Przestrzenie liniowe

Transkrypt

1 Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

2 Przestrzenie liniowe Przestrzeń liniowa zbiór V (elementy wektory), z działaniami. Określone sa: dodawanie wektorów parze wektorów v, w V przyporzadkowujemy sumę v + w V oraz mnożenie wektorów przez liczby rzeczywiste (skalary) parze α R i v V przyporzadkowujemy iloczyn αv V, tak by były spełnione postulaty: Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

3 Aksjomaty przestrzeni liniowej (wektorowej) 1.v + w = w + v dla v, w V (przemienność), 2. v + (w + u) = (v + w) + u dla v, w, u V (łaczność) 3. istnieje wektor 0 V (wektor zerowy), spełniajacy dla każdego v V równość v + 0 = v 4. Dla każdego v V istnieje v V, taki, że v + v = 0 (taki wektor v oznaczamy v i nazywamy wektorem przeciwnym do v) 5.(α + β)v = αv + βv, dla α, β R i v V (rozdzielność) 6. α(v + w) = αv + αw, dla α R, v, w V (rozdzielność) 7.(αβ)v = α(βv), dla α, β R i v V (mieszana łaczność) 8. 1v = v (1 element neutralny mnożenia przez skalar) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

4 Przykłady 0. Przestrzeń zerowa {0}. 1. Przestrzeń R n przestrzeń ciagów rzeczywistych z n elementami (n N), dodawanie wektorów: (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) mnożenie przez skalar α(x 1,..., x n ) = (αx 1,..., αx n ), wektorem zerowym jest 0 = (0,..., 0). Szczególne przypadki: oś rzeczywista R 1 = R, płaszczyzna R 2, przestrzeń trójwymiarowa R R, przestrzeń ciagów rzeczywistych nieskończonych, działania: (x i ) + (y i ) = (x i + y i ), α(x i ) = (αx i ), 0 = (0, 0,... ) 3. F(X, R) = {f f : X R},(f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x), wektor zerowy funkcja przyjmujaca dla wszystkich x X wartość 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

5 Z aksjomatów przestrzeni liniowej można wyprowadzić: a) 0v = 0 b) αv = 0 α = 0 lub v = 0 c) v = ( 1)v Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

6 Podprzestrzenie Niepusty podzbiór W V nazywamy podprzestrzenia przestrzeni V jeśli spełnia dwa warunki: a) v, w W v + w W b) α R, v W αv W Jeśli W V to mówimy, że W jest właściwa podprzestrzenia. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

7 Przykłady 1. Jeśli U jest układem równań jednorodnych z n niewiadomymi a 11 x 1 + +a 1n x n = a m1 x 1 + +a mn x n = 0 to zbiór wszystkich rozwiazań U jest podprzestrzenia liniowa R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

8 Przykłady 1. Jeśli U jest układem równań jednorodnych z n niewiadomymi a 11 x 1 + +a 1n x n = a m1 x 1 + +a mn x n = 0 to zbiór wszystkich rozwiazań U jest podprzestrzenia liniowa R n Uwaga Do podprzestrzeni zawsze należy wektor 0, zatem zbiór rozwiazań niejednorodnego układu równań liniowych nie może być podprzestrzenia liniowa R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

9 Przykłady 1. Jeśli U jest układem równań jednorodnych z n niewiadomymi a 11 x 1 + +a 1n x n = a m1 x 1 + +a mn x n = 0 to zbiór wszystkich rozwiazań U jest podprzestrzenia liniowa R n Uwaga Do podprzestrzeni zawsze należy wektor 0, zatem zbiór rozwiazań niejednorodnego układu równań liniowych nie może być podprzestrzenia liniowa R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

10 Przykłady podprzestrzeni, cd. 2. R c = ciagi prawie stale równe 0 (tzn. jest tylko skończenie wiele indeksów i, takich że x i 0) jest podprzestrzenia R Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

11 Przykłady podprzestrzeni, cd. 2. R c = ciagi prawie stale równe 0 (tzn. jest tylko skończenie wiele indeksów i, takich że x i 0) jest podprzestrzenia R 3. Niech x 0 X, wtedy W = {f {(X, R) f (x 0 ) = 0} jest podprzestrzenia w F(X, R). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

12 Przykłady podprzestrzeni, cd. 2. R c = ciagi prawie stale równe 0 (tzn. jest tylko skończenie wiele indeksów i, takich że x i 0) jest podprzestrzenia R 3. Niech x 0 X, wtedy W = {f {(X, R) f (x 0 ) = 0} jest podprzestrzenia w F(X, R). 4. Podprzestrzenie właściwe w R 2 sa następujace: podprzestrzeń zerowa {0} = {(0, 0)} oraz proste przechodzace przez punkt (0, 0). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

13 Przykłady podprzestrzeni, cd. 2. R c = ciagi prawie stale równe 0 (tzn. jest tylko skończenie wiele indeksów i, takich że x i 0) jest podprzestrzenia R 3. Niech x 0 X, wtedy W = {f {(X, R) f (x 0 ) = 0} jest podprzestrzenia w F(X, R). 4. Podprzestrzenie właściwe w R 2 sa następujace: podprzestrzeń zerowa {0} = {(0, 0)} oraz proste przechodzace przez punkt (0, 0). Podprzestrzeń jest również przestrzenia liniowa. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

14 Przykłady podprzestrzeni, cd. 2. R c = ciagi prawie stale równe 0 (tzn. jest tylko skończenie wiele indeksów i, takich że x i 0) jest podprzestrzenia R 3. Niech x 0 X, wtedy W = {f {(X, R) f (x 0 ) = 0} jest podprzestrzenia w F(X, R). 4. Podprzestrzenie właściwe w R 2 sa następujace: podprzestrzeń zerowa {0} = {(0, 0)} oraz proste przechodzace przez punkt (0, 0). Podprzestrzeń jest również przestrzenia liniowa. Przecięcie V U podprzestrzeni V, U przestrzeni W jest też podprzestrzenia W (suma V U jest podprzestrzenia tylko jeśli V U lub U V ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

15 Kombinacje liniowe Niech V będzie przestrzenia liniowa. Kombinacja liniowa wektorów v 1,..., v k V o współczynnikach α 1,... α k R nazywamy wektor v = α 1 v α k v k = k i=1 α iv i Przykład Rozważmy wektory v 1 = (1, 0, 1, 1), v 2 = (0, 1, 1, 2), v 3 = (1, 0, 0, 0) w R 4. Kombinacja v 1, v 2, v 3 o współczynnikach α 1 = 2, α 2 = 1, α 3 = 3 jest α 1 v 1 +α 2 v 2 +α 3 v 3 = 2(1, 0, 1, 1) (0, 1, 1, 2)+3(1, 0, 0, 0) = (5, 1, 1, 0) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

16 Twierdzenie Jeśli v, w sa kombinacjami wektorów v 1,..., v k to wektory v + w oraz αv, dla α R sa kombinacjami liniowymi wektorów v 1,..., v k. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

17 Twierdzenie Jeśli v, w sa kombinacjami wektorów v 1,..., v k to wektory v + w oraz αv, dla α R sa kombinacjami liniowymi wektorów v 1,..., v k.dowód. Niech v = α 1 v α k v k oraz w = β 1 v β k v k. Wtedy v + w = (α 1 + β 1 )v (α k + β k )v k. Podobnie dla mnożenia przez skalar. Wniosek 1: Niech v 1,..., v k będa wektorami przestrzeni V i niech lin(v 1,..., v k ) oznacza zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v 1,..., v k. Wtedy lin(v 1,..., v k ) jest podprzestrzenia V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10

18 Twierdzenie Jeśli v, w sa kombinacjami wektorów v 1,..., v k to wektory v + w oraz αv, dla α R sa kombinacjami liniowymi wektorów v 1,..., v k.dowód. Niech v = α 1 v α k v k oraz w = β 1 v β k v k. Wtedy v + w = (α 1 + β 1 )v (α k + β k )v k. Podobnie dla mnożenia przez skalar. Wniosek 1: Niech v 1,..., v k będa wektorami przestrzeni V i niech lin(v 1,..., v k ) oznacza zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v 1,..., v k. Wtedy lin(v 1,..., v k ) jest podprzestrzenia V. Jeśli W = lin(v 1,..., v k ) to mówimy, że układ v 1,..., v k rozpina W. Wniosek 2: Jeśli w 1,..., w j lin(v 1,..., v k ) to lin(w 1,..., w j ) lin(v 1,..., v k ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 10