DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE Jacek Kwiakowski Magdalena Osińska Uniwersye Mikołaja Kopernika Procesy zawierające sochasyczne pierwiaski jednoskowe idenyfikacja i zasosowanie.. Wsęp Większość lieraury związanej z analizą szeregów czasowych doyczy procesów w kórych sopień inegracji jes sały. Powszechnie znany w lieraurze przedmiou model ARIMA (Box i Jenkins, 983) przyjmuje, że niekóre pierwiaski wielomianu charakerysycznego leżą na kole jednoskowym. Zakłada się również, że wszyskie pierwiaski przyjmują sałe warości, czyli nie podlegają zmianom w czasie. Najprosszym przykładem akiego procesu jes model błądzenia przypadkowego określany jako proces zinegrowany sopnia pierwszego, zawierający jeden pierwiasek jednoskowy. Okazuje się jednak, że isnieje porzeba (Granger i Swanson, 997; Sollis i in., 000) analizy procesów o zmiennym sopniu inegracji, w kórych pierwiaski wielomianu charakerysycznego oscylują w czasie wokół jedynki i przyjmują czasem warości znajdujące się na kole jednoskowym, a czasem poza nim. Modele e określa się jako modele ze sochasycznym pierwiaskiem jednoskowym (ang. sochasic uni roo processes; STUR). W modelach ych zakłada się zmienność paramerów w czasie, a ym samym zmienność pierwiasków wielomianu charakerysycznego. Badana klasa procesów, była po raz pierwszy rozważana w lieraurze w połowie la 90-ych (por. Leybourne, McCabe i Mills, 996; Leybourne, McCabe i Tremayne, 996; Granger i Swanson, 997). Z uwagi na rozparywaną u w ujęciu dynamicznym losowość paramerów, modele ze sochasycznym pierwiaskiem jednoskowym można również rakować jako szczególny przypadek znanych już w wcześniejszej lieraurze modeli ze zmiennym paramerem; por. Judge i in. (985).
Jacek Kwiakowski Magdalena Osińska. Posać modelu i esymacja MNW. Procesy ypu STUR (sochasic uni roos) można zapisać w posaci ogólnej jako: y = α y + ε, () gdzie: α = α 0 +, δ δ 0 = 0, δ = ρδ + η, () przy czym ρ. Ponado ε ~ N(0, ) i η ~ N(0, ) są od siebie niezależne. Dla α 0 = i = 0, y jes procesem błądzenia losowego. Jeśli α 0 = i > 0 o mamy do czynienia z procesem, kórego średnia zawiera pierwiasek jednoskowy, i kóry jes nazywany procesem ze sochasycznym pierwiaskiem jednoskowym. Analizowana w dalszej części pracy posać modelu ze sochasycznym pierwiaskiem jednoskowym ma posać: y = δ y + ε, (3) δ = ρδ + η, (4) gdzie y oznacza obserwowany proces w czasie, naomias ε i η oznaczają ak jak poprzednio niezależne względem siebie gaussowskie białe szumy o średniej zero i wariancji równej i. Równanie (3) można przedsawić w równoważnej formie, mianowicie y ( + δ ) y + ε =. (5) = Gdy ρ = 0 i 0 o paramer δ dla wszyskich przyjmuje warości równe zero i orzymujemy proces błądzenia przypadkowego. Użyecznym narzędziem do esymacji paramerów modelu (3)-(4) jes meoda największej wiarygodności opara o filr Kalmana i związany z nim model przesrzeni sanów. Niech z oznacza ( n ) wymiarowy wekor obserwowanych zmiennych w czasie. Model przesrzeni sanów można zapisać jako (Harvey, 989; Hamilon, 994; Górka, 997):
Procesy zawierające sochasyczne pierwiaski... 3 z = H ξ + w, (6) = ξ ξ F + v. (7) gdzie równanie (8) określa się jako wyjścia lub obserwacji, równanie (7) jes równaniem sanu, ξ oznacza ( r ) wymiarowy wekor sanu, F i H są n r. Wekory kolejno macierzami sanu oraz wyjścia o wymiarach ( r) v o wymiarach ( n ) oraz ( ) w i mianowicie r i ( ) r są wekorami białych szumów, ( w w ) R E τ = 0 dla = τ dla τ Q E τ = 0 i ( v v ) dla = τ, dla τ gdzie R i Q są macierzami o wymiarach ( n n) i ( r r). Dodakowo zakłada się niezależność wekorów w i v. Oznaczmy przez ˆ ξ wekor sanu oszacowany w oparciu o informacje dosępne w chwili oraz przez W wariancję ego oszacowania W [( ˆ ξ )( ˆ ξ ξ )] ξ. (8) = E Załóżmy, że chcemy esymować ξˆ w oparciu o ξ. Korzysając z równania (7) prognozą ξ oznaczoną przez ˆ ξ jes ˆ ˆ ξ Fξˆ, (9) = naomias wariancja błędu predykcji wynosi: [( ˆ ξ )( ξ ˆ ) ] = FW F Q W = E ξ ξ +. (0) ˆ Prognozę z przy danym ξ uzyskuje się z równania (6): zˆ ˆ ξ () = H z błędem równym = z zˆ u ()
4 Jacek Kwiakowski Magdalena Osińska i jego wariancją ( u ) = H W H R K E u + =. (3) Korzysając z własności wielowymiarowego rozkładu normalnego, oczekiwaną warości ξ przy danym z można uzyskać z równania ( z H ˆ ξ ) ˆ ξ ˆ, (4) = ξ + W H K z wariancją równą: = W W H K H W W. (5) Filr Kalmana oblicza zaem prognozę ξ w sposób rekurencyjny, przyjmując warości począkowe dla W 0 i ξ 0. Dalsze szczegóły na en ema filru Kalmana można znaleźć m.in. w pracy Hamilona (994). Jeżeli począkowy wekor sanu ξ oraz w i v mają wielowymiarowe rozkłady normalne o warunkowy rozkład z względem wcześniejszych obserwacji Z ( z, z, z ) =..., i nieznanych warości paramerów θ znajdujących się w F, Q i R jes również rozkładem normalnym ze średnią i wariancją daną odpowiednio w punkcie () i (3) ( H ˆ H W H R) z Z, θ ~ N ξ, +. Oznaczając przez T liczbę obserwacji, logarym funkcji wiarygodności dla obserwacji w chwili można zapisać: ln L n = ln( π ) ln K u K u dla =,..., T. (6) Wykorzysując modele przesrzeni sanów, równanie (3) można rakować jako równanie obserwacji, naomias równanie (4) jako równanie sanu. Oznaczmy przez θ wekor paramerów w modelu (3)-(4), mianowicie θ = ( ρ,, ). Nieznane warości paramerów uzyskuje się więc poprzez maksymalizację funkcji wiarygodności.
Procesy zawierające sochasyczne pierwiaski... 5 3. Tesowanie sochasycznych pierwiasków jednoskowych Hipoezy w eście LMT (Leybourne, McCabe i Tremayne) doyczą wariancji, czyli modelu zmienności paramerów. H 0 : = 0 (oznacza błądzenie przypadkowe lub w uogólnionym przypadku ARIMA(p,,0)) H : > 0. Rozważa się przyjęcie różnych formuł esu zależnie od modelu będącego podsawą badania. W celu uniknięcia wpływu ewenualnego rendu deerminisycznego, auorzy proponują rozszerzenie modelu o rend liniowy lub -go sopnia. Ponado możliwe jes rozszerzenie specyfikacji równania poprzez włączenie do modelu opóźnionych warości zmiennej endogenicznej. Procedura esowania przebiega w nasępujący sposób: Niech y * * = y α + ε, (7) gdzie y * = y P p = ϕ y, (8) i przy czym P jes składnikiem deerminisycznym, np. rendem posaci P = β + γ + θ ( + ) / lub P = β + γ, naomias część auoregresyjna w (7) jes sacjonarna i pełni rolę podobną jak rozszerzenie w eście ADF (Augmened Dickey Fuller). Jeżeli w H ρ <, o saysykę Z oblicza się na podsawie nasępującej zależności, oszacowanej KMNK y = P + p i= ϕ y. (9) i + ε Saysyka Z ma posać: Z = T 3 T κ εj ( ε ), (0) = j= gdzie: T T = T ε oraz = T ( ε ) = κ. =
6 Jacek Kwiakowski Magdalena Osińska Zależnie od wyboru posaci rendu P lub P oznacza się ją jako Z lub Z. Tes jes odporny na ransformację logarymiczną oraz efek ARCH, z wyjąkiem IGARCH (por. Granger i Swanson, 997). Warości kryyczne generowane przy założeniu zerowej kowariancji pomiędzy ε i ε dla wybranych poziomów isoności zosały przedsawione w ablicy. Tablica. Wybrane warości kryyczne esu LMT. T p = 0, 0 p = 0, 05 p = 0, 50 0,349 0,5 0,6 00 0,30 0,9 0,4 50 0,89 0,68 0, 500 0,78 0,6 0,4 000 0,6 0,49 0,04 Źródło: Leybourne, McCabe i Tremayne (996) oraz Granger i Swanson (997). 4. Próbkowe własności esymaora MNW. Badania własności próbkowych esymaorów przedsawionych w drugim punkcie dokonano za pomocą symulacji Mone Carlo. W ym celu wygenerowano 000 realizacji procesu opisanego równaniami (3) (4), a nasępnie esymowano jego paramery maksymalizując funkcję największej wiarygodności przedsawioną w punkcie drugim. Badane szeregi składały się ze 00, 50 i 500 obserwacji. W oparciu o uzyskane wyniki dla każdego parameru obliczono współczynnik zmienności, kóry jes ilorazem próbkowego odchylenia sandardowego i średniej arymeycznej badanego esymaora. Tablica przedsawia obliczone na podsawie ocen paramerów współczynniki zmienności: D ( θˆ )/ E( θˆ ), dodakowo w celu zbadania próbkowego obciążenia esymaorów obliczono iloraz próbkowej średniej arymeycznej i prawdziwej warości parameru [ ( ˆ E θ )/ θ ], przy różnych warościach. Analizując wyniki zamieszczone w ablicy można swierdzić, że meoda największej wiarygodności pozwala uzyskać sosunkowo dobre wyniki szczególnie dla dużej próby j. T = 500. Najdokładniejsze wyniki uzyskano dla wariancji składnika losowego w równaniu obserwacji. W porównaniu z pozosałymi paramerami wydają się być najbardziej zbliżone do prawdziwych warości, zarówno ze względu na relaywnie małą próbkową wariancję jak i obciążenie. Najmniej dokładne wyniki orzymano dla wariancji składnika losowego w równaniu sanu. W przeważającej większości są znacznie gorsze niż dla pozosałych paramerów, szczególnie dla małej próby T = 00. Warość
Procesy zawierające sochasyczne pierwiaski... 7 wariancji składnika losowego ma również zasadniczy wpływ na dokładność uzyskiwanych wyników dla pozosałych paramerów, mianowicie porównując wyniki orzymane przy różnych warościach można swierdzić, że dla mniejszej warości wariancji składnika losowego uzyskane wyniki dla wszyskich paramerów charakeryzują się większą wariancją i obciążeniem. 5. Analiza procesu STUR na przykładzie indeksu WIG0. W zakresie esowania i esymacji procesów ze sochasycznym pierwiaskiem jednoskowym, analizie poddano ygodniowy kurs indeksu WIG0 od lipca 94 do końca marca 00. Analizowany szereg składał się zaem z 380 obserwacji ygodniowych. Warość saysyki Z dla ego szeregu wyniosła 0,9, co przy 5% procenowym poziomie isoności może wskazywać, że jes o proces, kórego średnia zawiera pierwiasek jednoskowy. Wyniki ocen paramerów uzyskane w poparciu o przedsawioną wcześniej meodę największej wiarygodności dały nasępujące punkowe oceny paramerów: ρ = -0.08794, =.5464E - 06, =.399. Rysunek przedsawia punkową ocenę parameru α = + δ, kórą uzyskano za pomocą filru Kalmana. Orzymane wyniki są zbieżne z wynikami publikowanymi w pracy Sollis i in. (000) dla danych giełdowych. Rysunek. Punkowa ocena parameru α = + δ dla Wig0..05.00.005.000 0.995 0.990 0.985 58 5 7 9 86 343 Źródło: Obliczenia własne.
8 Jacek Kwiakowski Magdalena Osińska Tablica. Wyniki esymacji MNW przeprowadzonej w oparciu o symulację Mone Carlo dla 000 powórzeń na szeregach o długości 00, 50 i 500. W abeli zamieszono obliczone na podsawie ocen paramerów współczynniki zmienności: D ( θ ˆ ) / E ( θ ˆ ), (syl E θ ˆ / θ (kursywa). sandardowy czcionki) oraz iloraz próbkowej średniej arymeycznej i prawdziwej warości parameru [ ( ) ] T = 00 T = 50 T = 500 T = 00 T = 50 T = 500 ρ = 0, = 0,0 =.43; -0.085 0.835; 0.40 0.37;-0.049.33; -0.03 0.377; -0.04 0.55; 0.004 0.60; -0.063 0.00; -0.07 0.3; 0.08 ρ = 0, = 0,00 =.775;-0.056.64; 4.97 0.88; -0.37.635; -0..395; 0.703 0.30; -0.043.76; 0.0 0.86; 0.086 0.097; 0.0 ρ = 0,6 = 0,0 = 0.606; -0.09 0.79; 0. 0.4; -0.077 0.83; -0.039 0.30; 0.09 0.68; -0.000 0.08; -0.06 0.74; 0.044 0.38; 0.05 ρ = 0,6 = 0,00 = 0.764; -0.5.035; 3.97 0.869; -0.30 0.66; -0.089.9; 0.467 0.6; -0.04 0.40; -0.045 0.685; 0.066 0.095; -0.07 ρ = 0,9 = 0,0 = 0.; -0.096 0.799; 0.39 0.335; -0.03 0.054; -0.044 0.46; 0.45 0.89; -0.0 0.03; -0.033 0.39; 0.5 0.3; -0.007 ρ = 0,9 = 0,00 = 0.3; -0.3.9;.698 0.98; -0.34 0.64; -0.049.8; 0.50 0.30; -0.050 0.063; -0.08 0.93; 0.055 0.09; -0.08 Źródło: obliczenia własne.
Procesy zawierające sochasyczne pierwiaski... 9 6. Lieraura. Box G.E.P., G.M. Jenkins (983), Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i serowanie, Wydawnicwo Naukowe PWN. Cuhberson K., S.G.Hall, M.P. Taylor (99), Applied Economeric Techniques, Philip Allan. Górka J., (997), Reprezenacja ARMA i reprezenacja przesrzeni sanów szeregów czasowych, maeriały na V Ogólnopolskie Seminarium Naukowe p.: Dynamiczne modele ekonomeryczne, Toruń. Granger C.W.J., N.R. Swanson (997), An inroducion o sochasic uni-roo process. Journal of Economerics 80. Granger C.W.J., T. Terasvira (993), Modeling Nonlinear Economic Relaionships, Oxford Universiy Press. Hamilon J.D., (994), Time Series Analysis, Princeon Universiy Press. Harvey, A.C. (989), Forecasing, Srucural Time Series Models and he Kalman Filer, Cambridge Universiy Press. Judge, G. G., W. E. Griffihs, R. C. Hill, H. Lükepohl, and T.C. Lee (985), The Theory and Pracice of Economerics, John Wiley & Sons. Leybourne S.J., B.P.M. McCabe, T.C. Mills (996), Randomized uni roo processes for modeling and forecasing financial ime series: heory and applicaions, Journal of Forecasing 5. Leybourne S.J., B.P.M. McCabe, A.R Tremayne (996), Can economic ime series be differenced o saionariy?, Journal of Business and Economic Saisics 4. Maddala G.S., I-M Kim (00), Uni Roos, Coinegraion and Srucural Change, Cambridge Universiy Press. Sollis R., S.J. Leybourne, P. Newbold (000), Sochasic uni roos modeling of sock price indices, Applied Financial Economics 0. Taylor A.M.R, D. van Dijk (999), Tesing for Sochasic Uni Roos. Some Mone Carlo Evidence, Economeric Insiue Research Repor EI-99/A.