Plan wykładu Ruch drgajacy 1 Przykłady zastosowań dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 01/13 Drgania wymuszone 3 Drgania zachodzace w tym samym kierunku 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania harmoniczne... Drgania oscylacje) to cykliczna zmiana pewnej wielkości w czasie. Ruch okresowy periodyczny) to ruch drgajacy charakteryzujacy się powtarzalnościa wielkości fizycznych np. wychylenia), określajacych ten ruch w regularnych odstępach czasu. to ruch okresowy, dla którego siła działajaca na ciało jest proporcjonalna do przemieszczenia wychylenia) F= k x k jest współczynnikiem proporcjonalności. Z II zasady dynamiki Newtona ma= k x a= k m x Częstość kołowa w ruchu harmonicznym a= d x = k dt m x. ω 0= k m. 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 4 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy
Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... a= d x dt = ω 0 x. Rozwiazanie równania ruchu harmonicznego xt)=a cosω 0t+φ 0) Ajest amplituda,φ 0 jest faza poczatkow a, ω 0= k m jest częstościa drgań własnych harmonicznych) układu. Okres drgania to najmniejszy czas, po którym faza drgania zmieni się oπ ω 0T=π. cosα+π)=cosα) Ponadto ω 0T=π ω π 0= T T= π m =π ω 0 k. Odwrotnościa okresu jest częstotliwość drgańf= 1 i T Jednostka częstotliwości jest hertz: ω 0=πf. 1Hz= 1 s. Dla fazy poczatkowejφ 0= π : xt)=a cosω 0t π )=A sinω0t). 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne... Energia w ruchu harmonicznym Prędkość w ruchu harmonicznym vt)= dxt) = d ) A cosω 0t+φ 0) dt dt vt)= ω 0A sinω 0t+φ 0) vt)= v max sinω 0t+φ 0). Przyspieszenie w ruchu harmonicznym at)= dvt) = d ) ω 0A sinω 0t+φ 0) dt dt at)= ω0a cosω 0t+φ 0) at)= a max cosω 0t+φ 0) at)= ω 0 xt). Energia kinetyczna w ruchu drgajacym E k = mv Energia potencjalna = m A ω 0sin ω 0t+φ 0). E p= kx =k A cos ω 0t+φ 0). Energia całkowita E=E k +E p= m A ω 0sin ω 0t+φ 0)+ + k A cos ω 0t+φ 0)= = ka E= ka. sin ω 0t+φ 0)+cos ω 0t+φ 0) ). 7 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 8 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy
Energia w ruchu harmonicznym... Wahadło matematyczne Przykłady zastosowań Zasada zachowania energii mechanicznej E= E k + E p=0. Jeżeli katϕjest bardzo mały, to sinϕ =ϕ F= mg sinϕ =mg ϕ. Przemieszczenie wzdłuż łuku wynosi wówczas x=lϕ F= mgϕ= mg x L = mg L x. Dla małej amplitudy mg L =k dlatego okres drgań wahadła T=π m k =π L g. 9 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 10 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Inne wahadła Przykłady zastosowań tłumiony Wahadło fizyczne to rzeczywiste wahadło o skomplikowanym rozkładzie masy o okresie drgań I T=π mgd I jest momentem bezwładności wahadła. Obrót krażka w wahadle torsyjnym M= κθ. Okres drgań I T=π κ κjest momentem kierujacym wahadła. Rzeczywisty oscylator harmoniczny jest tłumiony, bo np. sprężyna nie drga w nieskończoność, tylko po pewnym czasie wytraca swoja energię np. w postaci ciepła. W układzie fizycznym zazwyczaj występuja siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. 11 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy
tłumiony... tłumiony... Siła hamujac a tłumiac a) ruch czastki jest siła oporu ośrodka. Równania ruchu tłumionego b współczynnik oporu ośrodka, współczynnik tłumienia. β= b m F op= b v F= k x F op m a= k x b v m d x = k x b dx dt dt d x b = k dt m x m dx dt d x = ω dt 0 x β dx dt Rozwiazanie równania ruchu tłumionego β= b m Jeżeli amplituda drgań gasnacych to At)=A 0 e βt xt)=at) cosω tt+φ). Okres drgań tłumionych T= π π = ω t ω 0 β. xt)=a 0 e βt cosω tt+φ) jest współczynnikiem tłumienia 13 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 14 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy tłumiony... Energia w ruchu tłumionym Częstość drgań tłumionych Możliwe przypadki: ω t= ω 0 β 1 ω 0 β >0 tzw. słabe tłumienie, ω 0 β =0 tłumienie krytyczne, 3 ω 0 β <0 układ nie wykonuje drgań, ale wraca do stanu równowagi w sposób aperiodyczny. Energia ruchu tłumionego Et)= 1 ka = 1 k A 0 e b m t ) = = 1 ka 0 e b m t = = 1 ka 0 e t τ czas relaksacji, czyli czas po którym energia układu maleje e-razy τ= m b. Szybkość zmian energii de dt = d 1 dt ka = 1 ka 0 d dt = 1 τ E. 0 e t τ e t τ ) = ) = 1 ka 0 1 ) ) e t τ = τ Układ tłumiony traci tyle samo energii w jednakowych odstępach czasu. 15 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 16 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy
Drgania wymuszone Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego Jeżeli na układ drgajacy wpływa inny układ drgajacy tzw. siła wymuszajaca), to drgania nazywa się wymuszonymi. Gdy zewnętrzna siła nie występuje drganiami swobodnymi. Siła wymuszajaca to siła powodujaca drgania z częstościa siły zewnętrznej Równania ruchu wymuszonego Ft)=F 0 cosω wt). m a+k x+b v= Ft) m d x +k x+b dx dt dt =Ft) d x dt+ω 0 x+β dx dt =α0 cosωw t) α 0= F0 m Drgania wymuszone Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego... Rozwiazanie równania ruchu wymuszonego Jeżeliω w=0iφ=0, to xt)=a w cosω wt φ) A w= α 0 ω 0 ω w) +4β ω w tgφ= βωw ω 0 ω w A o= α0, ω0 jest statycznym wychyleniem z położenia równowagi pod działaniem siłyf 0. Dlaω w amplitudaa 0,tgφ 0, aφ π. 17 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 18 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Rezonans Rezonans... ) da Amplituda osiaga wartość maksymalna w dω w =0 dla częstości rezonansowej ω r= ω0 β, i wynosi α 0 A r= β ω0 β. Przy słabym tłumieniu częstość rezonansowaω r jest bardzo bliska częstości drgań własnych układuω 0. Zjawisko rezonansu mechanicznego to szybki wzrost amplitudy wymuszonych drgań mechanicznych przy zbliżaniu się częstości siły wymuszaj acej do wartościω r. Przykładem układu, w którym występuje rezonans mechaniczny słabo tłumiony, jest układ wahadeł sprzężonych. Gdy współczynnikβ rośnie, to maksima krzywych rezonansowych szybko maleja, aω r przesuwa się w stronę niższych częstości. Tłumienie ma silny wpływ na wartość kata przesunięcia fazowego pomiędzy siła wymuszajac a a odpowiedzia układu, jego przemieszczeniem. 19 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 0 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy
Rezonans... Dudnienia Drgania zachodzace w tym samym kierunku Rezonans dobry i zły Tańczace na plastrze pszczoły. Silnik np. samochodu) przy pewnych prędkościach będzie powodował rezonans mechaniczny w elementach karoserii pojazdu lub urzadzenia. Mosty lub inne obiekty budowlane moga wejść w stan rezonansu mechanicznego pod wpływem uderzeń wody, wiatru lub drgań powstałych w wyniku poruszania się po nich innych obiektów mechanicznych. Budowle moga ulec zniszczeniu pod wpływem rezonansu powstałego w wyniku drgań ziemi lub wiatru. 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Najprostszym przykładem dodawania ruchów harmonicznych jest dodawanie ruchów odbywajacych się wzdłuż jednej prostej. Zasadę superpozycji można zastosować dla drgań x 1t)=A cosω 1t+φ 0), x t)=a cosω t+φ 0), różniacych się częstościa, tak, żeω 1>ω. Ponieważ cosα+cosβ=cos α β cos α+β, to x wt)=x 1t)+x t)= A cos Amplituda drgań zależy od różnicy częstości. Superpozycja dwóch drgań harmonicznych nie jest drganiem harmonicznym. dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy ω1 ω t) ) ω1+ω cos t+φ 0 ). Dudnienia... Drgania zachodzace w tym samym kierunku Oscylator dwuwymiarowy Dla częstości różniacych się nieznacznie dudnienie. Dudnienie to okresowe zmiany amplitudy drgania powstałego ze złożenia dwóch drgań o zbliżonych częstotliwościach. Dudnienia obserwuje się dla wszystkich rodzajów drgań, w tym i wywołanych falami. Górna część rysunku przedstawia dudnienia przy nakładaniu się dwóch drgań o częstościach ω 1 ω = 9 8, a dolna dla ω 1 ω = 9 3. Dla dwu drgań prostopadłych o jednakowych częstościach możliwe sa przypadki: xt)=a cosωt+φ 1), yt)=b cosωt+φ ), 1 poczatkowe fazy drgań sa jednakowe,φ 1=φ takie drgania nazywa się liniowo spolaryzowanymi o równaniu toru y= B A x, poczatkowa różnica faz jest równaπ, a równanie toru y= B A x, 3 poczatkowa różnica faz jest równaπ/ takie drgania nazywa się eliptycznie spolaryzowanymi o równaniu toru x A +y B =1. 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 4 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy
Oscylator dwuwymiarowy... Oscylator dwuwymiarowy... Jeśli częstości drgań składowych sa różne ω 1=aω 0,ω =bω 0), to torem ruchu jest krzywa zwana krzywa Lissajous. Przykład dla różnicy faz φ=π/. 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Literatura Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 005. Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 007. Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984. Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-fizyka. Podstawy fizyki. Kakol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/ kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. 7 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy