Przekształcenia liniowe

Transkrypt

1 Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

2 Definicja Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi. Powiemy, że funkcja f : V W jest przekształceniem liniowym jeśli spełnione sa warunki: (i) f (v + u) = f (v) + f (u) dla v, u V, (ii) f (αv) = αf (v) dla α R oraz v V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

3 Definicja Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi. Powiemy, że funkcja f : V W jest przekształceniem liniowym jeśli spełnione sa warunki: (i) f (v + u) = f (v) + f (u) dla v, u V, (ii) f (αv) = αf (v) dla α R oraz v V. Przykłady Przekształcenie f : R 3 R 2 opisane wzorem f ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 3x 3, x 1 + x 2 + x 3 ) jest liniowe, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

4 Definicja Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi. Powiemy, że funkcja f : V W jest przekształceniem liniowym jeśli spełnione sa warunki: (i) f (v + u) = f (v) + f (u) dla v, u V, (ii) f (αv) = αf (v) dla α R oraz v V. Przykłady Przekształcenie f : R 3 R 2 opisane wzorem f ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 3x 3, x 1 + x 2 + x 3 ) jest liniowe,ogólnie: Twierdzenie Każde przekształcenie liniowe R n R m ma postać f ((x 1,..., x n )) = (a 11 x a 1n x n,..., a m1 x a mn x n ) dla pewnych a ij R, gdzie 1 i m, 1 j n. (Dowód) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

5 Definicja Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi. Powiemy, że funkcja f : V W jest przekształceniem liniowym jeśli spełnione sa warunki: (i) f (v + u) = f (v) + f (u) dla v, u V, (ii) f (αv) = αf (v) dla α R oraz v V. Przykłady Przekształcenie f : R 3 R 2 opisane wzorem f ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 3x 3, x 1 + x 2 + x 3 ) jest liniowe,ogólnie: Twierdzenie Każde przekształcenie liniowe R n R m ma postać f ((x 1,..., x n )) = (a 11 x a 1n x n,..., a m1 x a mn x n ) dla pewnych a ij R, gdzie 1 i m, 1 j n. (Dowód) 2. φ : F(R, R) R zdefiniowane przez φ(f ) = f (1) jest liniowe, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

6 Definicja Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi. Powiemy, że funkcja f : V W jest przekształceniem liniowym jeśli spełnione sa warunki: (i) f (v + u) = f (v) + f (u) dla v, u V, (ii) f (αv) = αf (v) dla α R oraz v V. Przykłady Przekształcenie f : R 3 R 2 opisane wzorem f ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 3x 3, x 1 + x 2 + x 3 ) jest liniowe,ogólnie: Twierdzenie Każde przekształcenie liniowe R n R m ma postać f ((x 1,..., x n )) = (a 11 x a 1n x n,..., a m1 x a mn x n ) dla pewnych a ij R, gdzie 1 i m, 1 j n. (Dowód) 2. φ : F(R, R) R zdefiniowane przez φ(f ) = f (1) jest liniowe, 3. φ : D(R) F(R, R), gdzie D(R) oznacza funkcje różniczkowalne, zdefiniowane φ(f ) = f jest liniowe. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

7 Własności przekształceń liniowych Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym. Wówczas: 1. f (0) = 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

8 Własności przekształceń liniowych Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym. Wówczas: 1. f (0) = 0 2. Jeśli układ v 1,..., v k jest liniowo zależny w V to układ f (v 1 ),..., f (v k ) jest liniowo zależny w W ( układ liniowo niezależny nie musi przechodzić na układ liniowo niezależny.) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

9 Własności przekształceń liniowych Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym. Wówczas: 1. f (0) = 0 2. Jeśli układ v 1,..., v k jest liniowo zależny w V to układ f (v 1 ),..., f (v k ) jest liniowo zależny w W ( układ liniowo niezależny nie musi przechodzić na układ liniowo niezależny.) 3. Zbiór f (V ) = {f (v) : v V } W jest podprzestrzenia W (zwana obrazem f ), oraz jeśli układ v 1,..., v k rozpina V to układ f (v 1 ),..., f (v k ) rozpina f (V ). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

10 Własności przekształceń liniowych Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym. Wówczas: 1. f (0) = 0 2. Jeśli układ v 1,..., v k jest liniowo zależny w V to układ f (v 1 ),..., f (v k ) jest liniowo zależny w W ( układ liniowo niezależny nie musi przechodzić na układ liniowo niezależny.) 3. Zbiór f (V ) = {f (v) : v V } W jest podprzestrzenia W (zwana obrazem f ), oraz jeśli układ v 1,..., v k rozpina V to układ f (v 1 ),..., f (v k ) rozpina f (V ). 4. Przekształcenie f jest różnowartościowe tylko wtedy, kiedy {v V : f (v) = 0} = {0} Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

11 Własności przekształceń liniowych Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym. Wówczas: 1. f (0) = 0 2. Jeśli układ v 1,..., v k jest liniowo zależny w V to układ f (v 1 ),..., f (v k ) jest liniowo zależny w W ( układ liniowo niezależny nie musi przechodzić na układ liniowo niezależny.) 3. Zbiór f (V ) = {f (v) : v V } W jest podprzestrzenia W (zwana obrazem f ), oraz jeśli układ v 1,..., v k rozpina V to układ f (v 1 ),..., f (v k ) rozpina f (V ). 4. Przekształcenie f jest różnowartościowe tylko wtedy, kiedy {v V : f (v) = 0} = {0} 5.Jeśli f jest różnowartościowe i układ v 1,..., v k jest liniowo niezależny to również układ f (v 1 ),..., f (v k ) jest liniowo niezależny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

12 Twierdzenie jeśli wektory v 1,..., v n tworza bazę przestrzeni V, zaś wektory w 1,..., w n stanowia dowolny układ n wektorów przestrzeni W to istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : V W spełniajace równości f (v i ) = w i dla i = 1,..., n. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

13 Twierdzenie jeśli wektory v 1,..., v n tworza bazę przestrzeni V, zaś wektory w 1,..., w n stanowia dowolny układ n wektorów przestrzeni W to istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : V W spełniajace równości f (v i ) = w i dla i = 1,..., n. Przykład Niech przekształcenie liniowe f : R 2 R 3 będzie zadane warunkami f ((0, 1)) = (2, 1, 1) oraz f ((1, 2)) = (5, 4, 3). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

14 Twierdzenie jeśli wektory v 1,..., v n tworza bazę przestrzeni V, zaś wektory w 1,..., w n stanowia dowolny układ n wektorów przestrzeni W to istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : V W spełniajace równości f (v i ) = w i dla i = 1,..., n. Przykład Niech przekształcenie liniowe f : R 2 R 3 będzie zadane warunkami f ((0, 1)) = (2, 1, 1) oraz f ((1, 2)) = (5, 4, 3). Wówczas: f ((1, 0)) = f ((1, 2) 2(0, 1)) = (5, 4, 3) 2(2, 1, 1) = (1, 2, 1). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

15 Twierdzenie jeśli wektory v 1,..., v n tworza bazę przestrzeni V, zaś wektory w 1,..., w n stanowia dowolny układ n wektorów przestrzeni W to istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : V W spełniajace równości f (v i ) = w i dla i = 1,..., n. Przykład Niech przekształcenie liniowe f : R 2 R 3 będzie zadane warunkami f ((0, 1)) = (2, 1, 1) oraz f ((1, 2)) = (5, 4, 3). Wówczas: f ((1, 0)) = f ((1, 2) 2(0, 1)) = (5, 4, 3) 2(2, 1, 1) = (1, 2, 1). Stad f ((x 1, x 2 )) = f (x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1)) = x 1 f ((1, 0)) + x 2 f ((0, 1)) = x 1 (1, 2, 1) + x 2 (2, 1, 1) = (x 1 + 2x 2, 2x 1 + x 2, x 1 + x 2 ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

16 Macierz przekształcenia liniowego Oznaczenie: M m n = zbiór wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach Definicja Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi, zaś układy A = (v 1,..., v n ) oraz B = (w 1,..., w m ) odpowiednio bazami V i W. Macierza przekształcenia liniowego f : V W w bazach A, B nazywamy taka macierz A = [a ij ] M m n (R), że spełnione sa równości f (v j ) = m i=1 a ijw i dla j = 1,..., n (tzn. w j-tej kolumnie macierzy A stoja współrzędne wektora f (v j ) w bazie B). Macierz taka oznaczamy M(f ) B A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

17 Przykład f : R 3 R 2 określono wzorem f ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 + x 2 x 3, x 1 x 2 + x 3 ). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

18 Przykład f : R 3 R 2 określono wzorem f ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 + x 2 x 3, x 1 x 2 + x 3 ). Układ A = ((1, 0, 1), (0, 1, 2), (2, 1, 0)) jest baza R 3, zaś układ B = ((0, 1), (1, 1)) baza R 2. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

19 Przykład f : R 3 R 2 określono wzorem f ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 + x 2 x 3, x 1 x 2 + x 3 ). Układ A = ((1, 0, 1), (0, 1, 2), (2, 1, 0)) jest baza R 3, zaś układ B = ((0, 1), (1, 1)) baza R 2. Mamy f ((1, 0, 1)) = (1, 2) = 1(0, 1) + 1(1, 1), f ((0, 1, 2)) = ( 1, 1) = 2(0, 1) 1(1, 1), f ((2, 1, 0)) = (5, 1) = 4(0, 1) + 5(1, 1). Zatem [ ] M(f ) B A = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

20 Przykład f : R 3 R 2 określono wzorem f ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 + x 2 x 3, x 1 x 2 + x 3 ). Układ A = ((1, 0, 1), (0, 1, 2), (2, 1, 0)) jest baza R 3, zaś układ B = ((0, 1), (1, 1)) baza R 2. Mamy f ((1, 0, 1)) = (1, 2) = 1(0, 1) + 1(1, 1), f ((0, 1, 2)) = ( 1, 1) = 2(0, 1) 1(1, 1), f ((2, 1, 0)) = (5, 1) = 4(0, 1) + 5(1, 1). Zatem [ ] M(f ) B A = Oznaczenie: bazę R n złożona z wektorów jednostkowych ε 1,..., ε n będziemy nazywać baza standardowa i oznaczać st. Niech f będzie takie jak wyżej. Mamy f (ε 1 ) = f ((1, 0, 0)) = (2, 1), f (ε 2 ) = f ((0, 1, 0)) = (1, 1), f (ε 3 ) = f ((0, 0, 1)) = ( 1, 1). Zatem [ ] M(f ) st st = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7

21 Rzad macierzy Definicja Niech macierz A M n m (R) składa się z kolumn k 1,..., k m. wymiar przestrzeni lin(k 1,..., k m ) R n nazywamy rzędem A i oznaczamy r(a). Uwaga Rzad macierzy A jest zatem równy liczności maksymalnego układu liniowo niezależnego, utworzonego z kolumn A, a więc równy liczbie wierszy niezerowych macierzy schodkowej A powstałej z A przez zastosowanie operacji wierszowych. Twierdzenie Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W. Wówczas rzad macierzy M(f ) C B nie zależy od wyboru baz B w V i C w W i jest równy dim f (V ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień / 7