Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna. Pochodna odwzorowania. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych str. 1/78

Funkcje wielu zmiennych Niech R n def ={(x 1,x 2,...,x n ):x 1 R x 2 R x n R}. Funkcjanzmiennych określoną na zbiorzed R n o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbiorud dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję taką oznaczamy przez f:d R lub w=f(x 1,x 2,...,x n ), gdzie(x 1,x 2,...,x n ) D. Wartość funkcjif w punkcie(x 1,x 2,...,x n ) oznaczamy przez f(x 1,x 2,...,x n ). Funkcje wielu zmiennych str. 2/78

Dlan=2 mamy funkcję dwóch zmiennych z=f(x,y) y D (x,y) z=f(x,y) R 2 (x,y) R x z=f(x,y) Funkcje wielu zmiennych str. 3/78

Dlan=3 mamy funkcję trzech zmiennych w=f(x,y,z) z (x,y,z) w=f(x,y,z) D R 3 R x y w=f(x,y,z) Funkcje wielu zmiennych str. 4/78

Dziedzina funkcji Zbiór wszystkich punktów przestrzeni R n, dla których funkcjaf jest określona nazywamy dziedzina funkcjif i oznaczamy przez D f. Jeżeli dany jest wzór określający funkcję, to zbiór punktów przestrzeni R n, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzina naturalna funkcji. Funkcje wielu zmiennych str. 5/78

Przykład funkcji dwóch zmiennych Niechf(x,y)=x 2 +y 2. WówczasD f = R 2. y x Funkcje wielu zmiennych str. 6/78

Przykład funkcji dwóch zmiennych Niechf(x,y)= 4 x 2 y 2. WówczasD f ={(x,y):x 2 +y 2 4}. y x Funkcje wielu zmiennych str. 7/78

Przykład funkcji dwóch zmiennych Niechf(x,y)=arcsin x y. WówczasD f ={(x,y): 1 x y 1 y 0}. y x Funkcje wielu zmiennych str. 8/78

Przykład funkcji trzech zmiennych Niechg(x,y,z)= 1 x 2 y 2 z 2. WówczasD g ={(x,y,z):x 2 +y 2 +z 2 1}. z y x Funkcje wielu zmiennych str. 9/78

Inne przykłady NatężenieI prądu w oporniku o oporzerjest według prawa Ohma funkcją napięciau, przyłożonego do zacisków tego opornika, oraz oporur, tzn. I= U R. TemperaturaT w punkciep(x,y,z) ogrzewanego ciała w chwilitjest funkcją czterech zmiennych, mianowicie tego punktu oraz czasut, tzn. T=T(x,y,z,t). Funkcje wielu zmiennych str. 10/78

Wykres funkcjin-zmiennych Wykresem funkcjin-zmiennych nazywamy zbiór {(x 1,...,x n,w):(x 1,...,x n ) D f w=f(x 1,...,x n )} R n R. Dlan=2 {(x,y,z):(x,y) D f z=f(x,y)} R 3. z z=f(x,y) y x D f Funkcje wielu zmiennych str. 11/78

Poziomice wykresu funkcji dwóch zmiennych Poziomica wykresu funkcji dwóch zmiennychz=f(x,y) odpowiadającą poziomowih Rnazywamy zbiór {(x,y):(x,y) D f f(x,y)=h} R 2. z z=f(x,y) x f(x,y)=h y poziomica wykresu funkcjif Funkcje wielu zmiennych str. 12/78

Warstwice wykresu funkcji wielu zmiennych Warstwica wykresu funkcjif:d f R,n 3odpowiadającą warstwie h R nazywamy zbiór {(x 1,...,x n ) D f :(x 1,...,x n ) D f f(x 1,...,x n )=h} R n. Funkcje wielu zmiennych str. 13/78

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennychf: R 2 R Wykresem funkcjiz=ax+by+c jest płaszczyzna o wektorze normalnym n =[ A, B, 1], przechodząca przez punkt(0,0,c). z y x Funkcje wielu zmiennych str. 14/78

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennychf: R 2 R Wykresem funkcjiz=a(x 2 +y 2 ) jest paraboloida obrotowa, t.j. powierzchnia obrotowa powstała z obrotu paraboliz=ax 2 (lubz=ay 2 ) wokół osioz. z a>0 x y Funkcje wielu zmiennych str. 15/78

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennychf: R 2 R Wykresem funkcjiz=± R 2 x 2 y 2 jest górna lub dolna półsfera o środku w początku układu współrzędnych i promieniur. z z z= R 2 x 2 y 2 z= R 2 x 2 y 2 x y x y Funkcje wielu zmiennych str. 16/78

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennychf: R 2 R Wykresem funkcjiz=k x 2 +y 2 jest stożek, t.j. powierzchnia powstała z obrotu półprostejz=kx, y=0, dlax 0 wokół osioz. z k>0 x y Funkcje wielu zmiennych str. 17/78

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennychf: R 2 R Wykresem funkcji z = h ( x2 +y 2 ) jest powierzchnia obrotowa powstała z obrotu wykresu funkcji z=h(x),y=0, dlax 0 wokół osioz. z x y Funkcje wielu zmiennych str. 18/78

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennychf: R 2 R Wykresem funkcji z = g(x) lub z = k(y) jest powierzchnia walcowa powstała z przesunięcia wykresu funkcjiz=g(x), dlay=0 równolegle do osioy lub wykresu funkcjiz=k(y), dlax=0równolegle do osiox. z z y y x x Funkcje wielu zmiennych str. 19/78

Wykres funkcjiz=f(x a,y b)+c powstaje z wykresu funkcjiz=f(x,y) przez przesunięcie o wektor v=[a,b,c]. z v=[a,b,c] y x Funkcje wielu zmiennych str. 20/78

Wykres funkcjiz= f(x,y) powstaje z wykresu funkcji z = f(x, y) przez symetryczne odbicie względem płaszczyzny OXY. z y x Funkcje wielu zmiennych str. 21/78

Powierzchnie obrotowe Krzywa obracająca się dookoła prostej zatacza powierzchnię obrotową. Obróćmy krzywą o równaniu x=x(t), y=y(t), z=z(t), t a,b dookoła osioz. Wówczas punktp(x(t 0 ),y(t 0 ),z(t 0 )) krzywej zatoczy okrąg o równaniu ( ) x 2 +y 2 =[x(t 0 )] 2 +[y(t 0 )] 2 leżący na płaszczyźnie z=z(t 0 ). Po eliminacjit 0 z ( ) otrzymujemy równanie powierzchni obrotowej zataczanej przez krzywą. Funkcje wielu zmiennych str. 22/78

Powierzchnie obrotowe z x y Funkcje wielu zmiennych str. 23/78

Przykład powierzchni obrotowej Niech linia prosta x=t, y=t, z=2t, t R obraca się dookoła osioz. Wówczas punktp(t 0,t 0,2t 0 ) prostej zatoczy okrąg o równaniu ( ) x 2 +y 2 =2(t 0 ) 2 leżący na płaszczyźniez=2t 0. Po eliminacjit 0 z ( ) otrzymujemy równanie x 2 +y 2 = z2 < równanie stożka 2 powierzchni obrotowej zataczanej przez daną prostą. Funkcje wielu zmiennych str. 24/78

Przykład powierzchni obrotowej x 2 +y 2 = z2 2 < równanie stożka z x y Funkcje wielu zmiennych str. 25/78

Przykład powierzchni obrotowej Niech okrąg x=a+rcost, y=0, z=rsint, t R obraca się dookoła osioz. Wówczas punktp(a+rcost 0,0,rsint 0 ) prostej zatoczy okrąg o równaniu ( ) x 2 +y 2 =(a+rcost 0 ) 2. Po eliminacjit 0 z ( ) otrzymujemy równanie ( x 2 +y 2 a) 2 +z 2 =r 2 < równanie torusa powierzchni obrotowej zataczanej przez okrąg x=a+rcost, y=0, z=rsint, t R. Funkcje wielu zmiennych str. 26/78

Przykład powierzchni obrotowej ( ) 2+z x2 +y 2 a 2 =r 2 < równanie torusa z x y Funkcje wielu zmiennych str. 27/78

Granice funkcji wielu zmiennych Niech(P k (x k1,...,x kn )) ki N będzie ciągiem punktów w Rn. Mówimy, że ciąg(p k ) dąży do punktup 0 (x 01,...,x 0n ) R n, jeżeli lim x k i =x 0i, dla każdegoi=1,2,...,n, k i + oznacza to zbieżność dla każdej ( współrzędnej. ) 1 Przykład: NiechP n (x n,y n )= n,( 1)n ciąg punktów w n przestrzenir 2. Wówczas lim (x n,y n )=(0,0). n + Funkcje wielu zmiennych str. 28/78

Granice funkcji wielu zmiennych Niechf: R n R będzie funkcjąn-zmiennych. NiechP 0 (x 01,...,x 0n ) R n oraz niech funkcjaf będzie określona przynajmniej na S(P 0 ) def ={(x 1,...,x n ) R n : gdzier>0 jest pewną liczbą. (x 1 x 01 ) 2 + +(x n x 0n ) 2 <r}\{p 0 }, lim f(x 1,...,x n )=g P P 0 (x k1,...,x kn ) x ki x 0i i=1,2,...,n [ def lim x k i =x 0i,i=1,...,n lim f(x k 1,...,x kn )=g k i k i ]. Funkcje wielu zmiennych str. 29/78

Własności granic funkcji wielu zmiennych Jeżeli funkcjef ig mają granice właściwe w punkciep 0 R n, to lim[f(p)±g(p)]= limf(p)± limg(p). P P 0 P P 0 P P 0 limc f(p)=c limf(p) P P 0 P P 0 lim[f(p) g(p)]= limf(p) limg(p) P P 0 P P 0 P P 0 f(p) limf(p) lim P P 0 g(p) = P P 0 limg(p), o ile P P 0 lim g(p) 0. P P 0 Funkcje wielu zmiennych str. 30/78

Własności granic funkcji wielu zmiennych Jeżeli funkcjeϕ i,i=1,...,n if spełniają warunki: lim T T 0 ϕ i (T)=x 0i, T R m T S(T 0 ) (ϕ 1 (T),...,ϕ n (T)) (x 01,...,x 0n ) limf(p)=g, P P 0 to limf(ϕ 1 (T),...,ϕ n (T))=g. T T 0 Funkcje wielu zmiennych str. 31/78

Ciagłość funkcji wielu zmiennych Niechf: R n R będzie funkcjąn-zmiennych. Funkcja jest ciągła w punkciep 0 (x 01,...,x 0n ) def limf(x 1,...,x n )=f(x 01,...,x 0n ). P P 0 punkcie ciągłe są także funkcje f+g, f g, c f,c R, f g, f g, o ileg(p 0) 0. Jeżeli funkcjef ig są ciągłe w punkciep 0 (x 01,...,x 0n ), to w tym Jeżeli funkcjeϕ i,i=1,...,n są ciągłe w punkcie T 0 R m if jest ciągła w punkciep 0 =(ϕ 1 (T 0 ),...,ϕ n (T 0 )), to funkcja f(ϕ 1 (t 1,...,t m ),...,ϕ n (t 1,...,t m )) jest ciągła w T 0. Funkcje wielu zmiennych str. 32/78

Pochodne czastkowe Niechf oznacza funkcjęn-zmiennych określona w otoczeniu O punktu P 0 (x 01,...,x 0n ). Symbolem x i oznaczamy przyrost zmiennej niezależnejx i, 1 i n, różny od zera i taki, żeby P(x 01,...,x 0i 1,x 0i + x i,x 0i+1,...,x 0n ) O. f(p) f(p 0 ) Granicę właściwą lim nazywamy x i 0 x i pochodna czastkow a rzędu pierwszego funkcjif względem zmiennejx i w punkciep 0 i oznaczamy symbolem f x i (P 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 33/78

Pochodne czastkowe funkcji dwóch zmiennych Dla funkcji dwóch zmiennychf(x,y) definicje pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego względem zmiennychxiy w punkciep 0 (x 0,y 0 ) są następujące f x (P 0) def = lim x 0 f(x 0 + x,y 0 ) f(x 0,y 0 ) x oraz f y (P 0) def = lim y 0 f(x 0,y 0 + y) f(x 0,y 0 ) y. Funkcje wielu zmiennych str. 34/78

Interpretacja geometryczna pochodnych czastkowych dlaf: R 2 R Niechf: R 2 R, z=f(x,y). Załóżmy, żef ma pochodne rzędu pierwszego w punkciep 0 (x 0,y 0 ). f x (x 0,y 0 ) =tgα z z x α y x β f y (x 0,y 0 ) =tgβ f x (x 0,y 0 ) jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcjif wzgl. zmiennejxprzy ustalonej wartościy. f y (x 0,y 0 ) jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcjif wzgl. zmiennejy przy ustalonej wartościx. y Funkcje wielu zmiennych str. 35/78

UWAGA: Nie ma zwiazku między ciagłości a funkcji wielu zmiennych a istnieniem pochodnych czastkowych. Funkcja wielu zmiennych może mieć w punkcie obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i może nie być ciągła w tym punkcie, np. funkcjaf(x,y)= 1, dlaxy=0 0, dlaxy 0 f ma pochodne cząstkowe w punkcie(0,0): nie jest ciągła w punkcie(0,0), ale f x (0,0)=lim x 0 f( x,0) f(0,0) x = lim x 0 1 1 x =0 i f y (0,0)=lim y 0 f(0, y) f(0,0) y = lim y 0 1 1 y =0. Funkcje wielu zmiennych str. 36/78

Przykład funkcji ciagłej nie majacej pochodnych czastkowych Niechf(x,y)= x 2 +y 2. Funkcjaf jest ciągła w punkcie(0,0), gdyż lim (x,y) (0,0) x2 +y 2 =0=f(0,0), ale f x (0,0)=lim x 0 x2 +0 2 0 x = lim x 0 x x nie istnieje i f y (0,0)=lim y 0 02 + y 2 0 y = lim y 0 y y nie istnieje. Funkcje wielu zmiennych str. 37/78

Jeżeli funkcja ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D R n, to funkcje f x 1 (x 1,...,x n ), f x 2 (x 1,...,x n ),..., f x n (x 1,...,x n ), gdzie(x 1,...,x n ) D, nazywamy pochodnymi czastkowymi pierwszego rzędu funkcjif na zbiorze D i ozn. f x 1, f x 2,..., f x n lub f x 1,f x 2,...,f x n. Funkcje wielu zmiennych str. 38/78

Przykłady Niechf(x,y)= e x ln(x+y). Niechg(x,y,z)= 3 arctg(x+e yz ). Funkcje wielu zmiennych str. 39/78

Pochodna kierunkowa funkcjif: D R n R Niechf oznacza funkcjęn-zmiennych określona w otoczeniu O punktu P 0 (x 01,...,x 0n ) D. Pochodna kierunkowa funkcjif w punkciep 0 w kierunku wersora v=[v x1,v x2,...,v xn ] określamy wzorem df d v (P 0) def f(x 01 +tv x1,...,x 0n +tv xn ) f(x 01,...,x 0n ) =lim t 0 t df d v jest też oznaczana następująco f v lub f v. Dlaf: D R 2 R Dlaf: D R 3 R df d i = f x, df d j = f y. df d i = f x, df d j = f y, df d k = f z. Funkcje wielu zmiennych str. 40/78

Przykład Niechf(x,y,z)=x 2 2yz,P 0 (1,0, 1) i v= Wówczas df d v (P 0) def = lim t 0 1+ lim t 0 ( 1+ 1 ) 2 ( 3 t 2 0 )( 3 3 t 1+ t 2 3 t+1 9 t2 2 2 3t+ 15t 2 1 3 9 t 1 3, 3 3, ) 5 3 t = 2 3 1 5. 3 = ( 1 3 ) Funkcje wielu zmiennych str. 41/78

Przykład Niechf(x,y,z)=e x+y+z,p 0 (0,0,0) i v=[1,1,1]. Wówczas df d v (P 0) def e 3t 1 =lim t 0 t [ 0 0 ] =lim t 0 3e 3t 1 = 3 Funkcje wielu zmiennych str. 42/78

Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej funkcji dwóch zmiennych Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu(x 0,y 0 ). Ponadto niechγ oznacza kąt nachylenia do płaszczyznyxoy półstycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcjif półpłaszczyzną przechodzącą przez prostą df d v (x 0,y 0 ) =tgγ. { x=x 0, y=y 0 oraz równoległą do wersora v. Wtedy z γ y (x 0,y 0,0) v x Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcjif w kierunku v. Funkcje wielu zmiennych str. 43/78

Gradient funkcji Niechf: D R n R. Gradientem funkcjif w punkciep 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) nazywamy wektor określony wzorem f(p 0 ) def = [ f x 1 (P 0 ), f x 2 (P 0 ),..., f x n (P 0 ) Gradient w punkciep 0 jest również oznaczany przezgradf(p 0 ) lubf (P 0 ),tak jak pochodna jednej zmiennej. ]. Przykład: Niechf(x,y)=x 3 y 2 +3x y ip 0 ( 2,1). Wówczas [ ] f f= x, f =[3x 2 y 2 +3,2x 3 y 1], więc f( 2,1)=[15, 17] y Funkcje wielu zmiennych str. 44/78

Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Twierdzenie (wzór do obliczania pochodnej kierunkowej): Niech pochodne cząstkowe f x i,i=1,...,n będą ciągłe w punkcie P 0 (x 01,...,x 0n ) oraz niech v będzie dowolnym wersorem. Wtedy df d v (P 0)= f(p 0 ) v. Przykład: Niechf(x,y)=x 3 y 2 +3x y,p 0 ( 2,1) i [ ] 1 v= 2, 1. Wówczas 2 [ df 1 d v ( 2,1)= f( 2,1) v=[15, 17] 2, 1 2 ] = 32 2. Funkcje wielu zmiennych str. 45/78

Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie liczona w kierunku gradientu ma wartość największą spośród wszystkich pochodnych kierunkowych liczonych w różnych kierunkach i df d f(p 0 ) (P 0)= f(p 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 46/78

Interpretacja geometryczna gradientu funkcji dwóch zmiennych Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie. z y x (x 0,y 0 ) f(x 0,y 0 ) Funkcje wielu zmiennych str. 47/78

Interpretacja geometryczna gradientu funkcji dwóch zmiennych Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt. y y 0 (x 0,y 0 ) f(x 0,y 0 ) x 0 x Funkcje wielu zmiennych str. 48/78

Pochodne czastkowe drugiego rzędu Niech funkcjaf ma pochodne cząstkowe f x i,i=1,2,...,n, na obszarze D R n oraz niechp 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) D. Pochodne czastkowe drugiego rzędu funkcjif w punkciep 0 określamy wzorami: 2 f x 2 i (P 0 )= ( x i ( f x i )) (P 0 ), 2 f x i x j (P 0 )= ( x i ( f x j )) (P 0 ), dlai,j=1,2,...,n. Powyższe pochodne oznaczamy także odpowiednio przezf x i x i (P 0 ), f x j x i (P 0 ) lub f xi x i (P 0 ),f xj x i (P 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 49/78

Pochodne czastkowe drugiego rzędu na obszarze Jeżeli funkcjaf ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w każdym punkcie obszaru D R n, to funkcje 2 f x 2 i (x 1,...,x n ), 2 f x i x j (x 1,...,x n ),i,j=1,2,...,n gdzie(x 1,...,x n ) D, nazywamy pochodnymi czastkowymi drugiego rzędu funkcji f na obszarze D i oznaczamy odpowiednio przez 2 f x 2 i, 2 f x i x j lub f x i x i, f x j x i. Funkcje wielu zmiennych str. 50/78

Pochodne czastkowe wyższych rzędów Jeżeli funkcjaf ma pochodne cząstkowe rzęduk 2 przynajmniej na otoczeniu punktu P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) D R n, to k+1 f x i x s j x p l (P 0 )= x i k f x s j x p l (P 0 ), gdzies+p=k. Funkcje wielu zmiennych str. 51/78

Twierdzenie Schwarza Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Ponadto niech pochodne cząstkowe 2 f x i x j, 2 f x j x i istnieją na otoczeniu punktup 0 pochodne cząstkowe P 0. 2 f x i x j, 2 f x j x i, będą ciągłe w punkcie Wtedy 2 f x i x j (P 0 )= 2 f x j x i (P 0 ),i j ii,j=1,2,...,n UWAGA: Prawdziwe są analogiczne równości dla pochodnych mieszanych wyższych rzędów. Funkcje wielu zmiennych str. 52/78

Różniczkowalność funkcjin-zmiennych Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) oraz niech istnieją pochodne cząstkowe f x i (P 0 ),i=1,,...,n. Funkcja f jest różniczkowalna w punkciep 0 wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: lim ( x 1,..., x n ) (0,...,0) f(p) f(p 0 ) f x 1 (P 0 ) x 1 f x n (P 0 ) x n =0, ( x 1 ) 2 + +( x n ) 2 gdziep=(x 01 + x 1,...,x 0n + x n ). Funkcje wielu zmiennych str. 53/78

Warunek konieczny różniczkowalności funkcji Twierdzenie: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciagła w tym punkcie. Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym przykład funkcjif(x,y)= x 2 +y 2, która jest ciągła w punkcie(0,0), ale nie jest w tym punkcie różniczkowalna. Funkcje wielu zmiennych str. 54/78

Warunek wystarczajacy różniczkowalności funkcji Twierdzenie: Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktup 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Ponadto niech pochodne cząstkowe f x i,i=1,...,n istnieją na otoczeniu punktup 0 punkciep 0. pochodne cząstkowe f x i,i=1,...,n będą ciągłe w Wtedy funkcjaf jest różniczkowalna w punkciep 0. Funkcje wielu zmiennych str. 55/78

Interpretacja geometryczna funkcji dwóch zmiennych różniczkowalnej w punkcie Różniczkowalność funkcjif w punkcie(x 0,y 0 ) oznacza, że istnieje płaszczyzna styczna (niepionowa) do wykresu tej funkcji w punkcie(x 0,y 0,f(x 0,y 0 )). z z=f(x,y) płaszczyzna styczna (x 0,y 0,z 0 ) y x Funkcje wielu zmiennych str. 56/78

Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji Niech funkcjaf będzie różniczkowalna w punkciep 0 (x 0,y 0 ). Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif w punkcie (x 0,y 0,z 0 ), gdziez 0 =f(x 0,y 0 ), ma postać: z z 0 = f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+ f y (x 0,y 0 )(y y 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 57/78

Różniczka funkcjin-zmiennych Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Ponadto niech funkcjaf ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkciep 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Różniczka funkcjif w punkciep 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) nazywamy funkcję zmiennych x 1, x 2,..., x n określoną wzorem: df(p 0 )( x 1, x 2,..., x n ) def = n i=1 f x i (P 0 ) x i, Różniczkę funkcjif oznacza się także przezdf(x 01,x 02,...,x 0n ) lub krótkodf. Funkcje wielu zmiennych str. 58/78

Zastosowanie różniczki funkcjin-zmiennych Niech funkcjaf będzie różniczkowalna w punkcie P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Wtedy f(x 01 + x 1,...,x 0n + x n ) f(p 0 )+df(p 0 )( x 1,..., x n ), przy czym błądδ( x 1, x 2,..., x n ) powyższego przybliżenia dąży szybciej do 0 niż ( x 1 ) 2 +( x 2 ) 2 + +( x n ) 2, tzn. lim x i 0,i=1,...,n δ( x 1, x 2,..., x n ) ( x 1 ) 2 +( x 2 ) 2 + +( x n ) 2=0. Funkcje wielu zmiennych str. 59/78

Przykład Wykorzystując różniczkę obliczymy wartość przybliżoną wyrażenia 2,1 8,05. Definiujemy funkcjęf(x,y)= xy. Przyjmujemyx 0 =2 y 0 =8 x=0,1 i y=0,05. Ponieważ f y x =1 2 x i f x y =1 2 y,więc 2,1 8,05 2 8+1 0,1+ 1 4 0,05=4,1125. Funkcje wielu zmiennych str. 60/78

Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów Niech wielkości fizycznex 1,x 2,...,x n,y będą związane zależnościąy=f(x 1,x 2,...,x n ). Ponadto niech xi, i=1,2,...,n oznaczaja odpowiednio błędy bezwzględne pomiaru wielkościx 1,x 2,...,x n. Wtedy błąd bezwzględny y obliczeń wielkościy wyraża się wzorem przybliżonym y n i=1 f x x i. i Funkcje wielu zmiennych str. 61/78

Przykład Przy pomocy menzurki można zmierzyć objętość ciała z dokładnością V =0,1 cm 3, a przy pomocy wagi sprężynowej można ustalić jego masę z dokładnością 1 g. Objętość ciała zmierzona tym sposobem wynosi V=25 cm 3, a masam=200 g. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć gęstośćρtego ciała? Ponieważ ρ(m,v)= M V, więc ρ ρ M M+ ρ M =1 V i ρ V = M V 2, więc ρ V V= 25 1+ 1 200 25 0,1=0,072. 2 Funkcje wielu zmiennych str. 62/78

Różniczka zupełna Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Ponadto niech funkcjaf ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkciep 0 (x 01,x 02,...,x 0n ). Przyrosty x 1, x 2,..., x n nazywamy różniczkami zmiennych niezależnychx 1,x 2,...,x n, odpowiednio i oznaczamy symbolami dx 1, dx 2,...,dx n. Różniczka zupełna funkcjif w punkciep 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) nazywamy wyrażenie: df(p 0 ) def = n i=1 f x i (P 0 )dx i. Funkcje wielu zmiennych str. 63/78

Różniczkowalność odwzorowaniaf: R n R m Niech D R n będzie otwartym niepustym podzbiorem,p 0 D orazf=(f 1,...,f m ):D R m. Odwzorowaniefnazywamy różniczkowalnym w punkciep 0, gdy istnieje macierz taka że f(p) f(p 0 )= a 11... a 1n....... a 11... a 1n....... a m1... a mn x 1., + x ε(p 0, x), gdzie x = a m1... a mn ( x 1 ) 2 + +( x n ) 2, x n P=(x 01 + x 1,...,x 0n + x n ),P 0 =(x 01,...,x 0n ) D i lim ε(x 0, x)=0.. x 0 Funkcje wielu zmiennych str. 64/78

Pochodna odwzorowaniaf: R n R m MacierzA= x = a 11... a 1n....... a m1... a mn, taką że lim x 0 ( x 1 ) 2 + +( x n ) 2, x= x 1., f(p) f(p 0 ) A x x =0, gdzie x n P=(x 01 + x 1,...,x 0n + x n ),P 0 =(x 01,...,x 0n ) D, nazywamy macierza Jacobiego (pochodna ) odwzorowaniaf w punkciep 0 i oznaczamy Df(x 0 ) albo (f 1,...,f m ) (x 1,...,x n ) df(p 0, x)=a lub D(f 1,...,f m ) D(x 1,...,x n ). x 1. =Df(P 0 ) x 1. : różniczka odwzorowaniaf wp 0 dla przyrostu x. x n x n Funkcje wielu zmiennych str. 65/78

Różniczkowalność odwzorowaniaf: R n R m Twierdzenie: Odwzorowanief różniczkowalne w punkciep 0 ma tylko jedną macierz Jacobiego. Twierdzenie: Odwzorowanief różniczkowalne w punkciep 0 jest ciągle w tym punkcie. Funkcje wielu zmiennych str. 66/78

Pochodna odwzorowaniaf: R n R m Twierdzenie: Niech D R n będzie otwartym niepustym podzbiorem,p 0 D orazf=(f 1,...,f m ):D R m będzie różniczkowalne wp 0. Wtedy funkcjef i : D R,i=1,...,m mają pochodne cząstkowe f i x k (P 0 ),i=1,...,m,k=1,...,n oraz macierz A= f 1 f 1 x 1 (P 0 )... x n (P 0 )..... f m x 1 (P 0 )... f m x n (P 0 ) jest macierzą Jacobiego (pochodną) odwzorowaniaf w punkciep 0., Funkcje wielu zmiennych str. 67/78

Pochodna odwzorowaniaf: R n R m Jeżelim=n, to detdf=det f 1. x 1...... f n x 1... f 1 x n. f n x n = f 1. x 1...... f n x 1... f 1 x n. f n x n nazywamy jakobianem odwzorowaniaf i ozn.j. Funkcje wielu zmiennych str. 68/78

Przykład Niechf: 0,2π) R 2 if(t)= x=acost y=bsint acost. Wtedy bsint,t 0,2π) Df(t 0 )= y asint 0 bcost 0 R 2 R t x Funkcje wielu zmiennych str. 69/78

Przykład Niechf: R R 3 if(t)= 1+t 2+2t. Wtedy t x=1+t y=2+2t z= t,t R Df(t 0 )= 1 2 1 z R 3 R t x y Funkcje wielu zmiennych str. 70/78

Przykład Niechf: R R 3 if(t)= acost asint. Wtedy bt x=acost y=asint z=bt,t R Df(t 0 )= asint 0 acost 0 b z R 3 R t x y Funkcje wielu zmiennych str. 71/78

Przykład Niechf: R 2 R 3 if(t 1,t 2 )= x=x 0 +u 1 t 1 +v 1 t 2 x 0 +u 1 t 1 +v 1 t 2 y 0 +u 2 t 1 +v 2 t 2. Wtedy z 0 +u 3 t 1 +v 3 t 2 y=y 0 +u 2 t 1 +v 2 t 2,(t 1,t 2 ) R 2 Df(t 1,t 2 )= z=z 0 +u 3 t 1 +v 3 t 2 u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 Funkcje wielu zmiennych str. 72/78

Przykład Niechf: D R 2, D= 0,+ ) 0,2π) R 2 i f(,ϕ)= cosϕ. Wtedy sinϕ x= cosϕ y= sinϕ,(,ϕ) D R 2 Df(,ϕ)= cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ J= cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ = Funkcje wielu zmiennych str. 73/78

Przykład Niechf: D R 2, D= 0,1 0,2π) R 2 i f(,ϕ)= a cosϕ. Wtedy b sinϕ x=a cosϕ y=b sinϕ,(,ϕ) D R 2 Df(,ϕ)= acosϕ a sinϕ J= bsinϕ b cosϕ acosϕ a sinϕ bsinϕ b cosϕ =ab Funkcje wielu zmiennych str. 74/78

Przykład Niechf: D R 3, D= 0,+ ) 0,2π) R R 3 i f(,ϕ,t)= cosϕ sinϕ. Wtedy t x= cosϕ y= sinϕ z=t,(,ϕ) D R 3 Df(,ϕ,t)= cosϕ sinϕ 0 sinϕ cosϕ 0 J= 0 0 1 cosϕ sinϕ 0 sinϕ cosϕ 0 0 0 1 = Funkcje wielu zmiennych str. 75/78

Przykład Niechf: D R 3, D= 0,+ ) 0,2π) f(,ϕ,ψ)= cosϕcosψ sinϕcosψ. Wtedy sinψ x= cosϕcosψ y= sinϕcosψ z= sinψ π 2,π 2,(,ϕ) D R 3 R 3 i Df(,ϕ,ψ)= cosϕcosψ sinϕcosψ cosϕsinψ sinϕcosψ cosϕcosψ sinϕsinψ J= 2cosψ sinψ 0 cosψ Funkcje wielu zmiennych str. 76/78

Podsumowanie Funkcje wielu zmiennych - ich warstwice i wykresy. Granice funkcji wielu zmiennych. Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka zupełna. Pochodna odwzorowania. Funkcje wielu zmiennych str. 77/78

Dziękuję za uwagę ;) Funkcje wielu zmiennych str. 78/78