Kombinacje liniowe wektorów.

Transkrypt

1 Kombinacje liniowe wektorów

2 Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a = a 2 = = a m = ] Jeżeli dany zbiór wektorów nie jest liniowo niezależny, to mówimy, że jest liniowo zależny

3 Uwaga: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A = {v,, v m } Wówczas zbiór A jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy: a,, a m F [a v + +a m v m = θ a = a 2 = = a m = ]

4 Przykłady: Niech F będzie dowolnym ciałem i rozważmy przestrzeń F 3 Wówczas wektory ɛ =, ɛ 2 = i ɛ 3 = są liniowo niezależne Istotnie, ustalmy a, a 2, a 3 F i załóżmy, że a + a 2 + a 3 =

5 Oznacza to, że a, a 2, a 3 jest rozwiązaniem układu: a + a 2 + a 3 = U : a + a 2 + a 3 = a + a 2 + a 3 = Macierz współczynników lewych stron równań układu U jest równa A =, a jej wyznacznik det(a) =, a zatem wobec wzorów Cramera układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie a = a 2 = a 3 =

6 2 Niech F będzie dowolnym ciałem i rozważmy przestrzeń F 3 Wówczas wektory ɛ =, ɛ 2 = i ɛ + ɛ 2 = są liniowo zależne Istotnie: + =

7 Twierdzenie: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech v,, v m V Wektory v,, v m są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor v {v,, v m } będący kombinacją liniową pozostałych

8 Dowód: ( ) : Załóżmy, że v,, v m są liniowo zależne Wówczas istnieją skalary a,, a m F takie, że a v + + a m v m = theta, z których przynajmniej jeden jest niezerowy Powiedzmy, że a Wobec tego: v = a 2 v 2 a m v m a a

9 ( ) : Załóżmy, że jeden z wektorów, powiedzmy v, jest kombinacją liniową v 2,, v m : v = a 2 v a m v m Wówczas v a 2 v 2 a m v m = θ oraz

10 Twierdzenie: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A B V Wówczas: jeśli A jest liniowo zależny, to B jest liniowo zależny; 2 jeśli B jest liniowo niezależny, to A jest liniowo niezależny; 3 jeśli A jest liniowo zależny, to istnieją wektory v,, v m A, które są liniowo zależne

11 Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech U < V Warstwą wektora v V względem podprzestrzeni U nazywamy zbiór v + U = {v + w : w U} Zbiór wszystkich warstw oznaczamy przez V /U

12 Przykład: 3 Rozważmy ciało Z 3 i przestrzeń Z 2 3 Sprawdzamy, że {[ ] [ ] [ 2 U =,, ]} jest podprzestrzenią przestrzeni Z 2 3, zaś sama przestrzeń Z2 3 składa się z następujących wektorów: {[ ] [ ] [ ] Z =,,, [ ] [ ] [ ] 2,,, [ 2 ], [ 2 ], [ 2 2 ]}

13 Warstwy podprzestrzeni U to: [ ] {[ ] [ + U = + {[ ] [ =, [ ] [ 2 + U = U, [ ] {[ ] [ + U =, [ ] {[ ] [ 2 + U =, [ 2 [ 2 [ 2 ] + U = W ] {[ + U = 2 ] + U = W 2, ] [, ], [ 2 ] + U = U ] [, 2 [ 2 2 ] [ 2, ], [ ] [ 2, 2 ] + U = W 2 ] [ + ]} = U ]} = W ]} = W ]} = W 2 ] [, ] [ 2 + ]}

14 Twierdzenie: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech U < V W zbiorze warstw V /U definiujemy dodawanie: (v + U) + (w + U) = (v + w) + U oraz mnożenie przez skalar a F : a (v + U) = (a v) + U Wówczas (V /U, F, +, ) jest przestrzenią liniową Nazywamy ją przestrzenią ilorazową

15 Przykład: 4 Odwołując się do poprzedniego przykładu, rozważmy przestrzeń ilorazową Z 2 3 /U = {U, W, W 2 }, gdzie {[ ] [ ] [ ]} 2 U =,, oraz W = {[ ] [, ] [ 2, Sprawdzamy, że, na przykład: ([ W + W 2 = ([ ] [ = + 2 ]} {[, W 2 = 2 ] + U ) ([ + 2 ]) + U = [ ] [, 2 ] ) + U ] [ 2, 2 ] + U = U ]}

16 Twierdzenie: Niech F będzie ciałem, niech m, n N i rozważmy układ równań o współczynnikach z ciała F : a x + + a n x n = b a 2 x + + a 2n x n = b 2 U : a m x + + a mn x n = b m Niech ponadto U będzie układem jednorodnym powstałym z U przez zastąpienie prawych stron równań zerami: a x + + a n x n = a 2 x + + a 2n x n = U : a m x + + a mn x n = Wówczas zbiór rozwiązań Sol(U) jest warstwą podprzestrzeni rozwiązań układu jednorodnego U = Sol(U ) w przestrzeni F n

17 Dowód: Niech x x n oraz Pokażemy, że x x n y y n y y n będą rozwiązaniami układu U = x y x n y n U = Sol(U )

18 Ustalmy i {,, m} Wówczas: a i (x y ) + a i2 (x 2 y 2 ) + + a in (x n y n ) = (a i x + a i2 x a in x n ) (a i y + a i2 y a in y n ) = b i b i = Oznacza to, że Wobec dowolności x x n x x n y y n + U, oznacza to, że Sol(U) y y n + U

19 Dla dowodu drugiej inkluzji ustalmy y z y + z + = y n z n y n + z n z z n U Ustalmy i {,, m} Wówczas: y y n a i (y + z ) + a i2 (y 2 + z 2 ) + + a in (y n + z n ) + U, gdzie = (a i y + a i2 y a in y n ) + (a i z + a i2 z a in z n ) = b i + = b i, a zatem y y n + z z n Sol(U) i y y n + U Sol(U)

20 Uwaga: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech U,, U n < V Zbiór U + U 2 = {u + u 2 : u U, u 2 U 2 } jest podprzestrzenią przestrzeni V 2 Zbiór U + + U n = {u + + u n : u U,, u n U n } jest podprzestrzenią przestrzeni V

21 Dowód: Pokażemy część () uwagi, dowód części (2) przebiega analogicznie Ustalmy u + u 2, u + u 2 U + U 2, gdzie u, u U oraz u 2, u 2 U 2 Wówczas: (u + u 2 ) + (u + u 2) = (u + u ) + (u }{{} 2 + u2) U }{{} + U 2 U U 2 Ponadto dla a F : a(u + u 2 ) = (au ) }{{} + (au 2 ) U }{{} + U 2 U U 2

22 Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech U,, U n < V Podprzestrzeń U + U 2 nazywamy sumą podprzestrzeni U i U 2 Ogólniej, odprzestrzeń U + + U n nazywamy sumą podprzestrzeni U,, U n

23 Przykład: 5 Rozważmy przestrzeń liniową V i jej podprzestrzenie U = lin(u,, u n ) oraz W = lin(w,, w m ) Wówczas: v U + W v = u + w oraz u U, w W v = u + w oraz u = a u + + a n u n, w = b w + + b m w m, dla pewnych a,, a n F, b,, b m F v = a u + + a n u n + b w + + b m w m, dla pewnych a,, a n, b,, b m F v lin(u,, u n, w,, w m ) A zatem lin(u,, u n )+lin(w,, w m ) = lin(u,, u n, w,, w m )

24 Uwaga: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech U,, U n < V Następujące dwa warunki są równoważne: (a) U U 2 = {θ}, (b) jeśli u + u 2 = u + u 2, gdzie u, u U, u 2, u 2 U 2, to u = u oraz u 2 = u 2 2 Następujące dwa warunki są równoważne: (a) U i (U + + U i + U i+ + + U n ) = {θ}, dla i {,, n}, (b) jeśli u + u u n = u + u u n, gdzie u i, u i U i, dla i {,, n}, to u i = u i, dla i {,, n}

25 Dowód: Pokażemy część () uwagi, dowód części (2) przebiega analogicznie Załóżmy, że U U 2 = {θ} i niech u + u 2 = u + u 2, dla pewnych u, u U, u 2, u 2 U 2 Wówczas U u u = u 2 u 2 U 2 Skoro U U 2 = {θ}, więc u u = θ oraz u 2 u 2 = θ Stąd u = u oraz u 2 = u 2

26 Na odwrót, załóżmy, że jeśli u + u 2 = u + u 2, gdzie u, u U, u 2, u 2 U 2, to u = u oraz u 2 = u 2 Ustalmy u U U 2 Wówczas: u = }{{} u + }{{} θ = }{{} θ + }{{} u, U U 2 U U 2 a zatem u = θ

27 Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech U,, U n < V Jeżeli V = U + U 2 oraz spełniony jest jeden z dwóch równoważnych warunków Uwagi, to mówimy, że V jest sumą prostą podprzestrzeni U i U 2, co oznaczamy przez V = U U 2 Podprzestrzeń U 2 nazywamy wtedy dopełnieniem liniowym podprzestrzeni U Ogólniej, jeżeli V = U + U U n oraz spełniony jest jeden z dwóch równoważnych warunków Uwagi 2, to mówimy, że V jest sumą prostą podprzestrzeni U, U 2,, U n, co oznaczamy przez V = U U 2 U n

28 Uwaga: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech U,, U n < V i niech V = U U 2 U n Wówczas V = U U 2 U n

29 Dowód: Zdefiniujmy odwzorowanie f : V U U 2 U n wzorem f (u + u u n ) = (u, u 2,, u n ) Sprawdzenie, że jest to dobrze określony izomorfizm pozostawiamy czytelnikowi jako nietrudne ćwiczenie