Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Szeregi. Szeregi liczbowe Defiicja. Szeregiem liczbowym azywamy wyrażeie a = a + a + a 3 + () Liczby a, =,,... azywamy wyrazami szeregu. Natomiast sumę s = a k () k= azywamy -tą sumą częściową szeregu. Jeżeli istieje graica lim s = S, to szereg () azywamy zbieżym, a liczbę S azywamy sumą szeregu. W przeciwym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieży. W defiicji umeracja wyrazów rozpoczya się od. Nie ma to jedak istotego zaczeia, bo podobie moża zdefiiować a, gdzie 0 jest dowolą liczbą aturalą. Te szereg = 0 różi się od szeregu () tym, że pierwsze 0 wyrazów jest rówe 0. Ogóliej, moża stwierdzić, że zmiaa dowolej skończoej liczby wyrazów ie ma wpływu a zbieżość (tz. po takiej zmiaie szereg zbieży pozostaie adal zbieży, a szereg rozbieży pozostaie adal rozbieży). Przykłady. Zaleźć wzór a sumę s i zbadać zbieżość szeregu a... 3. 4. 300 ; 300 ; ( ) ; ( + ). Achilles i żółw. Poday przez Zeoa z Elei paradoks Achillesa i żółwia przedstawia się zazwyczaj tak: Achilles (słyący jako szybkobiegacz) ściga żółwia, który jest daleko w przodzie, gdy heros zaczya bieg. Następie Achilles dobiega do miejsca, w którym iedawo był żółw, ale w tym czasie zwierzak dochodzi już do astępego miejsca, które za chwilę osiąga Achilles, ale żółw dochodzi w tym czasie do owego, Achilles zowu dobiega, ale żółw jest dalej, itd. A więc Achilles igdy ie dogoi żółwia kokludował Zeo. Paradoks Zeoa moża wyjaśić przy pomocy szeregów. Zeo z Elei, ok. 490 p..e. ok. 430 p..e., filozof grecki
Zadaie. Achilles zajduje się w odległości d od żółwia i ściga go z prędkością V. Żółw porusza się z prędkością v. Niech t ozacza czas w jakim Achilles przebędzie odległość d, a s drogę przebytą przez żółwia w tym czasie. Ogólie: t ozacza czas w jakim Achilles przebędzie odległość s, a s drogę przebytą przez żółwia w czasie t. Obliczyć sumy szeregów t i s. Po jakim czasie Achilles dogoi żółwia? Mamy: t = d V, s = t v, t = s V, s = t v,... Ogólie: t = s V Ostateczie = vt V, s = t v. Zatem t = d V t = d V v, s = d ( v V ), więc jest to ciąg geometryczy. t = vd V v. Zauważmy, że gdy szereg a jest zbieży, to zarówo s jak i s dążą do graicy S. Poieważ a = s s, więc lim a = 0. Mamy więc astępujące twierdzeie Twierdzeie. (waruek koieczy zbieżości szeregu) Jeżeli szereg a jest zbieży, to jego wyraz ogóly a dąży do 0. Te waruek ie jest wystarczający. Jest ieskończeie wiele szeregów, których wyraz ogóly a dąży do 0, ale które są rozbieże. Bardzo ważym przykładem jest szereg harmoiczy: = + + 3 + 4 + 5 + Na szeregach moża wykoywać działaia arytmetycze. Twierdzeie.. Jeżeli szereg a jest zbieży, to dla dowolego c R szereg jest zbieży oraz ca = c a.. Jeżeli szeregi a, b są zbieże, to szereg (a + b ) jest zbieży oraz (a + b ) = a + b. ca Na ogół trude jest wyzaczeie wzoru aalityczego a sumę s, a co za tym idzie wyzaczeie sumy szeregu S. Należy więc postawić zadaie łatwiejsze: zbadać tylko zbieżość szeregu. Jeśli wiadomo, że szereg jest zbieży, to moża potem obliczać chociaż jego wartość przybliżoą (biorąc p. 00 czy 000 wyrazów szeregu, zależie od dokładości przybliżeia jaką chcemy osiągąć). Twierdzeia podające waruki zbieżości szeregu azywamy kryteriami zbieżości. Na początek zajmiemy się szeregami o wartościach ieujemych. Twierdzeie 3. (kryterium porówawcze) Jeżeli 0 a b dla N, to. Jeżeli szereg b jest zbieży, to szereg a jest zbieży;. Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg b jest rozbieży. Aby to twierdzeie skuteczie stosować trzeba dyspoować pewą bazą iformacji, tj. zać jakąś grupę szeregów zbieżych bądź rozbieżych. Będziemy korzystali z astępującej iformacji: Szereg postaci α (tzw. szereg Dirichleta) jest zbieży dla α >, a rozbieży dla α. Zauważmy, że dla = otrzymujemy szereg harmoiczy.
Przykłady. Zbadać zbieżość szeregu:. si ; Poieważ si oraz jest zbieży, więc. ; (+) Teraz = (+) (+) + oraz + si też jest zbieży. jest rozbieży (bo jest to szereg harmoiczy bez pierwszego wyrazu), więc też jest rozbieży. (+) 3. 3+ 3 ; 4. 3+ 3 +3. a Twierdzeie 4. (kryterium ilorazowe) Jeżeli a 0 i lim + a. jeżeli q <, to szereg a jest zbieży;. jeżeli q >, to szereg a jest rozbieży. = q, to Kryterium ilorazowe azywae jest też kryterium d Alemberta. Nie rozstrzyga oo zbieżości, gdy q =, a takich przypadków jest wiele. Np. dla szeregów otrzymamy q =. Jedak pierwszy z ich jest rozbieży, a drugi zbieży. Przykłady. Zbadać zbieżość szeregu:.! ;. ()!., Twierdzeie 5. (kryterium pierwiastkowe) Jeżeli a 0 i lim a = q, to. jeżeli q <, to szereg a jest zbieży;. jeżeli q >, to szereg a jest rozbieży. Ia azwa: kryterium Cauchy ego. Gdy q =, ie rozstrzyga oo zbieżości. Przykłady. Zbadać zbieżość szeregu:. ( ; 3+ +3). = (l ). Twierdzeie 6. (kryterium całkowe) Niech fukcja f(x) będzie ieujema i ierosąca dla x [, ]. Wtedy szereg f() jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy całka iewłaściwa f(x)dx jest zbieża. Przykłady.. Wykazać rozbieżość szeregu harmoiczego obliczając całkę. Wykazać zbieżość szeregu () dla α >. α Wszystkie powyższe kryteria zakładały ieujemość wyrazów szeregu. x dx. Defiicja. Szereg a azywamy bezwzględie zbieżym, gdy szereg a utworzoy z jego wartości bezwzględych jest zbieży. Szereg zbieży, ale ie bezwzględie zbieży, azywamy warukowo zbieżym. Jeżeli a jest bezwzględie zbieży, to jest zbieży. Z tej uwagi wyika praktycze postępowaie przy badaiu zbieżości szeregu. Najpierw ależy wyjaśić, czy szereg jest bezwzględie zbieży. Mamy tu do dyspozycji cztery wymieioe wyżej kryteria zbieżości. Jeśli okaże się jedak, że szereg ie jest bezwzględie zbieży, to powstaje problem zbadaia zbieżości warukowej. Tu jedak ie ma skuteczych twierdzeń. W zasadzie mamy tylko jedo twierdzeie, i to dotyczące dość specjalego szeregu. Defiicja 3. Szereg postaci ( ) a = a a + a 3 a 4 +, gdzie a 0, azywamy aprzemieym. 3
Takim szeregiem jest p. ( ) = + 3 4 + azyway szeregiem aharmoiczym. Twierdzeie 7. (kryterium Leibiza) Jeśli ciąg a jest ieujemy, ierosący i dąży do 0, to ( ) a jest zbieży. Przykłady.. Ciąg jest ieujemy, ierosący i dąży do 0. Zatem szereg aharmoiczy jest zbieży (ale tylko warukowo, bo utworzoy z jego wartości bezwzględych szereg harmoiczy jest rozbieży).. l ( ). (warukowo zbieży) 3. ( ) ++. (warukowo zbieży) 4. ( ) +. (rozbieży waruek koieczy ie jest spełioy) 5. ( ). (bezwzględie zbieży) Na zakończeie aegdota (cytat ze stroy http://www.math.utah.edu/~cherk/mathjokes.html). The followig problem ca be solved either the easy way or the hard way. Two trais 00 miles apart are movig toward each other; each oe is goig at a speed of 50 miles per hour. A fly startig o the frot of oe of them flies back ad forth betwee them at a rate of 75 miles per hour. It does this util the trais collide ad crush the fly to death. What is the total distace the fly has flow? The fly actually hits each trai a ifiite umber of times before it gets crushed, ad oe could solve the problem the hard way with pecil ad paper by summig a ifiite series of distaces. The easy way is as follows: Sice the trais are 00 miles apart ad each trai is goig 50 miles a hour, it takes hours for the trais to collide. Therefore the fly was flyig for two hours. Sice the fly was flyig at a rate of 75 miles per hour, the fly must have flow 50 miles. That s all there is to it. Whe this problem was posed to Joh vo Neuma, he immediately replied: 50 miles. It is very strage, said the poser, but early everyoe tries to sum the ifiite series. What do you mea, strage? asked vo Neuma. That s how I did it!. Szeregi potęgowe Szereg postaci f (x) którego wyrazy są fukcjami zmieej x, określoe w tej samej dziedziie D, azywamy szeregiem fukcyjym. Dla ustaloego x D szereg może być zbieży lub ie. Zbiór wszystkich x D dla których szereg jest zbieży azywamy obszarem zbieżości szeregu. Obszar te może być zbiorem pustym. Np. dla szeregu x obszarem zbieżości jest przedział (, ), a dla szeregu obszarem zbieżości jest przedział (, ). W dalszym ciągu ograiczymy się do dwóch specjalych grup szeregów: potęgowych i trygoometryczych. Joh vo Neuma, 903 957, matematyk, iżyier chemik, fizyk i iformatyk. x 4
.. Określeie i promień zbieżości szeregu Defiicja 4. Szereg postaci azywamy szeregiem potęgowym. a (x x 0 ), (3) Dla x 0 = 0 mamy szereg a x. Jeśli x = 0, to a x = a 0, jest to więc szereg zbieży. Aby zaleźć ie wartości x dla których szereg a x jest zbieży moża posłużyć się kryterium ilorazowym. Obliczamy lim a +x + = x lim a x a + a = x q, a gdzie q = lim +. a Z kryterium ilorazowego wiadomo, że jeśli x q <, czyli jeśli x < q, to szereg jest zbieży. Natomiast jeśli x q >, czyli x > q, to szereg jest rozbieży. Liczbę R = q = lim a + a azywamy promieiem zbieżości szeregu. Przyjmujemy, że gdy q = 0, to R =, a gdy q =, to R = 0. Zamiast kryterium ilorazowego moża zastosować kryterium pierwiastkowe. Wtedy q = lim a, więc R = lim a. Zauważmy też, że dla szeregu a (x x 0 ) otrzymujemy podobe wioski. Zatem wykazaliśmy astępujące twierdzeie. Twierdzeie 8. (o obszarze zbieżości szeregu potęgowego) Jeśli R jest liczbą wyzaczoą ze wzoru a R = lim a +, (4) lub ze wzoru R = lim a, (5) to szereg (3) jest zbieży w przedziale (x 0 R, x 0 +R) i rozbieży w przedziałach (, x 0 R), (x 0 + R, ). W puktach x 0 R, x 0 + R szereg może być zbieży lub ie. Liczbę R azywamy promieiem zbieżości szeregu, a przedział w którym szereg jest zbieży przedziałem zbieżości. Przykłady. Zbadać zbieżość szeregów:. x 3. Obliczamy R = lim a a + = lim 3 (+)3 + ( + )3 + + = lim 3 = 3 lim = 3, Zatem szereg jest a pewo zbieży w ( 3, 3). Dla x = 3 otrzymujemy szereg harmoiczy, który jest rozbieży, a dla x = 3 szereg aharmoiczy ( ), warukowo zbieży. Ostateczie przedziałem zbieżości jest [ 3, 3).. x. Po podobej (jak wyżej) aalizie otrzymamy przedział zbieżości [, ). W astępym przykładzie ograiczymy się do promieia zbieżości. 5
3. (!) ()! x. Tutaj R = lim = lim a a + = lim (!) [( + )]! ()![( + )!] = ( + )( + ) ( + ) = lim.. Rozwijaie fukcji w szereg potęgowy 4 + + = 4. Dla daego szeregu potęgowego a x możemy określić fukcję f, której dziedzią jest przedział zbieżości szeregu a wartościami są sumy odpowiedich szeregów. A zatem dla każdego x z tego przedziału: f(x) = a x = a 0 + a x + a x + + a x + W tej sytuacji mówimy, że fukcja f ma rozwiięcie w szereg potęgowy. Przykład. Dla szeregu geometryczego x i x (, ) mamy x = x. Zatem fukcja x ma w przedziale (, ) rozwiięcie w szereg x. Rozwiięcie w szereg potęgowy daje możliwość obliczaia wartości fukcji. Jeśli chcemy wyzaczyć f(c) dla c ależącego do przedziału zbieżości, to moża to zrobić obliczając lub aproksymując sumę szeregu: a c = a 0 + a c + a c + + a c + Rozwiięcie w szereg umożliwia też rozwiązywaie problemów z różiczkowaiem bądź całkowaiem fukcji, poieważ fukcja zdefiiowaa szeregiem ma własości podobe do własości wielomiau. W szczególości moża wykazać, że pochodą szeregu moża obliczać różiczkując wyraz po wyrazie. Podoba uwaga dotyczy całki. Dokładiej, mamy astępujące twierdzeie. Twierdzeie 9. Załóżmy, że a x ma iezerowy promień zbieżości R i iech fukcja f będzie określoa wzorem f(x) = a x = a 0 + a x + a x + + a x + dla każdego x z przedziału zbieżości. Jeśli R < x < R, to (i) f (x) = (a x ) = a x + = = a + a x + 3a 3 x + + a x + (ii) x 0 f(t) dt = x 0 a t dt) = a + x+ = = a 0 x + a x + a3 3 x3 + + a x +. Podstawowym zagadieiem jest przedstawieie daej fukcji w postaci szeregu potęgowego. Defiicja 5. Załóżmy, że fukcja f ma w pukcie x 0 pochode dowolego rzędu. Moża wtedy utworzyć szereg f () (x 0 )! (x x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) +,! który azywamy szeregiem Taylora fukcji f o środku w pukcie x 0. Jeżeli x 0 = 0, to te szereg azywamy szeregiem Maclauria fukcji f. 6
Zatem pod warukiem, że fukcja ma wszystkie pochode moża utworzyć pewie szereg z ią związay. Ale: szereg ie musi być zbieży w całej dziedziie tej fukcji; awet jeśli jest zbieży, to jego suma ie musi być rówa tej fukcji. Potrzebe są dodatkowe założeia. Twierdzeie 0. (o rozwijaiu fukcji w szereg Taylora) Jeżeli. fukcja f ma a otoczeiu U puktu x 0 pochode dowolego rzędu;. dla każdego x U reszta wzoru Taylora dąży do 0, tj. to dla każdego x U. lim R (x) = lim f(x) = f () (c) (x x 0 ) = 0,! f () (x 0 ) (x x 0 )! Przykład. Posługując się powyższym wzorem wykazać, że dla x R e x = si x = cos x =! x = + x! + x! + (6) ( ) ( + )! x+ = x x3 3! + x5 5! x7 7! + (7) ( ) ()! x = x! + x4 4! x6 6! + (8) Posługując się już wyprowadzoymi rozwiięciami moża zaleźć dalsze wykoując operacje a szeregach (dodawaie, możeie przez stałą, całkowaie, różiczkowaie...) Przykład. Wykorzystując rówości wykazać, że dla x R sih x = (ex e x ), cosh x = (ex + e x ) sih x = cosh x = Przykład. Już ze szkoły zaa jest rówość x + ( + )! = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! + (9) x ()! = + x! + x4 4! + x6 6! +. (0) x = x dla x (, ) () (szereg geometryczy). Zamieiając w iej x a x otrzymamy Całkujemy od 0 do x: l( + x) = + x = ( ) x dla x (, ). x 0 + t dt = x 0 7 ( ) t dt = ( ) + x+
dla x (, ). Przykład. Z rówości () otrzymujemy p. x = x = ( x ) = x + dla x, tj dla x. Ogóliej, gdy szukamy rozwiięcia w szereg daej fukcji wymierej, to ależy zacząć od przedstawieia jej w postaci sumy ułamków prostych. Przykład. Rozwiąć w szereg fukcję f(x) = x+ x +x 6. Teraz każdy ułamek rozwijamy w szereg: x + x + x 6 = x 3 x + 3. x 3 x + 3 = x ( x ) x = 3 x 3 = ( + ) 3 x. Otrzymay szereg jest zbieży, gdy x oraz x 3, tj. dla x i x 3. Ostateczie więc x. Szereg geometryczy jest szczególym przypadkiem ogóliejszego szeregu dwumiaowego: ( + x) α = ( ) α x dla α R, x (, ) gdzie symbol ( α ) określamy astępująco: ( ) α α(α )(α )... (α + ) =.! Przykładowo dla α = 3 mamy: 3 + x = + 3 x!3 x + 5 3!3 3 5 8 4!3 4 +.3. Zastosowaia szeregów potęgowych Zając rozkład fukcji w szereg Maclauria moża z dowolą dokładością obliczyć wartości tej fukcji. Przykład. Obliczyć 0 e = e 0 z dokładością 0, 0000. e 0 = ( ) 0, 0, 0 0, 00 0, 000 = + + + + +! 0!! 3! 4! Jeżeli dodamy pierwszych k wyrazów tego szeregu, to a mocy twierdzeia 0 reszta szeregu jest postaci 0 k k! e ϑ, 0 < ϑ < 0, Żądaą dokładość uzyskamy, gdy reszta będzie miejsza od 0, 0000. Wystarczy k = 4. Uwaga. Z twierdzeia 0 możemy korzystać, gdy zamy wzór a -tą pochodą. Jeśli tego wzoru ie zamy, to trzeba szacować iaczej. W ostatim przykładzie przybliżając e 0 k wyrazami odrzucamy wyrazy: R = =k ) =!( 0 0 k k! + 0 k+ (k + )! + 0 k+ (k + )! + 8
Szacujemy: R ( + 0 0 k + 0 + ) = k! 0 k k! 0 9 = 0 k 9k!. Dla k = 4 wyosi to 0 3 0 = 0 5. Przy obliczaiu wartości waże jest, jakiego szeregu użyjemy do obliczeń. Przykład. Obliczyć l. Puktem wyjścia jest szereg l( + x) = 0 3 9 4! < ( ) + x+ = x x + x3 3 + ( ) x + dla x (, ]. Podstawiając w im x = otrzymamy l = + 3 4 + + ( ) +. Szereg te jest bardzo wolo zbieży. Jest to bowiem szereg aprzemiey, dla którego łatwo moża uzasadić astepującą własość. Lemat. Niech S k = k ( ) a ozacza przybliżoą wartość szeregu aprzemieego ( ) a, gdzie a 0. Wtedy S S k < a k+. Krótko: błąd jaki popełiamy biorąc k wyrazów jest miejszy od modułu (k+)-szego wyrazu. Np. biorąc 0 wyrazów popełiamy błąd szacoway liczbą. Zajdziemy szereg zaczie szybciej zbieży. W tym celu wykorzystamy szereg l( x) = x + x = x + x3 3 ( ) x + dla x [, ). Odejmując szeregi dla l( + x) i l( x) otrzymamy l + x x = ( x + x3 3 + x5 5 + x7 7 + ). Poieważ +x x = dla x = 3, więc podstawiając do powyższej rówości x = 3 uzyskamy ( l = 3 + 3 3 3 + 5 3 5 + ) 7 3 7 +. Błąd jaki popełimy biorąc k wyrazów wyosi i jest miejszy od (k + )3 k+ + (k + 3)3 k+3 + (k + 5)3 k+5 + ( + (k + )3 k+ 9 + 9 + ) = (k + )3 k+ 9 8 = 4(k + )3 k. Jeśli p. wymagamy, żeby błąd był iewiększy iż 0 9, to ależy zaleźć k dla którego będzie 4(k + )3 k 0 9. Wystarczy k = 9. Lemat ma dość ieoczekiwae zastosowaie w dowodzie astępującego twierdzeia. Twierdzeie. Liczba e jest iewymiera. 9
Dowód ie wprost. Przypuśćmy, że e jest wymiera, tz. e = m dla pewych liczb aturalych m,. Wtedy e = m oraz e = +! 3! + 4! + Przybliżając e sumą pierwszych wyrazów szeregu: popełiamy błąd miejszy od!. Zatem e +! 3! + + ( ) ( )! 0 < m! + 3! 4! + ( ) < ( )!!. Możąc tę ierówość przez! otrzymujemy 0 < m( )!!! +! 3!! 4! + ( ) <. Liczba w środku jest a pewo całkowita, a z ierówości wyika, że jest oa między 0 i. Ozacza to sprzeczość, bo takiej liczby ie ma. To kończy dowód. 3. Szeregi Fouriera Szereg postaci a 0 + (a cos x + b si x) + (a cos x + b si x) + = = a 0 + a cos x + b si x () azywamy szeregiem trygoometryczym. Każdy wyraz tego szeregu jest fukcją trygoometryczą o okresie π. Jeżeli szereg jest zbieży w przedziale [, π], to jest zbieży dla wszystkich x i jego suma jest fukcją okresową. Stąd wyika, że rozwiięcie w szereg trygoometryczy mogą mieć tylko fukcje okresowe o okresie π. Stawiamy zatem astępujące zadaie. Przypuśmy, że fukcja f(x), o okresie π, ma przedstawieie f(x) = a 0 + a cos x + b si x. (3) Jak wyliczyć współczyiki a i b? Zauważmy ajpierw, że dla N jest cos x dx = 0 oraz rówość (3) otrzymamy a więc f(x) dx = a 0 a 0 = π f(x) dx. dx, si x dx = 0. Zatem całkując Aby obliczyć a dla > 0 możymy ajpierw rówość (3) zapisaą w postaci f(x) = a 0 + a k cos kx + b k si kx k= 0
przez cos x i potem całkujemy: f(x) cos x dx = a 0 + cos x dx + ) (a k cos kx cos x dx + b k si kx cos x dx. k= Ale całki cos kx cos x dx są rówe 0 dla k. Żeby to stwierdzić, wystarczy skorzystać ze wzoru trygoometryczego cos kx cos x = (cos(k + )x + cos(k )x). Rówież si kx cos x dx są rówe 0 dla k N. Tym razem korzystamy ze wzoru trygoometryczego si kx cos x = (si(k + )x + si(k )x). A zatem jedyą iezerową całką po prawej stroie jest cos x dx = π. Zatem mamy skąd otrzymujemy f(x) cos x dx = a cos x dx = πa, a = π f(x) cos x dx. Aalogiczie zajdziemy wzór a b ; ależy pomożyć rówość (3) przez si x i całkować, korzystając przy tym ze wzoru si kx si x dx = 0 dla k. Tę zależość otrzymamy wykorzystując rówość si kx si x = (cos(k )x cos(k + )x). Po rachukach podobych do poprzedich uzyskamy: Otrzymae wzory b = π a 0 = π a = π b = π f(x) si x dx. f(x) dx, f(x) cos x dx. f(x) si x dx. azywamy wzorami Eulera-Fouriera. Stosując te wzory moża dla dowolej fukcji całkowalej w przedziale [, π] utworzyć szereg trygoometryczy azyway szeregiem Fouriera fukcji f(x). Ale te szereg ie musi być wcale zbieży! A jeśli awet jest zbieży, to iekoieczie do fukcji f(x). Żeby to zapewić potrzebe są dodatkowe założeia. Defiicja 6. Mówimy, że fukcja f(x) spełia waruki Dirichleta, gdy. f(x) jest przedziałami mootoicza w [, π];. f(x) = (f(x 0) + f(x + 0)) dla x (, π); 3. f() = f(π) = (f( + 0) + f(π 0)). Symbole f(x 0) i f(x + 0) ozaczają graicę lewostroą i prawostroą w pukcie x.
Twierdzeie. (Dirichleta) Jeżeli fukcja f(x) spełia waruki Dirichleta, to jej szereg Fouriera jest zbieży do fukcji f(x) w przedziale [, π]. Poza tym przedziałem rówość zachodzi jedyie wtedy, gdy fukcja f(x) jest okresowa o okresie π. Przykłady. Zajdziemy szereg Fouriera fukcji f(x) = x. Obliczamy Zatem a 0 = π, a = π [( ) ], b = 0. x = π + π = π 4 π k= [( ) ] cos x = cos(k )x (k ) dla x [, π].. Dla fukcji f(x) = x cos x obliczamy A więc a 0 = 0 a = 0, b =, b = ( ) dla >. x cos x = si x + = ( ) si x dla x (, π). Rówość zachodzi tylko w przedziale otwartym, bo trzeci waruek Dirichleta ie jest spełioy. 3. Niech { 0 dla < x < 0 f(x) = x dla 0 x < π Szereg Fouriera tej fukcji: f(x) = π 4 [ cos( )x π ( ) + ( ) si x ].