Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Transkrypt

1 Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych C. () Nech V będze zborem lczb rzeczywstych dodatnch, a dodawane wektorów nech będze mnożenem lczb. Operację mnożena przez lczby rzeczywste określmy następująco: : R V V, (a, v) v a Wykazać, że wyżej opsana struktura algebraczna jest przestrzeną lnową nad całem lczb rzeczywstych R. () Nech K będze dowolnym całem oraz nech V = K (zbór wszystkch neskończonych cągów elementów cała K). Określmy dzałana dodawana wektorów oraz mnożena wektorów przez skalary z cała K następująco: [a, a,...] + [b, b,...] : = [a + b, a + b,...], a [a, a,...] : = [aa, aa,...]. Pokazać, że wyżej zdefnowana struktura algebraczna jest przestrzeną wektorową nad całem K. () Nech A będze nepustym zborem oraz nech K będze dowolnym całem. Oznaczmy symbolem K A zbór wszystkch funkcj A K. Sumą funkcj f : A K oraz funkcj g : A K nazywamy funkcję f + g : A K taką, że (f + g)(a) = f(a) + g(a) dla każdego a A. Iloczynem funkcj f : A K przez skalar x z cała K nazywamy funkcję xf : A K taką, że (xf)(a) = xf(a) dla każdego a A. Pokazać, że tak zdefnowana struktura algebraczna jest przestrzeną lnową nad całem K. () Oznaczmy symbolem K[X] zbór wszystkch welomanów zmennej X o współczynnkach z cała K. Sprawdzć, że z dzałanam dodawana welomanów mnożena welomanu przez elementy cała K, zbór K[X] jest przestrzeną wektorową nad całem K. () Oznaczmy symbolem K(X) zbór wszystkch funkcj wymernych zmennej X o wspóczynnkach z cała K. Sprawdzć, że z dzałanam dodawana funkcj wymernych mnożena funkcj wymernej przez element cała K zbór K(X) jest przestrzeną wektorow nad całem K. (7) Macerzą o m werszach n kolumnach nad całem K nazywamy układ (prostokątną tablczkę) mn elementów cała K (które nazywamy elementam albo współczynnkam macerzy) ułożonych w m werszach w n kolumnach. Element macerzy oznaczamy podając numer wersza numer kolumny, w których sę on znajduje. W macerzach zmennych na ogół elementy oznaczamy tą samą lterą z numerem wersza numerem kolumny jako ndeksam. Macerze zapsujemy w nawase kwadratowym. Na przykład dla n = m = równość [ ] [a j ] = Pojęce macerzy wprowadzl angelscy matematycy: Wllam Rowan Hamlton (8-8), Arthur Cayley (8-89) John J. Sylvester (8-897) w latach -tych XIX w.

2 oznacza, że a =, a =, a =, a =. Zbór wszystkch macerzy o m werszach n kolumnach nad całem K oznaczamy symbolem Kn m. Sumą macerzy A = [a j ] macerzy B = [b j ] nazywamy macerz A + B taką, że A + B = [c j ] wtedy tylko wtedy, gdy dla każdych, j zachodz równość c j = a j + b j. Iloczynem macerzy A = [a j] przez element a cała K nazywamy macerz aa tak, że aa = [c j ] wtedy tylko wtedy, gdy dla każdych, j zachodz równość c j = aa j. Wykazać, że Kn m z dzałanam dodawana macerzy mnożena macerzy przez element cała K jest przestrzeną wektorową nad K. (8) Macerz S = [s j ] Kn n nazywamy macerzą symetryczną, gdy jej elementy s j spełnają warunk: s j = s j dla każdych, j. Macerz A = [a j ] Kn n nazywamy macerzą antysymetryczną, gdy jej elementy a j spełnają warunk: a j = a j dla każdych, j. Sprawdzć, że każdy ze zborów: zbór S n wszystkch macerzy symetrycznych należcych do Kn n zbór A n wszystkch macerzy antysymetrycznych należcych do Kn, n z dzałanam dodawana macerzy mnożena macerzy przez skalar, jest przestrzeną wektorow nad całem K. (9) Nech A będze dowolnym zborem, a P (A) nech będze zborem wszystkch jego podzborów. Dzałane dodawana w zborze P (A) defnujemy następująco: B C = (B\C) (C\B). Mnożene elementów P (A) przez elementy cała Z defnujemy w oczywsty sposób: B =, B = B. Sprawdzene łącznośc dzałana jest dość kłopotlwe. (a) Zakładając, że dzałane jest łączne, sprawdzć, że spełnone są równeż pozostałe aksjomaty przestrzen lnowej. (b) Wykazać łączność dzałana. () Jak warunek mus spełnać dodawane w grupe addytywnej A, żeby mnożene elementów tej grupy przez elementy cała Z zdefnowane następująco: a =, a = a było rozdzelne względem dodawana? () Nech V = C, U = {(z, z, z, z ) V : z = z = }. Wektory dodawać będzemy w zwykły sposób natomast mnożene przez skalary defnujemy na cztery różne sposoby: a) zα = θ dla z C oraz α V. b) zα = α dla z C oraz α V. c) zα = (Rez)α dla z C oraz α V. d) zα = { zα gdy z C α U zα gdy z C α / U. Sprawdzć, że w każdym z czterech powyższych przykładów dokładne jeden z aksjomatów przestrzen lnowej ne jest spełnony. Jak wnosek zwązany z wzajemną zależnoścą aksjomatów przestrzen lnowej można wycgnąć z tego zadana? () Wykazać, że przemenność dodawana wynka z pozostałych aksjomatów przestrzen wektorowej. () Pokazać, że jeśl U jest podprzestrzeną przestrzen lnowej V nad całem K, to U jest równeż przestrzeną lnową nad K. () Zbadać, które z następujących podzborów przestrzen K są podprzestrzenam wektorowym: a) U = {[t, t +,, ] : t K}, b) U = {[t, u, t + u, t u] : t, u K}, c) U = {[tu, u, t, ] : t, u K}, d) U = {[x, y, z, t] : x + y z = }, e) U = {[x, y, z, t] : xy = }, f) U = {t[,,, ] + u[,,, ] : t, u K}. () Zbadać, które z następujących podzborów przestrzen R są podprzestrzenam lnowym: a) U = {[t, u, t + u, t u] : t u},

3 b) U = {[t, u, t, ] : tu }, c) U = {[x, y, z, t] : x, y, z, t Q}. () Nech R będze przestrzeną cągów elementów cała R (zob. zadane z poprzednego zestawu??, str.??). Zbadać, które spośród następujących zborów są podprzestrzenam wektorowym przestrzen R : a) U = {[a, a,...] : a + = a + a dla każdego =,,...}; b) U = {[a, a,...] : a = (a + a + ) dla każdego =,,...}; c) zbór wszystkch cągów [a, a,...], których prawe wszystke wyrazy (wszystke wyrazy z wyjątkem co najwyżej skończonej lczby) są równe zero; d) zbór wszystkch cągów ogranczonych. (7) Nech A R będze zborem nepustym oraz nech V = R A będze przestrzeną funkcj A R (zob. zadane, str. ). Zbadać, które z następujących podzborów przestrzen R A są podprzestrzenam lnowym: a) zbór wszystkch funkcj parzystych, gdy A = R. b) zbór wszystkch funkcj neparzystych, gdy A = R. c) zbór wszystkch funkcj rosnących. d) zbór wszystkch funkcj monotoncznych. e) U = {f V : f() = f()}, gdy A = [, ]. f) U = {f V : f(x) = dla każdego x B}, gdy B A B A. (8) Sprawdzć, które z określonych podzborów przestrzen welomanów K[X] nad całem K są podprzestrzenam wektorowym: a) U = {F K[X] : F ( ) = }, b) U = {F K[X] : F () F () = }, c) K[X] = {F K[X] : stf }, d) U = {F K[X] : stf = }. (9) Pokazać, że jeśl U = ln(α, α,..., α k ), U = ln(β, β,..., β l ), to U + U = ln(α, α,..., α k, β, β,..., β l ). () Wyznaczyć wszystke podprzestrzene przestrzen a) Z ; b) Z ; c) Z. () Pokazać, że jeśl U oraz W są podprzestrzenam przestrzen lnowej V, to U W jest podprzestrzeną przestrzen V wtedy tylko wtedy, gdy U W lub W U. () Wykazać, że: a) Suma U + + U k podprzestrzen przestrzen lnowej V jest podprzestrzen przestrzeną V. b) V = U U k każdy wektor v V ma jednoznaczne przedstawene w postac v = u + + u k, gdze u U dla =,,..., k. () Pokazać, że R = U U, jeżel a) U jest zborem rozwązań równana x + x + x + x =, a U = ln( ).

4 b) U jest zborem rozwązań układu równań ln( ). { x + x x + x = x + x + x =, natomast U = () Pokazać, że R = U + U, lecz R U U, jeżel U jest zborem rozwązań równana x x + x + x =, zaś U = ln( ). Do równana defnującego U dołożyć jeszcze jedno równane tak, aby nowa podprzestrzeń rozwązań U spełnała warunek R = U U. () Uzasadnć, że R = ln( ) ln( ) = ln( ) ln( ) = ln( ) ln( ). W przypadku każdej sumy prostej przedstawć wektor w postac sumy wektora z perwszego składnka sumy prostej wektora z drugego składnka sumy prostej. () Nech V = R R (zob. zadane z poprzednego zestawu??, str. ). Zbór funkcj neparzystych oznaczymy lterą N, natomast zbór funkcj parzystych - lterą P. Pokazać, że N oraz P są podprzestrzenam przestrzen V oraz że V = N P. Przedstawć funkcję f daną wzorem f(x) = a n x n + + a x + a w postac sumy funkcj parzystej funkcj neparzystej. (7) Nech V będze przestrzeną lnową oraz nech B A. OznaczmyU B = {f V A : f(a) = θ dla a B}. Pokazać, że U B jest podprzestrzeną przestrzen V A. Dla jakch podzborów B oraz C zboru A zachodz równość V A = U B + U C, a dla jakch równość V A = U B U C? (8) Sprawdzć, czy Kn n = S n A n (por. zadane 8 str. ). (9) W zborze Z wyróżnmy dwa podzbory: U = {,, } oraz W = {, }. Pokazać, że U jest przestrzeną lnową nad Z W jest przestrzeną lnową nad całem Z, Z = U+W, U W = {}. Czy Z jest sumą prostą przestrzen lnowych U W? () Sprawdzć, że podzbór Z jest podprzestrzeną lnową, a podzbór Q ne jest podprzestrzeną. () (Modularność kraty podprzestrzen) Nech U, U, U będą podprzestrzenam przestrzen wektorowej V. Udowodnć, że

5 a) U + (U U ) (U + U ) (U + U ), b) (U U ) + (U U ) U (U + U ), c) (U U ) + (U U ) + (U U ) (U + U ) (U + U ) (U + U ), d) (U U ) + (U U ) = U (U + (U U )), e) jeśl U U, to U + (U U ) = (U + U ) U. () (Nedystrybutywność kraty podprzestrzen) Podaj przykład podprzestrzen U, U, U przestrzen R dla których a) U + (U U ) (U + U ) (U + U ), b) (U + U ) U (U U ) + (U U ). () (G. Brkhoff ) Sprawdzć, że z podprzestrzen ln( ), ln( ), ln( ), ln( ) za pomocą operacj + można utworzyć neskończene wele różnych podprzestrzen przestrzen R. (Wskazówka: wygodne jest rysować na płaszczyźne z = przekroje badanych podprzestrzen z tą płaszczyzną; ne wszystke podprzestrzene mają z ną nepusty przekrój!) () Wykazać, że następujące pary przestrzen wektorowych są zomorfczne: a) U U U U, b) U U U k U U U k, c) (U + U ) / (U U ) U / (U U ) U / (U U ), gdze U, U,..., U k są podprzestrzenam przestrzen lnowej V. () Pokazać, że a) β ln(α,..., α n ) ln(α,..., α n ) = ln(β, α,, α n ), b) dla dowolnych, j =,..., n, j oraz x K, zachodz równość ln(α, α,..., α n ) = ln(α, α,..., α, α + xα j, α +,..., α n ), c) dla dowolnego =,..., n, oraz x K, x, zachodz równość ln(α, α,..., α n ) = ln(α, α,..., α, xα, α +,..., α n ). () Sprawdzć, czy wektory α oraz β są kombnacjam lnowym układu A wektorów przestrzen R, jeżel 9 9 a) A = ( ), α = β = b) A = ( ), α = 9 β = Czy zaps wektora α w postac kombnacjlnowej układu A jest jednoznaczny? (7) Dla jakej lczby zespolonej c C wektor oraz c przestrzen C? 9 jest kombnacją lnową wektorów c + + Garret Brkhoff (ur. 9 r.) - wspóczesny matematyk amerykańsk, ne mylć z George D. Brkhoffem (88-9), amerykańskm specjalstą od równań różnczkowych.

6 (8) Sprawdzć, czy układ ( Przedstawć wektor + (9) Sprawdzć, że każda kombnacja lnowa ) wektorów przestrzen C jest lnowo nezależny. jako ch kombnację lnową. x x x x wektorów z przestrzen C spełna warunek x + x + x + x =, a ne każda spełna warunek x. () Znaleźć tak wektor x x przestrzen Z, aby wektory,, x x x x były lnowo nezależne. Ile rozwązań ma to zadane? () Zbór C lczb zespolonych z dzałanam dodawana lczb zespolonych mnożena lczb zespolonych przez lczby rzeczywste jest przestrzeną wektorow nad całem lczb rzeczywstych R. Oznaczamy ją symbolem C R. Sprawdzć, że każde trzy wektory z C R są lnowo zależne. () Sprawdzć, czy układ wektorów (α,..., a n ) przestrzen K jest lnowo zależny, jeżel a) K = Z 7, α = b) K = R, α = c) K = C, α = d) K = Z, α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = + + α = α = Jeżel to możlwe, przedstawć jeden z wektorów tego układu jako kombnację lnową pozostałych. () Wykazać, że wektory α, α,... α n są lnowo nezależne wtedy tylko wtedy, gdy dla dowolnych skalarów a, a,... a n b, b,..., b n z równośc a α +a α + +a n α n = b α +b α + +b n α n wynka, że a = b, a = b,..., a n = b n. Wyjaśnć, jak zwązek ma ten fakt z pytanem, zadanym w zadanu. () Pokazać, że nezerowe wektory α, α,... α k są lnowo nezależne wtedy tylko, gdy ln(α,..., α k ) = ln(α ) ln(α k ). Pojęce lnowej nezależnośc wektorów pochodz od Grassmanna.

7 () Zbór R lczb rzeczywstych z dzałanam dodawana mnożena przez lczby wymerne jest przestrzeną wektorową nad całem Q lczb wymernych. Oznaczamy ją symbolem R Q. Sprawdzć, że,, są lnowo nezależnym wektoram przestrzen R Q. () Nech K będze całem, a B A zboram. Dla funkcj f K A oznaczmy f B element K B tak, że dla każdego x B zachodz równość: (f B )(x) = f(x). Funkcję f B nazywamy ogranczenem funkcj f do podzboru B. Jaką prawdzwą mplkację można utworzyć ze zdań : f, f,..., f n są lnowo zależne w K A, f B, f B,..., f n B są lnowo zależne w K B? Jaką prawdzwą mplkację można utworzyć ze zdań : f, f,..., f n są lnowo nezależne w K A, f B, f B,..., f n B są lnowo nezależne w K B? (7) Sprawdzć, czy f, f, f są lnowo nezależne w R R, jeżel a) f (x) =, f (x) = sn x, f (x) = sn x dla x R, b) f (x) =, f (x) = sn x, f (x) = cos x dlax R. (8) Sprawdzć, czy, X, X,..., X n są lnowo nezależne w przestrzen wektorowej K[X]. Sprawdzć, czy dla danego a K, welomany, X a, (X a),..., (X a) n są lnowo nezależne w tej samej przestrzen. (9) Sprawdzć, czy f, f,..., f n są lnowo nezależne w R R, jeżel f (x) = x x x dla x R, =,..., n. () Sprawdzć, czy,,,..., są lnowo nezależne w przestrzen Q(X) nad całem lczb X X X X n wymernych. () Nech (β, β,..., β n ) będze układem nezerowych wektorów przestrzen V. Pokazać, że układ (β, β,..., β n ) jest bazą przestrzeną V wtedy tylko wtedy, gdy V = ln(β ) ln(β ) ln(β n ). () Pokazać, że wektory α,..., α n tworz bazę przestrzen Q n znaleźć współrzędne wektora β w tej baze, jeżel a) n = ; α = α = α =, β = 9 b) n = ; α = α =, α = β = 7 c) n = ; α = α = α = α = β = () Wyznaczyć bazy podprzestrzen rozwązań następujących układów równań (nad R): x + x + x = x + x x = a) x x + x = b) x x + x x =. x x + x = x x + x + x = () Wyznaczyć bazę wymar podprzestrzen ln(α, α,..., a n ) przestrzen Q gdy: a) α = α = α = α = ; 7 7 Pojęce wymaru przestrzen wektorowej pochodz od Grassmanna.

8 8 b) α = c) α = α = α = α = α = 8 α = α = 7 9 α = α = () Wybrać bazę podprzestrzen ln(α, α,..., a n ) Z m 7 spośród wektorów α, α,..., a n, jeżel a) α = α = α = ; b) α = c) α = α = α = α = α = α = α = ; α = ; 7 7 ; d) α =, α =, α =, α =, α =. Wybrać dowolne bazy powyższych podprzestrzen, nekoneczne spośród wektorów α, α,..., a n. () Czymożna znaleźć bazę przestrzen K złożoną z wektorów postac: x x a) x x ; x + x + x + x =, b) x x ; x + x + x + x =. x x Pokazać, że jeśl U jest właścwą podprzestrzeną przestrzen lnowej V, to stneje baza przestrzen V, której wszystke wektory należą do V \U. (7) Pokazać, że jeśl wektory α, α,..., a n tworzą bazę przestrzen wektorowej V nad całem K, to dla dowolnych, j =,..., n, j, wektory: a) α, α,..., α, α + xα j, a +,..., a n dla x K, b) α, α,..., α, xα, a +,..., a n dla x K, x równeż tworzą bazę przestrzen V. (8) Znaleźć bazę przestrzen R, w której wektor ε ma współrzędne (,, ) oraz bazę, w której wektor ten ma współrzędne (,, ), a wektor ε + ε wspórzędne (,, ). (9) Znaleźć bazę każdej z nżej wypsanych podprzestrzen przestrzen R oraz bazę sumy algebracznej U + U j, jak częśc wspólnej U U j każdej pary podprzestrzen:

9 9 a) U = ln( ), U = { x x x x R : x + x x + x = }. b) U = ln( ), U = ln( ), U = { x x x x R : x x + x + x = }. c) U = { x x x x R : x x + x x = }, U = ln( ). d) U = ln( ), U = ln( ). () Nech cało K ma q elementów. Oblczyć, le przestrzeń K n ma różnych a) wektorów, b) baz.