Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α, α,, α k, β, β,, β l ) () Wykazać, że: a) Suma U + + U k podprzestrzeni przestrzeni liniowej V jest podprzestrzeni przestrzenią V b) V = U U k każdy wektor v V ma jednoznaczne przedstawienie w postaci v = u + + u k, gdzie u i U i dla i =,,, k () Pokazać, że R = U U, jeżeli a) U jest zbiorem rozwiązań równania x + x + x + x =, a U = lin( b) U jest zbiorem rozwiązań układu równań lin( ) { x + x x + x = x + x + x = ), natomiast U = () Pokazać, że R = U + U, lecz R U U, jeżeli U jest zbiorem rozwiązań równania x x + x + x =, zaś U = lin( ) Do równania definiującego U dołożyć jeszcze jedno równanie tak, aby nowa podprzestrzeń rozwiązań U spełniała warunek R = U U () Uzasadnić, że R = lin( ) lin( ) = lin( ) lin( ) = lin( ) lin( ) W przypadku każdej sumy prostej przedstawić wektor w postaci sumy wektora z pierwszego składnika sumy prostej i wektora z drugiego składnika sumy prostej (6) Niech V = R R (zob zadanie z poprzedniego zestawu??, str??) Zbiór funkcji nieparzystych oznaczymy literą N, natomiast zbiór funkcji parzystych - literą P Pokazać, że N oraz P są podprzestrzeniami przestrzeni V oraz że V = N P Przedstawić funkcję f daną wzorem f(x) = a n x n + + a x + a w postaci sumy funkcji parzystej i funkcji nieparzystej
(7) Niech V będzie przestrzenią liniową oraz niech B A OznaczmyU B = {f V A : f(a) = θ dla a B} Pokazać, że U B jest podprzestrzenią przestrzeni V A Dla jakich podzbiorów B oraz C zbioru A zachodzi równość V A = U B + U C, a dla jakich równość V A = U B U C? (8) Sprawdzić, czy Kn n = S n A n (por zadanie?? str??) (9) W zbiorze Z 6 wyróżnimy dwa podzbiory: U = {,, } oraz W = {, } Pokazać, że U jest przestrzenią liniową nad Z i W jest przestrzenią liniową nad ciałem Z, Z 6 = U+W, U W = {} Czy Z 6 jest sumą prostą przestrzeni liniowych U i W? () Sprawdzić, że podzbiór Z jest podprzestrzenią liniową, a podzbiór Q nie jest podprzestrzenią () (Modularność kraty podprzestrzeni) Niech U, U, U będą podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej V Udowodnić, że a) U + (U U ) (U + U ) (U + U ), b) (U U ) + (U U ) U (U + U ), c) (U U ) + (U U ) + (U U ) (U + U ) (U + U ) (U + U ), d) (U U ) + (U U ) = U (U + (U U )), e) jeśli U U, to U + (U U ) = (U + U ) U () (Niedystrybutywność kraty podprzestrzeni) Podaj przykład podprzestrzeni U, U, U przestrzeni R dla których a) U + (U U ) (U + U ) (U + U ), b) (U + U ) U (U U ) + (U U ) () (G Birkhoff ) Sprawdzić, że z podprzestrzeni lin( ), lin( ), lin( ), lin( ) za pomocą operacji + i można utworzyć nieskończenie wiele różnych podprzestrzeni przestrzeni R (Wskazówka: wygodnie jest rysować na płaszczyźnie z = przekroje badanych podprzestrzeni z tą płaszczyzną; nie wszystkie podprzestrzenie mają z nią niepusty przekrój!) () Wykazać, że następujące pary przestrzeni wektorowych są izomorficzne: a) U U i U U, b) U U U k i U U U k, c) (U + U ) / (U U ) i U / (U U ) U / (U U ), gdzie U, U,, U k są podprzestrzeniami przestrzeni linowej V () Pokazać, że wektory α,, α n tworz bazę przestrzeni Q n i znaleźć współrzędne wektora β w tej bazie, jeżeli a) n = ; α = α = α =, β = 6 9 b) n = ; α = α =, α = β = 6 7 Garret Birkhoff (ur 9 r) - wspóczesny matematyk amerykański, nie mylić z George D Birkhoffem (88-9), amerykańskim specjalistą od równań różniczkowych
c) n = ; α = α = α = α = β = (6) Wyznaczyć bazy podprzestrzeni rozwiązań następujących układów równań (nad R): x + x + x = x + x x = a) x x + x = b) x x + x x = x x + x = x x + 6x + x = (7) Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni lin(α, α,, a n ) przestrzeni Q gdy: a) α = α = α = α = ; b) α = c) α = α = α = α = α = 8 α = α = 7 6 9 α = α = (8) Wybrać bazę podprzestrzeni lin(α, α,, a n ) Z m 7 spośród wektorów α, α,, a n, jeżeli a) α = α = α = 6 ; b) α = c) α = α = α = α = α = 6 6 α = α = 6 ; α = 6 ; 7 6 7 7 ; d) α =, α =, α =, α =, α = Wybrać dowolne bazy powyższych podprzestrzeni, niekoniecznie spośród wektorów α, α,, a n Pojęcie wymiaru przestrzeni wektorowej pochodzi od Grassmanna
(9) Czymożna znaleźć bazę przestrzeni K złożoną z wektorów postaci: x x a) x x ; x + x + x + x =, b) x x ; x + x + x + x = x x () Pokazać, że jeśli wektory α, α,, a n tworzą bazę przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, to dla dowolnych i, j =,, n, i j, wektory: a) α, α,, α i, α i + xα j, a i+,, a n dla x K, b) α, α,, α i, xα i, a i+,, a n dla x K, x również tworzą bazę przestrzeni V () Znaleźć bazę przestrzeni R, w której wektor ε ma współrzędne (,, ) oraz bazę, w której wektor ten ma współrzędne (,, ), a wektor ε + ε wspórzędne (,, ) () Znaleźć bazę każdej z niżej wypisanych podprzestrzeni przestrzeni R oraz bazę sumy algebraicznej U i + U j, jak i części wspólnej U i U j każdej pary podprzestrzeni: a) U = lin( b) U = lin( U = { x x x x c) U = { U = lin( ), U = { R : x x + x + x = } x x x x d) U = lin( x x x x ), U = lin( R : x x + x x = }, ) ), U = lin( R : x + x x + x = } () Niech ciało K ma q elementów Obliczyć, ile przestrzeń K n ma różnych a) wektorów, b) baz ), )
() Obliczyć rzędy następujących macierzy (nad ciałem R liczb rzeczywistych): 8 a), b) 9 8 7 c) 7 8 d) g) j) 7 7 9 7 e) h) 9 7 6 7 7 8 9 f) 7 7, i) 8 7 7 7 6 6 7 () Obliczyć rzędy następujących macierzy stopnia n nad ciałem R liczb rzeczywistych: a) b), c), a a a a a a a, e), d) a n n n n n n n n n n n n f) n n n n n n n n n n a a a b a b a, g) a b b a Pojęcie rzędu macierzy wprowadził Sylvester; nazwa jest późniejsza,
6 (6) W zależności od parametru λ R wyznaczyć rząd macierzy: a) 7 λ 6 λ 9 λ, b) λ λ λ c) λ λ λ λ d) (7) Obliczyć rzędy następujących macierzy: a) nad Z 7, b) λ 7 7 λ e) 6 9 8 (8) Obliczyć rzędy następujących macierzy zespolonych: a) + i + i i i + i + i, b) i i i i + i i i + i c) + i i + i + i i + i i i i + 8i + i, d) nad Z, c), λ λ 6 + i i + i i 7 i 7i i i i + i 7 i + 7i nad Z (9) Wykazać, że r(a + B) r(a) + r(b) () Wykazać, że jeśli A oraz B są macierzami o tej samej liczbie wierszy, to r([a B]) r(a) + r(b) () Wykazać, że jeśli A oraz B są macierzami rzeczywistymi o tej samej liczbie wierszy, to [ ] A B r( ) = r(a) + r(b) To samo nad Z A B, Z i nad Z 7 () Obliczyć rzędy macierzy wspóczynników oraz rzędy macierzy uzupełnionych następujących układów równań nad R Dla każdego układu równań znaleźć układ fundamentalny (tzn bazę przestrzeni kierunkowej zbioru rozwiązań) (a) (c) x y + z + 7t = x 6y + z + t = x y z t = x + y + z + t = 6x + 8y + z + t = 7 9x + y + z + t = x y + z + t = (e) 6x y + z + t = 9x 6y + z + t = x + y 8z = 8 x + y 9z = 9 ; (b) ; x + y z = 7 x + 8y 7z = x y + z + t = ; (d) 7x y + z + t = x + 7y z 6t = ; (f) 8x + 6y + z + t = x + y + z + t = x + y + z + t = 8 x + y + z + t = 7x + y + z + t = 8 ; ;
(g) x + y + z t + w = x + y + z t + w = x + y + z t + w = x + y + 8z t + 9w = ; (h) x y + z + t + w = 6x y + z + t + w = 6x y + z + 8t + w = 9 x y + z + t + w = 6x + y + z + t + w = x + y + z + t + w = (i) x + y z + t = 7 9x + 6y + z + t + w = () Obliczyć rzędy macierzy wspóczynników oraz rzędy macierzy uzupełnionych następujących układów równań nad Q i Z p Dla każdego układu równań znaleźć układ fundamentalny (tzn bazę przestrzeni kierunkowej zbioru rozwiązań) (a) (c) (e) x + 7y + z + t = 6 x + y + z + t = 9x + y + z + 7t = 6x + y + z + t + w = x + y + z + t + w = x + y + z + t + w = x + y + 7z + t + w = x + y + z t + w = x + 6y + z t + w = x + y + 7z t + w = x + y + z t + w = 6, p = ; (b), p = (d), p = (f) 9x y + z + 6t = 9x y + z + 6t = x y + z + t = 8 ;, p = ; x y + z 7t = 6x y + z t = 7 x y + z t = 8 x + y + z + t = x + y + z + t = 9x + y + z t = x + y + z + t = 7x + y + 6z t = 7, p = 7, p = 7 x + y + z + t = x + y + z + t = (g) x + y + z + t =, p = 7 x + y + z + t = x 7y z + t = 7 () Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste x, y, z, t dla których: x + y + z + t = x x + y + z + t = x 6y z t = y 6y z t = y a), b), c) t =, d) x = y y + z + 6t = z y + z + 6t = z y z t = t y z t = t Znaleźć bazę podprzestrzeni rozwiązań każdego z powyższych układów równań () W zależności od parametrów a, b R rozwiązać układy równań: x + y + z = ax + y + z + t = a) x y + z =, b) x + ay + z + t = x + ay + z = b x + y + z + t = b (6) W zależności od parametru a Z 7 wyznaczyć wymiary podprzestrzeni rozwiązań układów równań: x + y + az + t = { x + ay + z + t = a) x + y + 6z + at =, b) ay + z + t = x + y + t = 7
8 (7) Dla jakich parametrów a, b Z 7, układy równań liniowych U oraz U (nad ciałem Z 7 ) mają równe{ zbiory rozwiązań, jeżeli { x + y + 6z + t = x + ay + t = U : U x + y + z + t = : x + y + bz = (8) W zależności od parametrów a, b R rozwiązać układy równań: ax + y + z = ax + y + z = ax + by + z = a) x + ay + z = a, b) x + by + z =, c) x + aby + z = b x + y + az = a x + by + z = x + by + az = (9) Dla jakich parametrów a, b, c, d R każdy układ równań z danymi lewymi stronami ma rozwiązanie? ax + by + cz + dt a x + ay + az + at bx ay + dz ct ax + (b a), b) )y + (b + )z + (b + )t cx dy az + bt ax + (b + )y + (c dx + cy bz at + )z + (c + 7)t ax + (b + )y + (c + 7) + (d + )t Jak zmieni się odpowiedź, jeżeli dopuścić a, b, c, d C? Podać wzory na rozwiązanie układu a) oraz b) (przy dowolnych prawych stronach równań) () Jeśli α, β, γ, są wektorami przestrzeni współrzędnych K n, to symbolem [α, β, γ, ] oznaczamy macierz, której kolumny są utworzone ze wspórzędnych wektorów α, β, γ, Dla k n : a) Sprawdzić, że wektory α, α,, α k są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki podzbiór {i, i,, i n k } zbioru {,,, n}, że det[α, α,, α k, ε i, ε i,, ε in k ] b) Sprawdzić, że wektory α, α,, α k są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego {i, i,, i n k } zbioru {,,, n} zachodzi równość det[α, α,, α k, ε i, ε i,, ε in k ] = c) Zapisać oba warunki za pomocą wzorów, w których występują tylko współrzędne wektorów α, α,, α k () Przypuśćmy, że α, α, α,, α k K n oraz że wektory α, α,, α k są liniowo niezależne Oznaczmy ξ := [x, x,, x n ] Niech ε i, ε i,, ε in k będą takie, że det[α, α,, α k, ε i, ε i,, ε in k ] Pokazać, że warstwa α + lin(α,, α k ) przestrzeni K n jest zbiorem rozwiązań układu równań det[α, α,, α k, ξ α, ε i,, ε in k ] = det[α, α,, α k, ε i, ξ α,, ε in k ] = det[α, α,, α k, ε i, ε i,, ξ α] =
9 () Znaleźć układ równań liniowych nad R, którego zbiorem rozwiązań jest: a) + lin( ), b) + lin( ), c) + lin( ), d) + lin( )