ODKSZTAŁCENIE LASTYCZNE MATERIAŁÓW IZOTROOWYCH. Opis dla ośrodka ciągłego (opracowano na podstawie: C.N. Reid, deformation geometr for Materials Scientists, ergamon ress, Oford, 97) Wstęp Omówim tera sposób opisu odkstałcenia plastcnego, traktując materiał jako ośrodek ciągł i iotropow. Metale użwane w praktce premsłowej mają prawie awse strukturę polikrstalicną. Jeśli ich rokład orientacji (tekstura) jest bliski prpadkowemu, a ponadto romiar iaren nie prekraca 0. mm to mogą bć one traktowane iotropowe. Ocwiście w opisie takim nie bierem pod uwagę krstalicnego charakteru mechanimów odkstałcenia plastcnego, jak poślig c bliźniakowanie. Roważm osiow test rociągania lub ściskania. ocątkowa długość próbki wnosi l 0, aś jej prekrój S 0. Na ogół test preprowadam pr stałej prędkości odkstałcenia:. Tpow wkres krwej rociągania (lub ściskania) predstawia się cęsto w tw. współrędnch inżnierskich: w funkcji, gdie ( jest to tw. inżnierskie naprężenie, ε - inżnierskie wdłużenie). Tpową krwa rociągania predstawia Rs.. Y 0 Q ε e ε ε t Rs.. Tpowa krwa rociągania metalu. Widim, że po odjęciu prłożonej sił poostaje trwałe odkstałcenie, cli plastcne: ε pl ε t - ε e, gdie ε t jest odkstałceniem całkowitm, aś εe jest odkstałceniem sprężstm. Jeśli ponownie prłożm do próbki naprężenia, to najpierw będiem się porusać po prostej Q (odkstałcenie sprężste), aś pocąws od punktu wstąpi odkstałcenie plastcne. Wprowadźm umowę, że od tego momentu odkstałcenie plastcne ε pl onacać będiem jako ε. Jeżeli, startując punktu, powięksm wartość naprężeń o δ, to prrost odkstałcenia plastcnego wniesie δε (Rs.). Natomiast w innm punkcie krwej rociągania (R), tej samej wartości prrostu naprężeń będie odpowiadał inn prrost odkstałcenia
plastcnego δε R Rs.. Widim atem, że dla danej wartości prłożonch naprężeń charakterstcn jest tlko prrost odkstałcenia plastcnego δε. δ δ R 0 δε R δε δε > δε R ε Rs.. o odjęciu prłożonch naprężeń (punkt ) i ponownm ich prłożeniu ora powiękseniu o δ, odkstałcenie plastcne próbki wrośnie o δε. odobnie, ponowne prłożenie naprężeń w punkcie R ora ich więksenie o δ, spowoduje prrost odkstałcenia plastcnegoδε. Widać, że prrost są będą różne i charakterstcne dla wartości prłożonch naprężeń. Krteria płnięcia plastcnego pr ogólnm stanie naprężeń Jak już widieliśm, mechanimami odkstałcenia plastcnego są poślig, bliźniakowanie i poślig po granicach iaren (w w wsokich temperaturach). Wsstkie te procesu są mechanimami prostego ścinania, a atem istotne do ich ajścia są tlko naprężenia ścinające, natomiast naprężenia hdrostatcne nie odgrwają żadnej roli. a) Krterium Treski (org.: Tresca): łnięcie plastcne pojawia się wted, gd maksmalne naprężenie ścinające osiąga krtcną wartość : ( ma min ) () gdie jest naprężeniem płnięcia w próbie odkstałcenia osiowego (np. rociąganie lub ściskanie) por. Rs., natomiast ma ora są najwięksm i najmniejsm naprężeniem min w układie osi głównch (są to ocwiście składowe normalne). Krterium to pr płaskim stanie odkstałceń, (pr cm 0 ) ilustrowane jest na Rs.. redstawion seściokąt jest miejscem geometrcnm punktów,, które spełniają krterium Treski, cli Równ..
Rs.. Krterium Treski na płascźnie. W prpadku ogólnego stanu naprężeń, kied w układie soi głównch wstępują tr nieerowe składowe naprężeń (,, ), miejscem geometrcnm punktów spełniającch Równ. jest graniastosłup o podstawie seściokąta Rs. 4. owierchnia płnięcia plastcnego, wg. krterium Treski, w prpadku ogólnego stanu naprężeń (,, ) są składowmi w układie osi głównch). b) Krterium Von Mises a Według tego krterium, płnięcie plastcne achodi, gd poniżsa funkcja F, ależna od naprężeń głównch (,, ), osiąga wartość krtcną : F {( ) + ( ) + ( ) } () Jeśli ogranicm się do płaskiego stanu naprężeń (obecne tlko składowe i ), to wkresem krwej płnięcia plastcnego jest elipsa o równaniu:
I jest ona predstawiona na Rs. 5. {( ) + + } [ + ] () 0 Rs. 5. Krterium Von Mises a na płascźnie. W prpadku pełnego stanu naprężeń wkresem powierchni plastcności (Równ. ) jest clinder eliptcn Rs. 6. Rs. 6. owierchnia płnięcia plastcnego, wg. krterium Von Mises a, w prpadku ogólnego stanu naprężeń (,, ) są składowmi w układie osi głównch). Zauważm, że w prpadku rociągania osiowego ( 0, 0 ), godnie Równ.. Na ogół krterium Von Mises daje dobrą godność ekspermentem, lepsą niż krterium Treski. 4
ojęcie naprężeń efektwnch Wróćm do prkładu próbką, która ostała poddana testowi rociągania (Rs.), aż do wartości naprężenia, po którm w próbce poostało trwałe wdłużenie plastcne ε t εe. Jeśli tera poddawać będiem ta próbkę na nowo obciążeniu w teście rociągania osiowego, bądź też pr dowolnm stanie naprężeń, to płnięcie plastcne ropocnie się ponownie jeśli funkcja F Równ. osiągnie wartość. Dlatego też funkcja F może bć uważana a miarę efektwnch naprężeń, decdująca c nastąpi płnięcie plastcne. Zatem naprężenia efektwne (w układie osi głównch) definiujem następująco: {( ) + ( ) + ( ) } (4) Natomiast, jeśli naprężenia wrażone są w dowolnm układie odniesienia, to: {( ) + ( ) + ( ) } + { + + } (5) Można wkaać, że wartość naprężenia efektwnego (Równ.5) jest niemiennikiem, tn. nie ależ od układu odniesienia. rpomnijm, że jeśli nam wartość naprężenia, pr którm próbka acnie płnąć plastcnie w teście rociągania osiowego, to wstąpi to również pr dowolnie łożonm stanie naprężeń, jeśli tlko:. Naprężenia efektwne opisują nam atem obiektwnie stan materiału (np., umocnienie mechanicne wskutek wrostu gęstości dslokacji). W rodiale tm stosujem następującą konwencję: wskaźniki tensorów w układie osi głównch wrażam w sposób redukowan i pre cfr (np.,,, ε, ε, ε ), aś w dowolnm układie pre liter (np.,,,,,, ε, ε, ε, γ, γ γ )., Relacje naprężenie - odkstałcenie W poniżsch roważaniach użjem następującch ałożeń: - materiał jest iotropow, a atem osie główne tensora naprężeń i odkstałceń pokrwają się, - każdej wartości naprężenia ścinającego (ora małemu, ustalonemu prrostowi d ) odpowiada prrost plastcnego odkstałcenia ścinającego, którego wartość nie ależ od naprężeń normalnch, - W materiale o określonm stanie pocątkowm, dowolnm dwóm naprężeniom ścinającm τ A i τ B odpowiadają prrost plastcnego odkstałcenia ścinającego A i A, pr cm: A τ A B τ B (6) odkreślić należ, iż powżsa ależność nie onaca, iż istnieje liniowa ależność pomięd τ A i A. 5
Można definiować wiele różnch iloraów naprężeń ścinającch i prrostów plastcnego odkstałcenia ścinającego odpowiadającch małemu, ustalonemu prrostowi d, np.: dα omnóżm obustronnie ta relację pre dwa i apism ją w nieco uprosconej postaci: ( ε ) ( ) ( ) d dλ (7) gdie: γ ε (ε ε 6 ), γ ε (ε ε 5 ), γ ε (ε ε 6 ) ora dλdα. owżse równanie jest słusne, gd wsstkie składowe naprężeń prłożone są równoceśnie. Równania 7 i 8 potwierdone są licnmi pomiarami. Jak już wiem, w odkstałceniu plastcnm achowana jest objętość materiału, a atem: + 0 (8) + Łącąc e sobą dwa ostatnie równania, możem wraić bepośrednio prrost odkstałcenia plastcnego, spowodowane równocesnm diałaniem wsstkich składowch naprężeń: dλ dλ dλ dλ dλ dλ ( + ) ( + ) ( + ) (9) Równanie to posiada dużą wartość praktcną, gdż daje nam rokład odkstałcenia plastcnego na składowe, pr cm odkstałcenie to spowodowane jest dowolnie łożonm stanem naprężeń. rrost odkstałcenia plastcnego ależą od: aktualnego poiomu naprężeń efektwnch ora od małego prrost d ponad ten poiom, któr wwołuje to odkstałcenie. repism tera Równ. 7 do postaci w układie osi głównch: ( ) ( ) ( ) (0) dλ 6
Ab prekstałcić to równanie, skorstajm tożsamości trgonometrcnej dotcącej seściu dowolch licb a,b,c, d,e,f spełniającch następującą proporcję : a /d b/e c/f (auważm, że relacją ta spełniają składowe a,b,c ora d,e,f dwóch równoległch wektorów). Mam atem także: a / d b/e c/ f a + b + c / d + e + f () Stosując tożsamość do Równ. 0, otrmujem: ( ) ( ) d λ {( ) + ( ) + ( ) } {( ) + ( ) + ( ) } () Zapism powżse równanie w sposób bardiej wart: gdie d ε d λ () jest miarą odkstałcenia efektwnego: 9 {( ) + ( ) + ( ) } (4) Równanie 4 charakteruje w ogóln sposób dowolne odkstałcenia plastcne. Łatwo sprawdić, że w prpadku rociągania osiowego ( i pr spełnieniu warunku stałej objętości Równ. 8), odkstałcenie efektwne ora naprężenia efektwne redukują się do: d ε ora. Możem definiować miarę całkowitego odkstałcenia efektwnego: ε d ε (5) rkładowo, w prpadku rociągania osiowego: ε dl l d ε d ε log e l l, gdie l i l 0 są długościami końcową i pocątkową próbki. Stosując pojęcia efektwnego naprężenia i odkstałcenia, wkres w funkcji ε, dla tego samego materiału pocątkowego, będą miał niemal taki sam kstałt dla różnch odkstałceń plastcnch spowodowanch romaitmi tpami naprężeń (patr Rs. 7 i 8). Jest to ważne uogólnienie krwej predstawiającej wniki dowolnego tpu odkstałcenia plastcnego. Wielkości ora ε nawane są także równoważnmi naprężeniami i odkstałceniami. Wkres w funkcji ε najłatwiej jest wnacć dla danego materiału w testach osiowego rociągania lub ściskania. l l0 0 7
odstawm dλ (Równ. 4) do Równ. 0: ( + ) ( + ) / / ( + ) / (6) Jest to równania LEVY-MISES a, podstawowe równanie teorii plastcności. W powżsm równaniu jest ono wrażone w układie osi głównch. W układie tm prrost całkowitego odkstałcenia ( d ε ) prrost podaje nam Rown.4. Natomiast w dowolnm układie odniesienia prrost efektwnego odkstałcenia wlicam godnie następująca formułą: {( ) + ( ) + ( ) } + { + } + 9 (7) aś naprężenie efektwne wlicam godnie Równ.5, cli: {( ) + ( ) + ( ) } + { + + } (arówno d ε jak i są niemiennikami). Wted równania LEVY-MISES a prjmują ogólną postać: / / / ( + ) ( + ) ( + ) / / / (8) Zauważm, iż mając wnacon dla danego materiału stosunek d ε/ pr ałożonej małej wartości d (np. testu rociągania osiowego), równania Lev-Mises a wlicm rokład dowolnego odkstałcenia plastcnego na poscególne składowe:,,,,,, odpowiadając prłożonemu naprężeniu efektwnemu. 8
Jest to bardo prdatne równanie operacjne w obliceniach odkstałceń plastcnch, prdatne np. w projektowaniu procesów formowania materiałów. Na koniec auważm, że jeśli prłożone do materiału sił będiem więksać, ale tak, ab poscególne składowe tensora naprężeń poostawał w stałch wajemnch proporcjach, to równanie Lev-Mises a można scałkować i otrmam całkowite (końcowe) miar składowch odkstałcenia : ε ε ( + ) / ε ε ( + ) / (8) ε ε ( + ) / γ γ γ ε / ε / ε / gdie składowe tensora naprężeń ( ε, ε, ε, γ, γ γ ) i jego miara efektwna, odpowiadają stanowi końcowemu procesu odkstałcenia ora: ε ( ε ε ) + ( ε ε ) + ( ε ε ) + γ + γ + γ 9 { } ( ) Równania 9 są równaniami HENCKY ego. (por. Równ. 7). orównanie wnikami doświadcalnmi Na dwóch poniżsch rsunkach (Rs. 7 i 8) pokaano ależność pomięd efektwnm naprężeniem i efektwnm odkstałceniem dla bardo różnch rodajów odkstałcenia. Widim, że jeśli wrsujem tw. krwe umocnienia, cli ależność w funkcji ε, to punkt odpowiadające bardo różnm rodajom odkstałcenia układają się praktcnie na jednej krwej, która jest bardo bliżona do krwej rociągania jednoosiowego dla danego materiału. redstawione wniki potwierdają alet użwania wielkości efektwnch. Odkstałcenia bardo różnch tpów, charakterowane tmi wielkościami, uskują wart i jednolit opis. 9
00 naprężenie efektwne (Ma) 00 00 0 /4 /8 / / 5/8 /4 0 0. 0. 0. odkstałcenie efektwne Rs. 7. Zależność pomięd naprężeniem i odkstałceniem efektwnm dla polikrstalicnej miedi odkstałcanej pre dwuosiow stan naprężeń (, ). okaano wniki dla różnch wartości /. 0 naprężenie efektwne (Ma).0 4 5 6 7 8 5 6 7 4 9 0 róbka nr. Tension/torsion ratio/ róbka nr. Tension isochronous róbka nr. Tension isochronous róbka nr. 6 Tension/torsion ratio/ róbka nr. 5 Tension/ ε0.009 then constant Torsion-torsion to ε0.099 then constant Torsion-torsion to ε0.095 Nos to 8 shear stress onl Tension / torsion ratio No.9 0.667 No.4.95 No.0. No.5.00 No..000 No.6.760 No.. No.7.57 No..670 0. 0.00 0.0 0. odkstałcenie efektwne Rs. 8. Zależność pomięd efektwnm naprężeniem i odkstałceniem dla clindrcnch próbek polietlenu poddanch odkstałceniu pre rociąganie i skręcanie w różnch proporcjach. 0