ds = lim F(x) F(). x + Cłk niewłściw funkcji f n odcinku (, ] nzyw się liczbę f (s)ds = F() lim F(x). x Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 19 / 36
Cłki i krzywe Cłk niewłściw Grnic funkcji lim x + F(x) może nie istnieć odpowiedni cłk niewłściw nie jest wtedy określon. Przykłd: Funkcj pierwotn funkcji f (x) = cos x jest F(x) = sin x. Nie istniej lim sin x i lim sin x, x + x ztem żdn z cłek niewłściwych nie jest określon. Jeśli lim x + F(x) = ±, to mówimy, że cłk jest rozbieżn do ±. Przykłd: Funkcj pierwotn funkcji f (x) = 2x jest F(x) = x 2, orz lim x + x2 = +. Dltego mówimy, że x dx jest rozbieżn do +. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 20 / 36
Cłki i krzywe Cłk niewłściw Jeśli f (x) 0 dl x, to funkcj pierwotn F jest funkcj niemlejc (bo F (x) = f (x) 0), więc grnic lim x + F(x) jest lbo liczb dodtni, lbo cłk jest rozbieżn do +. Przykłd: + 1 + 1 + 1 e s ds = 1 s ds = 1 s ds = lim x + ( e x ) ( e 1 ) = e 1 ; lim x + ( ) 1 (1 )x 1 1 1 = 1 1, > 1; lim ln x ln 1 = +. x + W powyższych przykłdch funkcje podcłkowe s dodtnie i mlej do 0. Funkcj 1 mleje do zer n tyle wolno wrz ze wzrostem x, że pole x obszru pomiędzy wykresem tej funkcji i osi x jest nieskończone, w odróżnieniu od dwóch pozostłych funkcji. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 21 / 36
Definicj Cłki i krzywe Krzywe Krzyw głdk nzywmy podzbiór przestrzeni n, który jest zbiorem wrtości funkcji różniczkowlnej [, b] t ϕ(t) n ϕ(t) = [ϕ 1 (t), ϕ 2 (t)... ϕ n (t)] T zwnej prmetryzcj krzywej, tkiej że dl kżdego t [, b] (ϕ 1 (t))2 + (ϕ 2 (t))2 + + (ϕ n(t)) 2 = i=n (ϕ i (t))2 0. ( ) Możn sobie wyobrzić, że krzyw powstje jko śld, który w przestrzeni pozostwi poruszjcy się punkt. Tki śld punktu nzyw się trjektori. Wtedy prędkość tkiego punktu to włśnie pochodn ϕ (t) = [ϕ 1(t), ϕ 2(t)... ϕ n(t)] T, któr jest wektorem w przestrzeni zczepionym w punkcie ϕ(t). Wektor ten wyzncz kierunek styczny do krzywej (trjektorii) w punkcie ϕ(t). Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 22 / 36 i=1
Cłki i krzywe Krzywe Wrunek ( ) ozncz ztem, że długość wektor prędkości nie zeruje się, czyli punkt w żdnej chwili się nie ztrzymuje. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 23 / 36
Uwg Cłki i krzywe Krzywe Krzyw głdk zwrt w przestrzeni chciłoby się nzwć zbiór, który powstje poprzez powyginnie, czyli cigłe odksztłcenie odcink umieszczonego w przestrzeni n, podobnie jk wygin się kwłek drutu. Tk podpowid intuicj, le precyzyjne mtemtyczne sformułownie prowdzi do nieoczekiwnych konsekwencji. Gdyby nie przyjć wrunku ( ), czyli dopuścić ztrzymywnie się punktu zkreśljcego krzyw, to wtedy możemy otrzymć krzywe niegłdkie, tzn. z kntmi lub kolcmi włśnie w tkim kncie lbo n końcu kolc trzeb się ztrzymć, by poruszć się dlej w innym kierunku. Cigłość prmetryzcji nie wystrcz do tego, by zdefiniowć zbiory, które chcemy nzywć krzywymi. Znny jest przykłd funkcji cigłej zwnej krzyw Pen, któr jest określon n odcinku [0, 1] jej obrzem jest kwdrt o boku 1. Funkcj t jest grnic cigu funkcji, których wrtości stopniowo wypełnij cły kwdrt. (Ptrz wikipedi.org/wiki/krzyw Pen) Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 24 / 36
Cłki i krzywe Krzywe Tę sm krzyw możn sprmetryzowć n wiele sposobów tk smo jk dn drogę możn przejść wolniej lub szybciej, poczwszy od jednego końc lub od drugiego. Przykłd: Po okręgu możemy poruszć się w brdzo różny sposób z kżdym rzem zdjemy wtedy inn prmetryzcję tego smego okręgu. Rozwżmy prmetryzcję zdn przez ϕ(t) = (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t)) dl t [0, 2π), gdzie orz przez ψ(t) dl t [0, π), gdzie ϕ 1 (t) = A sin t, ϕ 2 (t) = A cos t, ψ 1 (t) = A sin 2t, ψ 2 (t) = A cos 2t. W obu przypdkch podliśmy prmetryzcję okręgu n płszczyźnie w metryce euklidesowej o środku w (0, 0) i promieniu A. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 25 / 36
Cłki i krzywe Krzywe Korzystjc z jedynki trygonometrycznej mmy (ϕ 1 (t) 0) 2 + (ϕ 2 (t) 0) 2 = (A sin t) 2 + (A cos t) 2 = A 2 (sin 2 t + cos 2 t) = A 2 dl kżdego t [0, 2π), czyli ϕ 1 (t) 2 + ϕ 2 (t) 2 = A. Punkt (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t)) jest dl kżdego t odległy o A od środk ukłdu współrzędnych, leży więc n okręgu. Podobnie jest w przypdku funkcji ψ. Różnic poleg n prędkości poruszni się punktu po okręgu ϕ (t) = A[cos t, sin t] T, ψ (t) = 2A[cos 2t, sin 2t] T. W drugim przypdku punkt porusz się dw rzy szybciej, gdyż długość wektor ϕ (t) = ϕ 1 (t)2 + ϕ 2 (t)2 = (A cos t) 2 + ( A sin t) 2 = A jest dw rzy mniejsz od długości wektor ψ (t) = 2A (cos 2t) 2 + (sin 2t) 2 = 2A. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 26 / 36
Cłki i krzywe Krzywe Helis Definicj njsłynniejszej krzywej w biologii, czyli helisy lub inczej linii śrubowej. Jest to krzyw w przestrzeni 3, któr powstje ze złożeni dwóch ruchów: ruchu po okręgu w płszczyźnie poziomej ruchu jednostjnego w kierunku prostopdłym. Prmetryzcj helisy jest ztem nstępujc dl t [0, 4π]. ϕ 1 (t) = A sin t, ϕ 2 (t) = A cos t, ϕ 3 (t) = t. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 27 / 36
Cłki i krzywe Krzywe Helis Spróbujmy utożsmić prmetr t z czsem: chwili t = 0 odpowid punkt (A, 0, 0), chwili t = π odpowid punkt ( A, 0, π). Po czsie 2π zwędrujemy ztem do punktu (A, 0, 2π) znjdujcego się dokłdnie nd (A, 0, 0) i tk dlej, kończc n punkcie (A, 0, 4π). Otrzymliśmy linię śrubow o skoku 2π. Modyfikujc nieco trzecie równnie prmetryzcji ϕ 3 (t) = D 2π t. otrzym się helisę o skoku równym D, gdzie D > 0 to dowoln liczb. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 28 / 36
Krzyw Koch Krzyw Koch Przegld zgdnień nlizy mtemtycznej zkończymy słynnym przykłdem krzywej cigłej ogrniczonej o nieskończonej długości zwnej od Helge von Koch(1870-1924) krzyw Koch lub płtkiem śniegu Koch. Krzyw Koch otrzymuje się w grnicy wykonujc kolejne kroki. Figur wyjściow jest trójkt równoboczny o boku d. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 29 / 36
Krzyw Koch Krzyw Koch Przegld zgdnień nlizy mtemtycznej zkończymy słynnym przykłdem krzywej cigłej ogrniczonej o nieskończonej długości zwnej od Helge von Koch(1870-1924) krzyw Koch lub płtkiem śniegu Koch. Krzyw Koch otrzymuje się w grnicy wykonujc kolejne kroki. Figur wyjściow jest trójkt równoboczny o boku d. W pierwszym kroku dzielimy kżdy z boków n trzy części z których usuwmy środkow i w to miejsce wklejmy trójkt równoboczny o boku d 3 z usuniętym jednym bokiem, tk by powstł zmknięty wielokt. Otrzymujemy ztem wielokt o 3 4 = 12 bokch. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 29 / 36
Krzyw Koch Krzyw Koch Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 30 / 36
Krzyw Koch Krzyw Koch W drugim kroku kżdy z boków tego wielokt dzielimy n trzy części, usuwmy środkow i w jej miejsce wklejmy trójkt równoboczny o boku d, czyli trzykrotnie krótszym niż 3 2 poprzedni. Otrzymujemy wielokt o 3 4 4 = 3 4 2 bokch. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 30 / 36
Krzyw Koch Krzyw Koch W drugim kroku kżdy z boków tego wielokt dzielimy n trzy części, usuwmy środkow i w jej miejsce wklejmy trójkt równoboczny o boku d, czyli trzykrotnie krótszym niż 3 2 poprzedni. Otrzymujemy wielokt o 3 4 4 = 3 4 2 bokch. Powtrzmy tę sm procedurę otrzymujc w trzecim kroku wielokt o 3 4 3 d bokch o długości kżdy. 3 3 Ogólnie w kroku n. otrzymmy wielokt o 3 4 n bokch długości 3 n kżdy. Długość L n wszystkich boków wielokt w n. kroku konstrukcji wynosi ( ) 4 n L n = 3 d. 3 d Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 30 / 36
Krzyw Koch Definicj Krzyw Von Koch nzyw się krzyw cigł, któr definiuje się jko zbiór otrzymny w grnicy po przejściu wszystkich nieskończenie wielu kroków. Poniewż ( ( 4 n ) lim L n = lim 3 d = +, n + n + 3) jej długość jest nieskończon, mimo że jest to krzyw ogrniczon. Krzyw Von Koch jest przykłdem obiektu mtemtycznego, który nie m bezpośredniej reprezentcji empirycznej. Powyższ procedur oczywiście w świecie rzeczywistości empirycznej musi ztrzymć się n tym kroku, w którym dojdziemy do subtomowej skli długości. Wżne jest to, że ten obiekt idelny możemy przybliżć z dowoln dokłdności wieloktmi o skończonej liczbie boków. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 31 / 36
Krzyw Koch Frktle Ciekw cech krzywej Von Koch jest smopodobieństwo. Wyobrźmy sobie mikroskop powiększjcy w skli 1:10 nkierowny centrlnie n punkt n krzywej Koch. Zwiększmy sklę dziesięciokrotnie, nstępnie stokrotnie itd. Z kżdym rzem widzimy to smo dowolnie mły frgment wygld tk jk frgment powiększony. Figury o tej włsności nzyw się frktlmi. Pojęcie to wprowdził Benoit Mndelbrot w ltch siedemdziesitych XX wieku. W literturze spotkć możn różne definicje zbiorów frktlnych różnice się zkresmi. Ich zrozumienie wymg znjomości zwnsownych pojęć mtemtycznych i dltego poprzestniemy n przedstwieniu ogólnych idei. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 32 / 36
Krzyw Koch Frktle Frktle fscynuj nukowców z różnych dziedzin między innymi dltego, że wiele z nich przypomin obiekty o skomplikownej morfologii znne ze świt przyrody ożywionej i nieożywionej. Wielokty przybliżjce krzyw Von Koch przypominj płtki śniegu. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 33 / 36
Krzyw Koch Smopodobn strukturę m niewtpliwie kwitostn klfior i brokuł. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 34 / 36
Krzyw Koch Pproć frktl i roślin Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 35 / 36
Krzyw Koch Klifow, pełn młych ztoczek o różnej skli wielkości lini brzegow Wlii m również pewne cechy frktl, nstręczjc rzeczywistych problemów z dokłdnym obliczeniem długości linii brzegowej Wielkiej Brytnii, podobne do npotyknych przy liczeniu długości krzywej Von Koch. Do tej pory nie m ogólnej teorii, któr wyjśniłby skd bierze się zdziwijce podobieństwo między frktlmi mtemtycznymi i frktlopodobn struktur wielu obiektów przyrodniczych. N pewno zrozumienie tego zwizku wymg lepszego zrozumieni mechnizmów wzrostu, które w wielu przypdkch polegj n dobudowywniu podobnych struktur do już istniejcych, le w zmniejszonej skli. Mtemtyczn teori frktli dł nrzędzi umożliwijce klsyfikcję różnych struktur o skomplikownej, nieregulrnej budowie. Wrto odwiedzić choć jedn z licznych stron internetowych bogto ilustrownych zdjęcimi frktli. Mtemtyk dl biologów Wykłd 10. 13 grudni 2016 36 / 36