SYTY NAUKOW AKADMII MARYNARKI WOJNNJ ROK LII NR (8 0 Janusz Kolenda Akademia Maynaki Wojennej WSPÓŁ CYNNIK BPICŃ STWA MĘ CNIOWGO WAŁ ÓW PRY LOSOWYM GINANIU I SKRĘ CANIU STRSCNI Atykuł dotyczy bezieczeństwa zmęczeniowego wałów oddanych ównoczesnemu działaniu momentów gnących i skęcających o losowym chaakteze i stacjonanych w szeszym sensie. akłada się, że wynikające stąd naężenia nomalne i tnące są nieskoelowane oaz że mają znane watości śednie i gęstości widmowe mocy. Pozwala to oba te naężenia ozatywać oddzielnie i wykozystywać znany wzó na wsółczynnik bezieczeństwa zmęczeniowego wałów na odstawie obliczeń cząstkowych wsółczynników bezieczeństwa zmęczeniowego zy zginaniu i skęcaniu. W tym celu wyznaczono ekwiwalentne naężenia nomalne i tnące jako ocesy Gaussa oaz watości oczekiwane cząstkowych wsółczynników bezieczeństwa. Pzeowadzono obliczenia zykładowe. Słowa kluczowe: wały, obciążenia losowe, wytzymałość zmęczeniowa. WSTĘP Na skutek obciążeń zewnętznych w ozecznych zekojach wałów owstają naężenia: nomalne od momentów gnących; tnące od momentów skęcających; tnące od sił ozecznych; nomalne od sił wzdłużnych (ściskających bądź ozciągających. 67
Janusz Kolenda azwyczaj naężenia tnące od sił ozecznych nie są uwzględniane w obliczeniach wytzymałościowych wałów z owodu ich małej watości w oównaniu do naężeń wywołanych zginaniem i skęcaniem. Również obciążenia wzdłużne wałów oddanych znacznym momentom skęcającym i gnącym są zwykle omijane w tego tyu obliczeniach [5]. To samo dotyczy obliczeń zmęczeniowych, zy czym w najbadziej zgubnym algoytmie zeczywiste wsółczynniki bezieczeństwa zmęczeniowego na zginanie δ i na skęcanie δ liczy się dla każdego odzaju naężeń osobno, a nastęnie okeśla łączny zeczywisty wsółczynnik bezieczeństwa zmęczeniowego δ ze wzou [,, 5]: δ δ δ. ( δ + δ Wzó ( jest ważny dla ogólnego zyadku łaskiego stanu naężenia ze składowymi i, a zatem ównież dla cykli niesymetycznych. Nie zachodzi zy tym konieczność sełnienia założenia o zgodności faz i częstości naężeń składowych []. uwzględnieniem takich czynników wływających na wytzymałość zmęczeniową, jak działanie kabu, wielkość zedmiotu i ważliwość mateiału na asymetię cyklu, wystęujące w ( wsółczynniki wyznaczane są za omocą wzoów: δ go so, δ, ( β β a + ψ m a + ψ m a, a nominalne amlitudy naężeń składowych; m, m watości śednie naężeń składowych; β, wsółczynniki działania kabu i wielkości zedmiotu, któych watości okeślone są w liteatuze secjalistycznej [, 5]; ψ wsółczynniki ważliwości mateiału na asymetię cyklu definiowane jako go gj so sj ψ, ψ, (3 gj sj, ganice zmęczenia zy cyklach wahadłowych; go so gj, sj ganice zmęczenia zy cyklach odzeowo tętniących. 68 eszyty Naukowe AMW
Wsółczynnik bezieczeństwa zmęczeniowego wałów zy losowym zginaniu i skęcaniu W zyadku gdy naężenia składowe ~ i ~ mają chaakte ocesów losowych z amlitudami o ozkładach nomalnych, awdoodobieństwo zniszczenia zmęczeniowego można odczytać z wykesów, kozystając z algoytmu obliczeń oisanego w []. W niniejszej acy zedstawiono możliwość wykozystania wzoów ( (3 do oszacowania watości oczekiwanej wsółczynnika bezieczeństwa zmęczeniowego zy łącznym wystęowaniu losowego zginania i skęcania. ałożono zy tym, że naężenia składowe ~ i ~ są nieskoelowanymi ocesami stacjonanymi (w szeszym sensie o znanych watościach śednich i gęstościach widmowych mocy, któe zamodelowano ównoważnymi w sensie wytzymałości zmęczeniowej naężeniami ekwiwalentnymi ~ i ~. e e KWIWALNTN NAPRĘŻNIA SKŁADOW ~ t Rozatywane naężenia nomalne ( i tnące ( t ~ ~ i naężenia śednie; m m ( t ( t i ocesy stochastyczne. ( t m + ( t ( t + ( t m ~ można zaisać jako:, ( oczekiwanych naężeń śednich { } { } m Pzy założeniu stacjonaności tych ocesów oaz znajomości watości i oszukiwać będziemy ekwiwalentnych naężeń składowych w ostaci dogodnej do obliczeń zmęczeniowych [3]: gdzie e e ~ ~ e e to ocesy Gaussa sełniające waunki: (8 0 69 m ( t { } + ( t m ( t { } + ( t m e e, (5 ( t asin( ω t + α a e( jω t + a e( jω t ( t bsin( ω t + α b e( jω t + b e( jω t (6
K K e e ( τ K ( τ ( τ K ( τ W zależnościach (6 i (7 oznaczono: Janusz Kolenda. (7 a, b amlitudy ekwiwalentnych naężeń składowych (zmienne losowe; α, α kąty fazowe ekwiwalentnych naężeń składowych (zmienne losowe; ω, ω częstości ekwiwalentnych naężeń składowych; j a a e j b b e j jedność uojona; ( jα, a ( jα, b b a ( wielkość zesolona szężona; K e( τ, K e( τ funkcje autokoelacji ocesów e( t e( t K ( τ, K ( τ funkcje autokoelacji ocesów ( t i ( t ; τ zy czym odstę czasu, {} watość oczekiwana. { a} { a } { a a } { a a} { b } { b } { b b } { b b } 0 Waunki (7 owadzą do elacji: ; (8 i ; 0 ; (9 {[ a e( jωt + a e( jωt ][ a e( jωt + a e( jωt ]} { ( t ( t } {[ b e( jωt + b e( jωt ][ b e( jωt + b e( jωt ]} { ( t ( t } czyli z uwzględnieniem (8 i (9:, (0 70 eszyty Naukowe AMW
Wsółczynnik bezieczeństwa zmęczeniowego wałów zy losowym zginaniu i skęcaniu Oznaczono tu: { a }, { b } { a } e( jω τ + e( jω τ [ ] K ( τ { b }[ e( jω τ + e( jω τ ] K ( τ. ( watości śedniokwadatowe amlitud ekwiwalentnych naężeń składowych; τ t t. ω W wyniku tansfomacji Fouiea ównań ( otzymuje się: { a } δ ( ω ω + δ ( ω + ω [ ] S ( ω { b }[ δ ( ω ω + δ ( ω + ω ] S ( ω S (, S ( ω gęstości widmowe mocy ocesów ( t ( t δ funkcja delta Diaca., ( i ; Na odstawie ównań ( można sfomułować nastęujące waunki ównoważności naężeń ( t i ( t t t [3, ]: e oaz ( i ( e atem { a } δ ( ω ω + δ ( ω + ω [ ] dω S ( ω { b } [ δ ( ω ω + δ ( ω + ω ] dω S ( ω dω dω. (3 { a } S ( ω { b } S ( ω dω dω. ( (8 0 7
Janusz Kolenda ważywszy, że amlitudy a i b ocesów (6 jako wąskoasmowych ocesów Gaussa mają ozkład Rayleigha, ich momenty statystyczne wynoszą [6]: k { a } k / k Γ + s k k k k k { b } / Γ + s Γ funkcja gamma; s, odchylenia standadowe amlitud a i b. s, k,,..., (5 Stąd {} a ( 0,5π / s, { b} ( 0,5π / s ; (6 { a } s, { b } s. (7 Poównując awe stony wyażeń ( i (7, otzymuje się: / s S ( ω dω, s S ( ω dω. (8 / WARTOŚCI OCKIWAN WSPÓŁCYNNIKÓW BPICŃSTWA Na odstawie wzoów ( watości oczekiwane cząstkowych wsółczynników bezieczeństwa zmęczeniowego wałów oddanych działaniu ekwiwalentnych naężeń składowych (5 wynoszą: { δ } { δ } β β go {} a + ψ { } so {} b + ψ { } m m, (9 7 eszyty Naukowe AMW
Wsółczynnik bezieczeństwa zmęczeniowego wałów zy losowym zginaniu i skęcaniu czyli z uwzględnieniem (6 i (8: { δ } { δ } β 0,5π β 0,5π S S ( ω dω + ψ { } ( ω dω + ψ { } (8 0 73 go so / / m m. (0 Wyażenia ( i (0 umożliwiają wyznaczenie watości oczekiwanej łącznego wsółczynnika bezieczeństwa zmęczeniowego wałów w zyadku ównoczesnego działania momentów gnących i momentów skęcających o losowym chaakteze ze wzou: Pzykł ad {} δ { δ } { δ } [ { δ }] + [ { δ }]. ( Wał oddany jest ównoczesnemu działaniu stacjonanych momentów gnących i skęcających. W analizowanym zekoju wywołują one naężenia ~ ( t m + ( t ~, t + t gdzie m m ( ( i to watości śednie o chaakteze losowym oaz m ( t ( A cosω t + B sinω t k ( t ( Al cosωlt + Bl sinωlt l k k k k. ( W wyażeniach ( A k, Bk, Al i Bl są zmiennymi losowymi o zeowych watościach śednich, statystycznie niezależnymi od siebie. Wyznaczyć watość oczekiwaną łącznego wsółczynnika bezieczeństwa zmęczeniowego zy i oaz watości śed- założeniu, że znane są watości oczekiwane { m} { m} niokwadatowe { A }, { B }, { A } i { B }. k k l l
Janusz Kolenda Rozwią zanie Fomuły ulea cosω t sinω t ozwalają zaisać wyażenia ( w ostaci: Oznaczając [ e( jω t + e( jωt ] [ e( jω t e( jωt ] ( t [ C e( jω t + D e( jω t ] otzymuje się z (3 k ( t [ Cl e( jωlt + Dl e( jωlt ] C C k l l k A A k k l k + B j k + B j l,, k D k D k ωl C l k C ω ω, ω, G G G G k k l l ( t G e( jω t k l ( t Gl e( jωlt C D k C k D l l k k dla k,,..., l dla k,,..., dla l,,..., dla l,,..., k l, (3. (, (5 7 eszyty Naukowe AMW
Wsółczynnik bezieczeństwa zmęczeniowego wałów zy losowym zginaniu i skęcaniu Funkcje autokoelacji naężeń (5 wyażają się nastęująco: K K ( t, t G e( jω t G e( jω t k m { G G } e j( ω t ω t [ ] ( t, t Gl e( jωlt Gn e( jωnt l n k k k m l n k { G G } e[ j( ω t ω t ] l m n m m n Na odstawie założeń i elacji ( zachodzą związki: k l m. (6 { G G } k { G G } l m n H k dla k m, 0 dla k m H l dla l n, 0 dla l n H H k l ( { A } + { B } k ( { A } + { B } l k l. (7 Stąd K K ( τ H e( jω τ k ( τ H l e( jωlτ l k k. (8 Poddając funkcje (8 tansfomacji Fouiea, otzymuje się gęstości widmowe mocy naężeń składowych: S S ( ω H δ ( ω ω k ( ω H lδ ( ω ωl l k k. (9 (8 0 75
Janusz Kolenda atem ( ω S dω H k ( ω S dω H l k k l l H H k l, (30 czyli z uwzględnieniem oznaczeń H k i H w (7 l S ( ω dω ( { Ak} + { Bk} k S ( ω dω ( { Al} + { Bl} l. (3 Oznacza to, że ozwiązanie ostawionego zadania sowadza się do odstawienia do wzou ( nastęujących watości oczekiwanych cząstkowych wsółczynników bezieczeństwa zmęczeniowego wału: { δ } { δ } B π 0,5 B 0,5π ( { Ak} + { Bk} + ψ { m} k ( { Al} + { Bl} + ψ { m} l go so / /. (3 WNIOSKI Pojektowanie wałów naędowych i ośednich w układach maszynowych jest zadaniem odowiedzialnym, mającym istotny wływ na twałość i niezawodność układu. Stąd wynika duże znaczenie obliczeń mających na celu ocenę watości wsółczynnika bezieczeństwa zmęczeniowego wałów. Podobnie jak ocena wsółczynnika bezieczeństwa zmęczeniowego w najbadziej obciążonych elementach czy węzłach układu owinna ona wchodzić w zakes obliczeń sawdzających układ. W odniesieniu do elementów acujących w złożonym stanie naężenia 76 eszyty Naukowe AMW
Wsółczynnik bezieczeństwa zmęczeniowego wałów zy losowym zginaniu i skęcaniu o zdeteminowanych składowych nomalnych i tnących służy temu wzó (. Niniejszy atykuł jest óbą ozszezenia zakesu zastosowań tego wzou na stacjonane obciążenia losowe. Jak ukazano w zykładzie, może on w szczególności służyć do oceny bezieczeństwa zmęczeniowego wałów w stosunkowo obszenej klasie układów maszynowych, gdzie obciążenia wykazują losowe fluktuacje i naężenia są okesowe w sensie śedniokwadatowym. BIBLIOGRAFIA [] Dąbowski., Maksymiuk M., Wały i osie, PWN, Waszawa 98. [] Kocańda S., Szala J., Podstawy obliczeń zmęczeniowych, PWN, Waszawa 997. [3] Kolenda J., On fatigue safety of metallic elements unde static and dynamic loads, Politechnika Gdańska, Gdańsk 00. [] Kolenda J., O wyznaczaniu wastwic bezieczeństwa zmęczeniowego elementów konstukcyjnych zy jednoosiowych obciążeniach stochastycznych, eszyty Naukowe AMW, 00, n. [5] Kyzioł L., Podstawy konstukcji maszyn, cz. II, AMW, Gdynia 008. [6] Pacut A., Pawdoodobieństwo. Teoia. Pobabilistyczne modelowanie w technice, PWN, Waszawa 985. COFFICINT OF FATIGU SAFTY OF SHAFTS UNDR RANDOM BNDING AND TORSION ABSTRACT The ae deals with fatigue safety of shafts subjected to simultaneous bending and tosional loads of andom chaacte, stationay in the wide sense. It is assumed that the esulting nomal and shea stesses ae not coelated with each othe, and that thei mean values and owe sectal densities ae known. Consequently, both these stesses can be consideed seaately and the known fomula fo the coefficient of fatigue safety of shafts based on the calculations (8 0 77
Janusz Kolenda of atial coefficients of fatigue safety unde bending and tosion can be alied. Fo this uose equivalent nomal and shea stesses as Gaussian ocesses and eected values of the atial coefficients of fatigue safety ae detemined. emlay calculations ae caied out. Keywods: shafts, andom loads, fatigue stength. Recenzent d hab. inż. Janusz Kozak 78 eszyty Naukowe AMW