Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 30 Rozdział 3 Podstawy formalizmu mechaii watowej W zasadzie wyład metod matematyczych fizyi (II-gi ro studiów) powiie zapewić odpowiedie przygotowaie matematycze czytelia. Mimo to jeda choćby dla ustaleia otacji) przypomimy tu ajistotiejsze faty. Podreślamy, że celem iiejszego wyładu ie jest ścisłość matematycza, lecz raczej poglądowość, tóra pozwala socetrować się bardziej a fizyczych, iż matematyczych aspetach mechaii watowej. Wiele stwierdzeń, czy własości obietów matematyczych podamy bez dowodów, czy wyprowadzeń. Czytelia zaiteresowaego fizyą matematyczą odsyłamy do bardziej specjalistyczej literatury. 3.1 Przestrzeń fucji falowych i operatory 3.1.1 Przestrzeń fucji falowych przestrzeń Hilberta Uwaga : W wielu poiższych wzorach będziemy pomijać argumety fucji, co ie powio wpłyąć a przejrzystość i sesowość formuł. Przestrzeń wetorowa F fucji falowych Iterpretacja probabilistycza arzuca a fucje falowe cząsti (uładu fizyczego) warue d 3 r ψ( r, t) 2 = ψ 2 = 1. (3.1) Ograicza to lasę dopuszczalych fucji falowych do przestrzei fucji całowalych z wadratem. Przestrzeń ta jest przestrzeią Hilberta, ozaczaą zazwyczaj przez L 2. Dodatowe przesłai fizycze ażą dalej ograiczyć przestrzeń fucyją. Żądamy więc, aby fucje falowe miały własości: były ciągłe i różiczowale tyle razy ile trzeba; a brzegach obszaru fucje falowe powiy ziać; jeśli obszar iesończoy, to lim r ψ( r) = 0. A zatem pracujemy a ogół w podprzestrzei przestrzei L 2. Podprzestrzeń tą ozaczymy przez F. W ietórych przypadach wygodie jest pracować w przestrzei fucji ieormowalych w powyższym sesie. Sytuacja taa ma miejsce p. dla cząsti swobodej (gdy eergia potecjala zia). O sytuacji tej już wspomialiśmy i wsazaliśmy a sposoby omiięcia łopotów z fucjami ieormowalymi. Powrócimy do tego problemu późiej. S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 30

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 31 Fat, ze fucje falowe tworzą przestrzeń wetorową jest bardzo istoty. Własości przestrzei wetorowych wsazują, że ombiacje liiowe fucji falowych są taże fucjami falowymi. W te sposób, iejao automatyczie uwzględiamy zasadę superpozycji. Przestrzeń F jest wyposażoa w aturaly iloczy salary ϕ, ψ F ϕ ψ C, (3.2) tóry jest zdefiioway przez astępującą całę ϕ ψ = d 3 r ϕ( r) ψ( r). (3.3) Iloczy salary w przestrzei wetorowej musi spełiać warui: ϕ ψ = ψ ϕ, (3.4a) ϕ ( λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ) = λ1 ϕ ψ 1 + λ 2 ϕ ψ 2, (3.4b) ( λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 ) ψ = λ 1 ϕ 1 ψ + λ 2 ϕ 2 ψ. (3.4c) przy czym relacja (3.4c) wyia z dwóch poprzedich. Formuły (3.4b) i (3.4c) ozaczają, ja mówimy, że iloczy salary jest liiowy w drugim, a atyliiowy w pierwszym sładiu. Z defiicji iloczyu salarego wyia oreśleie ormy wetora z przestrzei F R ψ 2 = ψ ψ = d 3 r ψ( r) 2 = d 3 r ψ ( r) ψ( r). (3.5) Iloczy salary w przestrzei F spełia bardzo ważą ierówość, zwaą ierówością Schwarza ψ 1 ψ 2 2 ψ 1 ψ 1 ψ 2 ψ 2, (3.6) przy czym rówość zachodzi tylo wtedy, gdy wetory ψ 1, ψ 2 F są proporcjoale, to zaczy gdy ψ 1 = λ ψ 2, (λ C). Baza ortoormala w F W przestrzei Hilberta (wetorowej) moża wybrać bazę ortoormalą, tj. zbiór fucji (wetorów) {u i } spełiających warue u i u j = d 3 r u i ( r) u j( r) = δ ij, (3.7) i taich, że dla dowolej fucji falowej ψ( r) F moża zbudować rozład ψ( r) = i c i u i ( r), c i C. (3.8) Rozład te jest jedozaczy. Jeśli fucja falowa zależy od iych parametrów (p. od czasu), to współczyii c i rozładu taże będą zależeć od tych parametrów. Łatwo sprawdzić, że współczyii c i dae są wzorem c = u ψ = d 3 r u ( r) ψ( r). (3.9) Zwróćmy uwagę, że idesy umerujące wetory bazy i I tworzą pewie zbiór I. Idesów tych jest tyle, ile wyosi wymiar przestrzei Hilberta F. Zatem zbiór I może być sończoy lub ie, co zależy od charateru oretego zagadieia. S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 31

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 32 Dla dwóch wetorów ϕ, ψ F możemy wypisać rozłady typu (3.8), to jest ϕ( r) = i b i u i ( r), ψ( r) = c i u i ( r), (3.10) i wówczas z ortoormalości bazy (i z liiowości przestrzei) wyia, że ϕ ψ = i b i c i, (3.11a) ϕ 2 = i b i 2, oraz ψ 2 = i c i 2. (3.11b) W szczególości, dla uormowaej fucji falowej mamy więc ψ 2 = 1 i c i 2 = 1, (3.12) co oczywiście ma zasadicze zaczeie przy probabilistyczej iterpretacji fucji falowej. Relacja zupełości Rozważmy rozład (3.8) fucji falowej i weźmy pod uwagę wyrażeie (3.9) dla współczyiów tego rozładu. Otrzymujemy wtedy ψ( r) = c i u i ( r) = u i ψ u i ( r), = [ ] d 3 x u i ( x) ψ( x) u i ( r) i i i [ ] = d 3 x u i ( x) u i( r) ψ( x). (3.13) Porówując obie stroy tej relacji, wiosujemy że i i u i ( x) u i ( r) = δ( x r), (3.14) co staowi tzw. relację zupełości dla fucji { u i ( r) } tworzących bazę w przestrzei F. I a odwrót, zbiór fucji spełiających relację (3.14) tworzy bazę w F. 3.1.2 Operatory a przestrzei fucji falowych Operatory liiowe w F Operator działający a przestrzei F jest odwzorowaiem  : F F, (3.15) to zaczy wetorowi (fucji) ψ F przyporządowuje iy wetor ψ =  ψ F (z tej samej przestrzei). W aszych rozważaiach ograiczamy się do badaia operatorów liiowych, to jest taich, dla tórych  ( λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ) = λ1  ψ 1 + λ 2  ψ 2, (3.16) dla dowolych λ 1, λ 2 C. Operatory moża możyć (sładać) (zwróćmy uwagę, że jao pierwszy działa a fucję falową operator stojący z prawa) ( ˆB) ψ =  ( ˆB ψ ) =  ψ, (3.17) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 32

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 33 gdzie ψ = ˆB ψ. Należy z całą mocą podreślić, że możeie operatorów jest a ogół ieprzemiee (ie jest obojęte w jaiej olejości działają), to jest  ˆB ˆB Â. (3.18) Bardzo pożytecze jest pojęcie omutatora dwóch operatorów [ ] Â, ˆB =  ˆB ˆB Â. (3.19) Za jego pomocą, zamiast relacji (3.18), wygodie jest zapisać ieprzemieość możeia (sładaia) operatorów w postaci [ ] Â, ˆB = Ĉ, (3.20) gdzie operator Ĉ jest a ogół róży od zera. Przyładem operatorów działających a fucje falowe są: operator możeia fucji falowej przez współrzędą x i operator różiczowaia względem tej współrzędej ˆX ψ( r) = x ψ( r), (3.21a) ˆD x ψ( r) = x ψ( r). (3.21b) Pracując z tymi operatorami ależy zachować pewą ostrożość wyiającą stąd, że mogą oe wyprowadzać fucje falowe z przestrzei fucji ormowalych, tz. rezultat ich działaia a fucję ormowalą może być fucją, tóra już ie jest ormowala. Jest to pewie iuas matematyczy, tóry może w pewych zastosowaiach mieć duże zaczeie. Mimo to jeda, ie będziemy się zbytio przejmować tą trudością. W więszości badaych tu oretych przypadów taich problemów ie ma. Twierdzeie 3.1 Zdefiiowae powyżej operatory ˆX oraz ˆD x są ieprzemiee. Ich omutator wyosi [ ] [ ] ˆX, ˆDx = x, = 1. (3.22) x Dowód. Niech ψ( r) F będzie dowolą fucją falową. Wówczas mamy ( [ ] ˆX, ˆDx ψ( r) = x x ) x x ψ( r) = x ψ( r) [ ] x ψ( r) x x = x ψ( r) ( ) x ψ( r) x ψ( r) = ψ( r) (3.23) x x x bowiem sładii pierwszy i trzeci (zawierające pochode fucji falowej) się zoszą. Z dowolości fucji ψ wyia teza (3.22). Elemety macierzowe operatorów Operator  działając a fucję falową ψ produuje ową fucję ψ = Âψ. Moża więc obliczać iloczy salary ] ϕ ψ = ϕ  ψ = d 3 r ϕ ( r) [ ψ( r). (3.24) Ta obliczoą liczbę (w ogólości zespoloą) azywamy elemetem macierzowym operatora  i zwyczajowo zapisujemy jao d 3 r ϕ ( r)  ψ( r) = ϕ  ψ. (3.25) Ja poażemy dalej, otacja ta jest wygoda i pożytecza. Ma oa charater memotechiczy, a poadto pozwala a pewe iteresujące uogólieia. S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 33

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 34 Zagadieie włase dla operatora Rówaie operatorowe  ψ = λ ψ, gdzie λ C, azywamy zagadieiem własym dla operatora Â. Wetor ψ azywamy wetorem własym, zaś liczbę λ (w ogólości zespoloą) wartością własą. Ituicyjie moża to zrozumieć w astępujący sposób: wetory włase operatora  są to taie wetory, że działaie operatora  "wydłuża" je lub "sraca", przy czym jeda ich "ierue" pozostaje iezmieioy. Operatory sprzężoe Niech  będzie operatorem a przestrzei Hilberta F. Operator  azwiemy sprzężoym do operatora Â, jeśli dla wszystich ϕ, ψ F spełioy jest warue ψ (  ϕ ) = ϕ (  ψ ) = ( Âψ ) ϕ. (3.26) Sprzęgaie operatora jest więc swego rodzaju regułą przeoszeia go z prawego do lewego sładia iloczyu salarego (lub a odwrót). Zapisując iloczyy salare za pomocą całe otrzymamy d 3 r ψ ( r) (  ϕ( r) ) = [ d 3 r ϕ ( r) (  ψ( r) )] Posługując się elemetami macierzowymi wzór (warue) (3.26) zapiszemy jao = d 3 r ( Âψ( r) ) ϕ( r). (3.27) ψ  ϕ, = ϕ  ψ lub ψ  ϕ = ϕ  ψ, (3.28) gdzie druga rówość jest po prostu sprzężeiem zespoloym pierwszej. Operator  sprzężoy do daego operatora  jest wyzaczoy jedozaczie, przy czym podstawowe własości operacji sprzęgaia operatorów są astępujące ( ) + ˆB =  + ˆB, (3.29a) ( ˆB ) = ˆB Â, (3.29b) ( ) ( α  ) = Â, (3.29c) = α Â, dla α C. (3.29d) Dowody (wyprowadzeia) tych własości moża zaleźć w podręcziach algebry liiowej lub metod matematyczych fizyi. Zwróćmy uwagę, że jeżeli przestrzeń F jest sończeie wymiarowa, to operator  w iej działający, jest reprezetoway przez macierz złożoą z elemetów a ij C. Operator sprzężoy  jest wówczas reprezetoway przez macierz traspoowaą o współczyiach sprzężoych w sposób zespoloy (Â) ij = a ij = (  ) ij = a ji. (3.30) Lemat 3.1 Operatorem sprzężoym do operatora ˆD x (patrz (3.21b)) jest operator ˆD x = ( ) = x x. (3.31) Dowód. Jao put wyjścia we/xmy prawą stroę waruu (3.26) lub (3.27). Dla dowolych fucji falowych ψ( r) i ϕ( r) mamy ( ˆDx ψ ) ϕ = d 3 r ( ψ ) ( r) ϕ( r). (3.32) x S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 34

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 35 Całę obliczamy przez części ( ˆDx ψ ) ϕ = ψ ( r) ϕ( r) ( ) ϕ( r) d 3 r ψ ( r). (3.33) x gdzie w pierwszym sładiu obliczamy wartości a brzegu obszaru. Czło te zia a mocy przyjętych a początu rozdziału założeń dotyczących fucji falowych. A zatem widzimy że ( ˆDx ψ ) ϕ = ( d 3 r ψ ( r) ϕ( r) x ) = ψ ( ) ϕ. (3.34) x Porówując wyi z lewą stroą (3.26) stwierdzamy, że teza (3.31) jest udowodioa. Fucje operatorów Jeżeli zwyła (liczbowa) fucja f(z) ma rozwiięcie w szereg potęgowy (szereg Taylora) f(z) = f z, f C, (3.35) =0 to za pomocą tego rozwiięcia defiiujemy fucję operatora  ˆF = f(â) = f Â. (3.36) =0 Poieważ umiemy możyć i dodawać operatory defiicja taa jest zrozumiała. Nie będziemy tu badać matematyczych westii dotyczących a przyład zbieżości szeregów operatorowych. W pewych przypadach udaje się pratyczie wyliczyć tai szereg, co pozwala zapisać fucję operatorową w zwartej postaci. Niech λ i ϕ będą wartością i wetorem własym operatora  (tz. Âϕ = λϕ). Wówczas λ i ϕ są rozwiązaiami zagadieia własego dla -tej potęgi operatora Â. Wyia to z wielorotego podziałaia operatorem  a wetor własy ϕ. Stosując to rozumowaie do olejych sładiów rozwiięcia (3.36) stwierdzamy, że f(λ) i ϕ są, odpowiedio, wartością własą i wetorem własym fucji operatorowej f(â). 3.1.3 Operatory hermitowsie Operator samosprzężoy hermitowsi to tai, że  = Â, (3.37) a zatem tai dla tórego, a mocy (3.28), zachodzi ψ  ϕ = ϕ  ψ, lub ψ  ϕ = ϕ  ψ. (3.38) Twierdzeie 3.2 Operator ˆP x = i ˆD x jest hermitowsi, t.j ( ( ) ˆPx = i ) = x ˆP x. (3.39) Dowód. Na mocy relacji (3.29d) i (3.31) mamy ( ˆPx ) = ( i ˆDx ) = i ( ˆDx ) = i ( ˆDx ) = ˆPx, (3.40) co ończy dowód. Operatory hermitowsie mają cały szereg pożyteczych własości, z tórych będziemy w tracie wyładu często orzystać. S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 35

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 36 1. Jeżeli  = Â, to  = 0 wtedy i tylo wtedy, gdy ψ  ψ = 0 dla wszystich wetorów (fucji) ψ F. 2. Operator  jest hermitowsi wtedy i tylo wtedy, gdy ψ  ψ R, (3.41) dla ażdego ψ F. Relacja ta wyia automatyczie z defiicji (3.38). 3. Wartości włase operatora hermitowsiego są rzeczywiste.  hermitowsi, oraz  u = λu, = λ R. (3.42) Z (3.41) mamy u  u R. Wobec tego uzysujemy u  u = λ u u = λ u 2 R. Poieważ orma wetora jest z defiicji rzeczywista, więc w rezultacie λ = u  u u 2 R. (3.43) 4. Jeżeli  =  (operator hermitowsi) to jego wetory włase odpowiadające różym wartościom własym są ortogoale.  hermitowsi  u 1 = λ 1 u u 1 u 2 1 = to zaczy. (3.44)  u 2 = λ 2 u 2 λ 1 λ u 1 u 2 = 0 2 Z założeia i z własości (3.4) iloczyu salarego mamy astępujący ciąg rówości λ 2 u 1 u 2 = u 1 λ 2 u 2 = u 1  u 2. Korzystamy dalej z (3.38) i uzysujemy λ 2 u 1 u 2 = u 2  u 1 = u 2 λ 1 u 1 = ( λ 1 u 2 u 1 ) = λ 1 u 2 u 1 = λ 1 u 1 u 2 (3.45) co wyia z fatu, że λ 1 R, oraz z własości iloczyu salarego. A zatem ( λ2 λ 1 ) u1 u 2 = 0. (3.46) Poieważ λ 1 λ 2, więc musi być u 1 u 2 = 0, co ończy dowód. 5. Mówimy, że wartości włase operatora (hermitowsiego, ale ieoieczie) są zdegeerowae, jeśli jedej i tej samej wartości własej opowiada g różych wetorów własych. Wówczas  u i = a u i, i = 1, 2,..., g. (3.47) a więc jedej wartości własej a odpowiadają fucje włase dodatowo umerowae przez i = 1, 2,..., g. Liczbę g azywamy stopiem degeeracji wartości własej a. Mówimy, że a jest g -rotie zdegeerowaa. Fucje {u i }g i =1 odpowiadają jedej i tej samej wartości własej, ie możemy więc a priori twierdzić, że są oe ortogoale. Moża jeda udowodić, że fucje te rozpiają g -wymiarową podprzestrzeń F przestrzei F, a więc staowią w F bazę, tórą moża astępie poddać procedurze ortogoalizacji i w ońcu uormować. S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 36

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 37 6. Dowola ombiacja liiowa fucji {u i } i =1,2,...,g odpowiadających g -rotie zdegeerowaej wartości własej a operatora  ψ = g i =1 C i ui, Ci C, (3.48) jest fucją własą operatora  odpowiadającą tej samej wartości własej. Istotie, z liiowości problemu wyia, że ( g )  ψ =  g C i = C i g i=1 i=1 ( g ) = C i u i = a C i = a ψ, (3.49) i=1 i=1 co ończy uzasadieie tezy. 7. Jeżeli więc badając zagadieie włase dla operatora  hermitowsiego zajdziemy wszystie wartości włase {a } o stopiu degeeracji odpowiedio rówym g, to podzielimy przestrzeń F a g -wymiarowe podprzestrzeie F (oczywiście może się zdarzyć g = 1). Przeprowadzając (o ile to potrzebe, gdy g 1) procedurę ortoormalizacji w ażdej z podprzestrzei F, otrzymamy ortoormaly zbiór wetorów (fucji) {u i } (fucje odpowiadające różym są, zgodie z (3.44) ortogoale). Twierdzimy, że w przestrzei sończeie wymiarowej dim F = N <,  = Â, = {u i } baza ortoormala w F. (3.50) W taim przypadu baza liczy sończoą liczbę elemetów. Wobec tego, podobie ja w (3.8) możemy zapisać dowoly wetor (fucję) z F w postaci rozwiięcia ψ( r) = N g i =1 C i u i ( r), gdzie C i = u i ψ. (3.51) gdzie sumy są sończoe. A więc w przestrzei sończeie wymiarowej dowoly wetor moża rozłożyć w bazie utworzoej przez wetory włase operatora hermitowsiego. W przestrzei iesończeie wymiarowej twierdzeie to może, ale ie musi, być prawdziwe. Oczywiście o ile zachodzi, to wtedy baza liczy iesończeie wiele elemetów i suma w (3.51) jest taże iesończoa. 8. Jeżeli fucja f(z) jest rzeczywista (współczyii rozwiięcia w szereg są rzeczywiste) to wówczas f(z) rzeczywista  =  hermitowsi = ˆF = f(â) = ˆF hermitowsi. (3.52) Jeżeli więc operator  =  spełia zagadieie włase Âu = au, a R, to zagadieie włase dla f(â) ma rozwiązaie z rzeczywistymi wartościami własymi f(a) i tymi samymi wetorami własymi. 3.2 Obserwable i pomiary 3.2.1 Obserwable Obserwablą azwiemy tai operator hermitowsi, dla tórego zbiór wetorów własych tworzy bazę w przestrzei F. Zatem dla obserwabli, twierdzeie (3.50) obowiązuje, i to iezależie od S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 37

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 38 wymiaru przestrzei F. Wobec tego dla obserwabli z defiicji mamy  =  obserwabla a R, degeeracja g rota  u i = a u i = {u i } baza ortoormala w F (3.53) Dla dowolej fucji falowej ψ F moża zbudować rozład postaci (3.51), spełiający warue g i =1 C i 2 = 1, (3.54) wyiający z żądaia uormowaia fucji falowej (por. (3.12)). W relacjach tych baza {u i }, a co za tym idzie i sumowaia (względem idesu ), mogą być sończoe lub ie. 3.2.2 Wyii pomiarów i ich prawdopodobieństwa Mówiliśmy, że sta uładu fizyczego jest w pełi oreśloy przez fucję falową ψ( r, t) wetor z pewej przestrzei Hilberta F. Zajmiemy się teraz omówieiem sposobu przewidywaia wyiów pomiarów dostarczających iformacji o uładzie fizyczym. Wsażemy, ja a podstawie zajomości fucji falowej możemy uzysać taie iformacje. W uładach fizyczych moża mierzyć róże wielości je charateryzujące. Oczywiście to, jaie wielości mają ses i jaie są mierzale zależy zarówo od strutury uładu, ja i od waruów oretego doświadczeia. Kocepcja pomiaru ma w fizyce lasyczej ses ituicyjy, tóry ie wymaga specjalych ometarzy. W mechaice watowej sytuacja jest jeda ia. Wyia to przede wszystim stąd, że pomiar przeprowadzay w uładzie watowo-mechaiczym załóca jego sta. Postaramy się wyjaśić ajważiejsze aspety pojęcia pomiaru watowo-mechaiczego, choć ietóre subtelości są do dziś przedmiotem otrowersji oraz atywych badań auowych. Przede wszystim przyjmiemy, że pomiar jest dooyway za pomocą marosopowego urządzeia podlegającego zasadom mechaii (fizyi) lasyczej. Ozacza to, że do opisu przyrządu pomiarowego ie jest potrzeba mechaia watowa. Przyjmiemy też, że aparatura pomiarowa jest, przyajmiej teoretyczie, ta dołada i precyzyja ja tylo to potrzebe ( w pratyce, iestety, istieją różorode ograiczeia atury techiczej). Sformułujemy teraz postulaty, mówiące w jai sposób mechaia watowa pozwala przewidywać wyii pomiarów wiążąc je z fucją falową uładu. Postulujemy, że ażdej wielości fizyczej A (tórej sesu fizyczego a razie ie precyzujemy), możemy przyporządować pewą obserwablę wielość fizycza A  =  obserwabla, (3.55) a więc operator hermitowsi, tórego wartości włase są rzeczywiste, a wetory włase tworzą bazę ortoormalą w przestrzei staów (fucji falowych). Następie postulujemy, że aalizując wyii doświadczeia polegającego a pomiarze pewej wielości fizyczej A charateryzującej baday uład fizyczy będziemy zawsze stosować zasadę rozładu spetralego. Zaczeie i ses tej zasady jest astępujący. Wyi pomiaru wielości A musi być liczbą (odpowiedio miaowaą), tóra ależy do zbioru {a } wartości własych obserwabli  przyporządowaej wielości A. Wyjaśia to dlaczego żądamy, aby obserwablą był operator hermitowsi wyi pomiaru musi być S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 38

T U;; ;; 3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 39 #%$ & '( ) * +-,.0/.213. $ & '* "! 8 7:9;; < =;; #54 $ & '( ) * +6137 $ '* & >@?A B CDE?E DEGFIH J K@LNM O P MQ,SR M O R MQ Rys. 3.1: Schemat ilustrujący ideę rozładu spetralego wyii pomiaru wielości fizyczej A. liczbą rzeczywistą. Zbiór wartości {a } może być sończoy lub ie (od tego zależy taże ształt zbioru wsaźiów). Charater zbioru wartości {a } zależy więc zarówo od tego jai uład fizyczy rozważamy, ja i od tego jaą oretie wielość fizyczą mierzymy. Postulat te ilustruje środowa część rysuu 3.1, w tórej urządzeie pomiarowe "wyrzuca" wartość a. Ograiczymy się a razie do dysusji przypadu bez degeeracji. Założymy, że uład fizyczy został przygotoway w te sposób, że tuż przed pomiarem jego fucja falowa miała postać ψ( r) = C u ( r), (3.56) gdzie u ( r) fucje włase obserwabli  odpowiadające wartościom własym a i tworzące bazę w przestrzei F. Ilustruje to fala "wchodząca" do przyrządu pomiarowego (rys.3.1) Mechaia watowa pozwala am jedyie powiedzieć, że prawdopodobieństwo tego, że w wyiu pomiaru wielości A otrzymamy wartość własą a wyosi P = C 2 C 2 = u ψ 2 u ψ 2 = u ψ 2 ψ 2. (3.57) Miaowi powyższego wyrażeia wypisaliśmy w sposób jawy, jeda suma w im występująca jest rówa jedości (ormalizacja fucji falowej ψ), Zatem miaowi te jest ta aprawdę zbyteczy. Zwróćmy uwagę, że iloczy salary w licziu tego wyrażeia, to ic iego iż wadrat modułu rzutu wetora ψ a (jedowymiarową przypade bez degeeracji) podprzestrzeń odpowiadającą wartości własej a. Iloczy salary u ψ azywamy amplitudą prawdopodobieństwa tego, że w wyiu pomiaru wielości fizyczej A otrzymamy wartość własą a odpowiediej obserwabli Â. Mówimy też ieiedy, że u ψ jest amplitudą prawdopodobieństwa tego, że cząsta przygotowaa w staie ψ jest w staie u. Stwierdzeie taie ma (iestety) charater ieco żargoowy i iejao atycypujący pomiar, bowiem w domyśle zostaje powiedzeie, że "w wyiu pomiaru wielości A otrzymamy wartość własą a ". Oczywiście prawdopodobieństwa P dae w S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 39

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 40 (3.57) spełiają P = 1, (3.58) bo prawdopodobieństwo otrzymaia jaiegoolwie wyiu pomiaru musi być zawsze rówe 1. Niezwyle istote jest to, że zbiór { a } możliwych wyiów pomiaru wielości fizyczej A ie zależy od tego jaa (przed pomiarem) fucja falowa ψ( r, t) opisywała sta uładu. Zbiór te zależy jedyie od obserwabli  od jej wartości własych. Jaie obserwable i ja sostruowae dotyczą daego uładu zależy od jego atury fizyczej, a ie od tego jaa jest jego atuala fucja falowa. Z drugiej stroy, prawdopodobieństwa P otrzymaia oretej wartości a zależą już od ψ poprzez amplitudy C = u ψ. Z powyższego postulatu wyia, że jeśli uład fizyczy został przygotoway w staie własym obserwabli Â, to jest gdy w ombiacji (3.56) mamy C = δ, czyli gdy ψ( r) = u ( r), wówczas w wyiu pomiaru wielości fizyczej A otrzymamy wartość a z prawdopodobieństwem rówym 1. Jeżeli w rezultacie pomiaru wielości fizyczej A otrzymaliśmy wartość własą a obserwabli Â, to postulujemy, że po pomiarze astępuje ta zwaa reducja fucji falowej, polegająca a tym, że ψ( r) fucja falowa przed pomiarem przechodzi w ową fucję (fala "wychodząca" a rys.3.1) ψ( r) pomiar a ψ ( r) = u ( r). (3.59) Sta uładu po pomiarze jest opisyway przez fucję falową u, będącą staem (wetorem) własym obserwabli  z jedowymiarowej (bra degeeracji) podprzestrzei F. Jeśli po pierwszym pomiarze (zaim fucja falowa zdąży w wyiu ewolucji czasowej zmieić się w zaczący sposób) dooamy poowego pomiaru wielości A to, z prawdopodobieństwem 1, otrzymamy zów wartość a. Wyia to stąd, że po pierwszym pomiarze, a tuż przed drugim, uład zalazł się w staie ψ ( r) = u ( r). Efet te, zachodzący w chwili pomiaru, azywamy "reducją" fucji falowej. Nazwa ta bierze się stąd, że z całej ombiacji liiowej (3.56) "wybray"został sta odpowiadający rezultatowi pomiaru. Reducja fucji falowej zachodząca w chwili pomiaru jest jedym z ajbardziej tajemiczych aspetów miroświata i do dziś budzi istote otrowersje. Jedym z wyjaśień jest stwierdzeie, że reducja fucji falowej zachodzi dlatego, że aparat pomiarowy jest (w/g aszych założeń) obietem lasyczym. Peły watowo-mechaiczy opis uładu złożoego z badaego uładu i z przyrządu pomiarowego jest bardzo somplioway i, ja się wydaje, taże ie jest w pełi zadowalający. Jao cieawostę moża powiedzieć, że Roger Perose (jede z ajwybitiejszych współczesych fizyów matematyczych) wiąże reducję fucji falowej z zupełie dziś iezbadaymi efetami wyiającymi z watowej atury oddziaływań grawitacyjych. Fat zachodzeia reducji fucji falowej (zresztą potwierdzoy doświadczalie) przyjmiemy, w iiejszych wyładach, jao prawo przyrody, tórego atura jest iezaa. Pomiar "iszczy" fucję falową ψ( r, t) (tę sprzed pomiaru) i "ustala" ową u ( r), tóra astępie ewoluuje w czasie zgodie z rówaiem Schrödigera. Przypade z degeeracją Przeprowadzoa do tej pory dysusja dotyczyła obserwabli Â, tórej wartości włase są iezdegeerowae. Trzeba więc uogólić aszą aalizę a przypade z degeeracją. Rozład fucji falowej a fucje włase obserwabli  ma teraz postać (3.51), co jest oczywistym uogólieiem S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 40

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 41 rozładu (3.56). Wygodie am będzie posługiwać się ieco zmodyfiowaym zapisem, dlatego relację (3.51) zapiszemy w postaci ψ( r) = ψ ( r), gdzie ψ ( r) = g i =1 C i u i ( r). (3.60) Fucje {ψ } są więc ombiacjami liiowymi fucji własych obserwabli Â, tóre odpowiadają jedej i tej samej wartości własej a. Możemy je iterpretować jao "sładowe" (rzuty) pełej fucji falowej, leżące w g -wymiarowych podprzestrzeiach F przestrzei F. Każda z fucji {ψ } jest fucją własą obserwabli Â, to jest spełia relację Âψ = a ψ i to iezależie od wartości współczyiów ombiacji (druga część (3.60)). Wyia to z własości (3.49) wetorów własych operatorów. Co więcej, fucje taie odpowiadające dwóm różym wartościom własym są ortogoale ψ m ψ = δ m. (3.61) Dowód moża przeprowadzić metodą taą samą w stwierdzeiu (3.44). Zwróćmy jeda uwagę, że fucje ψ ( r) ie są a ogół uormowae. Aby więc moża je było azwać fucjami falowymi, ależy je uormować. Rozważmy poowie pomiar wielości fizyczej A. Wyiiem pomiaru może zowu być tylo jeda z wartości własych obserwabli Â, powiedzmy a. Ta samo ja poprzedio, dopuszczale wyii pomiaru ie zależą od fucji falowej ψ. Natomiast prawdopodobieństwo uzysaia właśie taiego wyiu zależy od stau uładu i jest dae przez wadrat modułu rzutu wetora ψ a podprzestrzeń F, a więc przez P = ψ ψ 2 g = i=1 Ci 2 ψ ψ 2 g i=1 Ci. (3.62) 2 Rówość iloczyów salarych ψ ψ = ψ ψ wyia z ortogoalości wetorów ψ m o różych idesach. Bez trudu sprawdzamy, że ψ ψ = = g ( C i ) g i =1 i =1 g g ( C i i =1 i =1 C i u i u i ) C i δ δ i i = g C i 2 i =1 = ψ ψ. (3.63) Wobec tego, w przypadu degeeracji, prawdopodobieństwo uzysaia w wyiu pomiaru wartości a wyosi g i =1 C i 2 g i =1 u i ψ 2 P = g = i=1 Ci 2 g i=1 ui ψ 2 g i =1 u i ψ 2 = ψ 2, (3.64) gdzie poowie moża pomiąć miaowi, jao rówy jedości ze względu a ormowaie fucji falowej ψ. Otrzymae prawdopodobieństwo (3.64) ewidetie staowi uogólieie wzoru (3.57), do tórego się reduuje, gdy przy bra degeeracji "odpada" suma po idesie i. Suma wszystich uzysaych tu prawdopodobieństw jest rówa jedości, ta samo ja w przypadu bez degeeracji (wyia to z waruu ormowaia fucji falowej i z relacji (3.51)). S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 41

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 42 Po pomiarze (wartości a ) fucja falowa ψ reduuje się do podprzestrzei F. A zatem, dla przypadu z degeeracją, sta uładu po pomiarze wyraża się ψ( r) = g i =1 C i u i ( r) ψ ( r) = ψ ( r) pomiar a ψ, (3.65) gdzie jawie ormujemy zreduowaą fucję falową. Poieważ ψ 2 = ψ ψ = ψ ψ, więc podstawiając (3.60) i (3.63) do powyższego, dostajemy ψ( r) pomiar a ψ ( r) = g i =1 Ci u i ( r) g i =1 Ci 2 = g i =1 ui ( r) u i ψ g. (3.66) i =1 Ci 2 Tym razem miaowi jest potrzeby, bo ψ ie była uormowaa. Podsumowując stwierdzamy, że sta uładu tuż po pomiarze jest staem własym obserwabli  z wartością własą a. Podreślmy jeda, że ie jest dowoly wetor z podprzestrzei F, lecz "część" wetora ψ (sprzed pomiaru) leżąca w F i potem uormowaa. Zauważmy jeszcze, że przechodząc we wzorze (3.66) do przypadu iezdegeerowaego (g = 1, ides i zbyteczy) otrzymujemy ψ( r) pomiar ψ ( r) = C u ( r) C = e iarg(c ) u ( r), (3.67) co różi się od formuły (3.59) jedyie czyiiem fazowym o module rówym 1. Czyi te ie ma zaczeia fizyczego, (omówimy to bardziej szczegółowo za chwilę) więc możemy uzać, że przewidywaia fizycze wyiające z (3.59) i (3.66) są jedaowe. Aby pratyczie wyorzystać te reguły, trzeba odpowiedzieć a zasadicze pytaie, ja ostruować obserwablę (operator)  odpowiadający wielości fizyczej A. Jeżeli będziemy umieli to zrobić, wówczas (przyajmiej w zasadzie) rozwiązujemy zagadieie włase dla tego operatora, to jest zajdujemy zbiory {a } oraz {u } wartości i wetory włase. Rozładając fucję falową ψ w szereg względem bazy {u } obliczymy współczyii C = u ψ, czyli amplitudy prawdopodobieństwa. Tym samym możemy obliczyć prawdopodobieństwo (3.57), tego że w wyiu pomiaru uzysamy dla wielości fizyczej A wartość rówą a. Zaim zajmiemy się odpowiedzią a pytaie, ja sostruować obserwablę Â, poczyimy ila istotych uwag. Pewe uwagi dodatowe. Efety iterferecyje Jeżeli fucję falową pomożymy przez dowoly czyi α C, co "psuje" ormowaie, to po pierwsze stwierdzamy, że ie ma to wpływu a rozwiązaia zagadień własych dla obserwabli (liczba się sraca). Po drugie, przewidywaia fizycze wyiające ze wzorów (3.57) lub (3.64) ie ulegą zmiaie, bowiem dodatowy czyi α 2 pojawi się zarówo w licziu ja i w miaowiu, więc sróci się. Dlatego też zawsze będziemy ormować fucje falowe. Aalogiczie, ie ma wpływu a przewidywaia fizycze zamiaa fucji falowej ψ a ψ = e iφ ψ. Nie psuje to ai ormowaia, ai prawdopodobieństw, bo e iφ = 1. Wiosujemy więc, że dwie proporcjoale fucje falowe reprezetują te sam sta fizyczy. Niezbęda tu jest jeda pewa ostrożość. Dla przyładu rozważmy fucję falową ψ = 1 2 ( e iφ 1 ψ 1 + e iφ 2 ψ 2 ), (3.68) gdzie ψ są uormowae, zaś fazy φ R. W zasadzie e iφ ψ oraz ψ reprezetują te sam sta fizyczy. Jeda superpozycję trzeba tratować ostrożie. Korzystając w elemetary sposób z S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 42

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 43 własości iloczyu salarego, dostajemy ψ ψ = 1 2 ( e iφ 1 ψ 1 + e iφ 2 ψ 2 ) ( e iφ 1 ψ 1 + e iφ 2 ψ 2 ) = 1 2 e iφ 1+iφ 1 ψ 1 ψ 1 + 1 2 e iφ 1+iφ 2 ψ 1 ψ 2 + 1 2 e iφ 2+iφ 1 ψ 2 ψ 1 + 1 2 e iφ 2+iφ 2 ψ 2 ψ 2 = 1 + Re [ e i(φ 2 φ 1 ) ψ 1 ψ 2 ], (3.69) sąd jaso wyia, że różica faz może odgrywać istotą rolę. Wiosujemy więc, że globaly czyi fazowy ie ma zaczeia fizyczego i może być wybray dowolie. Natomiast różica faz (faza względa) pomiędzy dwoma (lub więcej) fucjami falowymi tworzącymi superpozycję może mieć zaczeie zasadicze. Aby się jeszcze lepiej o tym przeoać, załóżmy że uormowae fucje falowe ψ 1 i ψ 2 są staami własymi obserwabli ˆB odpowiadającymi wartościom własym b1 b 2. Wobec tego fucje te są ortogoale: ψ j ψ = δ j. Niech teraz  będzie ią obserwablą, tóra ma wartości włase a (dla prostoty iezdegeerowae) i odpowiedie stay włase u. Jeśli uład fizyczy jest w staie ψ, to a mocy relacji (3.57) prawdopodobieństwo uzysaia wyiu pomiarowego a wyosi P (a ) = u ψ 2. Rozważmy teraz sta ψ = α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2, α j = ψ j ψ C, (3.70) przy waruu α 1 2 + α 2 2 = 1, tóry zapewia ormowaie fucji ψ. Wielości α j 2 srótowo azywamy prawdopodobieństwem tego, że uład w staie ψ zostaie zalezioy w staie ψ j. Ściślej mowiąc, α j 2 iterpretować ależy jao prawdopodobieństwo tego, że w wyiu pomiaru wielości fizyczej B (obserwabli ˆB) otrzymamy wartości bj. Pytamy teraz, jaie jest prawdopodobieństwo uzysaia wartości a w wyiu pomiaru wielości fizyczej A, gdy sta uładu jest opisay fucją falową ψ oreśloą w (3.70). Zgodie z defiicją (3.57), przy uormowaej fucji falowej P (a ) = u ψ 2 = u ( α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 ) 2 = u ( α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 ) u ( α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 ) = α 1 2 u ψ 1 2 + α 2 2 u ψ 2 2 + α 1 α 2 u ψ 1 u ψ 2 + α 1 α 2 u ψ 1 u ψ 2 = α 1 2 P 1 (a ) + α 2 2 P 2 (a ) + 2Re [ α 1 α 2 u ψ 1 u ψ 2 ] (3.71) Trzeci czło tego wyrażeia zależy ie tylo od wartości modułów liczb zespoloych α j ale taże od różicy ich faz (fazy względej). Czło te możemy azwać iterferecyjym. Jego obecość jest charaterystycza dla zagadień mechaii watowej i dobrze ilustruje fat, że faza globala fucji falowej jest bez zaczeia (moża ją wybrać w sposób dowoly), atomiast faza względa ma zaczeie zasadicze i w żadym wypadu ie wolo o iej zapomiać. 3.3 Wartości oczeiwae W poprzedim podrozdziale wprowadziliśmy postulat mówiący, że wyii pomiarów wyoywaych w uładach watowo-mechaiczych podlegają zasadzie rozładu spetralego. Nie S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 43

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 44 jesteśmy a ogół w staie powiedzieć, że wyi pomiaru wielości fizyczej A da orety wyi. Możemy atomiast powiedzieć, że wyi a (wartość własa obserwabli Â) otrzymamy z prawdopodobieństwem P (patrz (3.57) lub (3.64)). Mechaia watowa, w przeciwieństwie do fizyi lasyczej, ie pozwala przewidywać wyiów pojedyczego pomiaru. Wiedząc ja uład jest przygotoway (zając odpowiedią fucję falową) możemy jedyie obliczać prawdopodobieństwa taich czy iych rezultatów pomiaru. Wyia stąd, że wyoując pomiar w uładzie fizyczym przygotowaym w staie opisaym fucją falową ψ( r, t) ie możemy ściśle przewidzieć jego wyiów. Co więcej, po pomiarze astępuje reducja fucji falowej i (a ogół) uład przechodzi do stau iego iż te, w tórym go przygotowao. Ta więc pojedyczy pomiar ie daje iformacji o fucji falowej przed pomiarem, a jedyie o staie uładu po pomiarze, tóry to sta jest staem własym obserwabli odpowiadającym zmierzoej wartości własej. Wyjątiem jest sytuacja, gdy uład przed pomiarem został przygotoway w staie u ( r) jedym ze staów własych obserwabli  odpowiadającej mierzoej wielości fizyczej. Pojedyczy pomiar możemy uzać za metodę przygotowaia uładu fizyczego w oreśloym staie własym taiej, czy iej obserwabli. Ja więc wygląda realistycza sytuacja pomiarowa pozwalająca wiosować o fucji falowej ψ( r, t) charateryzującej sta uładu zaim dooaliśmy pomiaru? Poieważ posługujemy się pojęciem prawdopodobieństwa, pouczające jest rozważeie sytuacji pomiarowej z putu widzeia stadardowego rachuu prawdopodobieństwa. Załóżmy, że wyi a pewego doświadczeia pojawia się z prawdopodobieństwem p. Jai jest średi wyi dużej serii złożoej z N 1 pomiarów, w tórej ażdy z wyiów a otrzymao razy? Najpierw zauważmy, że w oczywisty sposób = N. Zgodie z częstościową iterpretacją prawdopodobieństwa możemy apisać p = /N (co jest słusze przyajmiej przy N ). Możemy więc ituicyjie stwierdzić, że średi wyi pomiarów to a = a = a p, (3.72) N Wracamy teraz do zagadień mechaii watowej. Rozważmy, dla prostoty, przypade bez degeeracji. Wielości fizyczej A odpowiada obserwabla  o wartościach własych a i wetorach własych u staowiących bazę ortoormalą w przestrzei fucji falowych. Sta uładu fizyczego opisyway jest (uormowaą) fucją falową ψ, tórą zgodie z (3.56) możemy rozłożyć w bazie ψ = C u, C = u ψ, C 2 = 1. (3.73) Załóżmy teraz, że mamy bardzo wiele idetyczych uładów, ażdy przygotoway w staie ψ. W ażdym z ich wyoujemy pomiar wielości A. Nie możemy przewidzieć doładie wyiu pojedyczego pomiaru. Umiemy jedyie stwierdzić, że pomiar tai da wartość a z prawdopodobieństwem P = C 2 = u ψ 2. Jaa więc będzie wartość średia wyiów taiej serii pomiarów? Możemy też spojrzeć iaczej. Pomiaru wielości A dooujemy w jedym uładzie zajdującym się w staie ψ. Z prawdopodobieństwem P otrzymujemy wartość a. Po reducji fucji falowej poowie przygotowujemy uład ta, aby zów zalazł się w staie ψ. Poawiamy pomiar, spodziewając się a ogół iego rezultatu a m, tóry zdarzy się z iym prawdopodobieństwem P m. Następie powtarzamy tę procedurę wielorotie, pytając o średią wartość aszych rezultatów doświadczalych. W obu przypadach, rozumując a grucie teorii rachuu prawdopodobieństwa, stwierdza- S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 44

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 45 my, że średia wartość z wielu pomiarów powia wyosić A = a P. (3.74) Rozważmy tę wielość dalej, orzystając z wprowadzoych już ustaleń dotyczących pomiarów i ich prawdopodobieństw. Z postulatu (3.57) otrzymujemy więc A = a P = a u ψ 2 = a C C, (3.75) gdzie ostati ro wyia z rozładu (3.73). Przeształcając dalej, wiemy, że fucje {u } tworzą bazę, wobec czego piszemy A = a m C C mδ m = m a m C C m u u m. (3.76) m Z oreśleia iloczyu salarego dalej mamy A = CC m d 3 r u ( r) a m u m ( r) (3.77) m Z oreśleia działaia operatora  a fucje u i z liiowości wyrażeń wyia dalej A = ) CC m d 3 r u ( r) ( um ( r) m ( ) ( = d 3 r Cu ( r)  ) C m u m ( r) m Rozpozajemy rozwiięcia (3.73) fucji falowej i jej sprzężeia. Otrzymujemy więc A = ) d 3 r ψ ( r) ( ψ( r) (3.78) = ψ  ψ, (3.79) gdzie posłużyliśmy się otacją (3.25) dla elemetu macierzowego operatora. Stwierdzamy więc, że mechaia watowa pozwala obliczyć poszuiwaą średią za pomocą wzoru (3.79). Liczbę (miaowaą) A = ψ  ψ azywamy wartością oczeiwaą wielości fizyczej A (tórej odpowiada operator obserwabla Â) dla uładu fizyczego, tórego sta opisuje fucja falowa ψ. Podreślmy jeda, że obliczeia A dotyczą albo średiego wyiu pomiarów przeprowadzoych a dużej liczbie idetyczie przygotowaych (w staie ψ) egzemplarzy daego uładu fizyczego; albo długiej serii pomiarów wyoywaych w jedym uładzie, tóry po olejym pomiarze jest poowie przygotoway w staie ψ. Zauważmy, że wartość oczeiwaa A = ψ  ψ jest zawsze rzeczywista, co wyia zarówo z powyższego wyprowadzeia, ja i z własości (3.41) operatorów hermitowsich. Po drugie, widzimy, że ważą rolę odgrywa fat uormowaia fucji falowych, tórej orma ie pojawia się w miaowiach. I wreszcie zauważmy, że zmiaa globalej fazy fucji falowej (tj. zamiaa ψ e iφ ψ) w żade sposób ie wpływa a wielość obliczaej wartości oczeiwaej. Oczywiście pozostaje problem ostrucji operatorów hermitowsich obserwabli odpowiadających wielościom fizyczym. Aby wyorzystać pratyczie formułę (3.79) trzeba wiedzieć ja operator  działa a fucję falową ψ( r). S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 45

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 46 3.3.1 Dysusja dodatowa. Dyspersje Wartość oczeiwaą A daą w (3.79) możemy obliczyć, gdy tylo zamy fucję falową uładu fizyczego i postać operatora (obserwabli) Â. Fatyczy pomiar jest dooyway a wielu idetyczie przygotowaych egzemplarzach badaego uładu. Każdy z pomiarów daje tórąś z wartości własych a obserwabli  z prawdopodobieństwem P = u ψ 2. Wielorotie powtarzae pomiary dostarczają więc iformacji o rozładzie P i tym samym o fucji falowej ψ uładu. Rozład prawdopodobieństwa moża scharateryzować za pomocą dyspersji (wariacji) zdefiiowaej jao ( ) 2 σ 2 (Â2 (A) = A = 2 A  + A 2) = A 2 A 2 = ψ Â2 ψ ψ  ψ 2, (3.80) przy czym A R jest liczbą omutująca z dowolym operatorem. Wartość oczeiwaa A jest daa wzorem (3.75). Natomiast A 2 obliczamy orzystając z rozładu (3.73) i otrzymujemy ( A 2 = ψ Â2 ψ = ψ  2 ) u u ψ = u ψ ψ Â2 u = a 2 u ψ 2 = a 2 C 2, (3.81) bowiem z zagadieia własego obserwabli  wyia, że Â2 u = a 2 u. Łącząc teraz formuły (3.80), (3.81) i (3.75) dostajemy σ 2 (A) = a 2 C 2 Przy podoszeiu szeregu do wadratu musimy uważać σ 2 (A) = = ( ) 2 a C 2. (3.82) a 2 C 2 a C 2 a m C m 2 m [ a C 2 a ] a m C m 2. (3.83) m Dyspersja rozład wyiów pomiarowych jest więc dość sompliowaym wyrażeiem, tóre a ogół jest róże od zera. Sucesywe pomiary wielości fizyczej A w uładzie przygotowaym w staie ψ pozwalają zbudować rozład prawdopodobieństwa P = u ψ 2, zaś jego dyspersja σ 2 (A) dostarcza dalszych iformacji o fucji falowej ψ. Szczególa sytuacja ma miejsce wtedy, gdy sta ψ uładu tuż przed pomiarem jest staem własym obserwabli Â. Ozacz to, zgodie z (3.73), że ψ = u s, a zatem współczyii rozładu spełiają C = δ s. Zachodzi wówczas astępujące Twierdzeie 3.3 Sta ψ uładu jest staem własym obserwabli  wtedy i tylo wtedy gdy dyspersja σ 2 (A) zeruje się { } { ψ = u s } σ 2 (A) = 0. (3.84) Wartość oczeiwaa obserwabli jest wtedy rówa jedej z jej wartości własych. Dowód. Załóżmy ajpierw, że ψ = u s, czyli C = δ s. Wówczas ze wzoru (3.83) wyia, że [ σ 2 (A) = a δ s a ] a m δ ms = a s ( a s a s ) = 0, (3.85) m S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 46

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 47 co ończy dowód pierwszej części twierdzeia. Przeprowadzimy dowód w przeciwą stroę. Rozważmy operator à =  A, gdzie A jest wartością oczeiwaą wielości A w dowolym staie (uormowaym) ψ. Obliczamy ormę wetora Ãψ 2 = Ãψ Ãψ = ψ Ã2 ψ, (3.86) bowiem operator à jest hermitowsi (suma operatora hermitowsiego i liczby rzeczywistej). Idąc dalej, mamy Ãψ 2 = ψ ( A )( A )ψ = ψ Â2 ψ A 2 ψ ψ = σ 2 (A). (3.87) Teraz, z założeia, σ 2 (A) = 0. Zatem orma Ãψ 2 = 0. Zerową ormę ma tylo wetor zerowy, więc Ãψ = 0 = Âψ = A ψ. (3.88) Ostatia rówość ozacza, że fucja ψ jest fucją własą obserwabli  z wartością własą A. Twierdzeie jest udowodioe. Jeśli fucja falowa uładu jest superpozycją staów własych obserwabli odpowiadających różym wartościom własym, to wówczas dyspersja σ 2 (a) 0. Mówimy wtedy, że wielość fizycza, tórej odpowiada obserwabla  ie ma dobrze oreśloej wartości. Przyład tai rozważamy w Uzupełieiach. W dowodzie poprzediego twierdzeia "uryty" jest dowód astępego. Twierdzeie 3.4 Dyspersja dowolej wielości fizyczej mierzoa w dowolym staie uładu fizyczego jest zawsze ieujema. σ 2 (A) 0, dla ażdej obserwabli Â. (3.89) Dowód. We wzorze (3.87) poazaliśmy, że σ 2 (A) = Ãψ 2. Norma dowolego wetora jest ieujema, co ończy dowód. 3.4 Kostrucja operatorów obserwabli 3.4.1 Operatory położeia i pędu Na obecym etapie budowy formalizmu mechaii watowej przyjmiemy dwa poiższe przyporządowaia jao postulaty. 1. Operatorem położeia cząsti, tóry ozaczymy przez ˆR jest operator złożoy z trzech sładowych (tzw. operator wetorowy) ˆR = ( ˆX 1, ˆX 2, ˆX 3 ), tórych działaie a fucję falową sprowadza się do jej pomożeia przez odpowiedią współrzędą ˆX j : ψ( r) ˆXj ψ( r) = x j ψ( r), j = 1, 2, 3. (3.90) Współrzęde są rzeczywiste, więc ta zdefiioway operator jest hermitowsi. Poieważ działaie operatora ˆR sprowadza się do możeia fucji falowej przez odpowiedie współrzęde, więc często przyjmujemy, że ˆR = r, (3.91) czyli po prostu utożsamiamy operator z samym wetorem wodzącym. S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 47

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 48 2. Operatorem pędu jest operator ˆP = i. Ma o trzy sładowe, z tórych ażda działa a fucję falową ˆP j : ψ( r) ˆPj ψ( r) = i x j ψ( r). (3.92) Zgodie z twierdzeiem (3.39) jest to operator hermitowsi. Zwróćmy uwagę, że w tej chwili formalizujemy ituicyje przypuszczeie (2.23). Należy pamiętać, że mówimy tu o operatorach położeia i pędu, a ie o położeiu i pędzie cząsti. Mechaia watowa ie może am powiedzieć jaie jest położeie czy pęd cząsti. Jedye co możemy powiedzieć (a mocy relacji (3.79)) to to, że dla cząsti zajdującej się w staie opisywaym fucją falową ψ( r, t) wartości oczeiwae położeia i pędu wyoszą odpowiedio r = ψ ˆR ψ = d 3 r ψ ( r, t) r ψ( r, t), (3.93a) p = ψ ˆP ψ = d 3 r ψ ( r, t) [ i ψ( r, t) ]. (3.93b) Jedą z zasadiczych cech mechaii watowej, całowicie odmieą od fizyi lasyczej jest to, że obserwable operatory ie są przemiee ie omutują. W oparciu o twierdzeie (3.22) i defiicje (3.90), (3.92), możemy apisać aoiczą relację omutacyją dla operatorów położeia i pędów [ ˆXj, ˆP ] = i δj. (3.94) W dalszych rozdziałach rozwiiemy formalizm mechaii watowej, w ramach tórego poażemy, że przedstawioe tu rozumowaie moża odwrócić. Chodzi o to, że jao postulat moża przyjąć relację omutacyją (3.94), a z iej wyprowadzić defiicje (3.90) i (3.92), co odbierze im status postulatów. Umowa termiologicza Pisząc fucję falową w postaci ψ = ψ( r, t) usiłowaliśmy powstrzymać się od azywaia jej argumetu r położeiem cząsti. Przypomiamy więc, że ses fizyczy mają jedyie: ψ( r, t) 2 gęstość prawdopodobieństwa zalezieia cząsti w sąsiedztwie putu r (por. (2.27) i jego dysusja); r wartość oczeiwaa (3.93a) oreślająca średią wartość zmierzoego położeia cząsti (pomiar wieloroty). Aby uiąć dziwolągów słowiowych czy gramatyczych, od tej pory będziemy mówić o wetorze r argumecie fucji falowej jao o wetorze położeia. Jest to jeda umowa termiologicza ie iosąca sesu fizyczego. Pamiętamy, że wetor r NIE jest położeiem cząsti, w tym sesie co w mechaice lasyczej. 3.4.2 Zasada odpowiediości W mechaice lasyczej sta uładu fizyczego jest oreśloy przez podaie współrzędych i pędów uogólioych (zmieych aoiczych) {q i (t), p i (t)} w fucji czasu. Wielości te ewoluują w czasie zgodie z hamiltoowsimi rówaiami ruchu. Wielości fizycze charateryzujące uład (p. eergia, pęd ietyczy, momet pędu, itp.) są zbudowae jao pewe fucje zmieych aoiczych. Na grucie lasyczym potrafimy (dla jedej cząsti) zbudować fucję S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 48

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 49 A l = A l ( r l, p l, t), tóra odpowiada jaiejś wielości fizyczej. Poieważ wiemy ja tworzyć fucje operatorów (por. (3.36)), więc asuwa się myśl, aby w lasyczej fucji A l zamieić r l ˆR oraz p l ˆP, co pozwoliłoby dostać pewie operator. Natrafiamy jeda od razu a dwie trudości. Fucję A l budujemy a ogół za pomocą zmieych aoiczych (współrzędych uogólioych, p. sferyczych). Postać taich fucji może zależeć od wyboru uładu współrzędych. Nie wiemy więc, jai uład współrzędych jest właściwy do przeprowadzeia zamiay wielości lasyczych a operatory. Operatory ie omutują. Wiemy, że ˆR ˆP ˆP ˆR. Co gorsza, iloczy operatorów ˆR ˆP ie jest hermitowsi, bowiem ( ) ( ˆR ˆP = ˆX ˆPx + Ŷ ˆP y + Ẑ ˆP ) z = ˆP x ˆX + ˆPy Ŷ + ˆP z Ẑ = ˆP ˆR ˆR ˆP. (3.95) Iloczy tai ie jest więc obserwablą ie może odpowiadać wielości fizyczej, choć lasyczy iloczy r l p l = p l r l ie sprawia żadych trudości. Uiąć tych trudości moża przez przyjęcie astępujących założeń. 1. Klasyczą wielość A l budujemy we współrzędych artezjańsich i wtedy stosujemy podstawieia (3.90) i (3.92) tworząc w te sposób operator watowo-mechaiczy. 2. W razie potrzeby stosujemy procedurę symetryzacyją. Aby wyjaśić, a czym to polega, zilustrujemy ją przyładem r l p l 1 ( ˆR ˆP + ˆP ˆR). (3.96) 2 Wobec relacji (3.95) operator po prawej jest ewidetie hermitowsi, może więc być obserwablą odpowiadać wielości fizyczej. W świetle tych uwag, formułujemy zasadę odpowiediości, zwaą też czasami zasadą watowaia. Obserwablę (operator hermitowsi) Â tworzymy z lasyczej wielości fizyczej A l ( r l, p l, t) wyrażoej we współrzędych artezjańsich przez podstawieia r l ˆR = r, pl ˆP = i, (3.97) przy (o ile taa potrzeba zachodzi) zastosowaiu odpowiediej procedury symetryzacji. Zasadę tą bez trudu stosujemy dla jedej cząsti i łatwo uogóliamy dla N cząste, gdy operatory będą mieć dodatowo umer oreślający, do tórej cząsti się odoszą. Po zbudowaiu obserwabli możemy, zów w razie potrzeby, przejść do iego uładu współrzędych. W zasadzie moża formułować zasadę odpowiediości w sposób bardziej ogóly iezależy od uładu współrzędych. Podejście taie jest jeda zaczie bardziej sompliowae (odpowiedie relacje ie byłyby taie proste ja (3.97)). Zysując a elegacji matematyczej iewiele byśmy zysali a fizyczym zrozumieiu teorii. Na zaończeie podreślamy, że istieją wielości fizycze (p. spi cząste elemetarych), tóre ie mają odpowiedia w fizyce lasyczej. Kostrucja odpowiediego operatora obserwabli musi być wtedy przeprowadzoa iymi metodami. S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 49

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 50 czas t ie jest obserwablą. Jest to parametr zewętrzy mierzoy za pomocą zegara zewętrzego w stosuu do jaieolwie uładu watowo-mechaiczego. 3.4.3 Hamiltoia cząsti Hamiltoia uładu fizyczego pełi w mechaice lasyczej zasadiczą rolę i odpowiada eergii uładu. Supiając a razie uwagę a pojedyczej cząstce o masie m, wypisujemy jej lasyczy hamiltoia H l = p2 l 2m + ( r l, t), (3.98) gdzie ( r l, t) jest eergią potecjalą wyiającą z oddziaływaia cząsti z otoczeiem. Eergia potecjala jest fucją położeia cząsti, więc jej watowo-mechaiczy odpowiedi będzie tą samą fucją operatora ˆR, tórej działaie a fucję falową sprowadza się do pomożeia ψ( r, t) przez ( r, t). Przechodząc do mechaii watowej, w myśl zasady odpowiediości, stwierdzamy, że wielości fizyczej jaą jest eergia odpowiadać będzie operator Hamiltoa (zway róto hamiltoiaem) o postaci Ĥ = ˆP 2 2m + ( ˆR, t) = 2 2m 2 + ( r, t). (3.99) Wyi te, uzysay w oparciu o zasadę odpowiediości oczywiście w pełi porywa się z wyprowadzoą per aalogiam relacją (2.25). Rówaie Schrödigera (2.6) postulowae uprzedio dla pojedyczej cząsti staje się więc przypadiem szczególym rówaia i ψ( r, t) = Ĥ ψ( r, t). (3.100) t Tym samym postulatem mechaii watowej jest jedyie rówaie (3.100) (patrz taże (2.26)), zaś rówaie (2.6) wyia zeń, oczywiście po zastosowaiu zasady odpowiediości do ostrucji hamiltoiau pojedyczej cząsti. 3.5 Nawiasy Poissoa i relacje omutacyje. Metoda watowaia Omawialiśmy tutaj formalizm mechaii watowej stosując pojęcia ituicyje. Nie było aszym celem ai przedstawieie formalego opisu pełej strutury matematyczej mechaii watowej, ai też utrzymaie matematyczej ścisłości. W tym podrozdziale srótowo omówimy jede ze sposobów formalego przejścia od fizyi lasyczej do watowej. W tym celu przypomijmy zae z mechaii lasyczej pojęcie awiasów Poissoa. Rozważmy uład fizyczy o stopiach swobody opisay współrzędymi i pędami aoiczymi ({q i }, {p i }). Wielości fizycze A i B przedstawioe są za pomocą fucji A l (q i, p i ) oraz B l (q i, p i ). Dla wielości tych tworzymy awiasy Poissoa zdefiiowae wzorem {A l, B l } P = ( Al j=1 q j B l p j B l q j ) A l p j (3.101) Przechodząc a grut mechaii watowej wiemy, że wielościom fizyczym A i B musimy przyporządować odpowiedie obserwable (operatory hermitowsie) Â oraz ˆB. Reguła ich ostrucji jest astępująca. Klasycze awiasy Poissoa muszą przechodzić w omutator operatorów {A l, B l } P watowaie 1 [ ] Â, ˆB. (3.102) i S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 50

3.10.2004 3. Podstawy formalizmu mechaii watowej 51 Ta arzucoy warue watowaia wystarczy do sostruowaia mechaii watowej w odpowiedio dobraej przestrzei fucji falowych. Zastępuje o zasadę odpowiediości, bowiem arzuceie relacji omutacyjych pozwala wyzaczyć postać operatorów. Aby lepiej zilustrować tę procedurę, rozważmy pojedyczą cząstę opisaą lasyczie trzema sładowymi położeia r = (x 1, x 2, x 3 ) i trzema sładowymi pędu p = (p 1, p 2, p 3 ). Bez trudu obliczamy awiasy Poissoa {x, x m } P = {p, p m } P = {x, p m } P = ( 3 x x j j=1 ( 3 p x j j=1 ( 3 x j=1 x j x m p j p m p j p m p j x m x j p m x j p m x j ) x p j = 0, (3.103a) ) p p j = 0, (3.103b) ) x p j = δ m. (3.103c) W myśl reguły (3.102) lasycze awiasy Poissoa przechodzą w relacje omutacyje dla operatorów położeia i pędu [ ˆX, ˆXm ] [ ˆP, ˆPm ] [ ˆX, ˆPm ] = 0, = 0, (3.104a) (3.104b) = i δ m. (3.104c) Ostatia z ich jest idetycza z relacją (3.94), tóra wyiła z oretej postaci operatorów ˆX oraz ˆP m. Uzysaa tutaj relacja (3.104c) ma charater ogóliejszy, bo ie zależy od postaci występujących w iej operatorów jest arzucoa z góry. Moża więc przeprowadzić ostrucję operatorów w astępujący sposób: wybrać (ustalić) relacje omutacyje; dobrać odpowiedią przestrzeń Hilberta (przestrzeń staów fucji falowych); zaleźć oretą postać operatorów. Warto zwrócić uwagę, że rezultaty ostatiego rou (tj. postać operatorów) zależą od doboru przestrzei Hilberta. W dalszych rozdziałach podamy przyłady taiej właśie procedury. W szczególości, relacja (3.104c) zastosowaa do operatorów położeia i pędu w odpowiedio dobraej przestrzei fucji falowych doprowadzi as do uprzedio postulowaych odpowiediości (3.90) i (3.92). Omówimy i ie przyłady, w tórych relacje omutacyje posłużą jao put wyjścia do ostrucji operatorów obserwabli. Metoda ostrucji formalizmu mechaii watowej polegająca a zastąpieiu lasyczych awiasów Poissoa przez omutatory watowo-mechaiczych operatorów jest jeda żmuda. Rozpoczyając studia ad mechaią watową powio się wiedzieć o istieiu tej metody i o szczególej roli jaą w iej odgrywają omutatory. W dalszym ciągu wyładu ajczęściej jeda będziemy wybierać bardziej ituicyje, choć z pewością miej ścisłe podejście. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 51