XIV. DRGANIA 14.1. Ruch haroniczny Świat jest pełen ciał, które wykonują drgania, czyli poruszają się na przeian w jedną stronę i z powrote. Drgania te ierzy się za poocą częstotliwości. Częstotliwość drgań < jest to liczba pełnych drgań (cykli) wykonywanych w ciągu każdej sekundy. Jej jednostką w układzie SI jest herc (Hz), przy czy 1 Hz = 1 pełne drganie na sekundę = 1 s!1. Okres ruchu T jest to czas, w jaki jest wykonywane jedno pełne drganie: T = 1 ν. Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazyway ruche okresowy. Będziey rozważać ruch, w który zależność przeieszczenia x ciała od czasu jest opisana wzore xt () = x cos( ωt+ φ ), (14.1) w który wielkości x, T i N oznaczają pewne stałe. Ruch okresowy, opisany ty równanie, nazyway ruche haroniczny. Ponieważ funkcja cosinus zienia okresowo swe wartości iędzy +1 a!1, więc wartość x wyznacza odległość, na jaką cząstka odbiega od początku osi. Wielkość tę nazyway aplitudą drgań. Stałą T nazywa się częstością kołową ruchu. Aby poznać jej znaczenie, przyjijy we wzorze (14.1) N = 0. Przeieszczenie x(t) usi osiągnąć swą początkową wartość po czasie równy jedneu okresowi drgań T, czyli wartość x(t) usi być równa x(t + T) dla każdej wartości t, co oznacza, że x cosωt = x cos ω( t + T). Wartości funkcji cosinus będą ponownie takie sae, gdy jej arguent (faza drgań) wzrośnie o B radianów, czyli ω ( t + T) = ωt + π, skąd ωt = π, a więc π ω = = πν. T Jednostką częstości kołowej w układzie SI jest radian na sekundę.
14.1. Ruch haroniczny 99 Ostatnia stała N nazywa się fazą początkową. Jej ujena wartość daje przesunięcie wykresu przeieszczenia w lewo, a dodatnia w prawo (zob. rys. 14.1). Rys. 14.1. Wykres przeieszczenia w ruchu haroniczny Różniczkując wzór (14.1) otrzyujey wyrażenie na prędkość ciała wykonującego ruch haroniczny: dx() t d vt () = = [ x cos( ωt + φ)], dt dt czyli Wielkość stojąca przed funkcją sinus wyznacza zakres zian prędkości zienia się ona w granicach od +Tx do!tx. Znając prędkość w ruchu haroniczny i wykonując ponowne różniczkowanie, otrzyay wzór na przyspieszenie drgającego ciała: czyli skąd po uwzględnieniu zależności (14.1) dostajey vt () = ωx sin( ωt+ φ ). (14.) dv() t d at () = = [ ωx sin( ωt + φ)], dt dt at () = ω x cos( ωt+ φ), at () = ω xt (). (14.3) Z drugiej zasady dynaiki Newtona ożna obliczyć siłę działającą na ciało, by nadać u przyspieszenie wyrażone wzore (14.3). May F = a = ( ω x) = ( ω ) x. Znak inus oznacza, że kierunek siły działającej na cząstkę jest przeciwny do kierunku jej przeieszczenia. Oznacza to, że siła powodująca ruch haroniczny jest siłą zwrotną, która stara się zawrócić poruszającą się cząstkę do punktu równowagi x = 0. Możey zate powiedzieć, że
100 XIV. Drgania ruch haroniczny jest to ruch, jaki wykonuje ciało o asie, na które działa siła proporcjonalna do przeieszczenia, ale o przeciwny znaku. Zauważy, że z podobną sytuacją ieliśy do czynienia przy opisywaniu układu składającego się z klocka i sprężyny. Zgodnie z prawe Hooke a siła związana z przeieszczenie klocka a postać F = kx. Porównując oba te wzory, ożey powiązać stałą sprężystości k z asą klocka i częstością kołową jego ruchu haronicznego: k = ω. Znając więc asę drgającego klocka, ożna obliczyć częstość kołową jego ruchu haronicznego: k ω = (14.4) i okres drgań: T = π. k Układ klocek-sprężyna opisany tyi równaniai tworzy tzw. liniowy oscylator haroniczny, przy czy słowo liniowy oznacza, że siła F jest proporcjonalna do przeieszczenia x. 14.. Energia w ruchu haroniczny Energia oscylatora liniowego zienia się nieustannie z energii kinetycznej w potencjalną i na odwrót, podczas gdy ich sua, czyli energia echaniczna E, pozostaje stała. Energia potencjalna oscylatora liniowego w całości jest związana ze sprężyną. Jej wartość zależy od stopnia rozciągnięcia lub ściśnięcia sprężyny, czyli od wielkości x(t). Jak paiętay (zob. p. 7.1), energia potencjalna układu klocek-sprężyna jest dana wzore Ep = 1 kx skąd po uwzględnieniu zależności (14.1) otrzyujey Energia kinetyczna układu klocek-sprężyna w całości jest związana z klockie. Jej wartość zależy od tego, jak szybko porusza się klocek, czyli od prędkości v(t). Uwzględniając wzór (14.) ay 1 1 Ek = v = ω x sin ( ωt + φ). Na podstawie wzoru (14.4) zaiast T ożey podstawić k /, a stąd, 1 Ep = kx cos ( ωt + φ ). (14.5) 1 Ek = kx sin ( ωt + ϕ ). (14.6)
14.3. Wahadła i ruch po okręgu 101 Suując wyrażenia (14.5) i (14.6) ay 1 1 E = Ep + Ek = kxcos ( ωt + φ) + kxsin ( ωt + φ) 1 1 = kx[cos ( ωt + φ) + sin ( ωt + φ)] = kx. Ze wzoru tego wynika, że energia echaniczna oscylatora liniowego jest stała i nie zależy od czasu. 14.3. Wahadła i ruch po okręgu W ty punkcie zajiey się oscylatorai haronicznyi, w których sprężystość jest związana z siłą grawitacyjną, a nie ze sprężystyi właściwościai rozciąganej sprężyny. Rozważy wahadło ateatyczne ające postać ciała (ciężarka) o asie zawieszonego na jedny końcu nierozciągliwej linki o znikoo ałej asie i o długości L, której drugi koniec jest uocowany. Ciężarek kołysze się swobodnie w płaszczyźnie rysunku r(zob. rys. 14.). Jeżeli r linka rjest odchylona od pionu o kąt, na ciężarek działa naprężenie linki T i siła ciężkości F g. Siłę F g rozkładay na składową radialną F g cos i składową styczną do toru zakreślanego przez ciężarek F g sin. Składowa styczna powoduje powstanie przywracającego stan równowagi oentu siły względe punktu zawieszenia wahadła, gdyż zawsze działa przeciwnie do wychylenia ciężarka i wyusza jego powrót do centralnego położenia. Położenie to nazywa się położenie równowagi, gdyż nieruchoe wahadło pozostawałoby w ni w spoczynku. Rys. 14.. Wahadło ateatyczne Jak paiętay (zob. p. 10.), oent siły M M = r F = L( F g sin θ ), ożey zapisać w postaci
10 XIV. Drgania gdzie znak inus oznacza, że oent siły powoduje zniejszenie kąta, a L oznacza raię składowej stycznej siły F g sin względe punktu zawieszenia wahadła. Ponieważ z drugiej strony M = I", gdzie I oznacza oent bezwładności, a " przyspieszenie kątowe względe tego punktu, więc Lg ( sin θ) = Iα, przy czy siłę ciężkości zastąpiliśy wyrażenie g. Jeżeli założyy, że kąt jest ały, to funkcję sin ożna przybliżyć przez kąt wyrażony w radianach. Korzystając z tego przybliżenia otrzyujey α = gl θ. (14.7) I Powyższy wzór oznacza, że przyspieszenie kątowe " wahadła jest proporcjonalne do jego przeieszczenia kątowego, ale a przeciwny znak. Tak więc ciężarek wahadła porusza się w prawo (jak na rys. 14.), jego przyspieszenie skierowane w lewo wzrasta, dopóki ciężarek nie zatrzya się i nie zacznie poruszać się w lewo. Przez porównanie wyrażeń (14.3) i (14.7) otrzyay wzór na częstość kołową wahadła: ω = gl. I Jeśli następnie podstawiy to wyrażenie do wzoru T = B / T, to ożey wyznaczyć okres drgań wahadła. May I T = π. (14.8) gl Cała asa wahadła ateatycznego jest skupiona w ciężarku o asie znajdujący się w odległości L od punktu zawieszenia. Ponieważ oent bezwładności I = r, więc dla rozważanego wahadła ay I = L. Po podstawieniu tego wyrażenia do zależności (14.8) otrzyujey ostatecznie prosty wzór na okres drgań wahadła ateatycznego poruszającego się w zakresie ałych kątów: L T = π. (14.9) g Rzeczywiste wahadło, zwane wahadłe fizyczny, oże ieć skoplikowany rozkład asy. Na rys. 14.3 r przedstawiono pewne wahadło fizyczne odchylone w jedną stronę o kąt. Siła ciężkości F g działa na środek asy C, który znajduje się w odległości h od punktu zawie- szenia O. Poiędzy wahadłe ateatyczny i fizyczny jest tylko jedna istotna różnica. W wahadle fizyczny oent siły związany ze składową siły ciężkości F g sin a raię o długości h względe punktu zawieszenia, a nie raię równe długości linki L. Jeśli zate we wzorze (14.8) zastąpiy L przez h, to otrzyay wzór na okres ruchu wahadła fizycznego postaci T I = π. (14.10) gh Podobnie jak w wahadle ateatyczny, I oznacza oent bezwładności wahadła względe punktu O, ale w ty przypadku nie wyraża się on prosty wzore L, gdyż zależy od kształtu wahadła fizycznego (choć nadal jest proporcjonalny do asy ).
14.3. Wahadła i ruch po okręgu 103 Rys. 14.3 Wahadło fizyczne Każdeu wahadłu fizyczneu, drgająceu wokół danego punktu zawieszenia O z okrese T, odpowiada wahadło ateatyczne o długości L O, drgające z ty say okrese T. Wielkość L O nazywa się długością zredukowaną wahadła fizycznego i ożna ją wyznaczyć ze wzoru (14.9). Punkt znajdujący się w odległości L O od punktu zawieszenia O nazyway środkie wahań wahadła fizycznego dla danego punktu zawieszenia. Wahadło fizyczne ożna wykorzystać do poiaru przyspieszenia zieskiego g w różnych punktach na powierzchni Ziei. Rozważy przypadek wahadła w postaci jednorodnego pręta o długości L, który jest unieruchoiony na jedny końcu. Dla takiego wahadła odległość h od punktu zawieszenia do środka asy wynosi L /. Moent bezwładności tego wahadła względe prostopadłej osi przechodzącej przez środek asy jest równy L / 1. Korzystając z twierdzenia Steinera (zob. p. 9.4) ay 1 I = I SM + h = L + L L 1 1 =. 1 3 Jeśli wyrażenie to podstawiy do równania (14.10) i uwzględniy podaną wartość h, a następnie rozwiążey to równanie względe g, to otrzyay L g = 8 π. 3T Ze wzoru tego wynika, że do wyznaczenia przyspieszenia zieskiego w iejscu, w który znajduje się wahadło, wystarczy zierzyć długość L i okres T. Okazuje się, że ruch haroniczny jest związany z ruche jednostajny po okręgu. Pierwszy zauważył to Galileusz, który w 1610 roku, posługując się skonstruowany przez siebie teleskope, odkrył cztery główne księżyce Jowisza. Zauważył on, iż wydaje się, że każdy księżyc porusza się ta i z powrote względe planety w sposób haroniczny (dysk planety był centralny punkte ruchu). Obecnie forułuje się to nieco ściślej, a ianowicie, że ruch haroniczny
104 XIV. Drgania ożna opisać jako ruch rzutu punktu poruszającego się ruche jednostajny po okręgu na średnicę okręgu, po który ten ruch odbywa się. Rys. 14.4. Związki iędzy ruche haroniczny i ruche jednostajny po okręgu Zilustrowano to na rys. 14.4, na który przedstawiono cząstkę P poruszającą się po okręgu ruche jednostajny ze stałą prędkością kątową T. Proień x okręgu jest równy długości wektora położenia cząstki. W dowolnej chwili położenie kątowe cząstki jest równe Tt + N, gdzie N oznacza położenie kątowe w chwili t = 0. Rzute położenia cząstki P na oś x jest punkt P, którego ruch będziey analizować. Rzut wektora położenia cząstki P na oś x daje współrzędną x(t) punktu P. May czyli wzór (14.1). Oznacza to, że jeżeli cząstka P porusza się ruche jednostajny po okręgu, to rzut jej położenia P przeieszcza się ruche haroniczny wzdłuż średnicy okręgu. r Na rys. 14.4 b) przedstawiono prędkość v cząstki P. Jak paiętay (zob. p. 9.3), długość wektora prędkości wynosi Tx, a jego rzut na oś x opisuje wyrażenie czyli wzór (14.). Znak inus wziął się stąd, że prędkość punktu P na rys. 14.4 b) jest skierowana w lewo, a więc przeciwnie do kierunku osi x. r Przyspieszenie dośrodkowe a cząstki P jest przedstawione na rys. 14.4 c). Długość wek- tora przyspieszenia dośrodkowego wynosi T x, a jego rzut na oś x opisuje wyrażenie czyli wzór (14.3). xt () = x cos( ωt+ φ), vt () = ωx sin( ωt+ φ), at () = ω x cos( ωt+ φ), 14.4. Ruch haroniczny tłuiony Jeżeli ruch oscylatora słabnie na skutek działania sił zewnętrznych, to taki oscylator nazyway oscylatore tłuiony, a jego drgania nazyway tłuionyi. Prosty oscylator tłuiony
14.4. Ruch haroniczny tłuiony 105 przedstawiono na rys. 14.5. Składa się on z klocka o asie, który drga w pionie zawieszony na sprężynie o stałej sprężystości k. Do klocka jest przyczepiony pręt zakończony łopatką zanurzoną w cieczy (zakładay, że eleenty te ają znikoo ałą asę). Gdy łopatka porusza się w górę i w dół, ciecz wywiera na nią (i na cały układ) siłę oporu. Rys. 14.5. Prosty oscylator tłuiony r Załóży, że siła oporu F o, jaką działa ciecz, jest proporcjonalna do wartości prędkości łopatki i klocka. Dla składowej wzdłuż kierunku x ay zate gdzie b oznacza r stałą tłuienia, która zależy od właściwości łopatki i cieczy. Znak inus wskazuje, że siła przeciwdziała ruchowi. F o Fo = bv, Sprężyna działa na klocek siłą F s =!kx. Jeżeli założyy, że siła ciężkości jest znikoo ała w porównaniu z siłai F o i F s, to drugą zasadę dynaiki Newtona dla składowej wzdłuż osi x ożna zapisać w postaci bv kx = a. Po podstawieniu v = dx / dt i a = d x / dt otrzyujey równanie różniczkowe d x + b dx + kx = 0. dt dt Rozwiązanie tego równania a postać xt () = x exp( bt/ )cos( ω t+ φ ), (14.11) r v gdzie x oznacza aplitudę, a ω częstość kołową oscylatora tłuionego daną wzore
106 XIV. Drgania k ω = Zauważy, że gdy b = 0 (brak tłuienia), wzór ten określa częstość kołową oscylatora nietłuionego, a wzór (14.11) sprowadza się do wzoru (14.1). Ponadto jeśli stała tłuienia jest ała, czyli b<< k, to ω ω. Energia echaniczna oscylator nietłuionego jest stała i wynosi (zob. p. 14.) W przypadku oscylatora tłuionego energia echaniczna nie jest stała i aleje z czase. Jeśli tłuienie jest słabe, to ożey znaleźć zależność E(t), zastępując w powyższy wzorze wielkość x aplitudą drgań tłuionych x exp(!bt / ). Otrzyujey przybliżony wzór z którego wynika, że energia, podobnie jak aplituda, aleje wykładniczo z czase. b 4. E = 1 kx 1 Et () kx exp( bt/ ),. 14.5. Drgania wyuszone i rezonans Gdy na układ drgający o częstości kołowej drgań własnych T działa siła zewnętrzna wyuszająca drganie z częstością kołową T wy, to układ wykonuje drgania z częstością kołową T wy. Wartość aplitudy drgań x w skoplikowany sposób zależy od częstości kołowych T wy i T. Aplituda zian prędkości drgań v jest największa, gdy jest spełniony warunek rezonansu ω wy = ω. Wyrażenie to jest również przybliżony warunkie tego, by aplituda drgań x była największa. Zadania 1. Ciało drgające ruche haroniczny potrzebuje 0,5 s na przejście z punktu, w który a zerową prędkość do następnego takiego punktu. Odległość iędzy tyi punktai jest równa 36 c. Wyznaczyć: a) okres, b) częstotliwość, c) aplitudę drgań.. Wyznaczyć aksyalne przyspieszenie platfory drgającej z aplitudą, c i częstotliwością 6,6 Hz. 3. Głośnik wytwarza dźwięk za poocą drgającej ebrany. Aplituda jej drgań nie oże być większa niż 1 :. Dla jakiej częstotliwości wartość przyspieszenia ebrany a jest równa g? Czy dla większych częstotliwości wartość a jest większa, czy niejsza niż g?
14.5. Drgania wyuszone i rezonans 107 4. Położenie ciała drgającego ruche haroniczny jest opisane wzore x = ( 6) cos[( 3π rad / s) t + π / 3rad}. Wyznaczyć: a) prędkość, b) przyspieszenie, c) fazę ruchu w chwili t = s. Wyznaczyć również: d) częstotliwość, e) okres drgań. 5. Oscylator a postać klocka o asie 0,5 kg uocowanego na sprężynie. Po wprawieniu w drgania o aplitudzie 35 c oscylator powtarza swój ruch co 0,5 s. Wyznaczyć: a) okres, b) częstotliwość, c) częstość kołową, d) stałą sprężystości, e) aksyalną prędkość, f) wartość aksyalnej siły, jaką sprężyna wywiera na klocek. 6. Określić, jaka część całkowitej energii a postać: a) energii kinetycznej, a jaka b) energii potencjalnej, gdy przeieszczenie w ruchu haroniczny jest równe połowie aplitudy x. c) Znaleźć przeieszczenie, przy który energia układu jest równo podzielona iędzy energię kinetyczną i potencjalną (wyrazić je w postaci ułaka aplitudy). 7. Wyznaczyć energię echaniczną układu klocek-sprężyna, wiedząc, że stała sprężystości wynosi 1,3 N / c, a aplituda drgań jest równa,4 c. 8. Znajdujące się na pozioej, idealnie gładkiej powierzchni ciało o asie 5 kg doczepiono do sprężyny o stałej sprężystości k = 1000 N /. Ciało odsunięto pozioo od położenia równowagi na odległość 50 c i nadano u prędkość początkową 10 / s w kierunku położenia równowagi. Wyznaczyć: a) częstotliwość ruchu, b) początkową energię potencjalną układu ciało-sprężyna, c) początkową energię kinetyczną, d) aplitudę drgań. 9. Wahadło składa się z jednorodnego krążka o proieniu r = 10 c i asie 500 g oraz jednorodnego pręta o długości L = 500 i asie 70 g (zob. rys. 14.6). a) Obliczyć oent bezwładności wahadła względe punktu zawieszenia. b) Wyznaczyć odległość iędzy punkte zawieszenia i środkie asy wahadła. c) Obliczyć okres drgań wahadła. 10. Akrobata siedzący na trapezie wykonuje wahania ta i z powrote z okrese 8,85 s. Jeżeli wstanie, to środek układu trapez-akrobata podniesie się o 35 c. Jaki będzie wówczas okres drgań układu? Potraktować układ trapez-akrobata jak wahadło ateatyczne. 11. Aplituda słabo tłuionego oscylatora aleje w każdy cyklu drgań o 3%. Jaka część energii echanicznej jest tracona w każdy cyklu drgań?
108 XIV. Drgania Rys. 14.6. Zadanie 9 1. W układzie przedstawiony na rys. 14.5 asa klocka wynosi 1,5 kg, a stała sprężystości jest równa 8 N /. Siłę tłuiącą opisuje wyrażenie!b(dx / dt), gdzie b = 30 g / s. Początkowo klocek został pociągnięty na odległość 1 c i puszczony swobodnie. a) Wyznaczyć czas, po który aplituda drgań spadnie do jednej trzeciej wartości początkowej. b) Ile okresów drgań wykona klocek w ty czasie?
XV. FALE 15.1. Fale poprzeczne Wyróżniay trzy główne rodzaje fal:! fale echaniczne (np. fale na wodzie, fale dźwiękowe, dale sejsiczne), które ogą istnieć wyłącznie w ośrodku aterialny (np. w wodzie, w powietrzu, w skale),! fale elektroagnetyczne, do których zaliczay światło widzialne i nadfioletowe, fale radiowe i telewizyjne, ikrofale, proieniowane rentgenowskie oraz fale radarowe; fale te nie potrzebują żadnego ośrodka aterialnego i poruszają się w próżni z tą saą prędkością równą prędkości światła (c = 99 79 458 / s),! fale aterii, które są związane z elektronai, protonai i innyi cząstkai eleentarnyi. Fale echaniczne podlegają zasado dynaiki Newtona. Wyróżniay wśród nich fale poprzeczne i podłużne. Poprzeczne fale echaniczne są to fale, w których cząstki drgają w kierunku prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (przykłade ogą być fale na napiętej lince). Fale, w których cząstki drgają w kierunku równoległy do kierunku rozchodzenia się fali nazywa się falai podłużnyi. Aby opisać falę, potrzebujey funkcji opisującej jej kształt, czyli zależności postaci y = h( x, t). Funkcja taka opisuje poprzeczne przeieszczenie y eleentu fali zależne od czasu t i położenia x tego eleentu. W ogólności sinusoidalny kształt fali oże być opisany zarówno za poocą funkcji sinus, jak i cosinus, bo obie dają ten sa kształt. Dalej będziey posługiwać się funkcją sinus. W chwili t przeieszczenie y eleentu znajdującego się w punkcie x dane jest wzore yxt (, ) = y sin( kx ω t). (15.1) Wielkość y nazyway aplitudą fali (zob. rys. 15.1). Określa ona bezwzględną wartość aksyalnego przeieszczenia eleentu względe jego położenia równowagi. Rys. 15.1 Fala sinusoidalna
110 XV. Fale Arguent kx! Tt nazywa się fazą fali. Gdy fala przechodzi przez pewien eleent znajdujący się w punkcie x, faza zienia się liniowo wraz z czase t. Oznacza to, że wartość funkcji sinus również zienia się, oscylując w granicach od +1 do!1. Funkcja ta i zależna od czasu faza fali odpowiadają drganio eleentu. Długością fali 8 nazyway odległość (ierzoną równolegle do kierunku rozchodzenia się fali) iędzy kolejnyi powtórzeniai kształtu fali. Ze wzoru (15.1) dla t = 0 otrzyujey yx (, 0 ) = y sin kx. Ponieważ przeieszczenie y usi być takie sao na obu końcach odcinka odpowiadającego długości fali, czyli w punktach x = x 1 oraz x = x 1 + 8,, więc z powyższego wzoru ay y sin kx = y sin k( x + λ) = y sin( kx + kλ). 1 1 1 Wartości funkcji sinus powtarzają się co B rad, a więc z powyższej zależności otrzyujey k8 = B, czyli Wielkość k nazyway liczbą falową. Jej jednostką w układzie SI jest radian na etr. Pojedynczy eleent fali porusza się w górę i w dół ruche haroniczny, opisany wzore (15.1) przy założeniu x = 0, czyli Okres T fali definiujey jako czas, w ciągu którego dowolny eleent wykona jedno pełne drganie. Na podstawie powyższego wyrażenia ay Zależność ta oże być spełniona tylko wtedy, gdy TT = B, czyli Wielkość T nazywa się częstością kołową. Jej jednostką w układzie SI jest radian na sekundę. Z częstością kołową jest związana częstotliwość fali <, którą definiujey jako 1 / T. May Biegnąca fala sinusoidalna opisana równanie (15.1) a w otoczeniu punktu x = 0 kształt pokazany na rys. 15. a). Dla x = 0 przeieszczenie wynosi y = 0, a nachylenie krzywej jest aksyalne. Równaniu teu ożna nadać postać ogólniejszą, wprowadzając tzw. fazę początkową N, czyli przesunięcie wzdłuż osi x (zob. rys. 15. b)): Dodatnia faza N oznacza przesunięcie wykresu w ujeny kierunku osi x, a ujena w kierunku dodatni tej osi. k = π λ. (15.) y( 0, t) = y sin( ωt) = y sin ωt. y sinωt = y sin ω( t + T) = y sin( ωt + ωt). 1 1 1 π ω = T. (15.3) 1 ω ν = =. T π y = y sin( kx ωt + φ).
15.1. Fale poprzeczne 111 Rys. 15.. Ziana fazy początkowej W ciągu czasu )t fala przesuwa się na odległość )x. Iloraz różnicowy )x / )t (w granicy pochodna dx / dt) jest prędkością fali. W celu jej wyznaczenia zauważy, że punktowi o ustalonej fazie odpowiada co chwila inny eleent fali. Z równania (15.1) otrzyujey jako warunek stałości fazy wyrażenie kx ωt = const. (15.4) Różniczkując to wyrażenie ay czyli Uwzględniając zależności (15.) i (15.3) ożey zapisać wzór na prędkość fali następująco: Wzór (15.1) opisuje falę biegnącą w dodatni kierunku osi x. Fale biegnąca w kierunku przeciwny jest opisana równanie Dla takiej fali warunek (15.4) a postać skąd dostaniey k dx dt ω = 0, dx v = = ω. dt k v = ω k = λ T = λν. yxt (, ) = y sin( kx+ωt). kx + ωt = const, dx dt = ω. k
11 XV. Fale Znak inus potwierdza, że fala rzeczywiście porusza się w ujeny kierunku osi x. Okazuje się, że prędkość fali w napiętej linie zależy od właściwości liny, a nie od właściwości fali (jak na przykład częstotliwości czy aplitudy). W celu wyprowadzenia wzoru na tę prędkość rozważy pojedynczy syetryczny ipuls biegnący wzdłuż liny. Dla wygody wybieray układ odniesienia, w który ipuls jest stacjonarny, czyli poruszay się raze z ipulse w taki sposób, by był on niezienny. W taki układzie odniesienia lina przesuwa się względe nas z prawa na lewo z prędkością v (zob. rys. 15.3). Rys. 15.3. Syetryczny ipuls w układzie odniesienia, w który ipuls jest stacjonarny Rozważy ały odcinek liny o długości )l, znajdujący się wewnątrz ipulsu, tworzący łuk okręgu o proieniu R i obejujący kąt wokół środka tego okręgu. Rozważany odcinek liny r jest rozciągany stycznie na obu jego końcach przez siły równe co do wartości naprężeniu liny T. Pozioe składowe tych sił znoszę wzajenie, a sua składowych pionowych daje siłę radialną F r o wartości F = ( Tsin θ) T( θ) = T l, R przy czy przybliżyliśy tu sin przez (co jest słuszne dla ałych kątów ) oraz skorzystaliśy ze związku = )l / R. Masa eleentu liny jest dana wzore = µ l, gdzie : oznacza liniową gęstość liny. W chwili przedstawionej na rys. 15.3 eleent )l liny porusza się po łuku okręgu. Ma on zate przyspieszenie dośrodkowe skierowane do środka tego okręgu, które jest dane wzore v a =. R Na podstawie drugiej zasady dynaiki Newtona (siła = asa @ przyspieszenie) ay zate T l R v = ( µ l). R
15.. Energia i oc fali biegnącej w linie 113 Rozwiązując to równanie względe prędkości v otrzyujey v T = µ, co oznacza, że prędkość fali w idealnej naprężonej linie zależy wyłącznie od naprężenia i gęstości liniowej liny, a nie zależy od częstotliwości fali. 15. Energia i oc fali biegnącej w linie Gdy wytwarzay falę w naciągniętej linie, usiy dostarczyć energię niezbędną do ruchu liny. Fala biegnąca przenosi tę energię w postaci energii kinetycznej i potencjalnej. Energia kinetyczna de k, jaką a eleent liny o asie d, jest dana wzore de k = 1 du, (15.5) gdzie u oznacza prędkość poprzeczną drgającego eleentu liny. Aby wyznaczyć wielkość u, różniczkujey równanie (15.1) względe czasu przy stałej wartości x: y u = = ωy cos( kx ωt). t Korzystając z tej zależności i podstawiając d = :dx, przekształcay wzór (15.5) do postaci 1 de k = ( µ dx)( ωy) cos ( kx ωt). Dzieląc to wyrażenie przez dt, otrzyujey szybkość zian energii kinetycznej eleentu liny, czyli szybkość, z jaką energia kinetyczna jest przenoszona przez falę. May de dt k 1 = µω v y cos ( kx ωt), gdzie v = dx / dt. Średnia szybkość, z jaką jest przenoszona energia kinetyczna, wynosi de dt k 1 1 = µω y[cos ( kx ω t)] sr = µ vω y, (15.6) 4 sr przy czy uwzględniliśy tu, że średnia wartość kwadratu funkcji cosinus wzięta po całkowitej liczbie okresów jest równa 1/. Energia potencjalna sprężystości jest również przenoszona przez falę z taką saą szybkością, daną wzore (15.6). Średnia oc, czyli średnia szybkość, z jaką oba rodzaje energii są przenoszone przez falę, wynosi zate P sr dek = = dt sr 1 µω v y. Czynniki : oraz v w ty wyrażeniu zależą od ateriału i naprężenia liny, a czynniki T oraz y od sposobu powstawania fali.
114 XV. Fale 15.3. Równanie falowe Gdy fala przechodzi przez jakikolwiek eleent napiętej liny, eleent ten porusza się w kierunku prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali. Wykorzystując drugą zasadę dynaiki Newtona, ożna wyprowadzić równanie różniczkowe, które opisuje fale biegnące dowolnego rodzaju. Rys. 15.4. Eleent napiętej liny i działająca siła Na rys. 15.4 a) przedstawiono eleent liny o asie d i długości l w pewnej chwili, r gdy fala rozchodzi się wzdłuż osi x w napiętej w ty kierunku linie o gęstości liniowej :. Siła F działa- jąca na r prawy koniec eleentu a wartość równą naprężeniu liny T i jest skierowana ku górze. Siła F 1 działająca na lewy koniec eleentu a także wartość równą naprężeniu liny T, ale jest skierowana nieznacznie ku dołowi. Kierunki tych sił są więc przeciwne. Ich wypadkowa a składową skierowaną ku górze, a więc jest źródłe skierowanego w górę przyspieszenia a y. Z drugiej zasady dynaiki Newtona wynika, że Masę eleentu d ożna wyrazić przez gęstość liniową liny : i długość eleentu l, czyli d = :l. Eleent jest nachylony względe osi x nieznacznie, wobec czego ożna przyjąć, że l. dx. May więc d = µ dx. Przyspieszenie a y jest równe pochodnej drugiego rzędu przeieszczenia y względe czasu, czyli d y a y = r dt. Z rys. 15.4 b) wynika, że siła F jest styczna do eleentu liny na jego prawy końcu. Sto- sunek składowych siły jest równy nachyleniu eleentu na ty końcu (współczynnikowi kierunkoweu stycznej), które oznaczyy przez N. May zate Długość wektora ożna wyrazić przez jego składowe: F F = d a. (15.7) y 1y y N F y =. (15.8) F x x y F = F + F,
15.3. Równanie falowe 115 czyli T = F + F bo F = T. Ponieważ założyliśy, że eleent liny jest nieznacznie nachylony, to F y << F x i ożey ostatnie równanie napisać w postaci Podstawiając to wyrażenie do równania (15.8) znajdujey, że Podobne rozuowanie dla lewego końca eleentu liny daje Jeśli wzory te podstawiy do równania (15.7), to otrzyay F F T x = F x. = TN. y = TN. 1y 1 TN TN dx d y 1 =( µ ), dt czyli N N1 d y = µ. (15.9) dx T dt Eleent liny jest bardzo krótki, więc nachylenia stycznych do niego na obu końcach (N i N 1 ) różnią się nieznacznie, w przybliżeniu o różniczkę dn, przy czy N oznacza nachylenie stycznej w dowolny punkcie, czyli N = dy. dx Jeśli w równaniu (15.9) zastąpiy N! N 1 przez dn i skorzystay z powyższego równania, to otrzyay dn d y = µ dx T dt, czyli ddy ( / dx) d y = µ, dx T dt skąd y µ y =. x T t Przeszliśy tu do pochodnych cząstkowych, gdyż po lewej stronie równania ay różniczkować tylko względe x, a po prawej wyłącznie względe t. Uwzględniając, że v = T / µ (zob. p. 15.1), otrzyujey ostatecznie Równanie to nazywa się równanie falowy i opisuje rozchodzenie się fal dowolnego rodzaju. y, y 1 y =. (15.10) x v t
116 XV. Fale 15.4. Interferencja fal Gdy w ty say ośrodku rozchodzą się dwie (lub więcej) fale, przeieszczenie każdej cząstki tego ośrodka jest suą przeieszczeń powodowanych przez każdą z fal, zgodnie z zasadą superpozycji. Załóży, że dwie fale biegną równocześnie wzdłuż tej saej napiętej liny. Niech y 1 (x, t) i y (x, t) oznaczają przeieszczenia tej liny spowodowane przez każdą z fal osobno. Przeieszczenie liny w sytuacji, gdy fale nakładają się, będzie ich suą algebraiczną, tj. yxt (, ) = y( xt, ) + y( xt, ). 1 Suowanie przeieszczeń wzdłuż liny oznacza, że nakładające się fale dodają się algebraicznie tworząc falę wypadkową. Jest to przykład zasady superpozycji, Gdy ipulsy fal nakładają się, wypadkowy ipuls stanowi ich suę, a nakładające się fale w żaden sposób nie wpływają na siebie wzajenie. Załóży, że wysyłay dwie fale o takiej saej długości fali i aplitudzie, biegnące w ty say kierunku wzdłuż napiętej liny. Wypadkowa fala zależy od tego, jaka jest względna faza obu fal, czyli od tego, o ile jedna fala jest przesunięta względe drugie. Niech pierwsza fala będzie opisana równanie y ( x, t) = y sin( kx ω t), a druga, przesunięta względe pierwszej, wzore 1 Obie fale różnią się jedynie w fazie o stały kąt N, który nazywa się przesunięcie fazowy. Zgodnie z zasadą superpozycji, fala wypadkowa jest suą algebraiczną dwóch interferujących (nakładających się na siebie) fal, a jej przeieszczenie wynosi Ponieważ suę sinusów dwóch kątów " i $ ożna przedstawić w postaci y ( x, t) = y sin( kx ω t + φ ). yxt (, ) = y1( xt, ) + y( xt, ) = y sin( kx ωt) + y sin( kx ωt + φ). α + β α β sinα + sin β = sin cos, otrzyujey stąd yxt (, ) = y cos sin kx t. φ + φ ω (15.11) Jak widać z tego wzoru, fala wypadkowa jest również falą sinusoidalną biegnącą w dodatni kierunku osi x. Fala wypadkowa różni się od fal interferujących pod dwoa względai:! jej przesunięcie fazowe jest równe N /,! jej aplituda jest równa wartości bezwzględnej wyrażenia w nawiasach przed funkcją sinus we wzorze (15.11), czyli
15.5. Fale stojące i rezonans 117 φ y = y cos. Analiza tego wzoru prowadzi do trzech ciekawych przypadków:! N = 0 interferencja, która daje największą wartość aplitudy (interferencję taką nazyway interferencją całkowicie konstruktywną),! N = B (180 ) aplituda fali wypadkowej jest równa zeru, czyli nie obserwujey żadnego ruchu (interferencję taką nazyway interferencją całkowicie destruktywną),! N = B / 3 (10 ) aplituda fali wypadkowej jest równa aplitudzie fal interferujących. 15.5. Fale stojące i rezonans Wynikie interferencji dwóch jednakowych fal sinusoidalnych rozchodzących się w przeciwnych kierunkach jest fala stojąca. Dla takich fal ay y1 ( x, t ) = y sin( kx ω t ) i y ( x, t) = y sin( kx +ω t), skąd (z zasady superpozycji) yxt (, ) = y1( xt, ) + y( xt, ) = ysin( kx ωt) + ysin( kx+ ωt) = ( y sin kx)cos ωt. Wyrażenie to nie opisuje fali biegnącej,a właśnie falę stojącą. Bezwzględną wartość wielkości w nawiasie ożey uważać za aplitudę drgań eleentu liny znajdującego się w punkcie x. W przypadku biegnącej fali sinusoidalnej aplituda fali jest taka saa dla wszystkich eleentów liny. Tutaj aplituda zienia się wraz z położenie. Na przykład aplitudę o wartości zero ay dla takich wartości kx, dla których sin kx = 0, czyli dla wartości spełniających warunek kx = nπ, n = 01K,,,. Podstawiając do tego wyrażenia k = B / 8, otrzyujey położenia punktów o zerowej aplitudzie (punkt takie nazyway węzłai) λ x = n, n= 01,,, K. Zauważy, że sąsiednie węzły są oddalone o 8 /, czyli o połowę długości fali. Aplituda fali stojącej osiąga aksiu równe y dla takich wartości kx, dla których sin kx = 1. Są to wartości spełniające warunek 1 kx = n + π, n = 01,,, K.
118 XV. Fale Po podstawieniu k = B / 8, otrzyujey położenia punktów o największej aplitudzie (punkty takie nazywa się strzałkai) 1 λ x = n+, n= 01,,, K. Strzałki są oddalone o 8 / i znajdują się w połowie odległości iędzy węzłai. Rozważy teraz strunę rozpiętą iędzy dwoa zaciskai. W wyniku wytworzenia ciągłej fali sinusoidalnej o pewnej częstotliwości następuje ciągłe odbijanie się fal od zacisków i wiele fal nakłada się na siebie. Przy pewnych częstotliwościach w wyniku interferencji powstaje fala stojąca o bardzo dużej aplitudzie. O takiej fali ówiy, że powstaje ona w wyniku rezonansu, a o strunie że rezonuje przy pewnych częstotliwościach zwanych częstotliwościai rezonansowyi. Załóży, że struna a długość L. Aby znaleźć wzór na częstotliwości rezonansowe, zauważy, że na obu końcach struny uszą znajdować się węzły, gdyż końce struny są uocowane i nie ogą drgać. Najprostszy ożliwy kształt zawiera jedną pętlę ze strzałką znajdującą się w połowie długości struny. Zate w ty przypadku długość fali wynosi 8 = L. Druga prosta fala stojąca, spełniająca warunek, by na końcach struny fala iała węzły, jest fala o długości 8 = L, która a strzałki w odległości L / od lewego zacisku i L / od prawego zacisku itd. Fala stojąca w strunie o długości L oże być zate utworzona przez fale o długości równej jednej z następujących wartości: L λ =, n = 13,,, K. n Częstotliwości rezonansowe odpowiadające ty długościo fali wynoszą v ν = = n v, n = 13,,, K, λ L gdzie v oznacza prędkość fali biegnącej w strunie. Zadania 1. Wzdłuż liny rozchodzi się fala yxt (, ) = ( 6) sin[ kx+ ( 600rad / s) t+ φ]. W jaki czasie dowolny punkt tej liny zienia swe przeieszczenie z y = + na y =!?. Fala a częstość kołową 110 rad / s i długość fali 1,8. Obliczyć: a) liczbę falową, b) prędkość fali. 3. Sinusoidalna fala biegnie wzdłuż liny. Czas, w jaki poszczególne punkty przechodzą od swojego aksyalnego położenia do zera, wynosi 0,17 s. Wyznaczyć: a) okres, b) częstotliwość. Długość fali jest równa 1,4. c) Wyznaczyć prędkość fali.
15.5. Fale stojące i rezonans 119 4. Masa przypadająca na jednostkę długości napiętej liny wynosi 5 g / c, a naprężenie liny jest równe 10 N. W linie wzbudzona falę sinusoidalną o aplitudzie 0,1 i częstotliwości 100 Hz, biegnącą w kierunku ujenych wartości x. Wyznaczyć: a) y, b) k, c) T, d) znak przed T. 5. Liniowa gęstość liny wynosi 1,6 @ 10!4 kg /. Fala poprzeczna w linie jest opisana wzore 1 1 y = ( 0, 01 ) sin[( ) x + ( 30 s ) t]. Podać: a) prędkość fali, b) naprężenie liny. 6. Korzystając z równania falowego, obliczyć prędkość fali o równaniu 1 1 yxt (, ) = ( ) sin ( 0 ) x ( 4s ) t. 7. Dwie identyczne fale biegnące w ty say kierunku są przesunięte w fazie o B / rad. Znaleźć aplitudę fali wypadkowej i wyrazić ją za poocą aplitudy y fal składowych. 8. Zaocowana na obu końcach lina a długość 8,4 i asę 0,1 kg. Lina została naciągnięta siłą 96 N i wprawiona w drgania. a) Określić prędkość fal w linie. b) Wyznaczyć największą ożliwą długość fali stojącej. c) Podać częstotliwość tej fali. 9. Podać trzy najniejsze częstotliwości fal stojących w drucie o długości 10 i asie 100 g, którego naprężenie wynosi 50 N. 10. Lina rozpięta iędzy dwoa sztywnyi wspornikai, znajdującyi się w odległości 75 c od siebie, a częstotliwości rezonansowe 40 Hz i 315 Hz, przy czy żadna pośrednia częstotliwość nie jest rezonansowa. Określić: a) najniejszą częstotliwość rezonansową, b) prędkość fali.