Równania ruchu płynu, podobnie jak w mechanice ciała stałego, są wyprowadzone z

Transkrypt

1 3. Równania ruchu płnu Równania ruchu płnu, podobnie jak w mechanice ciała stałego, są wprowadone drugiej asad Newtona, która dla ciała o masie m mieniającego prędkość 1 w chwili t 1 do prędkości mian: w chwili t, powala oblicć siłę F niebędną do wwołania tej F ( t t1) = m m 1 (3.1) Ilocn mas i prędkości jest wielkością wektorową nawaną pędem, aś ilocn sił i casu jej diałania nawan jest popędem sił, co powala wraić drugą asadę dnamiki w następującej postaci: popęd miana sił = pędu (3.1a) układu Jeżeli ałożm, że ropatrwać będiem mian achodące w nieskońcenie małm casie, wówcas drugą asadę dnamiki, po obustronnm podieleniu w. (3.1) pre cas wraić będie można następująco: siła bewładności suma sił ewnętrnch prspiesanego = diałającch na (3.) elementu płnu element płnu Siłami ewnętrnmi są sił ciężkości (należące do grup sił masowch) ora sił pochodące od ciśnienia i sił lepkości, które są siłami powierchniowmi. 0 n 0 δ Rs.3.1. Ilustracja wpłwu lepkości na obra opłwu proilu. Wsstkie płn są ośrodkami lepkimi, jednak nie we wsstkich prepłwach lepkość jest jednakowo istotna. Narsujm rokład prędkości wokół proilu pokaanego na rs. 3.1, któr anuron jest w płnie porusającm się prędkością o równolegle do osi smetrii proilu. Lepkość powoduje, że na powierchni proilu prędkość jest erowa, gdż istnienie adheji płnu sprawia, że molekuł płnu położone w bepośrednim sąsiedtwie ścian musą mieć prędkość erową. Jeżeli oddalam się od ścian (kierunek n na rs. 3.1) wówcas prędkość rośnie w sposób określon lepkością płnu, tn. dla płnów o mniejsej lepkości gradient prędkości może bć więks niż dla ośrodka o lepkości więksej. n 41

2 Grubość warstw płnu onacona na rs. 3.1 smbolem δ, w której na skutek lepkości istnieje nieerow gradient prędkości: 0 n wnaca granicę tw. warstw prściennej, w której lepkość odgrwa istotną rolę. Grubość warstw prściennej jest jednak awcaj niewielka i prkładowo na powierchni łopatki wentlatora c turbin gaowej lub parowej wmiar ten jest rędu: δ 1 mm a pr opłwie wod wokół kadłuba statku o długości kilkuset metrów grubość δ jest co najwżej rędu kilkudiesięciu centmetrów. Onaca to, że kstałt linii prądu położonch w odległości więksej niż δ od powierchni ciała może bć wnacon be uwględnienia lepkości płnu. Pominięcie lepkości w równaniach ruchu uprasca oblicenia i dlatego też, w prbliżonej analiie wielu agadnień stosuje się opis ruchu dla tw. płnu idealnego (nielepkiego). Ponadto, e wględów ddaktcnch łatwiej jest wprowadić równanie ruchu dla płnu nielepkiego a następnie wprowadić do niego sił lepkości i ten sposób postępowania ostanie astosowan w niniejsm rodiale Równanie ruchu płnu idealnego równanie Eulera Do sormułowania opisu ruchu płnu idealnego astosujem metodę Eulera wodrębniając całej objętości płnu V jego element dv (rs. 3.) i elementarną powierchnię ds. Na ropatrwan płn diała jednostkowa siła masowa, której składowe w kartejańskim układie współrędnch apisać można: F = X i Y j Z k n -pnds ds S V dv FρdV Rs.3.. Sił masowe i powierchniowe diałające na element płnu idealnego. Na element płnu o objętości dv diała siła masowa F ρ dv gdie ρ jest gęstością płnu, a całkowita siła masowa diałająca na objętość V ropatrwanego płnu wnosi: F ρ dv (3.3a) V W płnie idealnm nie wstępują składowe stcne sił powierchniowch i dlatego na każd element powierchni płnu diała wektor sił normalnej, skierowan preciwnie do wrotu osi n, co powala apisać: 4

3 p = p n gdie p jest ciśnieniem w danm punkcie powierchni S. Elementarna siła powierchniowa wnosi: p ds a całkowita siła powierchniowa będie równa: p ds (3.3b) S Sił apisane ależnościami (3.3a) i (3.3b) są jednmi siłami ewnętrnmi wstępującmi w płnie idealnm i dla kompletności równania (3.) potrebna jest jednie siła bewładności, która dla elementarnej objętości apisana bć może: D ρ dv Dt Całkowita siła bewładności będie równa: D dv v Dt ρ (3.3c) i po uwględnieniu w równ. (3.) wiąków (3.3a), (3.3b) i (3.3c) otrmam: D F ρdv p ds = 0 V Dt S Całkowanie powżsego wiąku wmaga prekstałcenia całki powierchniowej w objętościową wkorstaniem prekstałcenia Gaussa-Ostrogradskiego: p ds = p n ds = grad pdv S S co powala apisać: D 1 F grad p ρdv = 0 S Dt ρ Objętość V ostała wbrana w sposób całkowicie dowoln, co onaca, że wiąek powżs achowuje ważność w każdm punkcie płnu, co powala apisać: D 1 = F grad p (3.4) Dt ρ Zależność powżsa to równanie ruchu płnu idealnego nawane również równaniem Eulera dla płnu idealnego, które wiąże e sobą jednostkową siłę masową F, gradient D ciśnienia w danm punkcie płnu gęstością ρ i prspieseniem diałającm na dan Dt element płnu. Równanie (3.4) apisać można dla kartejańskiego układu współrędnch jako układ trech równań skalarnch: D Dt 1 p = X ρ V D 1 p = Y (3.5) Dt ρ 43

4 D 1 p = Z Dt ρ a po rowinięciu wrażeń na pochodne substancjalne uskam następującą postać równania Eulera dla prepłwu niestacjonarnego płnu idealnego: 1 p = X t ρ 1 p = Y (3.6) t ρ 1 p = Z t ρ Jeżeli ogranicm roważania do prepłwów ustalonch, wówcas wiąek powżs można uprościć otrmując równanie Eulera dla prepłwu ustalonego płnu idealnego: 1 p = X ρ 1 p = Y (3.7) ρ 1 p = Z ρ W wiąkach (3.6) i (3.7) nie nakładaliśm żadnch ograniceń na gęstość płnu i stąd też równanie Eulera jest ważne arówno dla prepłwu ściśliwego jak i nieściśliwego. 3.. Metodka rowiąwania równania Eulera Równanie Eulera będące opisem ruchu płnu idealnego D 1 = F grad p (3.4) Dt ρ jest bilansem równowagi sił diałającch na element płnu i nawane jest tego powodu warunkiem dnamicnm możliwości prepłwu. W równaniu tm apisanm w kartejańskim układie współrędnch wstępuje pięć niewiadomch:,,, p, ρ podcas gd równanie Eulera, apisane w postaci skalarnej to tlko tr równania, wiążące e sobą niewiadome dane powżsm wiąkiem. Każd jednak prepłw spełniać musi równanie ciągłości: 1 Dρ div = 0 ρ Dt które to równanie nawane jest również warunkiem kinetcnm możliwości prepłwu, stanowiącm cwarte równanie układu opisującego ruch płnu. Do amknięcia układu równań (roumianego jako równanie licb równań i niewiadomch) potrebn jest jesce jeden warunek, którm jest równanie stanu opisujące mienność gęstości płnu. Najprostsą postacią tego wiąku można się posłużć w prpadku opisu ruchu ciec, dla której można prjąć, że gęstość nie ależ od ciśnienia i temperatur, co powala apisać piąte, brakujące równanie w postaci: ρ = idem (3.8a) Równanie powżse nie może bć równaniem stanu dla gaów, wśród którch wdielić należ dwie odrębne klas. Pierwsą nich tworć będą płn barotropowe dla którch gęstość ależ tlko od ciśnienia, cli: ρ = ( p) (3.9) 44

5 Dla płnów barotropowch o własnościach bliżonch do gau doskonałego, któr w całm roważanm prepłwie będie miał stałą temperaturę, równanie stanu będie równaniem premian iotermicnej: p = const (3.8b) ρ Jeżeli natomiast w prepłwie płnu barotropowego premian achodić będą pr stałej wartości ciepła właściwego, wówcas równaniem stanu będie równanie premian politropowej: p = const (3.8c) m ρ w której to ależności m jest wielkością stałą nawaną wkładnikiem politrop. Drugą klasą płnów są tw. płn baroklinowe, dla którch gęstość nie jest włącnie unkcją ciśnienia lec ależ także od innch parametrów, np. temperatur: ρ = ( p, T,...) (3.10) W prepłwach płnów baroklinowch wmiana ciepła otoceniem jest utrudniona dwóch prnajmniej powodów. Po pierwse współcnnik prejmowania ciepła dla gaów jest reguł niewielki (nacnie mniejs niż np. dla ciec) a po drugie wstępujące w praktce prepłw charakterują się dużmi prędkościami, co sprawia, że eektwn cas wmian ciepła jednostką powierchni jest krótki. Obdwa te cnniki uasadniają możliwość ałożenia, że prepłw może odbwać się be wmian ciepła otoceniem i w tm prpadku równaniem stanu jest równanie premian adiabatcnej: ρ = const (3.8d) κ ρ Ruch płnu idealnego będie atem opisan układem trech równań Eulera w. (3.4), równaniem ciągłości w. (.4a) ora jednm cterech możliwch równań stanu w. (3.8), którch należ wnacć rut wektora prędkości,,, ciśnienie p i gęstość ρ. Koniecne będie atem scałkowanie równań Eulera i ciągłości, w wniku którego rowiąanie awierać będie stałe całkowania i dowolne unkcje. Dla wnacenia tch wielkości niebędne będą dodatkowe warunki, które musą bć spełnione ab prepłw bł jednonacnie określon. Po pierwse spełnione musą bć warunki pocątkowe, które mogą bć prjęte w danej chwili prjmowanej jako pocątkowa, tn. dla t = 0 musą bć nane wartości składowch prędkości: =,,, 0 o o = ( ) (,,, 0) (,,, 0) o = ora ciśnienie: p o = p (,,, 0) co powala także wnacć równania stanu gęstość w chwili pocątkowej: ρ = ρ,,, 0 o ( ) Rowiąanie spełniać musi także warunki bregowe arówno kinematcne jak i dnamicne. Kinematcn warunek bregow dotc rokładu prędkości na stwnej, nieruchomej ścianie ogranicającej prepłw. Jeżeli w każdm punkcie ścian wektor prędkości rołożm na składowe normalną ora stcną : gdie: n = n s n s s 45

6 46 s, n - wektor jednostkowe odpowiednio normaln i stcn do powierchni, wówcas dla stwnej nieprepuscalnej ścian stcnej musi bć spełnion warunek: 0 n = Jeżeli kstałt stwnej ścian dan będie równaniem: ( ) 0,, = wówcas w każdm punkcie tej powierchni prepłw odbwać się będie tlko w kierunku stcnm. Składowa normalna prędkości wiąana będie niewiadommi składowmi prędkości,, następującm wiąkiem: = k n, cos j n, cos i n, cos n (3.11) a dla spełnienia kinematcnego warunku bregowego koniecne będie, ab składowe prędkości bł wiąane następującm wiąkiem: 0 k n, cos j n, cos i n, cos n = = (3.11) Kosinus kierunkowe wstępujące w powżsm równaniu wlicć można następująco: i n, cos = j n, cos = k n, cos = i po podstawieniu ich do warunku erowości składowej prędkości normalnej do ścian (w. (3.11)) uskujem ostatecną postać kinematcnego warunku bregowego: 0 = (3.1) Dnamicn warunek bregow dotc rokładu prędkości i wartości ciśnienia na swobodnej powierchni płnu, której kstałt dan jest równaniem: ( ) 0 t,,, F = (3.13) Zakładając, że swobodna powierchnia jest nieruchoma możem apisać następując warunek bregow: 0 F F F t F Dt DF = = (3.14) któr musi bć uupełnion dodatkowmi warunkami dotcącmi ciśnienia, które na swobodnej powierchni musi bć po pierwse niemienne, a po drugie równe ciśnieniu otocenia Pa, co można apisać: ( ) const p t,,, p a = = (3.15) Podane w tm rodiale prkład warunków bregowch nie wcerpują wsstkich możliwch stuacji, takich jak np. swobodna powierchnia nałożonmi alami powierchniowmi, dla której należ ałożć równość premiescenia swobodnej powierchni i elementów płnu najdującch się w bepośredniej bliskości tej powierchni.

7 Dodatkowe modikacje warunków bregowch będą koniecne w prpadku swobodnej powierchni alami powierchniowmi dla warstw płnu o niewielkiej głębokości, w której potrebne jest nałożenie dodatkowego warunku o erowej wartości składowej pionowej prędkości płnu (wmusonej alowaniem) na powierchni dna. Odrębną grupę warunków bregowch stanowią ależności, które musą bć spełnione dla powierchni nieciągłości oddielającch dwa nie miesające się płn. Należ tu również wrócić uwagę, że równanie Eulera jest nieliniowe, a wstępujące w nim niewiadome są unkcjami współrędnch prestreni i casu, co nacnie komplikuje całkowanie tch równań. Zagadnienia te wkracają jednak poa akres podstawowego wkładu mechaniki płnów i są predmiotem odrębnego diału mechaniki płnów wanego CFD od angielskiego określenia Computational Fluid Dnamics Równanie ruchu płnu lepkiego równanie Navier-Stokesa. Równanie Eulera dla płnu idealnego apisane w poprednim rodiale w postaci: D 1 = F grad p (3.4) Dt ρ wraża warunek równowagi sił bewładności, masowch i ciśnieniowch. Jeżeli w opisie ruchu płnu uwględnim lepkość, wówcas w równ. (3.4) amiast sił ciśnieniowch wstępować będie siła powierchniowa P, która awierać będie arówno składową normalną P n jak i stcną P: s P = Pn n Ps s wględnienie tego wiąku powala apisać w. (3.4) w modikowanej postaci: D ρ = ρ F P (3.16) Dt Składowe normalną i stcną sił powierchniowej wrażam pre naprężenia, cli sił odniesione do jednostki powierchni godnie następującą konwencją: P = σ S n n P = τ S s ns W onaceniach naprężeń normalnch σ indeks n onaca kierunek normaln do n powierchni S, a indeks naprężeń stcnch τ onacają odpowiednio kierunek ns normaln n do powierchni S ora kierunek s wdłuż którego diałają naprężenia stcne, co pokaano na rs Jeżeli roważać będiem opis równowagi elementu płnu w kartejańskim układie współrędnch, wówcas siłę powierchniową wstępującą we w. (3.16) apisać będiem mogli następująco: P = P i P j P k (3.17) Roważm stan naprężeń diałającch na powierchnie, do którch prostopadła jest oś układu współrędnch, jak pokaano na rs Ropatrwan element płnu poddan jest ściskaniu pre element otacające i stąd też naprężenia normalne σ będą predstawiać reakcję elementu płnu na otocenie i będą one skierowane na ewnątr. Na powierchnię dd diałać będą naprężenia τ i τ, które wdłuż osi będą wkawać prrost (gradient) równ odpowiednio: 47

8 τ ; τ n σ n S τ ns s Rs.3.3. Ilustracja prjętej konwencji onaceń dla naprężeń normalnch i stcnch. d d d 0 d d d Rs.3.4. Naprężenia diałające na powierchnie prostopadłe do osi. Jeżeli na równoległe powierchnie diałać będą naprężenia o różnej wartości, wówcas dla obserwatora najdującego się wewnątr elementu płnu eektwne naprężenia będą skierowane preciwnie, podobnie jak miałob to miejsce w prpadku różnic prędkości. Jeżeli ałożm, że gradient naprężeń są dodatnie, wówcas będiem mogli predstawić naprężenia diałające na ścianę bliżsą pocątkowi układu współrędnch jako skierowane preciwnie do wrotu osi. Prjmując tę konwencję, naprężeniom stcnm diałającm na powierchnię dd oddaloną o d wdłuż osi prporądkujem wrot godne kierunkami osi układu współrędnch jak anacono na rs Podobne roumowanie preprowadić można dla naprężeń diałającch na powierchnie, do którch prostopadłe są odpowiednio osie (rs. 3.5) ora (rs. 3.6) i wówcas możliwe będie napisanie warunku równowagi dla sił powierchniowch w postaci rutów naprężeń na odpowiednie kierunki prjętego układu współrędnch. Prkładowo, suma sił powierchniowch diałającch wdłuż kierunku apisana będie następująco: σ dd τ dd τ dd 48

9 σ τ τ σ d dd d dd τ d dd τ a po wkonaniu elementarnch prekstałceń prbiere ona postać: σ τ τ ddd ddd ddd d d d Rs.3.5. Naprężenia diałające na powierchnie prostopadłe do osi. d d Rs.3.6. Naprężenia diałające na powierchnie prostopadłe do osi. 49 d

10 Zwiąek powżs można prekstałcić do postaci predstawiającej siłę powierchniową odniesioną do jednostki objętości, co po uwględnieniu w. (3.17) powoli apisać: σ τ τ P = ora pre analogię dla poostałch kierunków: σ τ τ P = σ τ τ P = Po uwględnieniu powżsch ależności we worach (3.16) ora (3.17) równanie ruchu płnu lepkiego apisać można w postaci rutów na osie układu współrędnch: D σ τ τ 1 = X Dt ρ D σ τ τ 1 = Y (3.18) Dt ρ D σ τ τ 1 = Z Dt ρ Wstępujące w równ. (3.18) naprężenia stanowią nowe niewiadome, którch oblicenie wmagałob wprowadenia nowch równań. Znacnie prostsm wjściem będie jednak wrażenie niewiadomch naprężeń pre nane już ależności opisujące deormacje płnu. Naprężenia normalne σ będą bowiem wwołwać odkstałcenia objętościowe ε a naprężenia stcne τ wwołwać będą odkstałcenia postaciowe λ, pr cm naprężenia te deiniowano w rodiale.6 w sposób następując: - odkstałcenia objętościowe: ε = ε = (.35) ε = - odkstałcenia postaciowe: λ = λ = λ = λ = (.36) λ = λ = Stosunkowo prostm agadnieniem jest powiąanie naprężeń stcnch τ deormacjami postaciowmi λ, dla powiąania którch punktem wjścia może bć prawo Newtona, które w rodiale 1 ostało podane w postaci: d τ = µ (1.7) d 50

11 której wnika, że współcnnikiem proporcjonalności międ naprężeniami stcnmi i gradientem prędkości jest współcnnik lepkości µ. Powala to apisać naprężenia stcne wstępujące we w. (3.18) w następującej postaci: τ = τ = µ τ = τ = µ (3.19) τ = τ = µ Powstaje ocwiste ptanie, c ten sam stosunek proporcjonalności achodić będie międ naprężeniami i prędkością deormacji kątowej jak pokaano na rs d d d d d β= ddt d α= ddt Rs.3.7. ścianami. d Odkstałcenie postaciowe elementu płnu jako deormacja kąta międ Deormacja kąta prostego utworonego pre ścian elementu płnu jest sumą deormacji: d α dβ i dlatego można wprowadić pojęcie średniej prędkości odkstałcania kątowego: 1 ( λ ) śr = ( λ) śr = 1 ( λ ) śr = ( λ) śr = (3.0) 1 ( λ ) śr = ( λ ) śr = 51

12 i wówcas współcnnik proporcjonalności naprężeń do średniej prędkości odkstałcenia wniesie: τ = µ λ śr (3.1) gdż tlko w tm prpadku otrmam ależności (3.19) o postaci godnej prawem Newtona. Zgodnie tą konwencją, w prawie Newtona apisanm jak we w. (1.7), gradient prędkości stanowi podwojoną różnicę prędkości średniej dla obserwatora najdującego n się w środku elementu płnu i porusającego się prędkością C (patr rs. 3.8). a) b) n c n n c n n Rs.3.8. Ilustracja prędkości deormacji w nieruchomm układie odniesienia a) ora widianej pre obserwatora porusającego się płnem b). W tm prpadku prawo Newtona należałob apisać w postaci: 1 τ = µ = µ n n wskaującej, że prjęcie współcnnika proporcjonalności µ daje prawo Newtona określone postacią (1.7). W prpadku naprężeń normalnch σ wstępującch we w. (3.18) akładam, że w prpadku płnu nielepkiego błb one równe ciśnieniu, tn.: σ = p σ = p σ = p W płnie lepkim naprężenia normalne błb sumą ciśnienia i dodatkowch naprężeń wwołanch lepkością: ' σ = p σ σ = p σ pr cm naprężenia te musiałb spełniać deinicjną ależność: σ σ σ = p 3 σ = p σ ' ' (3.) (3.) 5

13 gdż w każdm punkcie płnu lepkiego musiała b istnieć określona wartość ciśnienia. ' ' ' Innmi słow akładam, że dodatkowe naprężenia σ, σ, σ dają sumę erową, a ponieważ pochodą one od lepkości, stąd też należ ałożć, że współcnnik proporcjonalności tchże naprężeń od odkstałceń będie identcn jak w prpadku naprężeń stcnch, co powoli apisać: σ σ ' ' ' = µ ε = µ ε σ = µ ε Zależność powżsa słusna jest dla płnów nieściśliwch, gdż ałożliśm, że dodatkowe naprężenia dają sumę erową: ' ' ' σ σ σ = µ ε ε ε = ( ) = µ = µ div = 0 co onaca, że wobec erowości diwergencji wektora prędkości (3.3) div = 0 że musi to bć płn nieściśliw. Jeżeli al. (3.) miałab bć ważna dla prpadku ogólnego tn. także i dla płnów ściśliwch, wówcas al. (3.) należ apisać w postaci: gdie cłon σ σ σ = p µ ε = p µ ε = p µ ε λ div λ div λ div λ div (3.4) onaca dodatkowe naprężenia proporcjonalne do jednostkowej mian objętości div płnu ściśliwego. Współcnnik proporcjonalności λ jest niewiadom i należ go określić warunku (3.), któr musi bć spełnion także i dla płnów ściśliwch, co po podstawieniu (3.4) do (3.) powala apisać: 1 3p µ 3λ div = p 3 i po prekstałceniu: µ div 3λ div = 0 Biorąc pod uwagę, że dla płnu ściśliwego div 0 można podielić obie stron pre tę wielkość otrmując: µ 3λ = 0 Ostatecnie otrmujem wartość współcnnika proporcjonalności: λ = µ 3 co po podstawieniu do (3.4) powala apisać wrażenie określające naprężenia normalne w płnie lepkim: 53

14 σ = p µ ε div 3 σ = p µ ε div (3.5) 3 σ = p µ ε div 3 Podstawiając w. (3.5) ora (3.19) do al. (3.18) otrmujem równanie ruchu dla płnu lepkiego, które w postaci rutów na tr osie apisać można następująco: D 1 p 1 = X ν ν div Dt ρ 3 D 1 p 1 = Y ν ν div (3.6) Dt ρ 3 lub w postaci wektorowej: D Dt 1 p = Z ν ρ 1 ν div 3 D 1 1 = F gradp ν νgrad div (3.7) Dt ρ 3 Równania te nane są jako równania Navier-Stokesa i stanowią najbardiej ogóln prpadek opisu ruchu newtonowskiego płnu ściśliwego pr stałej wartości współcnnika lepkości. Równanie (3.7) może ostać uproscone, jeżeli ropatrwać będiem prepłw ciec, dla której pominąć można wpłw ściśliwości, co powala apisać: D = F grad p ν (3.8) Dt W prpadku prepłwów gau odbwającch się umiarkowanmi prędkościami (Ma < 0.3) opróc sił ściśliwości pominąć można także sił masowe, gdż siła masowa równoważona jest ciśnieniem hdrostatcnm. Jeżeli atem pre ciśnienie p roumieć będiem ciśnienie hdrodnamicne będące różnicą międ ciśnieniem całkowitm i ciśnieniem hdrostatcnm, wówcas równanie Navier-Stokesa będie można apisać następująco: D 1 = grad p ν (3.9) Dt ρ Równanie Navier-Stokesa awiera tę samą licbę niewiadomch co równanie Eulera i uupełnione bć musi również o równanie ciągłości i równanie stanu. Podobnie jak w prpadku równania Eulera także i równanie Navier-Stokesa musi bć uupełnione warunkami pocątkowmi i bregowmi, pr cm stopień łożoności warunków bregowch jest w tm prpadku nacnie więks. Prkładem może bć warunek bregow dla prędkości na stwnej ścianie, któr wmaga, ab arówno składowa normalna prędkości jak i składowa stcna na ścianie bł równe eru, tn.: = 0 (3.30) n s = gdż sił adheji międ materiałem ścian i płnem powodują, że prędkość na ścianie musi bć równa eru. Problematka warunków bregowch i rowiąwalności równań Navier- Stokesa jest bt łożona, ab mogła bć ropatrwana w niniejsm wkładie. W dalsch rodiałach ropatrwane będą wniki anali uskane pr pomoc uprosconch równań Navier-Stokesa, pr cm e wględu na wgodę dla onacenia tch równań użwana będie skrócona nawa równań N-S. 54

15 3.4. Prkład rowiąania równania N-S, prawo Hagena-Poiseuille a. Stopień łożoności matematcnej równania N-S, wnikając arówno jego nieliniowości jak i skomplikowanego charakteru warunków bregowch sprawia, że nanch jest aledwie kilka ścisłch rowiąań uskanch dla prpadków, w którch równania N-S uprascają się do postaci liniowej. Prkładem takiego ścisłego rowiąania jest uskane równania N-S analitcne potwierdenie empircnego prawa sormułowanego nieależnie pre Hagena (1839) i Poiseuille a (1840): Wdatek ciec prepłwającej pre rurkę o małej średnic jest proporcjonaln do różnic ciśnień powodującej prepłw, proporcjonaln do cwartej potęgi średnic rurki i odwrotnie proporcjonaln do jej długości. h d l Rs.3.9. Schemat doświadcenia ilustrującego prawo Hagen-Poiseuille a. Na rs. 3.9 pokaano schemat doświadcenia ilustrującego prawo Hagen-Poiseuille a, w którm rurka o średnic d i długości l połącona jest e biornikiem napełnionm do wsokości h. Wdatek ciec Q mieron bć może pokaaną schematcnie na rs. 3.9 metodą objętościową, tn. pre pomiar casu napełniania T biornika o nanej objętości V, co powala oblicć: V Q = T Ponieważ wpłw ciec rurki odbwa się do otocenia, stąd też różnica ciśnień wmusająca prepłw wnosi: p = h ρ g i wobec stałości gęstości ciec ρ i prspiesenia iemskiego g różnica ciśnień jest proporcjonalna do wsokości napełnienia biornika h. Prawo Hagena-Poiseuille a apisać można układem następującch wiąków proporcjonalności: Q ~ p Q ~ Q ~ d Proporcjonalność wdatku do różnic ciśnień i jego odwrotna proporcjonalność do długości rurki jest intuicjnie łatwa do prewidenia, gdż różnica ciśnień na końcach rurki daje precież wpadkową siłę ciśnieniową wmusającą ruch płnu i więksa wartość różnic 55 1 l 4

16 ciśnień to więksa siła wmusająca prrost prędkości prepłwu i prrost wdatku. Długość rurki proporcjonalna jest kolei do sił oporu wwołanej tarciem, której diałanie preciwstawia się sile wmusającej ruch co sprowadać się musi do mniejsenia prędkości i wdatku jeżeli długość rurki będie więksa. Zaskakująca jest natomiast proporcjonalność wdatku do cwartej potęgi średnic, gdż intuicjnie można b ocekiwać, że wdatek ciec będie proporcjonaln do pola prekroju poprecnego rurki, które jednak proporcjonalne jest do kwadratu średnic. skanie analitcnego rowiąania dla tego prpadku wmagać będie scałkowania następującego układu równań: - równania N-S w postaci właściwej dla ustalonego prepłwu ciec, dla której pominąć można cłon ściśliwości: D 1 = F grad p ν (3.31a) Dt ρ - równania ciągłości w postaci właściwej dla ustalonego prepłwu płnu nieściśliwego: = 0 (3.31b) - równania stanu, wrażającego stałość gęstości ciec: ρ = idem (3.31c) Warunek bregow sprowadi się do erowej prędkości prepłwu na ścianie rurki, godnie uwagami amiesconmi w rodiale poprednim. Prjmijm, że oś rurki pokrwa się kierunkiem osi kartejańskiego układu współrędnch, jak pokaano na rs R Rs Geometria prepłwu Hagen-Poiseuille a. Jednostkowa siła masowa: F = X i Y j Z k ma w prjętej geometrii następujące składowe: X = 0 ; Y = 0 ; Z = natomiast wektor prędkości = i j k w rurce o małej średnic ma nieerową składową jednie w kierunku prepłwu, tn.: 0 ; = 0 ; = 0; co onaca, że jest to prepłw jednowmiarow. Prepłw jest ustalon co onaca, że można pominąć pochodną lokalną, wobec tego pochodne substancjalne prędkości dla prepłwu jednowmiarowego prjmą postać: g 56

17 D = Dt D Dt = 0 D Dt = 0 co powala apisać wjściow układ równań N-S w postaci: 1 p = ν ρ 0 = 1 p ρ 57 (3.3) 1 p 0 = g ρ natomiast równanie ciągłości = 0 dla prepłwu jednowmiarowego prekstałcić można następująco: = 0 (3.33) Równanie stanu sprowada się do stałości gęstości ρ w równ. (3.3) ora (3.33). W trecim równaniu układu (3.3) wobec małej średnic rurki pominąć można mienność ciśnienia hdrostatcnego, a wobec erowej wartości gradientu ciśnienia wdłuż kierunku (patr drugie równ. (3.3)) prjąć można, że ciśnienie jest unkcją jednie kierunku, tn.: p = p ( ) Powala to astąpić w pierwsm równaniu (3.3) pochodną cąstkową: 1 p ρ różnicką wcajną: 1 dp ρ d Z równania ciągłości (3.33) wnika, że składowa prędkości może bć jednie unkcją: (, ) a po uwględnieniu tch wniosków ora w. (3.33) w równ. (3.3), ten ostatni wiąek apisać można: 1 dp = ν 0 ρ d co po prostm prekstałceniu powala nam apisać równanie ruchu w postaci: dp µ = (3.34) d Ciśnienie p może mieniać się tlko w kierunku, co godnie ts powala apisać: dp p = d l gdie p onaca różnicę ciśnień diałającch na prekroje 1 ora walcowego elementu płnu. Równanie ruchu (3.34) można atem prekstałcić do postaci: p = (3.35) l

18 a po wprowadeniu nowej miennej: r = warunek bregow apisać można: = 0 (dla r = R) (3.36) R 1 τ r τ l Rs Walcow element płnu pr prepłwie pre cienką rurkę. Całka równania (3.35) będie wnosić: = r = C 1 C 1 (3.37) R R Dwukrotne różnickowanie w. (3.37) wględem ora ora podstawienie do (3.35) daje: 4C p = R µ l stąd można oblicć wartość stałej całkowania wstępującej w (3.37) jako: p R C = 4µ l co po podstawieniu do (3.37) daje następujące wrażenie określające rokład prędkości w poprecnm prekroju rurki: p = ( R r ) (3.38) 4µ l Otrmana ależność określa parabolicn rokład prędkości, co pokaano na rs śr R dr r ma parabolicn rokład prędkości Rs.3.1. Poiseuille a. Rokład prędkości w poprecnm prekroju rurki pr prepłwie Hagen- 58

19 Zwiąek (3.38) spełnia warunek bregow gdż dla 59 r = R : = 0 natomiast maksmalna wartość prędkości wstępuje w osi rurki (dla r = 0 ) i wnosi: ma = R (3.39) 4 µ pl Rokład prędkości dan w. (3.38) powala również oblicć wdatek ciec prepłwającej pre rurkę i w tm celu godnie rs. 3.1 oblicć należ najpierw wdatek elementarn będąc ilocnem pola elementarnego prekroju i prędkości: dq = πr dr a następnie po podstawieniu a ależności (3.38) i scałkowaniu otrmujem: = R p Q ( R r ) πrdr 0 4µ l co po prekstałceniach daje ostatecnie wdatek prepłwającej ciec równ: π p 4 π p 4 Q = R = d (3.40) 8lµ 18µ l Zależność ta jest analitcnm potwierdeniem empircnie sormułowanego prawa Hagena- Poiseuille a, że wdatek prepłwając pre rurkę jest proporcjonaln do różnic ciśnień 4 p o cwartej potęgi średnic d ora odwrotnie proporcjonaln do długości rurki. Zwiąek (3.40) jest również dowodem poprawności równania Navier-Stokesa i jeżeli nawet nie ma on charakteru ogólnego, to wkauje, że jest ono słusne prnajmniej dla prepłwu ciec newtonowskiej pre prewod o małej średnic. Wdatek Q można również oblicć be potreb całkowania, gdż elementarnej geometrii wnika, że objętość paraboloid obrotowej jest równa objętości walca o polu podstaw równm podstawie paraboloid i wsokości równej połowie wsokości paraboloid. Z rs. 3.1 wnika, że pole podstaw paraboloid wnosi: π R 1 natomiast połowa jej wsokości równa jest ma, co po uwględnieniu woru (3.39) powala apisać: 1 p Q = πr R 4µ l co jest wnikiem identcnm ależnością (3.40). Prawo Hagen-Poiseuille a wprowadić można również bepośrednio, be koniecności całkowania równań N-S. Jeżeli bowiem ropatrm bilans sił diałającch na walcow element płnu rs. 3.11, wówcas auważm, że ruch tego elementu określon jest pre wajemną równowagę sił ciśnienia diałającch na powierchnie cołową i tlną ora sił lepkości diałającch na powierchnie bocne walca. Jak pokaano na rs ruch płnu wmuson jest różnicą ciśnień p, co należ roumieć jako nadwżkę ciśnienia ponad ciśnienie atmosercne prłożoną na wlocie do rur. Na końcu rur nadwżka ciśnienia równa jest eru, gdż na wlocie ciśnienie musi bć równe ciśnieniu atmosercnemu. Onaca to, że w kolejnch prekrojach ciśnienie jest cora mniejse, co ująć można następująco: p < 0 Jeżeli na tlnej powierchni walca ciśnienie wnosi p 1, wówcas dla spowodowania ruchu elementu w kierunku achodić musi wiąek: p 1 > p a różnicę tch ciśnień apisać możem jako:

20 p = p 1 p Jeżeli różnica ciśnień na powierchniach coła i tłu walca wnosi p, wówcas wpadkowa siła ciśnienia wnosić będie: π r p Sił ciśnieniowe są równoważone siłami lepkości, które diałają w kierunku preciwnm do prepłwu (patr rs. 3.11) a ponieważ sił oporu lepkiego będą ilocnem pola powierchni i naprężeń, stąd też apisać można: π r l τ = πr l µ r Prepłw pre cienką rurkę jest prepłwem jednowmiarowm i stąd też: d = r dr i bilans równowagi sił diałającch na clindrcn element płnu apisać można: d π r p πr l µ = 0 dr stąd d p r = (3.41) dr l µ pr cm miana naku wnika uwględnienia naku promieniowego gradientu prędkości: d < 0 dr Po scałkowaniu równania (3.41) otrmujem: p r = C 4 l µ a stałą całkowania wnacam warunku bregowego dla r = R : = 0 stąd R C = p 4 l µ i ostatecnie otrmujem ależność opisującą promieniow rokład prędkości: p = ( R r ) 4 µ l identcną e w. (3.38). Analitcna postać prawa Hagen-Poiseuille a ma również ważne astosowanie praktcne, które wnika następującego prekstałcenia w. (3.40): π p 4 µ = d (3.4) 18 Q l skąd wnika, że najomość p, Q, l ora d powala wnacć współcnnik lepkości µ wpłwającej ciec. Prrąd oparte na tej asadie i służące do wnacania lepkości ciec nawane są wiskometrami. Prepłw Hagen-Poiseuille a nie jest jednm analitcnm rowiąaniem równania N-S. Najbardiej nanm prkładem jest tu prepłw Couette a międ dwiema równoległmi, nieskońconmi płtami położonmi w małej odległości od siebie, pr cm jedna tch płt jest nieruchoma a druga porusa się jednostajną prędkością wmusając w ten sposób prepłw charakterując się liniowm rokładem prędkości. Drugim nanm rowiąaniem jest prepłw Poiseuille a w scelinie międ dwiema równoległmi, nieskońconmi płtami charakterując się parabolicnm rokładem prędkości. Obdwa te rowiąania najdują praktcne astosowanie w teorii smarowania, pr cm w odróżnieniu od jednowmiarowego prepłwu Hagen-Poiseuille a arówno prepłw 60

21 Couette a jak i prepłw Poiseuille a są prepłwami dwuwmiarowmi. Należ tu jednak auważć, że licba nanch rowiąań analitcnch równania N-S jest bardo ogranicona a powodem jest łożoność matematcna tego równania, wnikająca nieliniowości cłonu konwekcjnego wstępującego w pochodnej substancjalnej. Wmienione tu prkład rowiąań dotcą prepłwów bardo prostch, dla którch cłon konwekcjn staje się równ ero. Istnieją również prepłw nieerową wartością tego cłonu, dla którch udało się naleźć rowiąanie analitcne, jednak agadnienie to wkraca poa prjęte ram wkładu a ainteresowani Ctelnic mogą naleźć inormacje dotcące tch agadnień m.in. w książkach I.G.Currie c T.Fabera Ruch laminarn i turbulentn. Doświadcenie Renoldsa. Złożoność matematcna równania N-S jest ważną ale nie jedną prcną trudności w uskaniu rowiąań analitcnch. Bardo ważną rolę odgrwa tu także łożon charakter samego prepłwu płnu lepkiego, cego prkładem może bć askakująca postać prawa Hagen-Poiseuille a sugerująca niegodną intuicją proporcjonalność wdatku do cwartej potęgi średnic rurki. Kolejnm prkładem paradoksalnego (t.j. niegodnego intuicją) achowania płnu jest opór towarsąc prepłwowi ciec lepkiej pre rurkę o małej średnic, określon pre różnicę ciśnień p niebędną do pretłocenia adanego wdatku Q. Dla ilustrowania tego problemu prekstałćm w. (3.40) do postaci: 18 µ l p = Q (3.43) 4 π d Załóżm, że ropatrwać będiem dwa prepłw tej samej ciec ( µ = idem) pre rurki o tej samej długości l, które charakterować się będą tm samm wdatkiem Q. Pierws prepłw odbwa się pre rurkę o średnic d 1 pr stracie ciśnienia p1 natomiast drugi odbwa się pre rurkę o dwukrotnie więksej średnic d = d1 i towars mu spadek ciśnienia p. Podstawienie tch wielkości do w. (3.43) daje stosunek spadków ciśnień (oporów prepłwu) wnosąc: p1 d = = 16 p d 1 Onaca to, że pr achowaniu identcnego wdatku prepłwającej ciec dwukrotn wrost średnic dając cterokrotn wrost pola prekroju prowadi do 16-krotnego mniejsenia oporów prepłwu, co jest pewnością wnikiem trudnm do intuicjnego wjaśnienia. Znacnie ważniejs paradoks dotc jednak wajemnego wiąku międ oporem prepłwu a średnią prędkością deiniowaną jako ilora wdatku i pola prekroju poprecnego rur: sr = Q πd 4 co po podstawieniu do w. (3.43) daje ależność: p = 3 µ l śś d (3.44) świadcącą o proporcjonalności oporów prepłwu do średniej prędkości prepłwu. Dla projektanta rurociągu w. (3.44) sugeruje, że jeżeli pr śś1 rurociąg charakteruje się oporem p1, to podwojenie wdatku ciec prepłwającej pre ten sam rurociąg onacające dwukrotne więksenie średniej prędkości ( śś = śś ) winno dać dwukrotn wrost oporu p, co łatwo sprawdić po podstawieniu do (3.44): 61 4

22 p sr = = p1 sr1 Doświadcenie wkaało prawdiwość tego wniosku ale jednie dla bardo małch prędkości prepłwu. Dla więksch prędkości prepłwu strat wkawał proporcjonalność do kwadratu prędkości średniej co onacało, że dwukrotne więksenie wdatku powodowało cterokrotnie więkse strat. Identcn skutek dawało również więksenie średnic rur ora mniejsenie lepkości płnu, pr cm dodatkowe komplikacje wprowadał brak powtaralności tego jawiska. W tch samch bowiem warunkach prepłw mógł spełniać ałożenia prawa Hagen-Poiseuille a lub też wkawać proporcjonalność strat prepłwu do kwadratu prędkości średniej co onacało, że prawo to prestawało obowiąwać. Podstawową trudnością w naleieniu rowiąania bła niemożność wkonania pomiarów prędkości i ciśnienia, gdż wprowadenie jakiegokolwiek prrądu pomiarowego aburało prepłw i mieniało obra jawiska. Niemożliwe bło również śledenie trajektorii ruchu prerocstego płnu. Problem ostał rowiąan w r pre Osborna Renoldsa, któr dokonał tw. wiualiacji prepłwu wod, wprowadając do niej smugę barwnika o identcnej gęstości i prędkości. Prepłw odbwał się w sklanej rurce, co umożliwiało obserwację achowania smugi barwnika co pokaano na rs barwnik smuga barwnika warstwa (lamina) Rs Schemat wiualiacji ruchu płnu w doświadceniu Renoldsa ora obra smugi barwnika w ruchu laminarnm. Renolds wkaał, że prepłw płnu odbwać się może w dwóch stanach, którm odpowiada upełnie odmienne achowanie strugi barwnika. W stanie I smuga barwnika achowwała spójność wdłuż dowolnie dużej długości, co onacało, że poscególne warstw płnu porusają się we wajemnej iolacji lub racej śligają się po sobie i objętości płnu sąsiednich warstw nie podlegają miesaniu. ważne obserwacje wkaał jednie, że w dalsch odległościach kontur smugi barwnika ulegał niewielkiemu romciu, identcnemu jak w jawisku molekularnej duji realiowanej pre ruch Browna. Renolds wkaał, że w tm stanie ruchu płnu strat są proporcjonalne do pierwsej potęgi prędkości średniej co onacało, że jest to prepłw opisan prawem Hagen- Poiseuille a a więc charakterując się parabolicnm proilem prędkości. Biorąc pod uwagę, że uwarstwienie prepłwu bło dominującą cechą tego stanu ruchu, Renolds 6

23 aproponował powsechnie diś prjęt termin ruch laminarn (od łacińskiego określenia lamina warstwa). a) b) Rs Obra smugi barwnika w ruchu turbulentnm. Zwięksenie prędkości prepłwu powodowało wraźną mianę achowania smugi barwnika, która najpierw wkonwała sinusoidalne osclacje (rs. 3.14a) a pr dalsm więksaniu prędkości prepłwu barwnik ulegał gwałtownemu romciu (rs. 3.14b). W tm stanie ruchu strat ciśnienia bł proporcjonalne do kwadratu prędkości średniej co onacało, że nie bł to prepłw Hagen-Poiseuille a. ważne obserwacje trajektorii elementów płnu wkaał, że w odróżnieniu od ruchu laminarnego, w którm trajektorie bł regularnmi, powtaralnmi liniami (rs. 3.15a), trajektorie w II stanie ruchu stawał się chaotcne (rs. 3.15b) co onacało, że opróc składowej średniej prędkości pojawiała się tu losowo mienna dodatkowa składowa prędkości. a) b) Ruch laminarn Ruch turbulentn Rs Trajektoria elementów płnu w ruchu laminarnm a) i turbulentnm b). Ta właśnie losowa mienność chwilowej prędkości i losowe błądenie elementu płnu bł powodem wprowadenia terminu ruch turbulentn dla onacenia tego stanu prepłwu. Dalse prace doświadcalne powolił wjaśnić mechanim jawiska odpowiedialnego a romwanie strugi barwnika. Jeżeli w prepłwie turbulentnm wobraim sobie dwie sąsiadujące e sobą warstw płnu (rs. 3.16), wówcas obecność losowch akłóceń pola prędkości onacać będie, że międ mślowo wodrębnionmi warstwami płnu premiescane są całe element płnu a nie tlko pojednce molekuł, jak miało to miejsce w ruchu laminarnm. Sąsiadujące e sobą warstw płnu mogą mieć różną prędkość (rs. 3.16) co powoduje, że w prepłwie turbulentnm achodić może intenswna wmiana nie tlko mas lec także i pędu, pr cm e wględu na podobieństwo tego jawiska do duji molekularnej nawane ono ostało dują turbulentną. 63

24 wmiana elementów płnu międ warstwami duja turbulentna Rs Ilustracja turbulentnej duji pędu. Należ tu auważć, że turbulentna duja powoduje intenswn transport mas i pędu w kierunku poprecnm do asadnicego kierunku prepłwu w roważanm prepłwie w rure jest to transport w kierunku promieniowm. Bardiej scegółowa dskusja różnic międ dują turbulentną i molekularną ostanie preprowadona w jednm dalsch wkładów mechaniki płnów, a obecnie wstarcć musi inormacja, że intenswność duji turbulentnej jest więksa o tr do cterech rędów wielkości od duji molekularnej. Z pewną doą uproscenia można prjąć, że tak intenswn transport całch elementów płnu wmaga wdatkowania energii, która może bć cerpana jednie energii awartej w prepłwie, co tłumacć może właściwą dla prepłwu turbulentnego proporcjonalność strat ciśnienia (energii potencjalnej prepłwu) do kwadratu prędkości. Wartość doświadcenia Renoldsa awarta jest nie tlko w roponaniu istnienia dwóch stanów prepłwu tj. ruchu laminarnego i turbulentnego. Preprowadając bowiem sereg doświadceń różnmi płnami i średnicami rur Renolds wkaał, że o istnieniu ruchu laminarnego lub turbulentnego decduje nie sama prędkość prepłwu, średnica rur c też lepkość płnu, lec ich bewmiarowa kombinacja, nawana później licbą Renoldsa: sr d Re = (3.45) ν w której: Re - bewmiarowa licba sr - średnia prędkość prepłwu d - średnica rur ν - lepkość kinematcna płnu. Doświadcenie wkaało, że jeżeli dla prepłwu w rure licba Renoldsa awarta jest w akresie: Re < 300 wówcas mam awse prepłw laminarn a jakiekolwiek aburenia wprowadone do prepłwu anikają samocnnie gdż są pre prepłw tłumione. Jeżeli odpowiednia kombinacja średnic, prędkości i lepkości daje licbę Renoldsa spełniającą warunek: Re > 300 wówcas laminarn pocątkowo prepłw może prejść w turbulentn, jeżeli tlko wstąpi jakiekolwiek aburenie (drgania układu, awirowanie wod na wlocie). Im więksa jest wartość Re tm mniejsa amplituda aburenia wstarca do prejścia laminarnego w turbulentn. Zachowanie specjalnch środków ostrożności, sprowadającch się do łagodnego ukstałtowania wlotu i eliminacji drgań (doświadcenie preprowadone w wrobisku kopalni soli), powoliło utrmać ruch laminarn do wartości: 5 Re 5 10 Doświadcenia te nie powolił na ustalenie dokładnej wartości licb Re pr której prepłw mieniałb się laminarnego w turbulentn, gdż jawisko to wkauje bardo dużą wrażliwość na niekontrolowane (i cęsto nienane) cnniki ewnętrne i dlatego też problem ten do diś nie docekał się rowiąania. Zamiast tego deiniowano dwie krtcne wartości licb Re, którch pierwsa wartość krtcna Re kr1 300 (3.46) 64

25 onaca granicę stabilności prepłwu w rure, roumianą jako najwżsa wartość Re pr której aburenia są tłumione a prepłw poostaje awse w stanie ruchu laminarnego. Druga wartość krtcna wnosi Re kr (3.47) i onaca górną granicę wstępowania prepłwu laminarnego, powżej której prepłw będie awse turbulentn. Zakres międ Re kr1 i Re kr jest bardo seroki i miescą się w nim wsstkie prpadki, w którch losowo wstępujące aburenie może preprowadić prepłw laminarn w turbulentn. Rekr scególne środki ostrożności aburenie prpadkowe aburenie Rekr1 t Rs Zależność międ wartością licb Renoldsa i stanem prepłwu. Ilustracją achowania prepłwu w rure predstawiono na rs. 3.17, na którm oś odciętch predstawia cas a oś rędnch prędkość prepłwu mieroną w dowolnm miejscu w prepłwie. Naniesiono tu również liniami prerwanmi pierwsą i drugą licbę krtcną Renoldsa, obliconą dla danej średnic rur i lepkości płnu. Załóżm, że w chwili t = 0 prepłw acna się od erowej wartości prędkości i prspiesan jest do osiągnięcia adanej wartości. Jeżeli tlko prędkość prepłwu a atem i licba Re utrmwana będie w akresie: Re < Re kr1 (3.48) to prepłw będie laminarn. Jeżeli prędkość ostanie więksona tak ab: Re > Re kr1 (3.48) wówcas każde aburenie spowoduje, że prepłw laminarn prejdie w turbulentn i poostanie w tm stanie pre cas dowolnie długi. Osclacje pokaane na rsunku wnikają losowch luktuacji prędkości charakterstcnch dla prepłwu turbulentnego. Kolejn ckl mian prędkości pokauje, że powtórne uskanie prepłwu laminarnego możliwe jest tlko wówcas, jeżeli prędkość ostanie mniejsona na tle, ab spełnion bł warunek (3.48). Jeżeli powtórnie acniem więksać prędkość, wówcas po prekroceniu Re kr1 prepłw stanie się turbulentn albo po wstąpieniu prpadkowego aburenia, lub też pr achowaniu wselkich środków ostrożności pr prędkości odpowiadającej: 65

26 Re = Re kr Wartości krtcnch licb Renoldsa określone warunkami (3.46) i (3.47) ostał ustalone doświadcalnie i obarcone są one błędem pomiaru. Dlatego też w wielu źródłach spotkać można inne możliwe wartości, które awierają się w akresie: Rekr1 = Rekr = Należ również pamiętać, że wartości te właściwe są dla prepłwu w rure, podcas gd dla innch tpów prepłwu wartości te są ocwiście inne. Prepłw laminarn w astosowaniach technicnch wstępuje jednie wówcas, gd mam do cnienia prepłwami o małch prędkościach np. w kapilarach, nacniach włoskowatch, klinach smarowch wolnobieżnch łożsk śligowch c w konwekcji naturalnej spowodowanej wporem cieplnm. W decdowanej więksości astosowań technicnch wstępuje prepłw turbulentn, co powala stwierdić, że ruch laminarn jest w prrodie wjątkiem, turbulentn aś regułą. W ostatnich jednak latach, dięki rowojowi metod rowiąwania równań N-S udało się opracować metod takiego kstałtowania opłwanch powierchni, ab nawet pr bardo dużch wartościach licb Renoldsa możliwe bło utrmanie prepłwu laminarnego, charakterującego się nacnie niżsmi wartościami oporu. Prkładem może tu bć kstałt tw. skrdła laminarnego, któr jesce w latach seśćdiesiątch mógł bć stosowan jednie w sbowcach, natomiast diś, użwan jest w samolotach konsorcjum Airbus, które dięki temu użwają nacnie mniej paliwa niż starse konstrukcje Rokład prędkości w poprecnm prekroju rur w prepłwie turbulentnm Analiując prawo Hagen-Poiseuille a wprowadiliśm wór (3.38) wkaując, że w ruchu laminarnm wstępuje parabolicn rokład prędkości w poprecnm prekroju rur (patr rs. 3.1). Jeżeli prepłw laminarn prejdie w turbulentn i utrmam ten sam wdatek ciec Q, wówcas rokład prędkości staje się upełnie inn, co wkaał wniki licnch pomiarów wkonanch po opublikowaniu wników doświadcenia Renoldsa. ma śr stan II: śr= 0,79 0,86 ma stan II stan I stan I: śr= 1/ ma śr ma Rs Porównanie rokładów prędkości w poprecnm prekroju rur dla prepłwu laminarnego (stan I) i turbulentnego (stan II). Na rs pokaano proile prędkości dla prepłwu laminarnego (onaconego na rsunku jako stan I) i turbulentnego (stan II), które charakterują się tą samą wartością prędkości średniej. Zamiescone tu wkres wkaują, że w prepłwie turbulentnm w sr 66

27 bepośredniej bliskości ścian promieniow gradient prędkości jest nacnie więks niż w prepłwie laminarnm: d d > dr turb dr lam Ponieważ godnie prawem Newtona naprężenia stcne są proporcjonalne do gradientu prędkości w kierunku normalnm do powierchni τ = µ r można stąd wnioskować, że naprężenia stcne na ścianie (dla r = R ) w prepłwie turbulentnm są nacnie więkse niż w prepłwie laminarnm ( τ turb ) ( lam ) r= R > τ r= R Wniosek ten uasadnia więksą wartość oporu prepłwu w ruchu turbulentnm (proporcjonalną do kwadratu prędkości średniej) w porównaniu oporami prepłwu (tożsammi e stratą ciśnienia p ) w prepłwie laminarnm. Opór prepłwu jest bowiem reultatem sił lepkości (naprężeń stcnch), które diałają w kierunku preciwnm do prepłwu. Drugą charakterstcną cechą proilu prędkości w ruchu turbulentnm jest jego spłascenie w obsare wewnętrnm prepłwu powodujące, że wartość prędkości średniej wnosi: gdie ( ) ma sr = onaca wartość maksmalną prędkości wstępującą w osi rur (dla r = 0 ). ma Powodem jest intenswn transport promieniow pędu będąc reultatem turbulentnej duji, o której mówiliśm dskutując rsunek Można sobie wobraić, że po prejściu ruchu laminarnego do turbulentnego premiescanie elementów płnu obsaru bliskiego osi prepłwu w kierunku ścian spowoduje, że pęd płnu porusającego się więksą prędkością ostanie premiescon w kierunku ścian, cego wnikiem będie wrównanie proilu prędkości. R śr ma Rs Proil prędkości w ruchu turbulentnm ora współrędne Prandtla. Proil prędkości arejestrowan w ruchu turbulentnm ostał pokaan ra jesce na rsunku 3.19, na którm anacono również współrędną, prjętą pre Prandtla do opisu tego proilu. Wobec braku możliwości uskania rowiąania równania N-S dla prepłwu turbulentnego Prandtl aproponował następując, empircn wór opisując promieniow rokład prędkości: 67

28 = ma (3.50) R w którm ma jest maksmalną wartością prędkości wstępującą w osi rur, współrędna mierona jest w kierunku od ścian do osi rur, tn.: [ 0, R] natomiast n jest wkładnikiem potęgowm określanm doświadcalnie w taki sposób, ab uskać możliwie najlepsą godność reultatami ekspermentu. Zależność ta nana jako wór potęgow Prandtla wkauje bardo dobrą godność doświadceniem i wkorstwana jest w uprosconch metodach obliceń oporów hdraulicnch. Wniki pomiarów wkaał, że dla rur sorstkich dobrą godność ekspermentem uskuje się dla wartości n = 6, dla której proil prędkości spełnia następującą ależność: sr ma = Dla rur gładkich w akresie licb Renoldsa: < Re < 8 10 optmalną wartością wkładnika jest n = 7 dla której proil prędkości spełnia ależność: sr ma = co świadc, że w turbulentnm prepłwie w rure gładkiej proil prędkości jest bardiej płaski niż w rure sorstkiej. Dla więksch wartości licb Renoldsa pr prepłwie w rurach gładkich należ prjmować więkse wartości wkładnika n ab uskać godność doświadceniem. Dla uogólnienia tego wniosku oblicm wdatek Q ciec prepłwającej pre rurę, oblicając najpierw wdatek elementarn prepłwając pre anacone na rs. 3.0 elementarne pole o powierchni: π ( R ) d co daje elementarn wdatek: dq = π R 1 n ( ) d R d Rs.3.0. Onacenia prjęte pr całkowaniu woru Prandtla. 68

29 Scałkowanie powżsej ależności w granicach od 0 do R po podstawieniu woru (3.50) daje: π R ma Q = (3.51) n n ależnienie wdatku od prędkości średniej powala apisać: Q = π R sr (3.5) a porównanie wdatku obliconego (3.51) i (3.5) daje ostatecnie następującą ależność: sr = (3.53) ma n n w której stosunek prędkości średniej do maksmalnej (będąc miarą spłascenia proilu prędkości) jest włącną unkcją wkładnika potęgowego Prandtla. Najlepsą godność doświadceniem dla prepłwów w rurach gładkich uskano prjmując: 5 - dla Re = 10 sr n = 8 ; = ma 5 - dla Re = sr n = 9 ; = ma 6 - dla Re = 10 sr n = 10 ; = ma Analia tch danch wkauje, że dla rur gładkich wrost licb Renoldsa prowadi pocątkowo do wpłascenia proilu prędkości, któr jednak pr bardo dużch Re nów staje się bardiej wpukł. Wór Prandtla opisuje dużą dokładnością proil prędkości w całm prawie prekroju poprecnm awodąc jednie w bepośredniej bliskości ścian, gdie nawet dla bardo dużch wartości Re prepłw staje się laminarn (tw, podwarstwa lepka). Zagadnienie to jest omówione w rodiale dotcącm warstw prściennej w drugiej cęści wkładu. 69