Elementy analizy wektorowej

Transkrypt

1 Elementy analizy wektorowej Całki krzywoliniowe wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka 1 Łuki na płaszczyźnie i w przestrzeni Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r:i R 2 lub r:i R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej (tzn. I R). Funkcje wektorowe będziemy zapisywali w postaci r(t)=[x(t),y(t)] lub r(t)=[x(t),y(t),z(t)], gdziet I. y y(t) r r(t) R R t t x x(t) t t x Mówimy, że funkcja wektorowa r jest różnowartościowa na przedzialei, gdy t 1 t 2 r(t 1 ) r(t 2 ), R 2 r z r(t) R 3 y dla każdegot 1,t 2 I. Funkcja wektorowa jest lokalnie różnowartościowa na przedziale I, jeżeli każdy punkt tego przedziału ma otoczenie, na którym ta funkcja jest różnowartościowa. Jeżeli funkcjex,y lubx,y,z są ciągłe nai, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest ciągła nai. Jeżeli funkcjex,y lubx,y,z mają pochodne na przedzialei, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest różniczkowalna nai. Pochodną funkcji wektorowej r określamy wzorem: r (t)= [ x (t),y (t) ] lub r (t)= [ x (t),y (t),z (t) ]. r(t) r (t) - wektor styczny O - początek układu współrzędnych 1

2 Jeżeli funkcjex,y lubx,y,z mają ciągłe pochodne na przedzialei, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest różniczkowalna w sposób ciągły nai. Jeżeli funkcjex,y lubx,y,z są całkowalne na przedziale,β, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest całkowalna na,β. Całkę po przedziale,β z funkcji wektorowej r określamy wzorem: β β β β β β β r(t)dt = x(t)dt, y(t)dt lub r(t)dt = x(t)dt, y(t)dt, z(t)dt. Twierdzenie 1.1. Jeżeli funkcje wektorowe u, v są różniczkowalne na przedzialei, to ( u(t)+ v(t)) = u (t)+ v (t) oraz(c u(t)) =c u (t), gdziet I. Twierdzenie 1.2. Jeżeli funkcja wektorowa u jest różniczkowalna na przedzialei oraz funkcjaf:j I ma pochodną na przedzialej, to [ u(f(s))] =f (s) u (f(s)), gdzies J. Twierdzenie 1.3. Niech funkcje wektorowe u, v, w o wartościach w R 3 będą różniczkowalne na przedzialei. Wtedy zachodzą wzory: 1.( u(t) v(t)) = u (t) v(t)+ u(t) v (t), 2.( u(t) v(t)) = u (t) v(t)+ u(t) v (t), 3.[( u(t) v(t)) w(t)] =( u (t) v(t)) w(t)+( u(t) v (t)) w(t)+( u(t) v(t)) w (t), gdzie t I. Niech funkcja wektorowa r:,β R 2 ( r:,β R 3 ) będzie ciągła i różnowartościowa na przedziale,β. Łukiem zwykłym na płaszczyźnie (w przestrzeni) nazywamy zbiór ={ r(t): t,β }. Niech funkcja wektorowa r:i R 2 ( r:i R 3 ), gdziei oznacza dowolny odcinek, półprostą lub prostą (z końcem lub bez), będzie ciągła i lokalnie różnowartościowa nai. Łukiem na płaszczyźnie (w przestrzeni) nazywamy zbiór ={ r(t): t I}. Jeżeli funkcja r:,β R 2 ( r:,β R 3 ) parametryzująca łukspełnia równość r()= r(β), to mówimy, że łukjest zamknięty. Jeżeli funkcja r:,β R 2 ( r:,β R 3 ) jest różniczkowalna w sposób ciągły na,β oraz dla każdegot,β spełniony jest warunek r (t) 0, to mówimy, że łukjest gładki. Mówimy, że łuk jest kawałkami gładki, jeżeli można go podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich. Łuk zwykły Łuk zamknięty Łuk niezamknięty Łuk kawałkami gładki 2

3 Twierdzenie 1.4 (o przedstawianiu łuków na płaszczyźnie i w przestrzeni). I. Łukami na płaszczyźnie są wykresy funkcji ciągłych postaci: x=t 1.:y=f(x), gdziea x b :,t a,b ; y=f(t) x=h(t) 2.:x=h(y), gdziec y d :,t c,d. y=t II. Łukami w przestrzeni są części wspólne ciagłych powierzchni walcowych postaci: x=t y=f 1 (x) 4.:, gdziex a,b : y=f 1 (t),t a,b ; z=f 2 (x) z=f 2 (t) x=h x=h 1 (y) 1 (t) 5.:, gdziey c,d : y=t,t c,d ; z=h 2 (y) z=h 2 (t) x=k x=k 1 (z) 1 (t) 6.:, gdziey p,q : y=k 2 (t),t p,q. y=k 2 (z) z=t Jeżeli funkcjef,h,f 1,f 2,h 1,h 2,k 1,k 2 mają ciągłe pierwsze pochodne, to łukisą gładkie. 3

4 Automatyka i Robotyka Twierdzenie 1.5 (równania parametryczne ważniejszych łuków). 1. Odcinek o końcacha(x A,y A ),B(x B,y B ) ma przedstawienie parametryczne x=x A +(x B x A ) t =AB:, gdziet 0,1. y=y A +(y B y A ) t 2. Okrąg o środkus(x 0,y 0 ) i promieniurma przedstawienie parametryczne x=x 0 +R cost :, gdziet 0,2π. y=y 0 +R sint 3. Elipsa o środkus(x 0,y 0 ) i półosiacha,b ma przedstawienie parametryczne x=x 0 +a cost :, gdziet 0,2π. y=y 0 +b sint 4. Odcinek o końcacha(x A,y A,z A ),B(x B,y B,z B ) ma przedstawienie parametryczne x=x A +(x B x A ) t =AB: y=y A +(y B y A ) t, gdziet 0,1. z=z A +(z B z A ) t 5. inia śrubowa o skokuhnawinięta na walec(x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 =R 2 ma przedstawienie parametryczne x=x 0 +R cost : y=y 0 +R sint, gdziet R. z= h 2π t Jeden zwój linii śrubowej otrzymamy, gdy t 0, 2π. Przykład 1.6. Niechf: 0,2π) R 2 if(t)= R t ( ) acost. Wtedy bsint y x=acost y=bsint 1+t x=1+t Przykład 1.7. Niechf: R R 3 if(t)= 2+2t. Wtedy y=2+2t t z= t R 2 x,t R.,t 0,2π). z R 3 R t x y 4

5 Automatyka i Robotyka acost x=acost Przykład 1.8. Niechf: R R 3 if(t)= asint. Wtedy y=asint bt z=bt R t z,t R. R 3 x y Długością łuku={ r(t): t,β } nazywamy kres górny długości łamanych wpisanych w ten łuk: def = sup n N {P 0,P 1,...,P n } n 1 i=0 P i P i+1, P 0 P 1 P 2 P 3 P n 1 P n gdzie=t 0 <t 1 <...<t n 1 <t n =β orazp i = r(t i ),i=0,...,n. Twierdzenie 1.9 (wzór na długość łuku). Niech={[x(t),y(t)]: t β} będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wtedy długość łukuwyraża się wzorem = β [x (t)] 2 +[y (t)] 2 dt. Niech={[x(t),y(t),z(t)]: t β} będzie łukiem gładkim w przestrzeni. Wtedy długość łuku wyraża się wzorem = β [x (t)] 2 +[y (t)] 2 +[z (t)] 2 dt. UWAGA: W zapisie wektorowym powyższe wzory mają postać: = β r (t) dt. 5

6 Automatyka i Robotyka 2 Całki krzywoliniowe nieskierowane Rozważmy łuk gładki={ r(t):t,β }. A 0 A 2 A k t 1 t 2 t 3 t k t n =t 0 t 1 t 2 t 3... t k 1 t k... t n 1 t n=β A 1 t 1 t 2 t 3 t k t n r A n Oznaczenia w definicji całki nieskierowanej: P={t 0,t 1,t 2,...,t n }, gdzie=t 0 <t 1 <...<t n 1 <t n =β podział odcinka,β nan N odcinków; t k def =t k t k 1 długośćk-tego odcinka podziałup, gdzie1 k n; δ(p)= max 1 k n t k - średnica podziałup; T={t 1,t 2,...,t n}, gdziet k t k 1,t k dla1 k n zbiór punktów pośrednich podziałup A k (x(t k ),y(t k )) (luba k (x(t k ),y(t k ),z(t k ))) punkty podziału łukuindukowane przez podział P, gdzie0 k n; A k =(x k,y k )=(x (t k ),y (t k )) (luba k =(x k,y k,z k )=(x (t k ),y (t k ),z (t k ))) punkty pośrednie łuku A k 1 A k indukowane przez wybór punktów pośrednich podziałup, gdzie1 k n; t k l k = r (t) dt długość łukua k 1 A k, gdzie1 k n. t k 1 Definicja 2.1 (całka krzywoliniowa nieskierowana). Niech funkcjaf będzie ograniczona na łuku gładkim. Całkę krzywoliniową nieskierowaną z funkcjif po łuku definiujemy wzorem n f(x,y)dl def = lim f(x k,yk) l k, lub δ(p) 0 k=1 n f(x,y,z)dl def = lim f(x k,yk,z k) l k, δ(p) 0 k=1 o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziałup odcinka,β ani od sposobu wyboru punktów pośrednicht. Z z=f(x,y) Y X 6

7 Uwaga 1. Całkę krzywoliniową nieskierowaną z funkcjif po łukuoznaczamy też symbolem: fdl. Definicja 2.2 (całka krzywoliniowa nieskierowana po łuku kawałkami gładkim). Niechbędzie łukiem złożonym z łuków gładkich 1, 2,..., m oraz niechf będzie funkcją ograniczoną na łuku. Całkę krzywoliniową nieskierowaną z funkcjif po łuku definiujemy wzorem: o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. fdl def = fdl+ fdl+...+ fdl, 1 2 m Twierdzenie 2.3 (liniowość całki krzywoliniowej nieskierowanej). Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe nieskierowane z funkcjif ig po kawałkami gładkim łuku, to (f+g)dl= fdl+ gdl i (c f)dl=c fdl, gdziec R. Zamiana całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną Twierdzenie 2.4 (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę pojedyńczą). Jeżeli funkcjaf jest ciągła na łuku gładkim, to f(x,y)dl= β f(x(t),y(t)) [x (t)] 2 +[y (t)] 2 dt, gdy={[x(t),y(t)]: t β} oraz f(x,y,z)dl= β f(x(t),y(t),z(t)) [x (t)] 2 +[y (t)] 2 +[z(t)] 2 dt, gdy={[x(t),y(t),z(t)]: t β}. UWAGA: W zapisie wektorowym powyższe wzory mają postać: β f( r)dl= f( r(t)) r (t) dt. 7

8 Zastosowania całek krzywoliniowych nieskierowanych Długość łuku Długość łukuna płaszczyźnie lub w przestrzeni wyraża się wzorem: = dl. Pole pewnego" płata NiechΣoznacza powierzchnię boczną walca o tworzących przechodzących przez łuk R 2. Ponadto niech tworzące walca będą równoległe do osioz i w punkcie(x,y) mają długośćf(x,y) 0. Wtedy pole płataσwyraża się wzorem: Σ = f(x,y)dl Masa łuku Masa łuku materialnego na płaszczyźnie (lub w przestrzeni) o gęstości liniowej masy wyraża się wzorem: M= (x, y)dl lub M= (x,y,z)dl Momenty statyczne Momenty statyczne względem osi układu łuku materialnego R 2 o gęstości liniowej masy wyrażają się wzorami: MS x = y (x,y)dl, MS y = x (x,y)dl, Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych łuku materialnego R 3 o gęstości liniowej masy wyrażają się wzorami: MS xy = z (x,y,z)dl, MS xz = y (x,y,z)dl, MS yz = x (x,y,z)dl. Współrzędne środka masy Współrzędne środka masy łuku materialnego R 2 o gęstości liniowej masy wyrażają się wzorami: x C = MS y M, y C= MS x M. Współrzędne środka masy łuku materialnego R 3 o gęstości liniowej masy wyrażają się wzorami: Momenty bezwładności x C = MS yz M, y C= MS xz M, z C= MS xy M. Momenty bezwładności względem osiox,oy,oz łuku materialnego R 3 o gęstości liniowej masy wyrażają się wzorami: I x = (y 2 +z 2 ) (x,y,z)dl, I y = (x 2 +z 2 ) (x,y,z)dl, I z = (x 2 +y 2 ) (x,y,z)dl. Moment bezwładności względem punktuo(0,0,0)łuku materialnego R 3 o gęstości liniowej masy wyraża się wzorem: I O = (x 2 +y 2 +z 2 ) (x,y,z)dl. 8

9 3 Całki krzywoliniowe skierowane Polem wektorowym na obszarzed R 2 nazywamy funkcję wektorową F:D R 2 określoną wzorem: F(x,y)=[P(x,y),Q(x,y)], gdzie(x,y) D. Polem wektorowym na obszarzev R 3 nazywamy funkcję wektorową F:V R 3 określoną wzorem: F(x,y,z)=[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)], gdzie(x,y,z) V. Y 2 6 F(x,y) O X Z F(x,y) O Y X Jeżeli funkcjep,q lubp,q,r są ciągłe na obszarachdlubv, to mówimy, że pole wektorowe F jest ciągłe nadlubv. Jeżeli funkcjep,q lubp,q,r mają ciągłe pochodne nadlubv, to mówimy, że pole wektorowe F jest różniczkowalne w sposób ciągły nadlubv. 3.1 Definicje i własności całek krzywoliniowych skierowanych Łuk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec (kierunek), nazywamy łukiem skierowanym. Łuk skierowany oznaczamy tym samym symbolem co łuk. Łuk o skierowaniu przeciwnym do łukubędziemy oznaczamy przez. Jeżeli ze wzrostem parametru łuku skierowanego poruszamy się po nim w kierunku skierowania, to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna ze skierowaniem (lub przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek są zgodne), w przeciwnym przypadku mówimy, że parametryzacja łuku jest przeciwna do skierowania (lub przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek są niezgodne). Rozważmy łuk gładki ={ r(t): t, β } o przedstawieniu parametrycznym zgodnym z kierunkiem. A 0 A k t 1 t 2 t 3 t k t n =t 0 t 1 t 2 t 3... t k 1 t k... t n 1 t n=β t 1 t 2 t 3 t k t n r A n 9

10 Oznaczenia w definicji całki skierowanej: P={t 0,t 1,t 2,...,t n }, gdzie=t 0 <t 1 <...<t n 1 <t n =β podział odcinka,β nan N odcinków; t k def =t k t k 1 długośćk-tego odcinka podziałup, gdzie1 k n; δ(p)= max 1 k n t k - średnica podziałup; T={t 1,t 2,...,t n}, gdziet k t k 1,t k dla1 k n zbiór punktów pośrednich podziałup A k (x(t k ),y(t k )) (luba k (x(t k ),y(t k ),z(t k ))) punkty podziału łukuindukowane przez podział P, gdzie0 k n; (x k,y k ) = (x (t k ),y (t k )) (lub(x k,y k,z k ) = (x (t k ),y (t k ),z (t k ))) punkty pośrednie łuku A k 1 A k indukowane przez wybór punktów pośrednich podziałup, gdzie1 k n; def r k = def A k 1 A k (tzn. r k =[ x k, y k ] lub r k =[ x k, y k, z k ], gdzie x k =x(t k ) x(t k 1 ), def def y k =y(t k ) y(t k 1 ), z k =z(t k ) z(t k 1 ) oraz1 k n. Definicja 3.1 (całka krzywoliniowa skierowana). NiechF będzie polem wektorowym określonym na łuku skierowanym( R 2 lub R 3 ). Całkę krzywoliniową skierowaną z pola wektorowegof po łuku definiujemy wzorem n P(x,y)dx+Q(x,y)dy def = lim (P(x k,y k ) x k+q(x k,y k ) y k), P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz def = lim δ(p) 0 k=1 δ(p) 0 k=1 lub n (P(x k,yk,z k) x k +Q(x k,yk,z k) y k +R(x k,yk,z k) z k ) o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału P odcinka,β ani od sposobu wyboru punktów pośrednicht. Uwaga 2. Całkę krzywoliniową skierowaną z z pola wektorowegof po łukuoznaczamy też symbolem: Pdx+Qdy lub Pdx+Qdy+Rdz. UWAGA: W zapisie wektorowym całkę krzywoliniową skierowaną z pola wektorowego F po łuku oznaczamy też symbolem: F d r, gdzied r def =[dx,dy] lubd r def =[dx,dy,dz]. Definicja 3.2 (całka krzywoliniowa po sumie łuków skierowanych). Niech łuk skierowanybędzie sumą łuków skierowanych 1, 2,..., m, przy czym koniec łuku k jest początkiem łuku k+1, gdzie1 k m 1. Ponadto niechf będzie polem wektorowym określonym na łuku. Całkę krzywoliniową skierowaną z polaf po łuku definiujemy wzorem: F d r def = o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. F d r+ F d r+...+ F d r, 1 2 m 10

11 UWAGA: Jeżeli łuk skierowany jest zamknięty, to wtedy piszemy: w miejsce. Twierdzenie 3.3 (liniowość całki krzywoliniowej skierowanej). Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe skierowane z pól wektorowychf ig po kawałkami gładkim łuku skierowanym, to Ponadto ( F+ G ) d r= F d r= F d r+ G d r i ( ) c F d r=c F d r, gdziec R. F d r, gdzie jest łukiem przeciwnie skierowanym do łuku. Twierdzenie 3.4 (zależność między całkami krzywoliniowymi). Niech pole wektorowef będzie ciągłe na łuku gładkim. Wtedy P(x,y)dx+Q(x,y)dy= [P(x,y)cos+Q(x,y)cosβ]dl, P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz= lub [P(x,y,z)cos+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ]dl. Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńczą Twierdzenie 3.5 (o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńczą). Jeżeli pole wektorowe F jest ciągłe na łuku gładkim, którego skierowanie jest zgodne z parametryzacją, to oraz P(x,y)dx+Q(x,y)dy= P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz= β gdy={[x(t),y(t),z(t)]: t β}. UWAGA: W zapisie wektorowym powyższe wzory mają postać: [ P(x,y)x (t)+q(x,y)y (t) ] dt, gdy={[x(t),y(t)]: t β} β [ P(x,y,z)x (t)+q(x,y,z)y (t)+r(x,y,z)z (t) ] dt F( r) d r= β [ F( r(t)) r (t)] dt. Niezależność od drogi całkowania Pole wektorowe F określone na obszarzed R 2 lubv R 3 nazywamy potencjalnym, gdy istnieje funkcjau:d R lubu:v R, taka że F=gradu. Funkcjęunazywamy potencjałem pola wektorowego F. 11

12 Twierdzenie 3.6 (całka krzywoliniowa z pola potencjalnego). Niech pole wektorowef będzie ciągłe i ma potencjałuna obszarzed R 2 lubv R 3. Wtedy P(x,y)dx+Q(x,y)dy=u(x B,y B ) u(x A,y A ), ÃB gdyãb dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o początkua(x A,y A ) i końcub(x B,y B ), całkowicie zawarty w obszarzed oraz P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=u(x B,y B,z B ) u(x A,y A,z A ) gdyãb dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o początkua(x A,y A,z A ) i końcub(x B,y B,z B ), całkowicie zawarty w obszarzev. Twierdzenie 3.7 (warunek konieczny i wystarczający potencjalności pola). (I) Niech pole wektorowe F=[P,Q] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłymd R 2. Wówczas pole wektorowe F jest potencjalne nadwtedy i tylko wtedy, gdy P y (x,y)= Q (x,y), dla każdego(x,y) D. x (II) Niech pole wektorowe F=[P,Q,R] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym V R 3. Wówczas pole wektorowe F jest potencjalne nav wtedy i tylko wtedy, gdy P y (x,y,z)= Q x (x,y,z), P z (x,y,z)= R x (x,y,z), Q z (x,y,z)= R (x,y,z), dla każdego(x,y,z) V. y Niech pole wektorowe F =[P,Q,R] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym V R 3. Rotacją pola wektorowego F nazywamy pole wektorowe określone wzorem: rot F def = i j k x y z = P Q R ( ) ( ) ( ) R P Q y Q i+ z z R j+ x x P k. y Twierdzenie 3.8. Pole wektorowe F=[P,Q,R] jest potencjalne na obszarsze wypukłymv R 3 wtedy i tylko wtedy, gdy rot F= 0. Twierdzenie Greena Niechbędzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym (bez samoprzecięć) na płaszczyźnie, tzn. krzywą Jordana. Mówimy, że krzywajest skierowana dodatnio względem swego wnętrzad, gdy podczas ruchu po łukuwkierunku jego skierowania obszardleży cały czas po lewej stronie łuku. W przeciwnym przypadku mówimy, że krzywajest skierowana ujemne względem swego wnętrzad. Y Y 2 1 D D 2 1 O X O X 1 - dodatnio skierowany względem obszarud ujemnie skierowany względem obszarud 2 12

13 Twierdzenie 3.9 (wzór Greena). Jeżeli obszar domkniętyd R 2 będzie będzie obszarem normalnym (wzgledemox ioy ) brzegtego obszaru jest skierowany dodatnio względem wnętrza pole wektorowe F=[P,Q] będzie różniczkowalne w sposób ciągły nad, to P(x,y)dx+Q(x,y)dy= D ( ) Q x P y UWAGA: Wzór Greena także jest prawdziwy dla obszaru D, który można podzielić na skończoną liczbę obszarów normalnych (względem obu osi). dxdy Cyrkulacją pola wektorowego F po łuku zamkniętym skierowanymnazywamy F d r. Zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych Pole obszaru Pole obszarud R 2 ograniczonego łukiem zamknietym kawałkami gładkim, dodatnio skierowanym względem swego wnętrzadwyraża się wzorem: D = ydx= xdy= 1 xdy ydx. 2 Praca w polu wektorowym Praca w polu wektorowymf wykonana wzdłuż łuku skierowanegood punktu początkowego do końcowego wyraża się wzorem: W= F d r. Ilość umownej płaskiej cieczy" Ilość umownej płaskiej cieczy" przepływającej w jednostce czasu przez łuk skierowany wyraża się wzorem: A= Q(x,y)dx P(x,y)dy, gdzie v(x, y) =[P(x, y), Q(x, y)] oznacza prędkość przepływu cieczy w punkcie(x, y) tego łuku. 13