1. Metoda tabel semantycznych
|
|
- Mirosław Rybak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1. Metoda tabel semantycznych Udowodnić pawdziwość fomuły metodą tabel semantycznych: (A B) ( B A) ZALECAMY podkeślanie analizowanych fomuł, W celu zbadania pawdziwości fomuły należy zanegować fomułę i udowodnić niespełnialność negacji. [(A B) ( B A)] (A B), ( B A) (A B), B, A (A B), B, A A, B, A B, B, A ODP.: Ponieważ wszystkie liście dzewa są domknięte, zatem dzewo jest domknięte, co oznacza że zanegowana fomuła jest niespełnialna (spzeczna). Stąd fomuła oyginalna jest pawdziwa. 2. Udowodnić pawdziwość fomuły metodą tabel semantycznych: (((A B) A) A) W celu zbadania pawdziwości fomuły należy zanegować fomułę i udowodnić niespełnialność negacji. [((A B) A) A] ((A B) A), A (A B), A A, A A, B, A ODP.: Ponieważ wszystkie liście dzewa są domknięte, zatem dzewo jest domknięte, co oznacza że zanegowana fomuła jest niespełnialna (spzeczna). Stąd fomuła oyginalna jest pawdziwa.
2 3. Zbadać spełnialność fomuły metodą tabel semantycznych: (((A B) B) A) ((A B) B) A ((A B) B) A (A B), B A, B B, B ODP.: Ponieważ istnieją liście otwate, zatem fomuła jest spełnialna. Z liści otwatych można odczytać modele. Z liścia ( A, B) odczytamy model: v(a) = 0 i v(b) = 0. Z liścia (A) odczytamy modele: v(a) = 1 i v(b) dowolne (0 lub 1). Liście te nie mają modeli wspólnych, zatem wszystkich modeli fomuły mamy 3. Komentaz do Metody Tabel Semantycznych Metoda tabel semantycznych poszukuje modelu (modeli) fomuły. Modele te można odczytać z liści otwatych (pzypominam, że są dwa odzaje liści i model można odczytać tylko z jednego odzaju liści). Jeżeli dany liść pozwala na odczytanie modelu fomuły, to można odczytać z tego liścia dokładnie jeden model lub więcej. Liczba modeli, któe można odczytać z takiego liścia zależy od postaci zbiou liteałów twozących liść (zbió liteałów w liściu taktujemy jako koniunkcję tych liteałów). Wystąpienie liteału w liściu definiuje bowiem watościowanie odpowiedniego atomu, twozącego ten liteał. Pzypominamy, że Metoda tabel semantycznych nie daje odpowiedzi wpost na pytanie: czy fomuła jest pawdziwa. Zatem dzewo, któe posiada wyłącznie liście otwate, nie jest dowodem na to, że fomuła jest pawdziwa można to pokazać na pzykładzie fomuły: p lub Można też zadać pytanie (dodatkowe) czy Metoda tabel semantycznych pokazuje wszystkie możliwe modele?
3 2. DBD 1. Niech A = ((p ) ). Spawdź czy fomuła p A jest spełniona 1) zbudować DBD dla ozważanej fomuły A, 2) w opaciu o ten diagam zbudować DWA diagamy (dla fomuły A p=0 i A p=1), 3) oaz zastosować algoytm łączenia dzew. Jeżeli kwantyfikato jest typu łączymy te dwa diagamy opeatoem, jeżeli zaś kwantyfikato jest typu łączymy te dwa diagamy opeatoem. 1. ((p ) ) 2a. ((p ) ) p=0 p 1 R p 0 2b. ((p ) ) p=1 3. ((p ) ) p=0 ((p ) ) p=1 (kolejność zmiennych: ) 1 R R oznacza REDUKCJĘ ODP.: Ponieważ w wynikowym diagamie znajduje się węzeł o watości 1 zatem fomuła p A jest spełniona (fomuła A jest spełniona dla pewnej watości atomu p).
4 2. Niech A = (( p) ). Spawdź czy fomuła p A jest spełniona 1) zbudować DBD dla ozważanej fomuły A, 2) w opaciu o ten diagam zbudować DWA diagamy (dla fomuły A p=0 i A p=1), 3) oaz zastosować algoytm łączenia dzew. Jeżeli kwantyfikato jest typu łączymy te dwa diagamy opeatoem, jeżeli zaś kwantyfikato jest typu łączymy te dwa diagamy opeatoem. 1. (( p) ) 2a. (( p) ) p=0 R R 0 p p 2b. (( p) ) p=1 3. (( p) ) p=0 (( p) ) p=1 (kolejność zmiennych: ) 0 1 R oznacza REDUKCJĘ ODP.: Ponieważ w wynikowym diagamie znajduje się węzeł o watości 1 zatem fomuła fomuła p A jest spełniona (fomuła A jest spełniona dla każdej watości atomu p).
5 Komentaz do Diagamów Binanych Decyzji Diagamy Binanych Decyzji, w odóżnieniu od większości metod, pozwalają na badanie wpost nie tylko spełnialności ale także pawdziwości. Fomuła pawdziwa, pzypominam, ma w każdej intepetacji watość epezentowaną pzez symbol 1, co jest wyaźnie widoczne w zedukowanym diagamie binanych decyzji. Istnieje twiedzenie mówiące, że zedukowane diagamy UDBD dla fomuł logicznie ównoważnych są stuktualnie identyczne dla poszczególnych upoządkowań atomów. Podkeślmy: dla poszczególnych upoządkowań atomów. Kwantyfikacja jest pytaniem o spełnialność fomuły dla pewnej lub wszystkich watości kwantyfikowanego atomu. Istnieje możliwość zastosowania kilku kwantyfikatoów do fomuły, ale oznacza to, że należy zachować odpowiedni poządek analizowania tych kwantyfikatoów. Wpawdzie w mateiałach nie ma o tym wpost mowy, ale żeby dokonać analizy dowolnego kwantyfikatoa, należy najpiew poddać analizie kwantyfikatoy umieszczone na pawo (najbadziej zagnieżdżone).
6 3. Rachunek pedykatów - semantyka Rozważmy poblem badania spełnialności/ niespełnialności oaz pawdziwości/niepawdziwości. Rozpocznijmy od INTERPRETACJI, któa jest badziej złożona niż w achunku zdań. Musimy bowiem podać: dziedzinę intepetacji, elację, funkcję, oaz watość stałej. Watościowanie to funkcja σ I : V -> D W watościowaniu możemy podać dokładną watość podstawioną zmiennej: σ I [x<-d] Watość temu t w intepetacji I i watościowaniu σ I to v σi (t) Watość fomuły A w intepetacji I pzy watościowaniu σ I to v σi (A) i definiujemy pzez indukcję ze względu na budowę fomuły (kwantyfikatoy, opeatoy, symbole funkcyjne) TW. Niech A będzie fomułą zamkniętą. Wówczas v σi (A) NIE ZALEŻY od watościowania σi. Zadanie: zbadaj spełnialność / pawdziwość fomuły A = y x p(x,y) 1. Podajemy intepetację: I = {N, {>=}, {}, {}} 2. Fomuła w intepetacji: y N x N x>=y 3. Watość fomuły pzy watościowaniu: v σi[y<-0, x<-d] (p(x,y))=1 dla każdego d N 4. Watość fomuły zamkniętej (kozystamy z Twiedzenia) : v σi ( y x p(x,y)) =1 5. I = A Wniosek fomuła jest spełnialna ponieważ istnieje intepetacja, w któej v σi ( y x p(x,y)) = 1 A czy fomuła jest niepawdziwa? 6. Podajemy intepetację: I = {{5}, { }, {}, {}} 7. Fomuła w intepetacji: y {5} x {5} x y 8. Watość fomuły pzy watościowaniu: v σi[y<-5, x<-d] (p(x,y))=0 dla każdego d {5} 9. Watość fomuły zamkniętej (kozystamy z Twiedzenia) : v σi ( y x p(x,y)) =0 10. Wniosek fomuła jest niepawdziwa, ponieważ istnieje intepetacja, w któej v σi ( y x p(x,y)) = 0
7 4. Modele Hebanda Rozszezenie zbiou temów pzez wpowadzenie symboli funkcyjnych powoduje, że zbió możliwych intepetacji staje się złożony (pzeliczalnie nieskończony). Jest zadaniem tudnym (a nawet niemożliwym) ozważać wszystkie intepetacje dla wszystkich dziedzin żeby wykazać, że fomuła jest niespełnialna. Rozwiązaniem byłoby ozważanie pewnej stałej dziedziny H, takiej że zbió klauzul S odpowiadający danej fomule jest niespełnialny we wszystkich intepetacjach dla tej dziedziny H. Taką dziedziną jest uniwesum Hebanda H S. Definicja: Niech S będzie zbioem klauzul. Uniwesum Hebanda H S jest zbioem wszystkich temów ustalonych utwozonych z symboli występujących w S. Jeśli w S nie występuje stała, H S jest inicjowane wpowadzeniem dowolnej stałej a Definicja: Temem (atomem, fomułą) ustalonym nazywamy tem (atom, fomułę), któy nie zawiea zmiennych. Pzykład: Dany jest zbió klauzul S = {p(x) (x), (f(y))} H S = {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a)), f(f(f(f(a))), f(f(f(f(f(a)))), } Definicja: Niech H S będzie uniwesum Hebanda zbiou klauzul S. Bazą Hebanda B S nazywamy zbió atomów ustalonych utwozonych z symboli pedykatywnych występujących w S oaz temów należących do H S. Baza Hebanda jest także nazywana zbioem atomów. Pzykład cd. B S = {p(a), (a), (a), p(f(a)), (f(a)), (f(a)), p(f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), } Definicja: Intepetacją Hebanda dla zbiou klauzul S nazywamy intepetację, któej dziedziną jest uniwesum Hebanda zbiou S, a stałym i symbolom funkcyjnym są pzypoządkowane te same symbole: v(a) = a, v(f(t 1, t n )) = f(v(t 1 ),, v(t n )). Nie nakłada się oganiczeń na pzypoządkowanie symbolom pedykatywnym elacji okeślonych nad uniwesum Hebanda. Niech B S = {A 1,A 2, } będzie bazą Hebanda. Intepetacja Hebanda może być pzedstawiona jako zbió {m 1,m 2, } gdzie m j jest albo A j albo ~A j. Pzykład cd. I1 = {p(a), (a), (a), p(f(a)), (f(a)), (f(a)), p(f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), } I2 = {~p(a), (a), (a), p(f(a)), (f(a)), (f(a)), p(f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), } I3 = {p(a), ~(a), (a), p(f(a)), (f(a)), (f(a)), p(f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), } I3 = {~p(a), ~(a), (a), p(f(a)), (f(a)), (f(a)), p(f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), } Definicja: Modelem Hebanda zbiou klauzul S nazywamy intepetację Hebanda spełniającą S. Model Hebanda można utożsamić z podzbioem bazy Hebanda, zawieającym atomy, dla któych v(p(t 1,,t n )) = 1.
8 Zastosowanie podstawienia do wyażenia 5. Podstawienia ZADANIE: E = p(x) (y) θ = {x y, y f(a)} oblicz Eθ Odp. Eθ = p(y) (f(a)) Składanie podstawień ZADANIE: złóż podstawienia θ = {x f(y), y f(a), z u} δ = {y g(a), u z, v f(f(a))} Odp. θδ = { x f(g(a)), y f(a)} u {u z, v f(f(a))} 6. Uzgadnianie ZADANIE: Znajdź mgu dla wyażeń: A = p( g(y), f(x,h(x),y) ) oaz A = p( x, f(g(z),w,z) ) Są 4 eguły postepowania (wybó eguł dowolny) g(y) = x f(x,h(x),y) = f(g(z),w,z) x = g(y) x = g(z) h(x) = w y = z x = g(y) g(y) = g(z) h(g(y)) = w y = z x = g(z) g(z) = g(z) h(g(z)) = w y = z zamiana ston zastąpienie ównania ównaniami dla każdej pay agumentów użycie temu g(y) w innych ównaniach, gdzie wystąpi x użycie temu z w innych ównaniach, gdzie występuje y usuwamy ównanie, w któym obie stony są identyczne zamiana ston x = g(z) w = h(g(z)) y = z Odp. mgu to {x g(z), w h(g(z)), y z }
9 7. Skolemizacja 1. Spowadzić do postaci klauzulowej: z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) (Zakładamy, że wszystkie wystąpienia zmiennych są związane!!!) Dla pzypomnienia zasięg kwantyfikatoów: z : z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) u : z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) u: z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) : z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) y: z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) v : z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) Kok 1: pzemianowanie zmiennych z ( u p(z,u) s ( (,s) y v (y,v) ) ) Kok 2: zmiana opeatoów z ( u p(z,u) s ( (,s) y v (y,v) ) ) Kok 3: pzesunięcie negacji z ( u p(z,u) s ( (,s) y v (y,v) ) ) Kok 4: wydobycie kwantyfikatoów: z ( u p(z,u) s ( (,s) y v (y,v) ) ) z u ( p(z,u) s ( (,s) y v (y,v) ) ) z u ( p(z,u) s ((,s) y v (y,v) ) ) z u s ( p(z,u) ((,s) y v (y,v) ) ) z u s ( p(z,u) ((,s) y v (y,v) ) ) z u s ( p(z,u) y ((,s) v (y,v) ) ) z u s y ( p(z,u) ((,s) v (y,v) ) ) z u s y ( p(z,u) v ((,s) (y,v) ) ) z u s y v ( p(z,u) ((,s) (y,v) ) ) możemy u, s,, y, nie możemy v możemy s,, y, nie możemy v możemy s, y, nie możemy, v możemy, y, nie możemy v możemy y, nie możemy v możemy y, v możemy v możemy v Kok 5: koniunkcyjna postać nomalna z u s y v ( ( p(z,u) (,s)) ( p(z,u) (y,v)) ) Kok 6: Funkcja Skolema - u s y v ( ( p(a,u) (,s)) ( p(a,u) (y,v)) ) - - s y v ( ( p(a,b) (,s)) ( p(a,b) (y,v)) ) - - s - y v ( ( p(a,b) (f 1 (s),s)) ( p(a,b) (y,v)) ) - - s - y - ( ( p(a,b) (f 1 (s),s)) ( p(a,b) (y, f 2 (s,y))) ) Powyższą fomuła jest w postaci klauzulowej, ale można ją pzedstawić także jako zbió klauzul, pomijając kwantyfikatoy (gdyż wszystkie zmienne są kwantyfikowane uniwesalnie): { { p(a,b), (f 1 (s),s)}, { p(a,b), (y, f 2 (s,y)) } }
10 Komentaz do Skolemizacji Skolemizacja pzekształca fomułę do postaci klauzulowej. Postać nomalna dopuszcza bowiem kwantyfikatoy egzystencjalne. Jednakże my jesteśmy zainteesowani wyłącznie kwantyfikatoami uniwesalnymi, stąd ostatni kok skolemizacji, pzekształcający postać nomalną do klauzulowej. Postać klauzulową można zapisać w postaci zbiou klauzul. Skolemizacja, do pzedostatniego koku zachowuje logiczną ównoważność. Zastosowanie funkcji Skolema nie zachowuje już logicznej ównoważności, lecz spełnialność. W większości pzypadków badamy jednak spełnialność fomuł, stąd Skolemizacja jest użyteczna. Tw. Fomuła uzyskana na dodze Skolemizacji jest niespełniana wtw, gdy wyjściowa fomuła jest niespełnialna Skolemizacja wymaga fomuły zamkniętej. Fomuła jest zamknięta, jeżeli nie ma zmiennych wolnych. Zmienna jest wolna, jeżeli chociaż jedno jej wystąpienie jest wolne. Zmienna jest związana, jeżeli wszystkie jej wystąpienia są związane. Wystąpienie zmiennej jest związane wtw, gdy znajduje się w zakesie odpowiedniego kwantyfikatoa. Wystąpienie zmiennej jest wolne wtw, gdy nie jest związane.
11 8. Rezolucja w achunku pedykatów a) Udowodnij za pomocą metody ezolucji, że następujący zbió klauzul jest niespełniany; C1: p(x1) (x1) s(x1) C2: (b) C3: (b) (x3) C4: p(a) C5: s(x5) Rezolwenta dla C5 i C1 to C6: p(x5) (x5) podstawienie uzgadniające s1: {x1 <- x5} Rezolwenta dla C6 i C4 to C7: (a) podstawienie uzgadniające s2: {x5 <- a} Rezolwenta dla C7 i C3 to C8: (b) podstawienie uzgadniające s3: {x3 <- a} Rezolwenta dla C8 i C2 to C9: podstawienie uzgadniające s4: {} ODP. Zbió klauzul jest niespełniany b) Podaj najbadziej ogólne podstawienie uzgadniające ( mgu ) z uzyskanych podstawień ODP. MGU (złączenie wszystkich podstawień czyli: s1s2s3s4) = {x1<-a, x5<-a, x3<-a} Komentaz do Rezolucji Zauważmy, że C5 to zanegowany cel, któy jest badany i na początku jest on łączony z dowolną inną klauzulą. Następnie dla uzyskanej ezolwenty szukamy klauzuli z oyginalnego zbiou klauzul. Jest to poponowana stategia poszukiwanie klauzuli pustej. MGU pozwala odczytać, dla jakiej watości zmiennej nasz cel jest konsekwencją logiczną zbiou klauzul tzeba jedynie znaleźć odpowiednie podstawienie, będące elementem mgu.
12 1) Jaś na wycieczce w ZOO zobaczył pingwina. Po powocie do domu zaczął zastanawiać się, czy pingwin jest ptakiem czy ssakiem. Pamiętał, że pingwin z ZOO miał dziób i skzydła. Niestety Jaś nie pamiętał, czy pingwin miał pióa (a tylko ptaki mają pióa). Natomiast Jaś z lekcji biologii pamiętał, że dzioby mają nie tylko ptaki ale też ssak dziobak. Ponadto pzypomniał sobie, że skzydła mają nie tylko ptaki ale też ssak nietopez. Zapisał to w postaci eguł: x [ma(x,dziób) -> (ptak(x) ssak(x))] y [ma(y,skzydła) -> (ptak(y) ssak(y))] Jaś nie pzypominał sobie, żeby istniał ssak, któy miałby jednocześnie dziób i skzydła, zatem zapisał: z [ssak(z) -> (ma(z,dziób) ma(z,skzydła))] Jaś zapisał fakty, pzekształcił eguły do postaci klauzulowej i otzymał zbió (koniunkcja) klauzul U: C1: ma(pingwin, dziób) C2: ma(pingwin, skzydła) C3: ma(x,dziób) ptak(x) ssak(x) C4: ma(y,skzydła) ptak(y) ssak(y) C5: ssak(z) ma(z,dziób) ma(z,skzydła) 2) Spawdź, za pomocą metody ezolucji, czy fomuła ptak(pingwin) jest logiczną konsekwencją w.w zbiou klauzul U (2p.) Czy fomuła ptak(pingwin) jest logiczną konsekwencją pustego zbiou klauzul? Uzasadnij odpowiedź Rozwiązanie: fomuła A jest logiczną konsekwencją zbiou U wtw, gdy U -> A jest fomułą pawdziwą. Będziemy badać pawdziwość nie wpost badamy niespełnialność fomuły: (U -> A) któa jest logicznie ównoważna fomule U A. Dodajemy zatem do zbiou U klauzulę C6: ptak(pingwin) i stosujemy metodę ezolucji Rezolwenta C6 i C3 to C7: ma(pingwin,dziób) ssak(pingwin) Rezolwenta C7 i C1 to C8: ssak(pingwin) Rezolwenta C8 i C5 to C9: ma(pingwin,dziób) ma(pingwin,skzydła) Rezolwenta C9 i C1 to C10: ma(pingwin,skzydła) Rezolwenta C10 i C2 to C11: podst.(x<- pingwin) podst.(z<- pingwin) Odp. 1. Ponieważ U A i zaazem (U -> A) jest niespełniana, zatem (U -> A) jest pawdziwa co jest dowodem na to że fomuła ptak(pingwin) jest logiczną konsekwencją zbiou U Odp. 2 fomuła A jest logiczną konsekwencją zbiou U wtw gdy U -> A jest fomułą pawdziwą. W naszym wypadku U jest pustym zbioem klauzul, czyli jest fomułą pawdziwą. Zatem, żeby fomuła (U -> A) była pawdziwa, fomuła A musi być pawdziwa. Fomuła A jest fomułą zamkniętą. Możemy podać intepetację w któej pedykat ptak(x) epezentuje elację, że x jest ptakiem a stała pingwin epezentuje zwieze pingwin. W tej intepetacji fomuła A jest spełniona, ale można podać inne intepetacje, w któych fomuła A nie będzie spełniona (np. stała pingwin epezentuje osobę, któa wygała w ping-ponga). Zatem A nie jest pawdziwa i nie jest logiczną konsekwencją pustego zbiou klauzul.
13 9. Równoważność logiczna W logice fomuły mają więcej niż jedną watość logiczną. Stąd poównywanie fomuł nie może być opate o elację ówności. Wpowadzona została elacja ównoważności logicznej. Istnieje definicja ównoważności logicznej oaz Twiedzenie, któe jest stosowane w badaniu fomuł: Tw. A1 A2 wtw, gdy fomuła A1 A2 jest pawdziwa. 10. Konsekwencja logiczna Definicja konsekwencji logicznej: Niech U będzie zbioem fomuł, A zaś fomułą. Jeżeli w każdym modelu U watością A jest 1, to A nazywamy konsekwencją logiczną U, co zapisujemy U =A Jeżeli zbió U jest pusty, to pojęcie konsekwencji logicznej jest tożsame z pojęciem pawdziwości. Zauważmy, że fomuła A może mieć więcej modeli niż U (fomuła A może mieć modele, któe nie są modelami dla U). Ale, te modele, któe są modelami dla U muszą być także modelami dla A Pzypominamy, że zbió fomuł U ma model, jeżeli istnieje intepetacja taka, że model ten jest modelem każdego elementu zbiou U. Zatem możemy spowadzić poszukiwanie modelu dla zbiou U do poszukiwania modelu dla fomuły będącej koniunkcją fomuł twozących U. Istnieje ponadto twiedzenie, któe pozwala badać konsekwencję logiczną: Tw. U =A wtw, gdy =U A (gdzie U to koniunkcja fomuł twozących U), czyli gdy U A jest tautologią Badanie czy =U A (badanie pawdziwości fomuły U A) ealizowane jest nie wpost badamy niespełnialność fomuły: (U -> A) któa jest logicznie ównoważna fomule U A. Konsekwencja logiczna jest czasami nazywana implikacją logiczną
Binarne Diagramy Decyzyjne
Sawne tablice logiczne Plan Binane diagamy decyzyjne Oganiczanie i kwantyfikacja Logika obliczeniowa Instytut Infomatyki Plan Sawne tablice logiczne Binane diagamy decyzyjne Plan wykładu 1 2 3 4 Plan wykładu
Bardziej szczegółowo1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria
Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory
Bardziej szczegółowoInterpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior
Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowo{ 1, 2,, n } Ponadto wówczas mówimy, że formuła: oraz równoważna jej formuła:
RCHUNEK ZDŃ 6 Do ozstzygania, któe fomuły achunku zdań są tautologiami, czyli pawami logiki, stosować możemy tzy odzaje metod: 1) metodę matycową (zeo-jedynkową), 2) metodę założeniową, 3) metodę aksjomatyczną.
Bardziej szczegółowoRachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Bardziej szczegółowoModele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda
Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja
Bardziej szczegółowoGraf skierowany. Graf zależności dla struktur drzewiastych rozgrywających parametrycznie
Gaf skieowany Gaf skieowany definiuje się jako upoządkowaną paę zbioów. Piewszy z nich zawiea wiezchołki gafu, a dugi składa się z kawędzi gafu, czyli upoządkowanych pa wiezchołków. Ruch po gafie możliwy
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ - ZADANIA. Zadanie 1. Wyznacz wartość logiczną formuły A dla podanych wartościowań zmiennych zdaniowych występujących w tej formule q q
RCHUNEK ZDŃ - ZDNI RCHUNEK ZDŃ, SEMNTYK Zadanie 1. Wyznacz watość logiczną fomuły dla odanych watościowań zmiennych zdaniowych wytęujących w tej fomule 1., 0, 1 2., 1, 0, 1, 0 3. Zadanie 2 Wyznacz tablicę
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metody optymalizacji d inż. Paweł Zalewski kademia Moska w Szczecinie Optymalizacja - definicje: Zadaniem optymalizacji jest wyznaczenie spośód dopuszczalnych ozwiązań danego polemu ozwiązania najlepszego
Bardziej szczegółowoRezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna
Bardziej szczegółowoUzgadnianie formuł rachunku predykatów
Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoUzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień
Bardziej szczegółowoProblem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska
Problem Instytut Informatyki jedzenie(x 1 ) lubi(adam, x 1 ) jedzenie(jabłko) jedzenie(kurczak) je(x 1, x 2 ) żyje(x 1 ) jedzenie(x 2 ) je(bogdan, orzeszki) żyje(bogdan) je(bogdan, x 2 ) je(zuzia, x 2
Bardziej szczegółowodr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów
Instukcja współfinansowana pzez Unię Euopejską w amach Euopejskiego Funduszu Społecznego w pojekcie Innowacyjna dydaktyka bez oganiczeń zintegowany ozwój Politechniki Łódzkiej zaządzanie Uczelnią, nowoczesna
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoStruktura danych = system relacyjny U, U uniwersum systemu - zbiór relacji (operacji) na strukturze danych
Temat: Stuktuy dzewiste 1. Stuktua słownika { } I Stuktua danych = system elacyjny U, i i U uniwesum systemu { i } i I - zbió elacji (opeacji) na stuktuze danych Fomalna definicja stuktuy danych składa
Bardziej szczegółowoII.6. Wahadło proste.
II.6. Wahadło poste. Pzez wahadło poste ozumiemy uch oscylacyjny punktu mateialnego o masie m po dolnym łuku okęgu o pomieniu, w stałym polu gawitacyjnym g = constant. Fig. II.6.1. ozkład wektoa g pzyśpieszenia
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 0 W ni niej szym sche ma cie oce nia nia za dań otwa tych są pe zen to wa ne pzy kła do we po paw ne od po wie
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoL(x, 0, y, 0) = x 2 + y 2 (3)
0. Małe dgania Kótka notatka o małych dganiach wyjasniające możliwe niejasności. 0. Poszukiwanie punktów ównowagi Punkty ównowagi wyznaczone są waunkami x i = 0, ẋi = 0 ( Pochodna ta jest ówna pochodnej
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoWykład 1. Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Przestrzeń probabilistyczna.
Podstawowe pojęcia. Wykład Elementy achunku pawdopodobieństwa. Pzestzeń pobabilistyczna. Doświadczenie losowe-doświadczenie (zjawisko, któego wyniku nie możemy pzewidzieć. Pojęcie piewotne achunku pawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoModelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład III
Modelowanie pzepływu cieczy pzez ośodki poowate Wykład III 6 Ogólne zasady ozwiązywania ównań hydodynamicznego modelu pzepływu. Metody ozwiązania ównania Laplace a. Wpowadzenie wielkości potencjału pędkości
Bardziej szczegółowoKlasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Bardziej szczegółowoSkładnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Bardziej szczegółowoROZWIĄZUJEMY PROBLEM RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I MASY GRAWITACYJNEJ.
ROZWIĄZUJEMY PROBLEM RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I MASY GRAWITACYJNEJ. STRESZCZENIE Na bazie fizyki klasycznej znaleziono nośnik ładunku gawitacyjnego, uzyskano jedność wszystkich odzajów pól ( elektycznych,
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoModel klasyczny gospodarki otwartej
Model klasyczny gospodaki otwatej Do tej poy ozpatywaliśmy model sztucznie zakładający, iż gospodaka danego kaju jest gospodaką zamkniętą. A zatem bak było międzynaodowych pzepływów dób i kapitału. Jeżeli
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 11 OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA
WYKŁAD OPTYMALIZACJA WIELOKYTEIALNA Wstęp. W wielu pzypadkach pzy pojektowaniu konstukcji technicznych dla okeślenia ich jakości jest niezędne wpowadzenie więcej niż jednego kyteium oceny. F ) { ( ), (
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do akusza Póbnej Matuy z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 00 W kluczu są pezentowane pzykładowe pawidłowe odpowiedzi. Należy ównież uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoWykład: praca siły, pojęcie energii potencjalnej. Zasada zachowania energii.
Wykład: paca siły, pojęcie enegii potencjalnej. Zasada zachowania enegii. Uwaga: Obazki w tym steszczeniu znajdują się stonie www: http://www.whfeeman.com/tiple/content /instucto/inde.htm Pytanie: Co to
Bardziej szczegółowo(U.17) Zastosowania stacjonarnego rachunku zaburzeń
3.0.004 38. U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 66 Rozdział 38 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 38. Stuktua subtelna w atomie wodoopodobnym 38.. Hamiltonian i jego dyskusja Popzednio
Bardziej szczegółowoAutomatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji
Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji 16 kwietnia 2010 Rezolucja zdaniowa Formuły rachunku zdań: zbudowane ze zmiennych zdaniowych za pomocą spójników logicznych,,,, i nawiasów Wartości logiczne:
Bardziej szczegółowoDobór zmiennych objaśniających do liniowego modelu ekonometrycznego
Dobó zmiennych objaśniających do liniowego modelu ekonometycznego Wstępnym zadaniem pzy budowie modelu ekonometycznego jest okeślenie zmiennych objaśniających. Kyteium wybou powinna być meytoyczna znajomość
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoDODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoEnergia kinetyczna i praca. Energia potencjalna
negia kinetyczna i paca. negia potencjalna Wykład 4 Wocław Univesity of Technology 1 NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Paca Kto wykonał większą pacę? Hossein Rezazadeh Olimpiada w Atenach 004 WR Podzut
Bardziej szczegółowoPróba określenia miary jakości informacji na gruncie teorii grafów dla potrzeb dydaktyki
Póba okeślenia miay jakości infomacji na guncie teoii gafów dla potzeb dydaktyki Zbigniew Osiak E-mail: zbigniew.osiak@gmail.com http://ocid.og/0000-0002-5007-306x http://via.og/autho/zbigniew_osiak Steszczenie
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 2
LEKCJA 2 Pzykład: Dylemat Cykoa (albo Poke Dogowy) Dwie osoby wsiadają w samochody, ozpędzają się i z dużą pędkością jadą na siebie - ten kto piewszy zahamuje lub zjedzie z tasy jest "cykoem" i pzegywa.
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowo29 Rozpraszanie na potencjale sferycznie symetrycznym - fale kuliste
9 Rozpaszanie na potencjae sfeycznie symetycznym - fae kuiste W ozdziae tym zajmiemy się ozpaszaniem na potencjae sfeycznie symettycznym V ). Da uchu o dodatniej enegii E = k /m adiane ównanie Schödingea
Bardziej szczegółowoWykład 17. 13 Półprzewodniki
Wykład 17 13 Półpzewodniki 13.1 Rodzaje półpzewodników 13.2 Złącze typu n-p 14 Pole magnetyczne 14.1 Podstawowe infomacje doświadczalne 14.2 Pąd elektyczny jako źódło pola magnetycznego Reinhad Kulessa
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowom q κ (11.1) q ω (11.2) ω =,
OPIS RUCHU, DRGANIA WŁASNE TŁUMIONE Oga Kopacz, Adam Łodygowski, Kzysztof Tymbe, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Konsutacje naukowe: pof. d hab. Jezy Rakowski Poznań 00/00.. Opis uchu OPIS RUCHU
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych
Elementy logiki: Algebra Boole a i układy logiczne 1 Elementy logiki dla informatyków Wykład III Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych Elementy logiki: Algebra Boole a
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH W STATA 8.0
ANALIZA DANYCH W STATA 8.0 ZAJĘCIA 3 1. Rozpoczęcie 1. Stwozyć w katalogu C:/temp katalog stata_3 2. Ściągnąć z intenetu ze stony http://akson.sgh.waw.pl/~mpoch plik zajecia3.zip (kyje się on pod tekstem
Bardziej szczegółowoCo to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany
Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowo5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
Bardziej szczegółowoWykład 5: Handel międzynarodowy a zasoby czynników produkcji część II
Handel międzynaodowy Wykład 5: Handel międzynaodowy a zasoby czynników podukcji część II Gabiela Gotkowska Plan wykładu 5 odel HO w wesji z technologią Cobba- Douglasa Wybó techniki podukcji pzez poducenta
Bardziej szczegółowonależą do grupy odbiorników energii elektrycznej idealne elementy rezystancyjne przekształcają energię prądu elektrycznego w ciepło
07 0 Opacował: mg inż. Macin Wieczoek www.mawie.net.pl. Elementy ezystancyjne. należą do gupy odbioników enegii elektycznej idealne elementy ezystancyjne pzekształcają enegię pądu elektycznego w ciepło.
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoAdam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego
Bardziej szczegółowoWstęp do filogenetyki molekularnej. Krzysztof Turowski
Wstęp do filogenetyki molekulanej Kzysztof Tuowski Co to jest filogeneza? Filogeneza (z g. filos gatunek, ód i genesis pochodzenie) to doga ozwoju odowego, pochodzenie i zmiany ewolucyjne gupy oganizmów,
Bardziej szczegółowoKONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH
Konkusy w województwie podkapackim w oku szkolnym 08/09 KONKURS Z MTEMTYKI L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH ETP REJONOWY KLUZ OPOWIEZI Zasady pzyznawania punktów za każdą popawną odpowiedź punkt za błędną odpowiedź
Bardziej szczegółowoLogiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM
Logiczne podstawy informatyki 1 LOGICZNE PODSTAWY INFORMATYKI Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 2 1. Rezolucja zdaniowa Formuły
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoJak logik przewozi kozę przez rzekę?
Jak logik przewozi kozę przez rzekę? 1. Koza i kapusta 1.1. Problem Na lewym brzegu rzeki, na przystani promowej, znajdują się: chłop, koza i kapusta. Prom jest samoobsługowy (może obsługiwać go tylko
Bardziej szczegółowoInternet Semantyczny. Logika opisowa
Internet Semantyczny Logika opisowa Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym
Bardziej szczegółowoLogika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Bardziej szczegółowoZWIĄZEK FUNKCJI OMEGA Z DOMINACJĄ STOCHASTYCZNĄ
Studia konomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwesytetu konomicznego w Katowicach ISSN 283-86 N 237 25 Infomatyka i konometia 2 wa Michalska Uniwesytet konomiczny w Katowicach Wydział Infomatyki i Komunikacji Kateda
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoZastosowanie teorii pierścieni w praktyce
Upozczenie wyażeń 2x+(y x) = x+y Spotkania z Matematyka Zatoowanie teoii pieścieni w paktyce Alekande Deniiuk denijuk@matman.uwm.edu.pl Uniweytet Wamińko-Mazuki w Olztynie Wydział Matematyki i Infomatyki
Bardziej szczegółowoKognitywistyka II r. Teoria rzetelności wyników testu. Teorie inteligencji i sposoby jej pomiaru (4) Rzetelność czyli dokładność pomiaru
Kognitywistyka II Teoie inteligencji i sposoby jej pomiau (4) Teoia zetelności wyników testu Rzetelność czyli dokładność pomiau W języku potocznym temin zetelność oznacza niezawodność (dokładność). W psychometii
Bardziej szczegółowo9.1 POMIAR PRĘDKOŚCI NEUTRINA W CERN
91 POMIAR PRĘDKOŚCI NEUTRINA W CERN Rozdział należy do teoii pt "Teoia Pzestzeni" autostwa Daiusza Stanisława Sobolewskiego http: wwwtheoyofspaceinfo Z uwagi na ozważania nad pojęciem czasu 1 możemy pzyjąć,
Bardziej szczegółowoLIST EMISYJNY nr 3 /2014 Ministra Finansów
LIST EMISYJNY n /0 Minista Finansów z dnia stycznia 0. w spawie emisji kótkookesowych oszczędnościowych obligacji skabowych o opocentowaniu stałym ofeowanych w sieci spzedaży detalicznej Na podstawie at.
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoDefinicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowoDefinicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Bardziej szczegółowoRachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek
Rachunki relacji Rachunki relacji 1. RRK Relacyjny Rachunek Krotek 2. RRD Relacyjny Rachunek Dziedzin 3. Datalog Database Prolog Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski T. Pankowski, Rachunki
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
ykład 5: Paca i enegia d inż. Zbigniew Szklaski szkla@agh.edu.pl http://laye.uci.agh.edu.pl/z.szklaski/ Enegia a paca Enegia jest to wielkość skalana, okeślająca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele
Bardziej szczegółowo1. Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym.
Wykład 3. Zasada zachowania momentu pędu. Dynamika punktu mateialnego i były sztywnej. Ruch obotowy i postępowy Większość ciał w pzyodzie to nie punkty mateialne ale ozciągłe ciała sztywne tj. obiekty,
Bardziej szczegółowoProgramowanie logiczne a negacja
Programowanie logiczne a negacja Adrian Woźniak 12 stycznia 2006r. SPIS TREŚCI Programowanie logiczne a negacja Spis treści 1 Wstęp 2 2 Wnioskowanie negatywnych informacji 2 2.1 Reguła CWA (Closed World
Bardziej szczegółowoLogika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk.
Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów maj 2010 Logika predykatów pierwszego rzędu Plan wykładu Logika predykatów pierwszego rzędu Porównanie z rachunkiem zdań Rachunek zdań ograniczona ekspresja
Bardziej szczegółowoINSTYTUT ANALIZ REGIONALNYCH
Rozpoządzenie Minista Edukacji aodowej z dnia 3 stycznia 200 w spawie sposobu opacowania spawozdania z wysokości śednich wynagodzeń nauczycieli jest niezgodne z at 30a ustawy Kata auczyciela Auto: d Bogdan
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoPRĄD ELEKTRYCZNY I SIŁA MAGNETYCZNA
PĄD LKTYCZNY SŁA MAGNTYCZNA Na ładunek, opócz siły elektostatycznej, działa ównież siła magnetyczna popocjonalna do pędkości ładunku v. Pzekonamy się, że siła działająca na magnes to siła działająca na
Bardziej szczegółowo