Drgaia sieci krystaliczej FONONY 1. model klasyczy (iekwatowy) a) model ośrodka ciągłego (model Debye a) - przypadek jedowymiarowy - drgaia struy drgaia mogą być podłuże (guma, sprężya) i dwie prostopadłe do siebie fale podłuże podłuże: poprzecze fale opisae przez rówaie falowe: u x 1 v u t u(x,t) - odkształceie, v - prędkość rozchodzeia się odkształceń (charakterystycza dla daego ośrodka) dla struy o długości L i usztywioych końcach - fale stojące u( x, t) Asi( kx)cos( ωt) A amplituda, k π / L, λ / L,
(ajwiększe λ / L ; zauważmy zbieżość k z wektorem falowym dla swobodych elektroów w 1D w studi o długości L ) liiowa zależość ω( k ), ω vk, v prędkość ( vλω/π ) ω - opisuje jak zmieia się u w ustaloym miejscu (x) w fukcji czasu t k - opisuje jak wygląda periodycze odkształceie w przestrzei dla zamrożoej chwili czasu t w trójwymiarowym ośrodku sprężystym (3D), rozwiązaie dla fali biegącej jest u( r, t) Aexp[ i( kr ωt)] (fale poprzecze i podłuże mogą charakteryzować się iymi v ) Model drgających węzłów atomowych (Bor, Karma, Blackma) jedowymiarowa sieć mooatomowa (łańcuch 1D) załóżmy drgaia podłuże drgający ruch atomów wokół położeń rówowagi atomów ajważiejsze jest przybliżeie HARMONICZNE eergia oddziaływaia dwóch joów (p. H + )
w otoczeiu położeia rówowagi (tz. dla małych wychyleń) moża opisać za pomocą paraboli oscylator harmoiczy; eergia potecjala będzie zatem kwadratową fukcją wychyleia, a co za tym idzie siła działająca a każdy (-ty) węzeł będzie liiowo proporcjoala do wychyleia, tz. będzie liiowo zależa od tego jak skrócą się lub wydłużą sąsiedie sprężyki F α ( u u) + ( u 1 + 1 α u po wstawieiu do rówaia Newtoa : (A) ) m d u dt α[( u+ 1 u) ( u u 1)] dla każdego 0, 1,..., N możemy zażadać aby węzły brzegowe były ieruchome, lub wprowadzić periodycze waruki brzegowe: U(0) U(N) rozwiązaia szukamy w postaci u u * exp[ i (ka - ωt) ] (B) periodyczy waruek brzegowy (knaπ) daje k π / (Na) a odległość spoczykowa między węzłami wstawieie (B) do (A) daje α ω si( ka / m )
(aalogiczie dla drgań poprzeczych, ie α ) różice w stosuku do modelu ciągłego ośrodka - ω (k) ie jest liiowe - istieje ω max! czym jest ω max? jak wówczas drgają węzły? prędkość grupowa: v g dω / dk - prędkość przemieszczaia się paczki falowej (sygału, wychyleia od położeia rówowagi) jest teraz fukcją k v g α a m cos( ka / )
prędkość fali biegącej o ω max jest 0 1. jedowymiarowa sieć dwu-atomowa (łańcuch 1D z bazą) - dwie róże masy : m, M - N komórek elemetarych - N atomów iech: U - wychyleie atomu o masie m v - wychyleie atomu o masie M załóżmy takie same stałe siłowe dla każdej sprężyy rówaia wyglądają tak: d v M α( u + 1 dt d u m dt α + u ( v + v 1 v u rozwiązaia muszą mieć podobą postać jak poprzedio; szukając w postaci ) ) u v u exp[ i(ka ωt)] v exp[ i(( + 1) ka ωt)] wstawieie do rówań da dwa rozwiązaia a częstotliwość
m + M m + M si ( ka) ω α... cwiczeia... mm ± mm mm 1/ dwie gałęzie (pasma możliwych częstości drgań): akustycza - (k 0) u v optycza - (k 0) mu - Mv pamiętajmy, że pasma (podobie jak dla elektroów) przy periodyczych warukach brzegowych sprowadzają się z dużej liczby gęsto położoych wartości ω(k) [ gęste ale dyskrete k -> gęste ale dyskrete ω ] [ dla k 0, cos(ka) 1 (ka) / ] dla małych wychyleń: drgaia akustycze (obydwa atomy w fazie)
drgaia optycze (joowe wiązaie drgający dipol elektryczy, drgaia podobe do drgań oscylacyjych molekuły dwu-atomowej podczerwień) ω α k 0 - gałąź optycza µ (µ - masa zredukowaa) gałąź akustycza UWAGA! - WAŻNE (przy adprzewodictwie) ω α / m + M ka zauważmy, że częstość drgań (tym samym też eergia) zależą od masy jak m -1/ w rzeczywistych kryształach dla drgań każdego typu (akustyczego i optyczego) mogą być róże gałęzie dla modów poprzeczych i podłużych (omeklatura) Przykłady Krzem KBr Kwatowaie fal sprężystych fooy
Gdy mamy Z atomów w komórce elemetarej (umerujmy je ideksem s) to rówaia a ich wychyleia M s u s szukając rozwiązań typu s' us s po wsatwieiu otrzymamy G u ( k k u k ss' ( ) s' ( ) i t )e ω { jj' G k } j' ( ) ω M δ δ u ( k 0 ) s' j' j - składowe kartezjańskie ss ' s ss' jj' s' (XX) jest to układ rówań a 3z rozwiązując dostaiemy iewiadomych (z atomów w komórce) 3z wartości ω i (zależych od k ) te właśie ω i - to mody ormale - oczywiście zależą od k, ω i (k) moża pokazać, że eergię całkowitą drgającej sieci, E ki + V, w takim przybliżeiu HARMONICZNYM moża zapisać jako E ( i) 1 duˆ ( i) + ( ωi ) uˆ k, i dt u z daszkiem - ozacza rozwiązaia (XX) (XXX) (XXX) ma postać eergii układu oscylatorów harmoiczych przechodząc do opisu kwatowego będziemy mieli
układ kwatowych oscylatorów harmoiczych (KOH) z eergią i 1 E s ks + ωi ki s - ozacza sta układu (KOH) s - ilość fooów w staie k,i ( i umeruje mod ormaly)... trochę dodać o iterpretacji kwazicząstek jako wzbudzeń...