Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem K nazywamy niepusty zbiór V z dwoma działaniami: dodawaniem wektorów + : V V V tzn vw V v + w V mnożeniem wektorów przez skalar : K V V tzn α K v V αv V spełniającymi następujące warunki: 1 o 4 o (V +) jest grupą przemienną 5 o α K vw V α(v + w) = αv + αw 6 o αβ K v V (α + β)v = αv + βv 7 o αβ K v V α(βv) = (α β)v 8 o 1 K v V 1 v = v Zadanie 1 Sprawdzić czy podany zbiór ze wskazanymi działaniami jest przestrzenią wektorową nad ciałem K = R: a) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 + x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = (αx αy) b) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 + x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = (αy αx) c) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 + x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = (0 αy) d) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 + x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = ((α + 1)x αy) e) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 + x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = (αx 2y) f) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (y 1 + y 2 x 1 + x 2 ) α (x y) = (αx αy) g) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) α (x y) = (αx αy) h) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (2x 1 + 3x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = (αx αy) i) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (0 0) α (x y) = (αx αy) j) C(R R) (f g)(x) = f(x) + g(x) (α f)(x) = αf(x) k) C(R R) (f g)(x) = 2f(x) (α f)(x) = αf(x) l) M 2 2 (R) A B = A + B α A = αa 1

m) M 2 2 (R) A B = 2A + B α A = αa Odpowiedzi: a) tak b) nie c) nie d) nie e) nie f) nie g) nie h) nie i) nie j) tak k) nie l) tak m) nie Twierdzenie 1 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K oraz v w V α β K Wtedy zachodzą następujące własności: v V 0v = 0 α K α0 = 0 αv = 0 (α = 0 v = 0) (v 0 αv = βv) α = β (α 0 αv = αw) v = w ( α)v = α( v) = (αv) Zadanie 2 Udowodnić powyższe twierdzenie Definicja 2 Niepusty zbiór W V nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V jeżeli vw W v + w W oraz α K v W αv W Uwaga 1 Powyższe warunki można zastąpić jednym równoważnym: αβ K vw W αv + βw W Zadanie 3 Sprawdzić czy zbiór jest podprzestrzenią danej przestrzeni wektorowej nad ciałem K = R: a) {(x y) R 2 y = x} w R 2 b) {(x y) R 2 y = x} w R 2 c) {(x y) R 2 y = 2x} w R 2 d) {(x y) R 2 y = x + 1} w R 2 e) {(x y) R 2 x y 0} w R 2 f) {(x y) R 2 y x} w R 2 g) {(x y) R 2 x 2 + y 2 1} w R 2 h) {(x y) R 2 xy = 0} w R 2 i) {(x y z) R 3 y = x z = 0} w R 3 j) {(x y z) R 3 x + y + z = 0} w R 3 k) {(x y z) R 3 xy = 0} w R 3 l) {(x y z) R 3 x + y = 1 z = 2x} w R 3 m) GL(n R) w M n n (R) n) {A M 2 2 (R) det(a) = 0} w M 2 2 (R) o) {A M 2 2 (R) A 2 = 0} w M 2 2 (R) p) {f C(R R) f( x) = f(x)} w C(R R) q) {f C(R R) f(0) = 0} w C(R R) r) {f C(R R) f(0) = 1} w C(R R) Odpowiedzi: a) tak b) tak c) tak d) nie e) nie f) nie g) nie h) nie i) tak j) tak k) nie l) nie m) nie n) nie o) nie p) tak q) tak r) nie 2

Twierdzenie 2 Niech U W będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej V Wówczas 1 zbiór U W jest podprzestrzenią liniową V 2 zbiór U W jest podprzestrzenią liniową V wtedy i tylko wtedy gdy U W lub W U Zadanie 4 Które ze zbiorów W są podprzestrzeniami wskazanych przestrzeni liniowych V? a) W = {(x y) : x + 2y = 0 2x + 2y = 0 } V = R 2 b) W = {(x y) : x + 2y = 0 2x + 2y = 0 } V = R 2 c) W = {(x y) : 2x + 4y = 0 x = 0 } V = R 2 d) W = {(x y) : 2x + 4y = 0 x = 0 } V = R 2 e) W = {(x y z) : x + y 2z = 0 3x 2y + z = 0 } V = R 3 f) W = {(x y z) : x + y 2z = 0 3x 2y + z = 0 } V = R 3 g) W = {p R[x] : p(1) = 0 p (2) = 0 } V = R[x] h) W = {p R[x] : p(1) = 0 p (2) = 0 } V = R[x] Definicja 3 Podprzestrzeń liniową V nazywamy generowaną (rozpiętą) przez A = {v 1 v 2 v n } i oznaczamy span{v 1 v 2 v 2 } = {w V : w = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α n v n α i K 1 i n} Przestrzeń ta zawiera wszystkie kombinacje liniowe tych wektorów Sam zbiór A = {v 1 v n } nazywamy zbiorem generującym (rozpinajacym) podprzestrzeń span{a} Stosuje się również oznaczenia < v 1 v n > lin{v 1 v n } L(v 1 v n ) Zadanie 5 Przestawić wektor v w postaci kombinacji liniowej wektorów v i lub pokazać że jest to niemożliwe: a) v = [1 2] v 1 = [0 1] v 2 = [1 5] b) v = [1 3] v 1 = [2 3] v 2 = [3 4] c) v = [1 0] v 1 = [5 3] v 2 = [ 1 2] d) v = [9 3] v 1 = [2 3] v 2 = [4 2] e) v = x 2 1 v 1 = x 1 v 2 = x 2 + x v 3 = x + 2 f) v = x 2 + 3x v 1 = 3x v 2 = x 1 v 3 = x 2 + 1 Zadanie 6 Który z wektorów x 1 = [0 1 1 0] x 2 = [9 6 1 9] x 3 = [ 8 9 7 2] x 4 = [3 1 0 1] x 5 = [1 2 3 4] x 6 = [ 2 2 0 5] x 7 = [2 0 3 4] x 8 = [1 1 1 3] należy do przestrzeni V = span {[1 2 1 1] [2 1 1 0] [ 1 2 0 3]}? 3

Zadanie 7 Wykazać że a) jeśli a b c V to span{a b c} = span{a + b b + c c} b) jeśli a b c V to span{a b c} = span{a a + b a + b + c} c) jeśli a b c V to span{a b c} = span{a b a c a} d) span{x 1 x 2 x 3 y} = span{x 1 x 2 x 3 } y span{x 1 x 2 x 3 } Definicja 4 Niech V będzie przestrzenią liniową Mówimy że wektory v 1 v 2 v n V są liniowo niezależne jeżeli α1 α n K α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 α 1 = α 2 = = α n = 0 W przeciwnym wypadku wektory te są liniowo zależne czyli jeden z nich można zapisać jako kombinację liniową pozostałych Zadanie 8 Za pomocą definicji zbadać liniową niezależność wektorów: a) [2 1] [1 2] b) [2 2] [2 2] c) [3 3] [ 3 3] Zadanie 9 Pokazać że a) jeśli v 1 v 2 v 3 są liniowo niezależne to u 1 = v 1 + v 2 u 2 = v 2 + v 3 u 3 = v 1 + v 3 są liniowo niezależne b) jeśli v 1 v 2 v 3 są dowolnymi wektorami z przestrzeni V to u 1 = v 1 v 2 u 2 = v 2 v 3 u 3 = v 3 v 1 są liniowo zależne c) jeśli v 1 v 2 v n są dowolnymi wektorami z przestrzeni V to u 1 = v 1 v 2 u 2 = v 2 v 3 u n 1 = v n 1 v n u n = v n v 1 są liniowo zależne Definicja 5 Bazą przestrzeni liniowej V nazywamy zbiór B wektorów z tej przestrzeni gdy jest on liniowo niezależny oraz V = span{b} Definicja 6 Jeśli baza składa się z n wektorów to wymiar przestrzeni wynosi dim(v ) = n Wymiar może być też równy 0 (dla przestrzeni zerowej) lub (dla przestrzeni która nie ma bazy skończonej) Twierdzenie 3 Wektory v 1 = (v 11 v 12 v 1n ) v 2 = (v 21 v 22 v 2n ) v n = (v n1 v n2 v nn ) 4

tworzą bazę przestrzeni R n wtedy i tylko wtedy gdy v 11 v 12 v 1n v 21 v 22 v 2n 0 v n1 v n2 v nn Zadanie 10 Za pomocą wyznacznika zbadać liniową niezależność wektorów (sprawdzić czy wektory są bazą w R n ): a) [1 1 0] [1 0 1] [1 1 1] b) [5 4 3] [2 1 1] [ 4 15 13] c) [1 3 2] [2 1 4] [ 1 8 10] d) [4 3 2] [ 3 2 4] [2 3 1] e) [1 2 3 4] [2 1 3 4] [2 3 2 2] [ 2 14 2 20] f) [1 1 1 1] [2 1 2 1] [0 1 1 2] [ 1 3 2 3] Definicja 7 (Współrzędne wektora w bazie) Niech B = {b 1 b 2 b n } gdzie n N będzie bazą przestrzeni liniowej V Współrzędnymi wektora v V w bazie B nazywamy współczynniki α i R (ogólnie: α i K) 1 i n kombinacji liniowej przedstawiającej ten wektor v = α 1 b 1 + α 2 b 2 + + α n b n Współrzędne wektora v w ustalonej bazie zapisujemy v = [α 1 α 2 α n ] Zadanie 11 Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni generowanej przez wektory: a) [1 3 2] [2 2 1] [1 7 7] [ 1 1 7] [1 1 7] b) [1 3 2 1] [2 0 3 1] [1 3 2 1] c) [1 2 3 1] [2 1 2 3] [3 3 5 4] [3 0 1 5] d) [ 1 3 3 4] [4 7 2 1] [ 3 5 1 0] [ 2 3 0 1] e) [1 2 3 4] [3 4 5 6] [6 7 8 9] f) [1 1 0 0] [0 2 2 0] [0 0 3 3] g) [ 3 1 5 3 2] [2 3 0 1 0] [1 2 3 2 1] [3 5 1 3 1] [3 0 1 0 0] Zadanie 12 Wyznaczyć bazę przestrzeni R 3 zawierającą wektory v 1 v 2 gdzie: a) v 1 = [1 2 2] v 2 = [2 2 1] b) v 1 = [3 2 1] v 2 = [2 0 3] c) v 1 = [1 2 3] v 2 = [0 1 1] d) v 1 = [ 1 1 1] v 2 = [1 1 1] 5

Zadanie 13 Dla jakich a R poniższe wektory tworzą bazę przestrzeni R? a) [1 1 1] [1 a 2] [2 3 4] b) [2 1 1] [1 0 3] [1 1 a] c) [1 2 3] [3 2 1] [a 0 3] d) [1 1 1] [a 1 2] [ 2 2 1] Zadanie 14 Wyznaczyć bazę przestrzeni R 4 zawierającą wektory v 1 v 2 gdzie: a) v 1 = [1 1 1 1] v 2 = [1 1 1 2] c) v 1 = [1 1 0 1] v 2 = [1 0 1 1] b) v 1 = [1 1 0 0] v 2 = [1 0 1 0] Definicja 8 Niech A M n m (R) w 1 w n Wtedy możemy zdefiniować: Jej kolumny oznaczmy przez k 1 k m a wiersze 1 rząd macierzy A jako największy możliwy stopień niezerowego minora macierzy A i oznaczamy go przez r(a) 2 przestrzeń kolumnową macierzy A C(A) = span{k 1 k m } 3 przestrzeń wierszową macierzy A R(A) = span{w 1 w n } 4 przestrzeń zerową macierzy A N(A) = {x = (x 1 x 2 x n ) T : Ax = 0} Twierdzenie 4 Dla dowolnej macierzy A M n m (R) zachodzą równości r(a) = dimc(a) = dimr(a) Twierdzenie 5 Poniższe operacje nie zmieniają rzędu macierzy: zamiana między sobą dwóch wierszy (kolumn) pomnożenie wiersza (kolumny) przez niezerową liczbę dodanie do ustalonej kolumny (do ustalonego wiersza) innej kolumny (innego wiersza) Zadanie 15 Obliczyć rząd macierzy: a) [ 1 0 3 1 ] c) 3 1 3 2 5 5 3 2 3 4 1 3 5 0 7 7 5 1 4 1 1 2 1 1 2 b) 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1 1 d) 6 3 1 1 4 0 4 10 1 1 17 12 3 2 2 4 3

e) f) g) 1 3 2 1 3 4 1 2 4 1 6 9 1 2 6 4 6 1 12 3 4 1 7 5 1 0 7 1 3 5 3 4 5 3 2 2 5 3 1 3 6 4 8 1 6 5 2 4 1 3 7 2 4 1 3 2 4 8 7 6 3 2 4 5 3 h) i) j) 5 8 6 2 2 4 4 0 3 2 1 5 6 7 6 13 2 9 5 2 9 5 4 4 3 7 4 4 2 3 1 3 3 3 2 2 1 2 6 2 1 1 3 1 1 1 3 3 2 2 4 4 2 2 4 3 1 2 4 3 2 3 Odpowiedzi: a) 2 b) 2 c) 4 d) 4 e) 4 f) 3 g) 3 h) 4 i) 5 j) 3 Zadanie 16 Wyznaczyć bazę przestrzeni kolumnowej C(A) bazę przestrzeni wierszowej R(A) bazę przestrzeni zerowej N(A) i rząd macierzy r(a) dla macierzy: 1 7 9 2 3 1 3 0 1 2 4 1 3 2 a) 4 4 1 5 2 c) 2 6 2 1 0 2 4 5 1 6 6 0 0 1 1 1 0 1 1 e) 2 3 2 1 2 5 8 2 1 0 0 0 b) 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1 1 d) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 f) 1 3 1 2 1 1 3 3 3 1 1 1 0 0 0 2 6 1 2 1 Uwaga 2 Jeśli r(a) = n oznacza to macierz posiada n kolumn liniowo niezależnych Zadanie 17 Zbadać liniową niezależność wektorów z Zadania 10 przy użyciu rzędu macierzy Definicja 9 (Macierz przejścia z bazy A do bazy B) Niech V będzie przestrzenią liniową oraz niech A = {a 1 a 2 a n } B = {b 1 b 2 b n } będą bazami tej przestrzeni Macierzą przejścia z bazy A do bazy B nazywamy macierz kwadratową PB A stopnia n której kolejnymi kolumnami są współrzędne kolejnych wektorów bazy B w bazie A to znaczy: b 1 = p 11 a 1 + p 21 a 2 + + p n1 a n p 11 p 12 p 1n b 2 = p 12 a 1 + p 22 a 2 + + p n2 a n P A p 21 p 22 p 2n B = b n = p 1n a 1 + p 2n a 2 + + p nn a n p n1 p n2 p nn Uwaga 3 Macierz przejścia z bazy B do bazy A można obliczyć jako macierz odwrotną ( ) 1 PA B = PB A 7

Uwaga 4 Niech v A = [α 1 α 2 α n ] A V czyli v = α 1 a 1 + α 2 a 2 + + α n a n Przy powyższych oznaczeniach współrzędne [β 1 β 2 β n ] wektora v w bazie B (co oznaczamy v B lub [v] B ) wyrażają się wzorem v B = P B A v A czyli 1 β 1 p 11 p 12 p 1n α 1 β 2 = p 21 p 22 p 2n α 2 β n p n1 p n2 p nn α n Uwaga 5 Jeżeli E = {e 1 e 2 e 3 } oznacza bazę standardową przestrzeni V to wtedy dla bazy A = {a 1 a 2 a n } i bazy B = {b 1 b 2 b n } tej samej przestrzeni mamy A = PA E = a 1 a 2 a n B = PB E = b 1 b 2 b n gdzie w oznacza zapis pionowy wektora w Wtedy macierze przejścia z bazy A do bazy B oraz z bazy B do bazy A możemy obliczyć na kilka sposobów: licząc macierze odwrotne i odpowiednie iloczyny P A B = P B A = używając metody eliminacji Gaussa-Jordana ( P E A ) 1 P E B = P A E P E B ( P E B ) 1 P E A = P B E P E A [A B] [B A] [ ] I PB A [ ] I PA B po otrzymaniu jednej macierzy odwrócić ją by otrzymać drugą (Uwaga 3) Zadanie 18 Wyznaczyć wektor współrzędnych [v] B wektora v względem bazy B gdy: a) v = [2 0] B = {[5 6] [1 2]} b) v = [1 2] B = {[4 5] [6 7]} c) v = [0 1 3] B = {[1 1 1] [1 1 0] [1 0 1]} d) v = [1 0 2] B = {[3 2 3] [3 2 1] [1 0 0]} e) v = [ 3 3 4] B = {[ 1 2 0] [2 1 0] [0 1 2]} f) v = [8 3 2] B = {[2 2 3] [4 6 6] [0 1 2]} g) v = 1 + x + 7x 2 B = { 1 + x 2 x + x 2 2x + x 2} h) v = 3 + x 6x 2 B = { 1 x 2 x x 2 2x + x 2} 8

Zadanie 19 Wyznaczyć wektor v gdy dana jest baza B i wektor współrzędnych [v] B : a) [v] B = [2 0] B = {[5 6] [1 2]} b) [v] B = [1 2] B = {[4 5] [6 7]} c) [v] B = [0 1 3] B = {[1 1 1] [1 1 0] [1 0 1]} d) [v] B = [1 0 2] B = {[3 2 3] [3 2 1] [1 0 0]} e) [v] B = [ 3 3 4] B = {[ 1 2 0] [2 1 0] [0 1 2]} f) [v] B = [8 3 2] B = {[2 2 3] [4 6 6] [0 1 2]} Zadanie 20 Wyznaczyć bazę B w przestrzeni R 2 taką że [ 7 11] B = [2 3] [ 1 2] B = [1 1] Zadanie 21 Wyznaczyć macierz przejścia z bazy B do bazy C oraz [v] C gdy: a) B = {b 1 b 2 } C = {c 1 c 2 } gdzie c 1 = 6b 1 2b 2 c 2 = 3b 1 + 2b 2 [v] B = [2 4] b) B = {b 1 b 2 } C = {c 1 c 2 } gdzie c 1 = b 1 + 2b 2 c 2 = 3b 1 b 2 [v] B = [1 1] c) B = {b 1 b 2 } C = {c 1 c 2 } gdzie c 1 = b 1 b 2 c 2 = b 1 + b 2 [v] B = [ 1 1] d) B = {b 1 b 2 b 3 } C = {c 1 c 2 c 3 } gdzie c 1 = b 1 + b 2 + b 3 c 2 = b 1 + b 2 b 3 c 3 = 3b 1 + 2b 2 b 3 [v] B = [1 2 3] e) B = {b 1 b 2 b 3 } C = {c 1 c 2 c 3 } gdzie c 1 = 4b 1 b 2 c 2 = b 1 + b 2 c 3 = b 2 2b 3 [v] B = [1 1 1] f) B = {[3 1] [2 2]} C = {[5 2] [ 1 1]} [v] B = [1 2] g) B = {[1 1] [ 1 1]} C = {[2 3] [3 0]} [v] B = [2 2] h) B = {[7 2] [2 1]} C = {[4 1] [5 2]} [v] B = [0 1] i) B = { 1 x x 2} C = { 1 2x + x 2 3 5x + 4x 2 2x + 3x 2} [v] B = x + 1 j) B = { 1 x x 2 x 3} C = { x 3 x 2 x 2 x x 1 x 3 + 1 } [v] B = x + 1 Twierdzenie 6 (Kroneckera-Capellego) Układ m równań liniowych z n niewiadomymi postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy r (A) = r ([A B]) Fakt 1 Niech AX = B (jak w poprzednim twierdzeniu) ma następującą ilość rozwiązań: 1 jeżeli r (A) = r ([A B]) = n to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie 2 jeżeli r (A) = r ([A B]) = r < n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n r parametrów 3 jeżeli r (A) r ([A B]) to układ nie ma rozwiązania 9

Zadanie 22 Określić liczbę rozwiązań układu równań używając rzędu macierzy: a) b) c) { 2x 6y = 5 x +3y = 2 2x +y +3z = 4 x +2y z = 1 x y +4z = 3 x +2y +2z = 1 y +z = 1 x +y +2z = 3 3y +4z = 4 d) e) f) 3x +y +z t = 1 x +y +z = 1 x y z t = 0 x +y z t = 1 x +y +z +t = 1 x +y = 3 x +2y +3z +4t = 5 2x +3y +4z +5t = 1 3x +4y +5z +t = 2 4x +5y +z +2t = 3 Bibliografia: 1 K Jankowska T Jankowski Zbiór zadań z matematyki PG Gdańsk 2006 2 T Jurlewicz Z Skoczylas Algebra liniowa 1 Definicje twierdzenia wzory GiS Wrocław 2001 3 T Jurlewicz Z Skoczylas Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania GiS Wrocław 2001 4 T Jurlewicz Z Skoczylas Algebra liniowa 2 Definicje twierdzenia wzory GiS Wrocław 2002 5 T Jurlewicz Z Skoczylas Algebra liniowa 2 Przykłady i zadania GiS Wrocław 2010 6 A Romanowski Algebra liniowa PG Gdańsk 2007 7 J Rutkowski Algebra liniowa w zadaniach PWN Warszawa 2008 8 J Topp Algebra liniowa PG Gdańsk 2005 10