Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności Zadanie 1 (7 pkt) Cząstka o masie m i prędkości v skierowanej horyzontalnie wpada przez bocznąściankę do naczynia z cieczą, w której, oprócz siły ciężkości mg, działa na nią także siła oporu F v. a) Znaleźć położenie punktu (tj. jego współrzędne w wybranym układzie odniesienia), w którym cząstka trafi w przeciwległą ściankę naczynia. b) Przedyskutować wynik w zależności od odległości d międzyściankami naczynia i wartości v v prędkości początkowej. c) Zbadać granicę. Wskazówka: Przyjąć dla uproszczenia,że punkt w którym cząstka wpada do naczynia znajduje się nieskończenie wysoko nad jego dnem. Przyjmijmy układ odniesienia, którego oś x pokrywa się z kierunkiem początkowej prędkości v cząstki, a oś y skierowana jest do góry (tzn. pole ciężkości g ge y ). Po wpadnięciu do naczynia zależność składowych v x i v y prędkości cząstki od czasu zadają równania Newtona Scałkowanie daje Stąd, całkując jeszcze raz znajdujemy m dv x m dv y xt v t e m t v yt mg t 1 e m t v x mg v y. v x t v e m t, v y t mg 1 e m t. m 1 e m t mg t m e m t 1. Założyliśmy tu,że cząstka wpada do naczynia w punkcie o współrzędnych x, y. Oczywiście rozwijając yt dla t znajdziemy,że yt 1 gt.. Uderzenie cząstki w przeciwległąściankę zachodzi, gdy xt d. Musi zatem wtedy być 1 e m t v d m, czyli, zachodzi to dla t k m ln 1 d v m. Jak łatwo zauważyć, wyrażenie pod logarytmem może być ujemne, co oznacza,że cz"astka nie doleci nigdy do przeciwległejścianki. Spowodowane jest to tym,że przy ustalonej wartości v zasięg cząstki jest skończony (nawet przy nieskończonym czasie lotu). Jeśli odległośćścianek d od siebie jest mniejsza niż ten zasięg (który dla danej wartości v wynosi v m/), to mamy stąd czas lotu t k i jako współrzędne punktu uderzenia cząstki w przeciwległąściankę mamy xt k d oraz yt k m g ln 1 d v m d v m. Oczywiście dla dostajemy t k d/v i yt k 1 gt k 1 gd/v, tak jak dla spadku swobodnego w polu siły ciężkości. Zadanie (8 pkt). Dwie masy m zostały połączone przegubowo nieważkim prętem o długości l. Górna masa porusza się bez tarcia po prostej leżącej na poziomej płaszczyźnie i została połączona sprężyną o stałej sprężystości k i długości swobodnej d do pionowej nieruchomejścianki. Cały układ umieszczony jest w jednorodnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g skierowanym pionowo w dół (rysunek) i wykonuje ruch płaski w płaszczyźnie rysunku.
K m l m g a) Ile stopni swobody ma układ? b) Wybrać współrzędne uogólnione zgodne z więzami i podać lagranżjan układu wyrażony w wybranych współrzędnych uogólnionych oraz ich pochodnych czasowych. a) Wybierzmy początek układu inercjalnego w punkcie zaczepienia sprężyny z osią x skierowaną poziomo oraz osią y skierowaną w dół (tzn. zgodnie z g). Równania więzów mają następującą postać z i (i 1, ; y 1 ; (x 1 x y 1 y l. Układ ma dwa stopnie swobody. Jako współrzędne uogólnione bierzemy współrzędną x masy przyczepionej do sprężyny oraz kątpomiędzy pionem a prętem. Współrzędne kartezjańskie mas można więc wyraziċ następująco przez x i : x 1 x; y 1 ; x x lsin; y lcos. Składowe prędkości mas: x 1 x ; x x lcos; y lsin b) L TV, gdzie T - energia kinetyczna a V energia potencjalna T m x 1 y 1 x y m x m x lcos m l sin T mx m l mx lcos V V graw V elast V graw mgy mglcos V elast k x d, gdzie d jest długością nieodkształconej sprężyny Zadanie 3 (8 pkt.) Dwie masy m wykonują drgania w kierunku poziomym. Każda z mas jest zaczepiona za pomocą dwóch identycznych sprężyn do nieruchomejścianki i do drugiej masy (patrz rysunek). Sprężyny mają identyczne stałe sprężystości k i długości swobodne d. Całkowita odległość międzyściankami wynosi 3d. Lagranżjan dla tego układu sprzężonych oscylatorów w zmiennych q 1 i q, będących wychyleniami mas z położenia równowagi, ma następującą postać: Lq 1, q 1, q, q m q 1 q kq 1 q q 1 q. a) Dla jakich wartości położeń mas w kierunku poziomym ( x 1 i x układ jest w stanie równowagi trwałej? b) Znaleźć częstości i wektory własne układu. c) Podać jakim drganiom odpowiadają mody własne układu. Lq 1, q 1, q, q m q 1 q kq 1 q q 1 q a) Energia potencjalna Vq 1, q kq 1 q q 1 q ma minimum dla q 1, q, co odpowiada położeniom równowagi mas 1 i, odpowiednio x 1 d, i x x 1 d d b) Równania ruchu - równania Lagrange a II rodzaju: d L q i L q i, dla i1, mq 1 kq 1 kq mq kq kq 1 x
W celu znalezienia drgań własnych robimy założenie dotyczące zależności od czasu q i, q i t A i Ccost, co prowadzi do układu dwóch równań jednorodnych na A i które można zapisać w formie macierzowej m k k k m k A 1 A m A 1 ka 1 ka m A ka ka 1 Warunkiem istnienia rozwiązań jest znikanie wyznacznika macierzy, m k k. m 4 4mk 3k, co daje dwa różne rozwiązania dla, 1 3k/m oraz k/m, gdzie jest częstością drgań własnych jednego oscylatora. Wstawiając znalezione kwadraty częstości własnych do równania sekularnego znajduje odpowiadające im wektory własne. Dla otrzymujemy ka 1 ka, czyli A A 1. Bez straty ogólności można przyjąć A 1 1, A 1. Dla otrzymujemy ka 1 ka, czyli A A 1, gdzie również można przyjąć A A 1 1. c) Dla częstości 3k/m drgania tego modu mają postać q 1 C cos t oraz q C cos t, czyli masy1 i drgają w przeciwfazie. Dla częstości k/m drgania tego modu mają postać q 1 C cos t oraz q C cos t, czyli masy1 i drgają w fazie. Zadanie 4 (13 pkt) Bryła sztywna w kształcie jednorodnej płyty prostokątnej o bokach a i b (a b) i masie M, zawieszona w punkcie A pokazanym na rysunku, może obracać się swobodnie w pionowej płaszczyźnie wokół osi przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do płaszczyzny płyty, tworząc płaskie wahadło fizyczne. Jednorodne pole grawitacyjne o natężeniu g jest skierowane pionowo w dół.. b a Mg S a) Znaleźć położenieśrodka masy płyty S (w układzie związanym z bryłą sztywną) R S : 1 M r d, gdzie jest gęstością powierzchniową półdysku, d elementem powierzchni, a r wektorem leżącym w płaszczyźnie półdysku [r x, y, ]. b) Znaleźć moment bezwładności względem osi przechodzącej przez punkt S będącyśrodkiem masy płyty i prostopadłej do jego płaszczyzny, I s zz r d, gdzie jak poprzednio r x, y,. c) Korzystając z twiedzenie Steinera I I S Md, które wyraża moment bezwładności I względem ustalonej osi przez moment bezwładności I S względem równoległej osi przechodzącej przezśrodek masy i wzajemną odległości osi d, znaleźć moment bezwładności Izz A względem osi obrotu półdysku przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do płaszczyzny półdysku. d) Znaleźć lagranżjan dla opisanego powyżej wahadła fizycznego. e) Dla jakiej wartości zmiennej uogólnionej układ jest w równowadze? f) Znaleźć częstość małych drgań wahadła wokół położenia równowagi. a) Do całkowania wprowadzimy kartezjański układ współrzędnych x, y, o początku w punkcie przecięcia diagonalnych prostokąta i osiach równoległych do boków płyty, d dxdy. Powierzchniowa gęstość masy płyty M/ab.
X S ab 1 a/ b/ a/ xdx dy b/ Y S ab 1 a/ b/ a/ dx ydy b/ W oczywisty sposóbśrodek masy pokrywa się z wybranymśrodkiem układu związanego z bryłą sztywną. b) s M ab a/ Izz a/ b/ x y dxdy M b/ 1 a b c) Oznaczmy odległość pomiędzy punktami A i S przez d, gdzie d a/ b/ a b /4, czyli d 1 a b. Do dalszych obliczeń potrzebujemy Izz A I S Md M 3 a b. d) L TV, gdzie T jest energią kinetyczną ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do powierzchni półkrążka, a V jest jego energią grawitacyjną. Układ inercjalny wybieramy tak,że jego początek jest w punkcie A a oś x skierowana pionowo w dół (zgodnie z kierunkiem g). Jako zmienną uogólnioną bierzemy kątpomiędzy diagonalną prostokąta a wybraną osią x układu inercjalnego. T 1 Izz A ; V Mgx Is Mgd cos i dalej lagranżjan L(, 1 Izz A Mgd cos. e) Z warunku dv wynika,że minimum energii jest dla d, czyli dla tej wartości kąta układ jest w równowadze. f) Otrzymujemy następujące równanie ruchu I A zz Mgd sin. Rozwijając sin wokół zera mamy sin, i równanie ruchu przybiera postać Mgd. Częstość małych drgań (dokładnie jej kwadrat) jest więc równa Mgd 3 A g/ a b. I zz A I zz Zadanie 5 (1 pkt) Początkowo pionowo stojący pręt o masie m i długości l został puszczony z tego położenia w kierunku poziomej płaszczyzny po której porusza się bez tarcia jeden koniec pręta. Pręt porusza się w jednorodnym polu grawitacyjnym o natężeniu g i skierowanym pionowo w dół. Ruch pręta można opisać biorąc za zmienną uogólnioną kątpomiędzy płaszczyzną poziomą a osią pręta (patrz rys.) y I g l ϕ l/ x I a) Pokazaċ,że wolny (tzn. bez kontaktu z płaszczyzną) koniec pręta porusza się poċwiartce elipsy o półosiach l/ i l. Wskazówka: rozważyć najpierw ruchśrodka masy w kierunku poziomym. Jaka siła działa naśrodek masy w kierunku poziomym? Równanie elipsy ma postać x /a y /b 1. b) Wyrazić energię całkowitą pręta przez kątijego pochodną czasową, E,. c) Posługując się zasadą zachowania energii oraz faktem,że w chwili t, /,, znaleźć prędkość kątową pręta w chwili uderzenia jego wolnego końca o płaszczyznę (tzn. w chwili gdy kąt ). Wskazówka: moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przezśrodek masy pręta i prostopadłej do pręta wynosi I S ml /1. a) W kierunku poziomym nie działają naśrodek masyżadne siły, x s, i z warunków początkowych x s w trakcie całego ruchu pręta. Współrzędne wolnego końca pręta są równe: x l cos i y lsin. Mamy wię x l/ y l 1. Koniec pręta porusza się więc poćwiartce elipsy ( zmienia się od / do ) o półosiach l/ i l. b) Energia kinetyczna pręta jest równa energii kinetycznej ruchu postępowegośrodka masy oraz energii kinetycznej
obrotu pręta wokółśrodka masy - T m y s 1 I S. y s l sin, y s l ml cos, więc T 8 cos 1/3. Energia potencjalna pręta jest jego energią grawitacyjną V mgy s mg l sin. Energia całkowita E, TV ml 8 cos 1/3mg l sin. W chwili gdy /, to (pręt stoi prostopadle do powierzchi) i jego energia jest równa E/, mg l. Kiedy koniec pręta osiągnie powierzchnię poziomą mamy i prędkość kątową (której właśnie szukamy). Energia całkowita jest wtedy równa E, ml 6. Ponieważ energia jest zachowana mamy E, E/, i stąd ml 6 mg l. Ostatecznie szukana prędkość kątowa 3g. l