14. Przestrzenie liniowe

Transkrypt

1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest działaniem wewnętrznym w zbiorze V, a : F V V, funkcją spełniającą warunki: (V1),, ( + ) + = + ( + ) (łączność dodawania wektorów) (V2) + = + = (wektor zerowy) (V3) + ( ) = ( ) + = (wektory przeciwne) (V4), + = + (przemienność dodawania wektorów) (V5), ( + ) = ( ) + ( ) (rozdzielność mnożenia względem dodawania wektorów) (V6), ( + ) = ( ) + ( ) (rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów) (V7), ( ) = () (mieszana łączność mnożenia) (V8) 1 = Elementy zbioru V nazywamy wektorami, elementy ciała F skalarami, działanie + nazywamy dodawaniem wektorów, a działanie nosi miano mnożenia wektora przez skalar. Przestrzeń liniowa nazywamy inaczej przestrzenią wektorową. Warunki (V1) (V4) mówią, że (V, +) jest grupą abelową. Stosowanie tych samych symboli na oznaczenie działań w ciele i działań na wektorach nie prowadzi do braku jednoznaczności, gdyż działania dodawania i mnożenia w ciele przekształcają F F w F, podczas gdy dodawanie wektorów działa z V V do V, a mnożenie wektora przez skalar z F V w V. 1. Przestrzeń zerowa Rozważając w jednoelementowym zbiorze V = {v} jedyne możliwe działanie jako dodawanie oraz dla dowolnego ciała F mnożenie dane wzorem ͽ(,) ͼ otrzymujemy jednoelementową przestrzeń liniową, zwaną przestrzenią zerową. 2. N-wymiarowa przestrzeń współrzędnych W zbiorze Fn = F F= {(x1,..., xn) ; x 1 ͼ F,..., xn ͼf} wprowadzamy działania + i wzorami (x1,..., xn) + (y1,..., yn) = (x 1 + y 1,..., xn + yn) a (x1,..., xn) = (ax 1,..., axn) 1

2 dla (x1,..., xn), (y1,..., yn) ͼfn, aͼ F. Otrzymujemy w ten sposób przestrzeń (Fn, F,+, ), która nazywamy n wymiarową przestrzenią współrzędnych. 3. Przestrzeń funkcji z X o wartościach w F Rozważmy ciało F, niepusty zbiór X oraz zbiór F(X; F) wszystkich funkcji działających z X w F. Określając działania: ( + )() = () + () dla x ͼ X ( )() = () dla x ͼ X, gdzie f, g ͼ F(X; F) i a ͼ F, otrzymujemy przestrzeń liniową nad ciałem F przestrzeń funkcji z X o wartościach w F. 4. Produkt kartezjański Jeżeli V1 i V2 są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F, to zbiór V1 V2 z działaniami (u 1, u 2) + (v 1, v 2) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2) a (v 1, v 2) = (av 1, av 2), gdzie u 1, v 1 ͼ V1, u 2, v 2 ͼ V2, aͼf, jest przestrzenią liniową nazywaną produktem (kartezjańskim) przestrzeni V1 i V2. 5. Przestrzeń funkcji ciągłych. Niech ( ) = {: : f jest ciągła} będzie zbiorem funkcji ciągłych na R. Dla funkcji,ͼ oraz skalara!ͼ definiujemy funkcje + oraz! w następujący sposób. ( + )() = () + (),(! )() =! () f,g są ciągłe, zatem również + i! są funkcjami ciągłymi, czyli należą do zbioru C(R). W ten sposób na zbiorze C(R) określiliśmy działania dodawania + i mnożenia przez skalary t. Zbiór C(R) z tak określonymi działaniami tworzy przestrzeń liniową nad R. 14.2) Co to jest podprzestrzeń liniowa? Sformułować warunek konieczny i wystarczający na to, aby podzbiór przestrzeni liniowej był podprzestrzenią liniową. Podać przykłady. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F. Podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V nazywamy taki jej podzbiór U V, że: (1) $%, $ & ' u 1 +u 2 U (2) $ ' ( ) a u U 2

3 Twierdzenie. Podzbiór U V jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy $%, $ & ' (,* ) au 1 +bu 2 U Stwierdzenie 1) Jeżeli U V,to każda kombinacja układu wektorów ze zbioru U należy do V. Stwierdzenie 2) Jeżeli U V, to: (i) θ U (ii) u U -u U Stwierdzenie 3) Jeżeli V 1,, V n są podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V, to V 1 V n jest także podprzestrzenią liniową przestrzeni V. 1) Przestrzeń trywialna {θ} oraz cała przestrzeń V są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej V. 2) Sprawdzimy, z definicji, czy zbiór A jest podprzestrzenią liniową przestrzeni (R 3, R, +, ). A= {(x 1, x 2, x 3 ): x 1 =-x 2 } (1) Weźmy (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ) A Spr. czy (x 1, x 2, x 3 )+ (y 1, y 2, y 3 ) A Mamy: (x 1, x 2, x 3 )+ (y 1, y 2, y 3 )= (x 1 +y 1, x 2 +y 2, x 3 +y 3 ) Teraz sprawdzimy czy x 1 +y 1 =-(x 2 +y 2 ) L=x 1 +y 1 =-x 2 -y 2 =-(x 2 +y 2 )=P (2) Weźmy a R, (x 1, x 2, x 3 ) A a(x 1, x 2, x 3 )= (ax 1, ax 2, ax 3 ) Spr. czy ax 1 =-(ax 2 ) L=ax 1 =a(-x 2 )=-(ax 2 )=P Zatem zbiór A jest podprzestrzenią liniową przestrzeni (R 3, R, +, ) Podać definicję kombinacji liniowej. Co to jest zbiór (układ) wektorów zależnych i niezależnych? Kombinacja liniowa 3

4 Niech (, ), - będzie układem wektorów z przestrzeni liniowej ), zaś (, ), - - układem skalarów z ciała F takim, że prawie wszystkie z nich są równe 0. Kombinacją liniową układu (, ) o współczynnikach (, ) nazywamy wektor 0, -,, = 123,/,/ =,%,% + +,5,5, gdzie {6 3,,6 0 } = {6 8;, 0}. Kombinacją liniową układu pustego (<= 8 = ) nazywamy wektor zerowy. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych układu (, ), - oznaczamy przez lin (, ), - i nazywamy przestrzenią generowaną przez układ (, ), -. Kombinacja liniową skończonego układu wektorów ( ) z przestrzeni liniowej ) o współczynnikach 3,..., 0 F jest wektor, -,, = W przestrzeni liniowej nie da sie na ogół określić kombinacji liniowej o nieskończonej liczbie współczynników różnych od zera. Niech (v i ) i I będzie układem wektorów z przestrzeni V. Mówimy, że (v i ) i I jest układem liniowo niezależnym, jeżeli jego jedyną kombinacją liniową równą θ jest ta o wszystkich współczynnikach równych 0. Inaczej: (v i ) i I jest liniowo niezależny, gdy (a i ) i I, -,, = θ => i I a i =0. Układ jest liniowo zależny, gdy nie jest liniowo niezależny. Stwierdzenie: Układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu. 1) Układ zawierający wektor θ jest liniowo zależny. 2)Zbadamy z definicji, czy w przestrzeni (R 3, R, +, ) wektory x 1, x 2, x 3 są liniowo niezależne; x 1 =(2,-7,2), x 2 =(0,2,4), x 3 =(2,-1,5). Niech a 1,a 2,a 3 R ax 1 +ax 2 +ax 3 =θ a 1 (2,-7,2)+a 2 (0,2,4)+a 3 (2,-1,5)=(0,0,0). Mamy: 2a 1 +0a 2 +2a 3 =0 a 1 =0-7a 1 +2a 2 -a 3 =0 po przekształceniach otrzymujemy a 2 =0 4

5 2a 1 +4a 2 +5a 3 =0 a 3 =0 Czyli układ jest liniowo niezależny Co to jest baza przestrzeni liniowej? Co to jest wymiar przestrzeni liniowej? Podać przykłady. Baza Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (, ), - wektorów z przestrzeni V jest bazą tej przestrzeni, gdy Przykład: (B1) B CDE! (B2) = F6@(B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. 2. Jeżeli θ, to układ () jest bazą przestrzeni F6@(). 3. Jeżeli (, ), - jest bazą przestrzeni V, zaś J:8 8 bijekcją, to układ K L(,) M, jest bazą przestrzeni V. 4. Układ (D 3,,D 0 ) jest bazą przestrzeni 0. Nazywamy ją bazą kanoniczną przestrzeni 0. Stwierdzenie Układ B wektorów przestrzeni liniowej V jest jej bazą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor przestrzeni V można jednoznacznie przedstawić jako kombinację liniową układu B. Stwierdzenie Układ B w przestrzeni liniowej jest jej bazą wtedy i tylko wtedy, gdy B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym (tzn. takim układem liniowo niezależnym, którego dowolny właściwy nadkład jest liniowo zależny). Twierdzenie Każda przestrzeń liniowa posiada bazę. Twierdzenie Jeśli skończony, niepusty układ B jest bazą przestrzeni liniowej, to każda inna baza tej przestrzeni składa się z tej samej liczby elementów co układ B. 5

6 S Zad. Sprawdzić z def czy podane zbiory wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowej N = {(1,0,1), (1,2,2),(0,1,1)} R P? Mamy Zbiór N jest liniowo niezależny. Niech v=(x,y,z) R P. Szukamy współczynników takich, że + = = 2 = R 2 + Q = = S R = + = H Q = H Q = 2 = + 2H = (1,0,1) + (1,2,2) + Q(0,1,1) Zbiór N generuje przestrzeń R P, zatem jest jej bazą. Wymiar Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy liczbę elementów jej bazy, o ile baza posiada skończoną liczbę elementów. Wymiar przestrzeni V oznaczamy przez <6U. Jeśli baza przestrzeni V ma n elementów, to V nazywamy przestrzenią n-wymiarową. Jeżeli baza przestrzeni V jest zbiorem nieskończonym, to mówimy, że przestrzeń V jest nieskończenie wymiarowa i piszemy wówczas <6U =. Jeżeli = {θ} (V jest przestrzenia zerową) to przyjmujemy <6U 0 i mówimy, że przestrzeń zerowa jest zero wymiarowa. 1. Przestrzeń R 0 ma wymiar n. 2. Przestrzeń V wszystkich funkcji :R R z działaniami określonymi w sposób naturalny jest przestrzenią nieskończenie wymiarową Wniosek Wymiar podprzestrzeni liniowej danej przestrzeni liniowej nie przekracza wymiaru tej przestrzeni. Wniosek Jeżeli X jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V i wymiar V jest skończony, to następujące warunki są równoważne: 1. X = 2. <6UX = <6U Stwierdzenie Jeżeli przestrzeń liniowa V ma skończony wymiar, a 3, Y są jej podprzestrzeniami liniowymi, to: <6U( 3 + Y ) = <6U 3 + <6U Y dim ( 3 Y ) 6