Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Transkrypt

1 Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych C. () Nech V będze zborem lczb rzeczywstych dodatnch, a dodawane wektorów nech będze mnożenem lczb. Operację mnożena przez lczby rzeczywste określmy następująco: : R V V, (a, v) v a Wykazać, że wyżej opsana struktura algebraczna jest przestrzeną lnową nad całem lczb rzeczywstych R. () Nech K będze dowolnym całem oraz nech V = K (zbór wszystkch neskończonych cągów elementów cała K). Określmy dzałana dodawana wektorów oraz mnożena wektorów przez skalary z cała K następująco: [a, a,...] + [b, b,...] : = [a + b, a + b,...], a [a, a,...] : = [aa, aa,...]. Pokazać, że wyżej zdefnowana struktura algebraczna jest przestrzeną wektorową nad całem K. () Nech A będze nepustym zborem oraz nech K będze dowolnym całem. Oznaczmy symbolem K A zbór wszystkch funkcj A K. Sumą funkcj f : A K oraz funkcj g : A K nazywamy funkcję f + g : A K taką, że (f + g)(a) = f(a) + g(a) dla każdego a A. Iloczynem funkcj f : A K przez skalar x z cała K nazywamy funkcję xf : A K taką, że (xf)(a) = xf(a) dla każdego a A. Pokazać, że tak zdefnowana struktura algebraczna jest przestrzeną lnową nad całem K. () Oznaczmy symbolem K[X] zbór wszystkch welomanów zmennej X o współczynnkach z cała K. Sprawdzć, że z dzałanam dodawana welomanów mnożena welomanu przez elementy cała K, zbór K[X] jest przestrzeną wektorową nad całem K. (6) Oznaczmy symbolem K(X) zbór wszystkch funkcj wymernych zmennej X o wspóczynnkach z cała K. Sprawdzć, że z dzałanam dodawana funkcj wymernych mnożena funkcj wymernej przez element cała K zbór K(X) jest przestrzeną wektorow nad całem K. (7) Nech A będze dowolnym zborem, a P (A) nech będze zborem wszystkch jego podzborów. Dzałane dodawana w zborze P (A) defnujemy następująco: B C = (B\C) (C\B). Mnożene elementów P (A) przez elementy cała Z defnujemy w oczywsty sposób: B =, B = B. Sprawdzene łącznośc dzałana jest dość kłopotlwe. (a) Zakładając, że dzałane jest łączne, sprawdzć, że spełnone są równeż pozostałe aksjomaty przestrzen lnowej. (b) Wykazać łączność dzałana. (8) Nech V = C, U = {(z, z, z, z ) V : z = z = }. Wektory dodawać będzemy w zwykły sposób natomast mnożene przez skalary defnujemy na cztery różne sposoby: a) zα = θ dla z C oraz α V.

2 b) zα = α dla z C oraz α V. c) zα = (Re { z)α dla z C oraz α V. zα gdy z C α U d) zα = zα gdy z C α / U. Sprawdzć, że w każdym z czterech powyższych przykładów dokładne jeden z aksjomatów przestrzen lnowej ne jest spełnony. () Zbadać, które z następujących podzborów przestrzen K są podprzestrzenam wektorowym: a) U = {[t, t +,, ] : t K}, b) U = {[t, u, t + u, t u] : t, u K}, c) U = {[tu, u, t, ] : t, u K}, d) U = {[x, y, z, t] : x + y z = }, e) U = {[x, y, z, t] : xy = }, f) U = {t[,,, ] + u[,,, ] : t, u K}. () Zbadać, które z następujących podzborów przestrzen R są podprzestrzenam lnowym: a) U = {[t, u, t + u, t u] : t u}, b) U = {[t, u, t, ] : tu }, c) U = {[x, y, z, t] : x, y, z, t Q}. () Nech R będze przestrzeną cągów elementów cała R. Zbadać, które spośród następujących zborów są podprzestrzenam wektorowym przestrzen R : a) U = {[a, a,...] : a + = a + a dla każdego =,,...}; b) U = {[a, a,...] : a = (a + a + ) dla każdego =,,...}; c) zbór wszystkch cągów [a, a,...], których prawe wszystke wyrazy (wszystke wyrazy z wyjątkem co najwyżej skończonej lczby) są równe zero; d) zbór wszystkch cągów ogranczonych. () Nech A R będze zborem nepustym oraz nech V = R A będze przestrzeną funkcj A R (zob. zadane??, str.??). Zbadać, które z następujących podzborów przestrzen R A są podprzestrzenam lnowym: a) zbór wszystkch funkcj parzystych, gdy A = R. b) zbór wszystkch funkcj neparzystych, gdy A = R. c) zbór wszystkch funkcj rosnących. d) zbór wszystkch funkcj monotoncznych. e) U = {f V : f() = f()}, gdy A = [, ]. f) U = {f V : f(x) = dla każdego x B}, gdy B A B A. () Sprawdzć, które z określonych podzborów przestrzen welomanów K[X] nad całem K są podprzestrzenam wektorowym: a) U = {F K[X] : F ( ) = }, b) U = {F K[X] : F () F () = }, c) K[X] = {F K[X] : stf }, d) U = {F K[X] : stf = }. () Pokazać, że jeśl U = ln(α, α,..., α k ), U = ln(β, β,..., β l ), to U + U = ln(α, α,..., α k, β, β,..., β l ). () Wyznaczyć wszystke podprzestrzene przestrzen a) Z ; b) Z ; c) Z. (6) Pokazać, że jeśl U oraz W są podprzestrzenam przestrzen lnowej V, to U W jest podprzestrzeną przestrzen V wtedy tylko wtedy, gdy U W lub W U.

3 (7) Sprawdzć, czy wektory α oraz β są kombnacjam lnowym układu A wektorów przestrzen R, jeżel a) A = ( ), α = 6 β = 6 b) A = ( ), α = 6 β = Czy zaps wektora α w postac kombnacjlnowej układu A jest jednoznaczny? (8) Dla jakej lczby zespolonej c C wektor oraz c przestrzen C? () Sprawdzć, czy układ ( Przedstawć wektor + () Sprawdzć, że każda kombnacja lnowa 6 jest kombnacją lnową wektorów c + + ) wektorów przestrzen C jest lnowo nezależny. jako ch kombnację lnową. x x x x wektorów z przestrzen C spełna warunek x + x + x + x =, a ne każda spełna warunek x. () Znaleźć tak wektor x x przestrzen Z, aby wektory,, x x x x były lnowo nezależne. Ile rozwązań ma to zadane? () Zbór C lczb zespolonych z dzałanam dodawana lczb zespolonych mnożena lczb zespolonych przez lczby rzeczywste jest przestrzeną wektorow nad całem lczb rzeczywstych R. Oznaczamy ją symbolem C R. Sprawdzć, że każde trzy wektory z C R są lnowo zależne. () Sprawdzć, czy układ wektorów (α,..., a n ) przestrzen K jest lnowo zależny, jeżel a) K = Z 7, α = α = α = α = Pojęce lnowej nezależnośc wektorów pochodz od Grassmanna.

4 b) K = R, α = c) K = C, α = d) K = Z, α = α = α = α = α = α = α = + + α = 6 α = Jeżel to możlwe, przedstawć jeden z wektorów tego układu jako kombnację lnową pozostałych. () Pokazać, że jeśl U = ln(α, α,..., α k ), U = ln(β, β,..., β l ), to U + U = ln(α, α,..., α k, β, β,..., β l ). () Wykazać, że: a) Suma U + + U k podprzestrzen przestrzen lnowej V jest podprzestrzen przestrzeną V. b) V = U U k każdy wektor v V ma jednoznaczne przedstawene w postac v = u + + u k, gdze u U dla =,,..., k. (6) Pokazać, że R = U U, jeżel a) U jest zborem rozwązań równana x + x + x + x =, a U = ln( b) U jest zborem rozwązań układu równań ln( ). { x + x x + x = x + x + x = )., natomast U = (7) Pokazać, że R = U + U, lecz R U U, jeżel U jest zborem rozwązań równana x x + x + x =, zaś U = ln( ). Do równana defnującego U dołożyć jeszcze jedno równane tak, aby nowa podprzestrzeń rozwązań U spełnała warunek R = U U.

5 (8) Uzasadnć, że R = ln( ) ln( ) = ln( ) ln( ) = ln( ) ln( ). W przypadku każdej sumy prostej przedstawć wektor w postac sumy wektora z perwszego składnka sumy prostej wektora z drugego składnka sumy prostej. () Nech V = R R (zob. zadane z poprzednego zestawu??, str.??). Zbór funkcj neparzystych oznaczymy lterą N, natomast zbór funkcj parzystych - lterą P. Pokazać, że N oraz P są podprzestrzenam przestrzen V oraz że V = N P. Przedstawć funkcję f daną wzorem f(x) = a n x n + + a x + a w postac sumy funkcj parzystej funkcj neparzystej. () Nech V będze przestrzeną lnową oraz nech B A. OznaczmyU B = {f V A : f(a) = θ dla a B}. Pokazać, że U B jest podprzestrzeną przestrzen V A. Dla jakch podzborów B oraz C zboru A zachodz równość V A = U B + U C, a dla jakch równość V A = U B U C? () Sprawdzć, czy Kn n = S n A n (por. zadane?? str.??). () W zborze Z 6 wyróżnmy dwa podzbory: U = {,, } oraz W = {, }. Pokazać, że U jest przestrzeną lnową nad Z W jest przestrzeną lnową nad całem Z, Z 6 = U+W, U W = {}. Czy Z 6 jest sumą prostą przestrzen lnowych U W? () Sprawdzć, że podzbór Z jest podprzestrzeną lnową, a podzbór Q ne jest podprzestrzeną. () (Modularność kraty podprzestrzen) Nech U, U, U będą podprzestrzenam przestrzen wektorowej V. Udowodnć, że a) U + (U U ) (U + U ) (U + U ), b) (U U ) + (U U ) U (U + U ), c) (U U ) + (U U ) + (U U ) (U + U ) (U + U ) (U + U ), d) (U U ) + (U U ) = U (U + (U U )), e) jeśl U U, to U + (U U ) = (U + U ) U. () (Nedystrybutywność kraty podprzestrzen) Podaj przykład podprzestrzen U, U, U przestrzen R dla których a) U + (U U ) (U + U ) (U + U ), b) (U + U ) U (U U ) + (U U ).

6 6 (6) (G. Brkhoff ) Sprawdzć, że z podprzestrzen ln( ), ln( ), ln( ), ln( ) za pomocą operacj + można utworzyć neskończene wele różnych podprzestrzen przestrzen R. (Wskazówka: wygodne jest rysować na płaszczyźne z = przekroje badanych podprzestrzen z tą płaszczyzną; ne wszystke podprzestrzene mają z ną nepusty przekrój!) (7) Wykazać, że następujące pary przestrzen wektorowych są zomorfczne: a) U U U U, b) U U U k U U U k, c) (U + U ) / (U U ) U / (U U ) U / (U U ), gdze U, U,..., U k są podprzestrzenam przestrzen lnowej V. Garret Brkhoff (ur. r.) - wspóczesny matematyk amerykańsk, ne mylć z George D. Brkhoffem (88 - ), amerykańskm specjalstą od równań różnczkowych.