. Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety. Ziór skończoy ziór o skończoej liczie elemetów. Ziór pusty ( symol ) ziór, do którego ie leży żde elemet. Ziór ieskończoy ziór, który ie jest i skończoy, i pusty. ZORY Z MATEMATYKI Rówość ziorów: A = B (dl kżdego x : x A x B ) Zwierie się ziorów, podziory: A B ( dl kżdego x: x A x B ) Ziory rozłącze - ziory ie mjące żdego elemetu wspólego. Sum ziorów A B: Iloczy ziorów A B: x A B ( x A lu x B ) x A B ( x A i x B ) Różic ziorów A \ B: x A \ B ( x A i x B ) Dopełieie zioru A ( symol A ): Jeśli wszystkie rozptrywe przez s ziory są podziormi ustloego zioru X, to ziór X zywmy przestrzeią. Jeśli X jest przestrzeią i A X, to A = X \ A Iloczy krtezjński ( produkt ) ziorów A B: Prę elemetów (x,y), w której wyróżioo elemet x jko pierwszy zywmy prą uporządkową. ( x, y ) A B ( x A i y B ) Zestwieie iektórych prw rchuku ziorów: zw prw treść prw przemieość dodwi A B = B A przemieość iloczyu A B = B A łączość dodwi (A B) C = A (B C) łączość iloczyu (A B) C = A (B C) rozdzielość możei względem dodwi (A B) C =(A C) (B C) rozdzielość dodwi względem możei (A B) C =(A C) (B C) prw de Morg (A B) = A B (A B) = A B
. Ukłdy rówń i ierówości. rtość ezwzględ liczy rzeczywistej Nierówości z wrtością ezwzględą = gdy gdy < x <, to x ( -, ) x >, to x ( -, - ) (, ) x, to x [ -, ] x, to x ( -, - ] [, ) Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych Rozwiąziem ukłdu rówń liiowych ( stopi pierwszego ) z dwiem iewidomymi zywmy kżdą uporządkową prę licz spełijących o rówi ukłdu. Dy jest ukłd rówń yzczikmi ukłdu zywmy liczy: = c x = c y = x + y = c x + y = c c c = - ; = c - c ; = c - c ; Ukłd rówń (*) zywmy ukłdem rówń: ) iezleżych, to ukłd m dokłdie jedo rozwiązie de wzormi: x = x, y = y, geometryczą iterpretcją ukłdu są dwie proste przecijące się, ) zleżych = i x = i y =, to ukłd m ieskończeie wiele rozwiązń ( x, y ) tkich, że x R, y = x + c ; geometryczą iterpretcją ukłdu są dwie proste pokrywjące się; c) sprzeczych = i x lu y, ziór rozwiązń ukłdu jest ziorem pustym, geometryczą iterpretcją ukłdu są dwie róże proste rówoległe. (*) 3. Fukcj kwdrtow. Fukcją kwdrtową ( trójmiem kwdrtowym ) zywmy fukcję f określoą wzorem postci f(x) =x +x+c, gdzie,, c R i. Koiczą postcią trójmiu kwdrtowego zywmy postć f (x) = x +, 4 gdzie = -4c. Liczę zywmy wyróżikiem trójmiu. Miejsc zerowe fukcji kwdrtowej: fukcj kwdrtow m dw róże miejsc zerowe x, x wtedy i tylko wtedy, gdy >, wtedy + x =, x =, fukcj kwdrtow m dokłdie jedo miejsce zerowe x wtedy i tylko wtedy, gdy =, x =, fukcj kwdrtow ie m miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy <. Iloczyow postć fukcji kwdrtowej: jeżeli >, to trójmi kwdrtowy y = x +x+c ( ) moż przedstwić w postci iloczyu y = (x-x )(x-x ), gdzie x, x ozczją miejsc zerowe trójmiu; jeżeli =, to trójmi kwdrtowy y= x +x+c ( ) moż przedstwić w postci iloczyu y = (x-x ), gdzie x jest miejscem zerowym trójmiu. zory Viete Jeżeli trójmi kwdrtowy y= x +x+c ( ) m miejsce zerowe (dw lu jedo) x, x, to x + x =, c x x =. ykres fukcji kwdrtowej y= x +x+c, gdzie, jest krzywą zwą prolą. ierzchołek proli m współrzęde: =,. 4 Dl < wierzchołek proli jest mksimum fukcji kwdrtowej, tomist dl > wierzchołek proli jest miimum fukcji kwdrtowej. > > > < < < < = > < = > 3 4
4. ielomiy ielomiem stopi jedej zmieej zywmy fukcję :R R określoą wzorem postci: gdzie,,,..., R i, N. (x)= + x+ x +...+ x, Liczy,,,..., zywmy współczyikmi wielomiu. Dw wielomiy są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego smego stopi i mją rówe współczyiki przy odpowiedich potęgch zmieej. ielomi jest podziely przez wielomi jeśli istieje wielomi Q tki, że (x) = (x) Q(x) dl kżdego x R. Dl kżdej pry wielomiów i tkich, że stopień wielomiu jest dodti, istieje dokłdie jede ukłd wielomiów Q i R, dl których (x)= (x) Q(x)+R(x) ( dl kżdego x R ) i stopień wielomiu R jest miejszy od stopi wielomiu lu wielomi R jest zerowy. ielomi R zyw się resztą z dzielei wielomiu przez wielomi. (r). Reszt z dzielei wielomiu przez dwumi postci ( x r ), gdzie r R, jest rów liczie 5. Fukcj wykłdicz i logrytmicz Fukcją wykłdiczą jedej zmieej zywmy fukcję f: ( R ) R + określoą wzorem postci: łsości fukcji wymierej: f ( x ) = x, gdzie R +. Fukcj f ( x ) = x przyjmuje tylko wrtości dodtie; Fukcj f ( x ) = x jest rosąc gdy > ; Fukcj f ( x ) = x jest stł gdy = ; Fukcj f ( x ) = x jest mlejąc gdy < <. Rówi i ierówości wymiere: Jeżeli > i orz x = y to x = y; Jeżeli > orz x > y ( x < y ) to x > y ( x < y ); Jeżeli > orz x y ( x y ) to x y ( x y ); Jeżeli < < orz x > y ( x < y ) to x < y ( x > y ); Jeżeli < < orz x y ( x y ) to x y ( x y ). Logrytm dodtiej liczy przy podstwie ( > i ) jest to wykłdik potęgi, do której leży podieść, żey otrzymć : log = z z =. Z określei logrytmu wyik, że log =, log =. Fukcją logrytmiczą jedej zmieej zywmy fukcję f: ( R + ) R określoą wzorem Twierdzeie Bézout. Licz jest pierwistkiem wielomiu wtedy i tylko wtedy, gdy postci: wielomi jest podziely przez dwumi ( x ). Jeżeli licz wymier q p jest miejscem zerowym wielomiu (x)= + x+ x +...+ x, gdzie, to q jest dzielikiem współczyik, zś p jest dzielikiem współczyik. f ( x ) = log x, gdzie R + \{}. łsości fukcji wymierej: Fukcj f ( x ) = log x jest rosąc gdy > ; Fukcj f ( x ) = log x jest mlejąc gdy < <. Twierdzei o logrytmch: Jeśli,, c R + i, to log ( c) = log + log c orz log c = log - log c; Jeśli, R +, i r R, to log r = r log ; log Jeśli,, x R +, i, to log = x logx ( zmi podstwy logrytmu ). 5 6
6. Fukcje trygoometrycze Jeśli α jest mirą kąt skierowego tego kąt ( P O, x i y są współrzędymi P, XOP = α, P jest dowolym puktem końcowego rmiei PO = r, to si α = r y, cos α = r x, tg α = x y ( gdy x ), ctg α = y x ( gdy y ). Związki między fukcjmi tego smego kąt x: si x + cos x =, dl x R, si x tg x =, dl x (k+) Π, k C, cos x ctg x = cos x, dl x kπ, k C, si x tg x ctg x =, dl x k Π, k C. Fukcje trygoometrycze kąt podwójego: si x = si x cos x, cos x = cos x - si x = - si x = cos x, tg x tg x =, dl x (k+) Π i x (k+) Π, k C, tg x 4 ctg x ctg x =, dl x k Π, k C. ctg x Fukcje trygoometrycze są okresowe. Okresem zsdiczym fukcji sius i cosius jest Π, okresem zsdiczym fukcji tges i cotges jest Π. Rówi trygoometrycze są to rówi, w których iewidome występują pod zkmi fukcji trygoometryczych. Tel zwier rozwiązi jprostszych rówń trygoometryczych: Rówie Rozwiązie x jedye rozwiązie rówi leżące do przedziłu si x =, < x = kπ+(-) k x, k C ( Π ), Π cos x =, < x = kπ ± x, k C (, Π ) tg x =, R x = kπ + x, k C ( Π ), Π ctg x =, R x = kπ + x, k C ( Π,) (, Π ) 7. Fukcje wymiere. Rówi i ierówości wymiere. Fukcją wymierą jedej zmieej zywmy fukcję F: ( R \ A ) R określoą wzorem postci: (x) F( x) =, (x) gdzie i są wielomimi, zś A jest ziorem wszystkich miejsc zerowych wielomiu. Rówiem wymierym zywmy rówie postci: (x) =, (x) gdzie i są wielomimi. (x) Rozwiąziem rówi = zywmy kżdą liczę r, dl której (r) i (r)=. (x) Nierówością wymierą zywmy ierówość postci (x) (x) (x) (x) >, lu <, lu, lu, (x) (x) (x) (x) gdzie i są wielomimi. Nierówości (x) (x) >, < (x) (x) są rówowże odpowiedio ierówościom w postci iloczyu: Ntomist ierówości są rówowże odpowiedio ukłdom: (x) (x)>, (x) (x)<. (x) (x), (x) (x) (x) (x), (x) (x) (x). (x) 7 8
8. Ciągi Zsd idukcji mtemtyczej ( zupełej ) Jeżeli twierdzeie, które dotyczy licz turlych, jest () prwdziwe dl ustloej liczy turlej, () jeżeli dl kżdej liczy turlej k z złożei prwdziwości twierdzei dl k wyik, że jest oo prwdziwe dl liczy stępej k +, to twierdzeie jest prwdziwe dl kżdej liczy turlej. Ciągiem ieskończoym zywmy fukcję określoą ziorze licz turlych dodtich ( N \ { } ). rtości tej fukcji zywmy wyrzmi ciągu i ozczmy f ( ) =. Jeżeli wyrzy ciągu są liczmi rzeczywistymi, to ciąg zywmy ciągiem liczowym. Ciąg o wyrzch,,...,,... ozczmy ( ). Ciąg liczowy ( ) zywmy: ciągiem rosącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{} zchodzi < + ; ciągiem mlejącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{} zchodzi > + ; ciągiem iemlejącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{} zchodzi + ; ciągiem ierosącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{} zchodzi +. Ciągi rosące lu mlejące zywmy mootoiczymi. Grice ciągu Licz g jest gricą ciągu liczowego ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy do kżdego otoczei liczy g leżą wszystkie wyrzy tego ciągu z wyjątkiem skończoej ich ilości. lim = g g < ε. ε> M > M Ciąg liczowy ( ) jest rozieży do + wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej liczy A wszystkie wyrzy tego ciągu oprócz skończoej ich ilości są większe od A.. lim = + > A. A M > M Ciąg liczowy ( ) jest rozieży do - wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej liczy B wszystkie wyrzy tego ciągu oprócz skończoej ich ilości są miejsze od B.. lim = + < B. B M > M Prwdziwe są stępujące twierdzei:. Jeżeli lim = i lim =, to: ) lim ( + ) = +, ) lim ( ) =, c) lim ( ) =, d) jeżeli lim, to lim =.. Jeżeli dl kżdego N\{} > i lim =, to lim = +. 3. Jeżeli dl kżdego N\{} < i lim =, to lim =. 4. Jeżeli lim =, to lim =. 5. Jeżeli lim = i ciąg ( ) jest ciągiem ogriczoym, to lim ( ) =. 9. Ciągi rytmetyczy i geometryczy Ciąg rytmetyczy Ciąg ( ) zywmy rytmetyczym wtedy i tylko wtedy, gdy różic między dowolym wyrzem ciągu wyrzem ezpośredio go poprzedzjącym, jest stł dl dego ciągu. + - = r Dl dowolego ciągu ( ) przez S ozczmy sumę pierwszych wyrzów tego ciągu, tz. S = + +... +. Jeżeli ciąg ( ) jest ciągiem rytmetyczym o różicy r, to prwdziwe są wzory: dl kżdego N\{} = + ( ) r, dl kżdego N\{} = + +, dl kżdego N\{} S = + = + ( )r. Ciąg geometryczy Ciąg ( ) zywmy geometryczym wtedy i tylko wtedy, gdy i ilorz dowolego wyrzu tego ciągu i wyrzu ezpośredio go poprzedzjącego, jest dl dego ciągu stły. + = q Jeżeli ciąg ( ) jest ciągiem geometryczym o ilorzie q, to prwdziwe są wzory: dl kżdego N\{} = q -, dl kżdego N\{} = - +, q jeżeli q, to S =, q jeżeli q =, to S =. Dl ciągu geometryczego ( ) spełijącego wruek q < zchodzi: lim =, lim S q lim = = q q. 9
. Gric fukcji. Fukcje ciągłe.. Gric fukcji w pukcie Licz g jest gricą fukcji f w pukcie x wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) tkiego, że x D f, x x i lim x = x jest lim f (x ) = g.. Grice jedostroe fukcji w pukcie ) Liczę zywmy gricą lewostroą fukcji f w pukcie x wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f, x < x i lim x = x jest lim f (x ) =. ) Liczę zywmy gricą prwostroą fukcji f w pukcie x wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f, x > x i lim x = x jest lim f (x ) =. c) Istieie gric jedostroych fukcji w pukcie x i ich rówość jest rówowż istieiu gricy fukcji w pukcie x. 3. Gric iewłściw fukcji w pukcie ) Fukcj f m w pukcie x gricę iewłściwą + wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) tkiego, że lim x = x, x D f i x x jest lim f (x ) = +. ) Fukcj f m w pukcie x gricę iewłściwą - wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) tkiego, że lim x = x, x D f i x x jest lim f (x ) =. 4. Twierdzei o gricy fukcji w pukcie Jeżeli lim f (x) = i lim g(x) =, to: x x x x ) lim (f (x) + g(x)) = +, ) lim (f (x) g(x)) =, x x f (x) c) lim (f (x) g(x)) =, d) jeżeli, to lim =. x x x x g(x) 5. Gric fukcji w + orz w - ) Mówimy, że gricą fukcji y = f(x) w + jest licz g wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f i lim x = + jest lim f (x ) = g. ) Mówimy, że gricą fukcji y = f(x) w - jest licz g wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f i lim x = jest lim f (x ) = g. 6. Ciągłość fukcji Fukcj f jest ciągł w pukcie x D f wtedy i tylko wtedy, gdy istieje gric fukcji w pukcie x i lim f (x) = f (x ). x x Fukcj f jest ciągł w ziorze Z D f wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągł w kżdym pukcie zioru Z. Jeżeli fukcje f i g są ciągłe w pukcie x, to fukcje f + g, f - g, f g też są ciągłe w tym pukcie, i jeżeli g(x ), to fukcj g f też jest ciągł w x. x x. Pochod fukcji i jej zstosowi Ilorzem różicowym fukcji f odpowidjącym przyrostowi rgumetu x = x x, gdzie f (x + x) f (x ) x, x D f i x x, zywmy liczę. x f (x + x) f (x ) Jeżeli przy powyższym istieje gric lim i jest licz skończoą, to tę x x liczę zywmy pochodą fukcji w pukcie x i ozczmy f (x ). Jeżeli fukcj m pochodą w pukcie x, to mówimy, że jest w tym pukcie różiczkowl. Jeżeli fukcj y = f(x) jest określo w pewym otoczeiu puktu x i m w tym pukcie pochodą, to prost o rówiu: y = f (x) ( x x ) + f(x ) jest prostą styczą do wykresu fukcji f w pukcie P ( x, f(x ) ). f (x ) jest tgesem kąt chylei tej styczej do osi X. Jeżeli przez X ozczymy ziór tych rgumetów, dl których istieje pochod fukcji f, wówczs fukcję, któr kżdemu x X przyporządkowuje liczę f (x) zywmy pochodą fukcji f. Dziedzią fukcji f jest ziór X. Jeżeli fukcje f i g są różiczkowle w ziorze X, to: ) ( k f ) = k f, dl k R ) ( f + g ) = f + g c) ( f - g ) = f - g d) ( f g ) = f g + g f ' f f ' g g' f e) = g g Pochode iektórych fukcji: ) ( c ) = ) ( x m ) = m x m-, dl m \{} c) ( si x ) = cos x d) ( cos x ) = - si x e) ( tg x ) = cos x f) ( ctg x ) = - si x Jeśli fukcj f jest różiczkowl w kżdym pukcie pewego zioru X R, fukcj g w kżdym pukcie y = f(x) zioru wrtości fukcji f, to dl x X pochod fukcji złożoej h = g f rów się iloczyowi pochodej fukcji zewętrzej g i pochodej fukcji wewętrzej f: ( g f ) (x) = g (f(x)) f (x). Jeżeli fukcj f jest różiczkowl w ziorze Z D f i pochod fukcji f jest różiczkowl, to pochodą fukcji f zywmy drugą pochodą fukcji f i ozczmy f.
. Bdie fukcji. Twierdzei o mootoiczości fukcji Niech fukcj f ędzie różiczkowl w przedzile (, ), wtedy dl kżdego x (, ) - jeżeli f (x) >, to fukcj f jest rosąc w przedzile (, ); - jeśli f jest rosąc w przedzile (, ), to f (x) ; - jeżeli f (x) <, to fukcj f jest mlejąc w przedzile (, ); - jeśli f jest mlejąc w przedzile (, ), to f (x).. Ekstremum fukcji Mówimy, że fukcj m w pukcie x D f miimum ( mksimum ), jeśli dl kżdego x leżącego do pewego otoczei puktu x zwrtego w dziedziie fukcji zchodzi f(x) > f(x ) ( f(x) < f(x ) ). Mksimum i miimum zywmy ekstremum fukcji. ruek koieczy ekstremum. Jeżeli fukcj f m ekstremum w pukcie x (, ) i jest w tym pukcie różiczkowl, to f (x ) =. ruek wystrczjący ekstremum. Jeżeli fukcj f m pochodą w pewym otoczeiu puktu x, przy czym f (x) > gdy x < x i f (x) < gdy x > x to w pukcie x fukcj f m mksimum; jeżeli tomist f (x) < gdy x < x i f (x) > gdy x > x to w pukcie x fukcj f m miimum. 3. Njmiejsz i jwiększ wrtość fukcji w przedzile Mówimy, że fukcj f określo w przedzile <, > osiąg w tym przedzile wrtość jwiększą ( jmiejszą ), jeśli istieje pukt x <, > tki, że dl kżdego x <, > i x x spełioy jest wruek f(x) f(x ) ( f(x) f(x ) ). Ay wyzczyć jwiększą ( jmiejszą ) wrtość fukcji w przedzile <, >, leży zleźć wszystkie mksim ( miim ) lokle w tym przedzile orz oliczyć f() i f(); jwiększ ( jmiejsz ) z tych licz jest liczą poszukiwą. 4. Asymptoty wykresu fukcji Prostą, której odległość od wykresu dej fukcji f zmierz do zer w ieskończoości zywmy symptotą wykresu fukcji f. Prostą o rówiu x = zywmy symptotą pioową wykresu fukcji f, jeżeli fukcj f jest określo przyjmiej z jedej stroy puktu orz lim f (x) = ± lo lim f (x) = ±. f (x) Jeżeli istieją skończoe grice lim = m orz lim [f (x) mx] =, to prostą o rówiu x ± x x ± y = mx+ zywmy symptotą ukośą ( lo poziomą przy m = ) wykresu fukcji f. + x x. Bdie fukcji cd. 5. Schemt di fukcji 5. yzczmy dziedzię fukcji 5. Oliczmy grice końcch dziedziy 5.3 yzczmy symptoty wykresu fukcji 5.4 yzczmy pierwszą pochodą i jej dziedzię 5.5 Oliczmy miejsc zerowe pierwszej pochodej 5.6 Określmy zk pierwszej pochodej, wyzczmy przedziły mootoiczości i ekstrem fukcji 5.7 yzczmy pukty przecięci wykresu fukcji z osimi ukłdu współrzędych i wrtości fukcji w puktch wyzczoych w 5.5, 5.6 5.8 Ziermy wyiki z poprzedich puktów w teli 5.9 Szkicujemy wykres fukcji 3 4
3. Fukcj homogrficz Fukcją homogrficzą zywmy fukcję postci x + f(x) = cx + d gdzie c i d - c. d Dziedzią fukcji homogrficzej jest ziór D = R \. c ykresem fukcji homogrficzej jest hiperol. d Proste o rówich x = orz y = są symptotmi tej hiperoli. c c hiperol o rówiu y = x 5 hiperol o rówiu y = - x x + Ay rysowć fukcję homogrficzą musimy jej postć f(x) = przeksztłcić do postci cx + d u u f(x) = t +, wtedy wykres fukcji y = przesuwmy o wektor [ -w, t ]. x + w x d c Pochod fukcji homogrficzej jest rów f (x) =, poiewż z złożei liczik (cx + d) jest róży od zer, więc pochod fukcji ie przyjmuje wrtości rówej zero, czyli fukcj homogrficz ie posid ekstremum. Zk pochodej zleży od zku liczik ( czyli wyrżei d - c ). yik z tego, że: d d fukcj homogrficz jest w przedziłch ( -, ) orz (, + ) rosąc, gdy d - c >, c c d d fukcj homogrficz jest w przedziłch ( -, ) orz (, + ) mlejąc, gdy d - c <. c c 4. Geometri litycz wektory, proste spółrzędymi wektor u ρ w prostokątym ukłdzie współrzędych XOY zywmy miry jego skłdowych. Jeżeli pukt A( x A, y A ) jest początkiem, pukt B( x B, y B ) jest końcem wektor u ρ, to współrzędymi wektor u ρ są liczy: = x B - x A, = y B - y A. Zpisujemy to symoliczie: u ρ [, ] lu u ρ = [, ]. Jeżeli wektor u ρ = [, ], to długość wektor u ρ ρ wyrż się wzorem: u = +. Jeżeli pukt A( x A, y A ) i pukt B( x B, y B ), to środek S odcik AB m współrzęde: x x x S = + B A y, y S = + B y A. Jeśli α jest mirą kąt skierowego uporządkowej pry iezerowych wektorów ( u ρ, v ρ ) współrzędych u ρ = [, ], v ρ = [, ], to: + cos α = ρ ρ, si α = ρ ρ. u v u v Jeżeli wektory u ρ i v ρ mją współrzęde u ρ = [, ], v ρ = [, ], to ich iloczy sklry wyrż się wzorem u ρ v ρ = +. yzczikiem iezerowej pry wektorów u ρ i v ρ o współrzędych u ρ = [, ], v ρ = [, ] zywmy liczę d( u ρ, v ρ ) = = -. Jeżeli pukty A( x A, y A ), B( x B, y B ) i C( x C, y C ) są wierzchołkmi trójkąt, to pole trójkąt ABC wyrż się wzormi: P = d(ab, AC) = d(ba, BC ) = d(ca, CB ) 6, P = x y x y ) + (x y x y ) + (x y x y ). ( A B B A B C C B C A A C spółczyikiem kierukowym prostej ieprostopdłej do osi OX zywmy tges kąt chylei tej prostej do osi OX. Rówiem kierukowym prostej l ieprostopdłej do osi OX zywmy rówie postci y = x+, gdzie ozcz współczyik kierukowy prostej l, zś rzędą puktu, w którym l przeci oś OY. Jeżeli pukty A( x A, y A ) i B( x B, y B ) leżą do prostej l, to rówie prostej l m postć: y A y B y - y A = ( x x A ), gdy x A x B, lu x x A B ( y - y A ) ( x A x B ) ( y A y B ) ( x x A ) =. Kżde rówie postci Ax+By+C =, gdzie A +B jest rówiem ogólym prostej. ektor u ρ = [ A, B ] jest wektorem prostopdłym do tej prostej. Odległość puktu P ( x, y ) od prostej o rówiu Ax+By+C = wyrż się wzorem: Ax + By + C d =. A + B ruki rówoległości prostych Dwie proste o rówich y = x + i y = x + są rówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy =. Dwie proste o rówich Ax+By+C = i A x+b y+c = są rówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy AB BA =. ruki prostopdłości prostych Dwie proste o rówich y = x + i y = x + są prostopdłe wtedy i tylko wtedy, gdy = -. Dwie proste o rówich Ax+By+C = i A x+b y+c = są prostopdłe wtedy i tylko wtedy, gdy AA + BB =.
5. Geometri litycz krzywe stopi drugiego Okrąg Rówie okręgu o środku (, ) i promieiu r m postć ( x ) + ( y ) = r. Rówie postci x + y -x y + c = przedstwi okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy + c >, promieiem okręgu jest r = + c, zś środkiem pukt (, ). Rówie styczej do okręgu o środku (, ) i promieiu r w pukcie ( x, y ) leżącym do okręgu, m postć ( x )( x )+( y )( y ) = r. Elips Niech de ędą dw pukty F, F orz licz dodti tk, że > F F. Elipsą zywmy ziór tych wszystkich puktów P płszczyzy, dl których PF + PF =. Jeśli pukty F, F leżą do osi OX, zś początek ukłdu współrzędych jest środkiem odcik F F, to x y rówie elipsy m postć + =, gdzie = c i c = OF. Elips t m środek symetrii w pukcie (, ) i dwie osie symetrii proste OX i OY. x x y y Rówie styczej do elipsy w pukcie ( x, y ) leżącym do elipsy, m postć: + =. Pukty F, F zywmy ogiskmi elipsy. Cięciwą elipsy zywmy kżdy odciek, którego końce leżą do elipsy. Średicą elipsy zywmy kżdą cięciwę, do której leży środek symetrii elipsy. Osią wielką zywmy jdłuższą z jej średic. Osią młą zywmy jkrótszą z jej średic. ierzchołkmi elipsy zywmy pukty wspóle elipsy i jej osi symetrii. Mimośrodem elipsy zywmy liczę e = c, zś kierowicmi elipsy proste o rówich: x = i x = -. c c Hiperol Niech de ędą dw pukty F, F orz licz dodti tk, że < F F. Hiperolą zywmy ziór tych wszystkich puktów P płszczyzy, dl których PF - PF =. Jeśli pukty F, F leżą do osi OX, zś początek ukłdu współrzędych jest środkiem odcik F F, to x y rówie hiperoli m postć =, gdzie = c i c = OF. Hiperol t m środek symetrii w pukcie (, ) i dwie osie symetrii proste OX i OY. x x y y Rówie styczej do hiperoli w pukcie ( x, y ) leżącym do hiperoli, m postć: =. Pukty F, F zywmy ogiskmi hiperoli. Asymptotmi hiperoli są elipsy proste o rówich: y = x i y = - x. Prol Jest to krzyw, któr w pewym ukłdzie XOY m rówie y = px, gdzie p, p jest prmetrem p proli. Pukt F =, jest ogiskiem proli. Prost o rówiu x = - jest kierowicą proli. Pukt (, ) jest wierzchołkiem proli. Prol jest ziorem wszystkich puktów płszczyzy rówo odległych od jej ogisk i od jej kierowicy. Jedyą osią symetrii proli jest prost OX. Rówie styczej do proli y = px w pukcie ( x, y ) leżącym do proli, m postć: y y = p ( x + x ). 7 6. Plimetri - włsości podstwowych figur plimetryczych Odległość puktu od prostej. Odległość puktu od figury iepustej długość promiei jwiększego otoczei kołowego tego puktu wewątrz którego ie m puktów tej figury. Gdy otoczeie tkie ie istieje, odległość jest zerem. Odległość puktu od prostej rów się odległości tego puktu od jego rzutu prostokątego tę prostą. Położeie prostej m względem okręgu o(a,r). m jest styczą do o(a,r) odl. A od m = r, m jest sieczą o(a,r) odl. A od m < r, m jest zewętrzą dl o(a,r) odl. A od m > r. Stycz do okręgu (tz. prost mjąc z im dokłdie jede pukt wspóly) jest prostopdł do promiei łączącego pukt styczości ze środkiem okręgu. Dw okręgi. Jeśli okręgi o(a,) i o(b,) są róże i, to o(a,) i o(b,) są wzjemie zewętrze AB > +, o(a,) i o(b,) są zewętrzie stycze AB = +, o(a,) i o(b,) przeciją się - < AB < +, o(a,) i o(b,) są wewętrzie stycze - = AB, o(b,) k(a,) - > AB. Związki mirowe w trójkącie prostokątym. Jeśli AC CB i CD AB, to = c DB, siα=, cosα=, tgα=, ctgα=, = c AD, c c = c si α = tg α, h = AD DB, = c cos α = ctg α, c = + (tw. Pitgors), c= 8 =. si α cos α Związki mirowe w dowolym trójkącie. c zór siusów: = = = r, gdzie r długość promiei okręgu opisego ABC. si α si β si γ zór cosiusów: = + c - c cosα. Symetrle wszystkich oków trójkąt przeciją się w jedym pukcie O, który jest środkiem okręgu przechodzącego przez pukty A, B, C, czyli okręgu opisego tym trójkącie. c Długość promiei opisego trójkącie r =, gdzie S jest polem trójkąt; 4S Dwusiecze wszystkich kątów wewętrzych trójkąt przeciją się w jedym pukcie, który jest środkiem okręgu styczego do wszystkich oków trójkąt, czyli okręgu wpisego w trójkąt. S Długość promiei okręgu wpisego w trójkąt ρ =, gdzie S pole, p połow owodu trójkąt. p Odciek łączący środki dwu oków trójkąt jest rówoległy do trzeciego oku i rówy jego połowie.
6. Plimetri - włsości podstwowych figur plimetryczych cd. Njwżiejsze widomości o wielokątch. Czworokąt wielokąt o czterech okch. Sum mir kątów wewętrzych dowolego czworokąt jest rów 36 O. Trpez czworokąt mjący przyjmiej dw oki rówoległe. Trpez rówormiey trpez mjący dw oki przeciwległe ierówoległe i rówe. Jeżeli w trpezie dw przeciwległe oki ie są rówoległe, to. sum kątów wewętrzych leżących przy kżdym z tych oków jest kątem półpełym,. odciek łączący środki tych oków jest rówoległy do podstw (tz. oków rówoległych), jego długość rów się połowie sumy długości ou podstw. trpezie rówormieym kąty przy kżdej podstwie są przystjące. Trpez rówormiey m jedą oś symetrii. Czworokąt wpisy w okrąg i czworokąt opisy w kręgu. Czworokąt wypukły moż wpisć w krąg sumy mir kątów przeciwległych w tym czworokącie są rówe(kżd z ich jest rów 8 o ). Czworokąt wypukły moż opisć kręgu sumy długości oków przeciwległych w tym czworokącie są rówe. Odciki, proste i kąty w związku z okręgiem Kąt między cięciwą i styczą Kąt ostry między cięciwą i styczą przechodzą przez koiec cięciwy jest rówy połowie kąt środkowego opowidjącego cięciwie. Kąt środkowy i kąty wpise oprte tym smym łuku szystkie kąty wpise okrąg i oprte tym smym łuku są rówe kżdy z ich jest rówy połowie kąt środkowego oprtego tym łuku Kąt wpisy w półokrąg (oprty średicy) jest prosty. 7. Rchuek prwdopodoieństw Komitoryk Permutcje kżdy - wyrzowy ciąg utworzoy ze wszystkich elemetów elemetowego zioru. P =!! Komicje kżdy k - elemetowy podziór - elemetowego zioru. C k = = k k!( k)! ricje ez powtórzeń kżdy k - wyrzowy ciąg utworzoy z różych elemetów -! elemetowego zioru. V k = ( k)! ricje z powtórzeimi kżdy k - wyrzowy ciąg utworzoy z elemetów - elemetowego k k zioru. = łsości prwdopodoieństw P(A), P( ) =, P(Ω) =, jeżeli A B to P(A) P(B), dl kżdego A Ω jest P(A), P(A ) = - P(A), P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Klsycz defiicj prwdopodoieństw Jeżeli wszystkie zdrzei elemetre są jedkowo prwdopodoe to prwdopodoieństwo kżdego zdrzei A jest ilorzem liczy zdrzeń sprzyjjących temu zdrzeiu przez liczę wszystkich zdrzeń elemetrych. P(A) = gdzie A - licz zdrzeń sprzyjjących zdrzeiu A, Ω - licz wszystkich zdrzeń elemetrych. A, Ω Prwdopodoieństwo wrukowe Prwdopodoieństwo zdrzei A pod wrukiem zjści zdrzei B jest to licz P(A B) P(A / B) = P(B) Prwdopodoieństwo cłkowite ( zupełe ) Jeśli B, B,...,B są zdrzeimi wyłączjącymi się prmi orz ich sum jest zdrzeiem pewym, to dl dowolego zdrzei A zchodzi wzór: P(A) = P(A / B ) P(B ) + P(A / B ) P(B ) +... + P(A / B ) P(B ) Niezleżość zdrzeń Zdrzei A i B zywmy iezleżymi, jeżeli P(A B) = P(A) P(B). przeciwym przypdku mówimy, że zdrzei A i B są zleże. Schemt Beroulliego ciąg powtórzeń tego smego doświdczei Prwdopodoieństwo otrzymi dokłdie k sukcesów w próch Beroulliego wyosi: P (k) = p k q -k, k gdzie p prwdopodoieństwo sukcesu, q = - p - prwdopodoieństwo porżki, k =,,...,. 9
S P I S T R E Ś C I. ZBIORY. DZIAŁANIA NA ZBIORACH.. UKŁADY RÓNAŃ I NIERÓNOŚCI. 3 3. FUNKCJA KADRATOA. 4 4. IELOMIANY 5 5. FUNKCJA YKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA 6 6. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE 7 7. FUNKCJE YMIERNE. RÓNANIA I NIERÓNOŚCI YMIERNE. 8 8. CIĄGI 9 9. CIĄGI ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY. GRANICA FUNKCJI. FUNKCJE CIĄGŁE.. POCHODNA FUNKCJI I JEJ ZASTOSOANIA. BADANIE FUNKCJI 3. BADANIE FUNKCJI CD. 4 3. FUNKCJA HOMOGRAFICZNA 5 4. GEOMETRIA ANALITYCZNA EKTORY, PROSTE 6 5. GEOMETRIA ANALITYCZNA KRZYE STOPNIA DRUGIEGO 7 6. PLANIMETRIA - ŁASNOŚCI PODSTAOYCH FIGUR PLANIMETRYCZNYCH 8 6. PLANIMETRIA - ŁASNOŚCI PODSTAOYCH FIGUR PLANIMETRYCZNYCH CD. 9 7. RACHUNEK PRADOPODOBIEŃSTA