MAP 48 ANALIZA MATEMATYCZNA. Lista List zadań na semestr zimow 9/.. Korzstając z definicji granic właściwej ciągu uzasadnić podane równości: n+ n+ lim n n =; b) lim =; n n+ lim n n =; e*) lim +5 n 3 n c) lim n n+4 = ; 3n+ =; f*) lim =. n+ n n!.. Korzstając z twierdzeń o artmetce granic ciągów obliczć podane granice: n 3 +n + n + ) n!+ n + ) 3 lim n n 3n 3 ; b) lim ; c) lim n n+)n+)! n n 3 +) ; 3 8 n+ +3 4 lim n n ; e) lim n4 +6 n) ; f) lim n +4n+ n +n) +. n n.3. Korzstając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć podane granice: lim n nn +; n lim n nπ b) lim n n ; ) 3 n3 + + 3 n3 + +...+ 3 ; e) lim n3 +n n n sinn c) lim n 3 n + ; 3n + n n+ ) n n ; f) lim 3n+ n 5 n +4 n..4. Korzstając z definicji liczb e oraz z twierdzenia o granic podciągu obliczć podane granice: ) 5n ) 5n+ n n [ ) ) n ] 3n+ 5n+3 lim ; b) lim n 5n+ n n ; c) lim n ; + n 5n+ 3n+ ) n ) 6n ) n 3n 3n+ n lim ; e) lim ; f) lim. n 3n+ n 3n+ n n+.5. Korzstając z definicji granic niewłaściwej ciągu uzasadnić podane równości: lim log n+3)= ; b) lim n 4 ) ) = ; c) lim n n = ; lim 3n ) =. n n n n.6. Korzstając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć podane granice: lim n nn +5; n lim n b) lim n 3n cosn 4 n ); c) lim [ ) n 3 + 5 ) n ] ; e) lim n 5 n 6 + ) ; f) lim n n n n n sinn )n ; + +...+ n ).
Lista.. Korzstając z twierdzenia o granicach niewłaściwch ciągów obliczć podane granice: lim n 4 3n 3 n ) n+)! π ) n; ; b) lim ; c) lim 3 cos n n n!+ n n n + lim n n ; e) lim n n+ n ) n n+ ; f) lim n n[lnn+) lnn]... Korzstając z twierdzeń o artmetce granic funkcji obliczć podane granice: lim 3 4 ; b) lim lim π tg + tg +5 ; e)lim + 3 + + ; c) lim 64 3 4 8 ; ; f) lim 6..3. Zbadać, obliczając granice jednostronne, cz istnieją podane granice funkcji: lim sgn; b)lim 3 ; c) lim 3sin ; π 4 lim ; e)lim 3 3 ; f) lim sgn[ )]..4. Korzstając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości: 8 lim 3 +sin =; b) lim =; c) lim +cos =; lim cos + =; e) lim +sin =; f) lim e+sin =..5. Korzstając z twierdzenia o granicach niewłaściwch funkcji obliczć podane granice: lim 3 + + ) ; b) lim 4 4 3 3 + + ) ; c)lim 3+ lim ++ ; ) e) lim + + ; f) lim ) ; + )..6. Korzstając z granic podstawowch wrażeń nieoznaczonch obliczć podane granice funkcji: lim sin 3 ; ln+ ) b) lim 3 ; c) lim + 4 ; lim[+tg)] ctg cos5 ; e) lim π cos3 ; sin g)lim sin ; h) lim 3 Lista 3 ln+ 3 ) 3.. Znaleźć asmptot pionowe i ukośne podanch funkcji: f)lim e 3 sin ; ; i) lim + ). + u)= 3 + 3 sin ; b)v)= ; c)w)= 4 9 π ; + z)= cosπ) 8 ; e)f)= ; f)g)= 3 +) ;
3..Dobraćparametra,b Rtak,abpodanefunkcjebłciągłewewskazanchpunktach: sin dla π f)=, = π, { +a+b dla <, =, a+b dla < π, = π b)f)= ; 4 dla, =; asin+bcos dla > π c)f)= 4, = π 4, b dla <π, +tg dla π 4, = π f)= sin 4 ; dla π, =π. a 3.3. Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie ajeżeli istnieją) dla funkcji o podanch wkresach: b) c) =f) =f) =f) a a a e) f) =f) =f) =f) a a a 3.4. Określić rodzaje nieciągłości podanch funkcji we wskazanch punktach: dla,), ), + f)= b)f)= dla, 3 dla=, =; dla=, =; c)f)=sgn [ ] ), =; f)= cos dla, dla=, =. 3.5. Korzstając z twierdzenia Weierstrassa o przjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia ekstremalne mają rozwiązania: wśród stożków wpisanch w kulę o promieniu r istnieje ten, któr ma największą objętość; b) wśród trójkątów prostokątnch wpisanch w koło o promieniu r istnieje ten, któr ma największ obwód; c) wśród prostokątów opisanch na danej elipsie istnieje ten, któr ma najmniejsze i największe pole. 3.6. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanch przedziałach: 3 +6 =,,); b)sin=7, π, 5π ) ; c)= sin +,, π ) ; ) + =,, ; e)3 +=3,,); f) =,,). Wznaczć rozwiązania równań, i f) z dokładnością.5. 3
Lista 4 4.. Korzstając z definicji zbadać, cz istnieją pochodne podanch funkcji we wskazanch punktach: f)=, =; b)f)=, =; c)f)= π 3 sin, =π; f)= { dla, dla >, sin dla π, arctg dla, e)f)= dla > π f)f)=, dla =, =; = π ; =. Naszkicować wkres funkcji, b), i e). 4.. Korzstając z definicji obliczć pochodne funkcji: f)= 3, gdzie R; b)f)= +, gdzie ; c)f)=, gdzie>; f)=tg, gdzie π +kπdlak Z. 4.3. Badając pochodne jednostronne rozstrzgnąć, cz istnieją pochodne podanch funkcji we wskazanch punktach: f)=, =; b)f)=sin sgn), =; tg dla π <, ) dla <, c)f)= sin dla << π =; f)=, =. dla, Naszkicować wkres tch funkcji. 4.4.Zbadać,czpodanefunkcjemająpochodneniewłaściwewpunkcie =: f)=3 5 ; b)f)=tg 3 ; c)f)= sin ; f)= +. 4.5. Korzstając z reguł różniczkowania obliczć pochodne funkcji: = 3 + ) e ; b)= + 4 ) tg ) ; c)=e arctg; =ln sin + ) ; e)= 3 arcsin ); f)=e e ; g)= sin 3 cos ; h)=tg ; i)=. 4.6.*Korzstającztwierdzeniaopochodnejfunkcjiodwrotnejobliczćf ),jeżeli: f)=+ln, =e+; b)f)=cos 3, =; c)f)= 3 + 5 + 7, =3; f)= 3 +3, =4. 4.7.Obliczćf,f,f funkcji: f)=4 7 5 3 +; b)f)= 3 ; c)f)=e ; f)=arctg; e)f)=sin 3 +cos 3 ; f)f)= 3 ln. 4.8. Napisać równania stcznch do wkresów podanch funkcji we wskazanch punktach: 4
f)=arcsin,,f)); b)f)=ln +e ),,f)); c)f)=e tg, π 4,f π 4)) ; f)= +,3,f3)); e)f)= +,,f )) ; f)f)=,e,fe)). Lista 5 5.. Korzstając z różniczki funkcji obliczć przbliżone wartości wrażeń: 3 7.999; b) 3.98 ; c)ln ; ln.9993; e)e.4 ; f)arccos.499. 5.. Korzstając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić podane nierówności: arctg arctg dlaa,b R; b)ln < dla a<b; c) arcsin dla <; e >e dla >. 5.3.NapisaćwzorTalorazresztąLagrange adlapodanchfunkcjif,punktów orazn: f)= 3, =,n=4; b)f)=, =,n=; c)f)=sin, =π,n=3; f)=e, =,n=5; e)f)=, =,n=3; f)f)=ln, =e,n=4. 5.4. Napisać wzor Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji: f)=sin 3 ; b)f)=ch; c)f)=cos; f)= e. 5.5. Oszacować dokładności podanch wzorów przbliżonch na wskazanch przedziałach: tg, π ; b)cos,.; c) + +,.5; ln ) 8 3 3, <.. 5.6. Stosując wzór Maclaurina obliczć: e zdokładnością 3 ; b) 3.997zdokładnością 3 ; c)ln.zdokładnością 4 ; sin.zdokładnością 5. Lista 6 6.. Korzstając z reguł de L Hospitala obliczć granice: lim ln +) lnsin ; b) lim π ln +9 lim 5 5+4 ; e)lim lncos lncos3 ; g) lim + ln; j)limcos) ; ; c) lim arctg ; h) limπ )tg ; i) lim π f) lim arcctg; ctg ) k) lim π arctg ; l) lim +) ln. + 5 ) ;
6.. Na rsunkach przedstawiono wkres pochodnch pewnch funkcji. Podać przedział, na którch funkcje te są rosnące: b) c) =f ) =f ) =f ) 3 e) f) =f ) =f ) =f ) 3 3 6.3. Znaleźć przedział monotoniczności funkcji: f)= 3 3 +5; b)f)= 4 4 3 3 ; c)f)=4+ ; f)= 3 3 ; e)f)= 33 ; f)f)=e 3 ; g)f)=ln ; h)f)= ln ; i)f)= ln. 6.4.Narsunkachprzedstawionowkresfunkcji f)iichpochodncha) F).Połączćwkresfunkcjiz wkresami ich pochodnch: b) c) e) f) A) B) C) D) E) F) 6.5. Uzasadnić tożsamości: arctg+arcctg= π dla R; b)arcsin + =arctgdla,); 6
c)arctg= π 4 arctg + dla, ); arcsin=arctg dla,). 6.6.Określićrodzajekstremumjeżeliistnieje)wpunkcie funkcji,którchwkresprzedstawiononarsunkach: b) c) =f) =f) f ) f ) f ) =f) e) f) f ) f ) f ) =f) =f) =f) Lista 7 7.. Na rsunkach przedstawiono wkres pochodnch pewnch funkcji ciągłch. Wskazać punkt, w którch funkcje te mają ekstrema lokalne: =f ) b) =f ) c) =f ) 3 5 8 9 e) =f ) f) =f ) =f ) 3 + 7.. Znaleźć wszstkie ekstrema lokalne podanch funkcji: f)= 3 4 ; b)f)=+ ; c)f)= 4 ; f)= ; e)f)= ; f)f)= 5 6 ; g)f)=ln; h)f)= 3 3 ; i)f)=arctg ln + ). 7.3. Na rsunkach przedstawiono wkres funkcji f) i ich drugich pochodnch A) F). Połączć wkres funkcji z wkresami ich drugich pochodnch: 7
b) c) e) f) A) B) C) D) E) F) 7.4. Określić przedział wpukłości oraz punkt przegięcia funkcji: f)=ln + ) ; b)f)= 3 3 4ln ; c)f)=sin+ 8 sin; f)= ; e)f)=earctg ; f)f)= ln. 7.5. Zbadać przebieg zmienności podanch funkcji i następnie sporządzić ich wkres: f)= ) +); b)f)= 3 ; c)f)= ; f)=3 4 4 ; Lista 8 e)f)= ; f)f)= ln. 8.. Obliczć podane całki nieoznaczone: 3 3 + ) )d 4 3 d; b) 3 ; c) d + ; cosd 3 cos sin ; e) + 3 5 d; f) d. 8
8.. Korzstając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczć całki nieoznaczone: arctg e 3 d; b) d; c) d; d cos ; e) g) ln+)d; h) sind; f) arccosd + ; arccosd; i) e sind. 8.3. Stosując odpowiednie podstawienia obliczć całki nieoznaczone: cos +4 d; b) d; c) +)sin ++ ) d; cosd d ; e) +sin ch ; f) 5 3) d; g) 5 5 3 +d; h) j) d ln + ; i) d; e d 5sind e + ; k) 3 cos ; l) 8.4.* Obliczć całki nieoznaczone: 3 e d. +)d; b) min {, } d; c) d; e d. Lista 9 9.. Obliczć podane całki z ułamków prostch pierwszego rodzaju: d 3) 7; b) d +5 ; c) 5d 7) 3; 8d 9+. 9.. Obliczć podane całki z ułamków prostch drugiego rodzaju: d 6+3)d +4+9 ; b) ++4 ; c) )d 9 +6+ ; e*) d 4+5) ; f*) 9.3. Obliczć podane całki z funkcji wmiernch: +)d ) ; b) d + ; c) 4+)d 3 )d e) ++ ; f) + ; g) 5 4)d i) 4+ ; j) d ++5 ; k) d ); d ++8 ; h) +)d ++ ; l) 4+)d +9 ; 5d +) 3. 9.4. Obliczć podane całki z funkcji trgonometrcznch: sin 3 d; b) sin 4 cos 3 d; c) cos 4 d; d +) +4) ; d +6+8 ; d +4). sin 3 cos 6 d; e) cos cosd; f*) sin sin d. 9
9.5. Obliczć podane całki z funkcji trgonometrcznch: d +tg sin+tg ; b) d d; c) cos +cos ; sin d +cos ; e) d sin 5 tg ; f) d cos 3 ; d g) cos ; h) d sin+cos ; i) d 3sin+4cos+5. 9.6. Obliczć podane całki z funkcji trgonometrcznch: sinsin3d; b) sin3cosd; c) coscos5d; d*) coscos cos 4 d. Lista.. Korzstając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczć całki: + 3) d; b) 9 d; e) + π g) sin+cos )d; h) π π ) + d; c) d +9 ; f) sin cosd; i) e ) 3 + 4 d; d ; lnd... Obliczć podane całki oznaczone dokonując wskazanch podstawień: g) π 6 3 sine cos d,cos=t; b) d + 3,3 =t ; e) 9 d,=3sint; g) 3 e d,+=t; c) + lnd,ln=t; f) ln3 e d +e,e =t; i).3. Metodą całkowania przez części obliczć podane całki oznaczone: π 4 e d; b) sind; e) π e d; c) +cos)d; f) e e ln d; arcsind. 4 e e +d, +=t; d ),=t ; 3 3 d 4,= t..4. Obliczć całki oznaczone: e )sgnln)d; b) 3 dla, f)d,gdzief)= dla <, ) dla < 3; c) d; 4 d + 3 ;
e) sgn ) d; f) Lista 3 d... Korzstając z definicji zbadać zbieżność podanch całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: d +) ; b) d +4 ; e) π sind; c) e 3 d; f) d 3 3+5 ; d 4+3... Korzstając z krterium ilorazowego zbadać zbieżność podanch całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: d ; + b) 3 ++ ; e) 5 d 5 3 ; c) sin d; d 3 sin ; f) e + ) d e..3. Korzstając z krterium porównawczego zbadać zbieżność podanch całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: d ; b) 3 d 3 7 + ; e) )d 4 ++ ; c) +cos ) d ; f).4. Obliczć pola trapezów krzwoliniowch: π +sin)d 3 ; d. b) c) = 4 +4+6 =3 = =3 6+ =4 8 = 3 +3+7 =3 e) f) =8 = = = =
Lista.. Obliczć pola obszarów ograniczonch krzwmi: =,+=; b)=,=,=3; c)=,=,=4; 4=,= 8 +4 ; e)=+sin,=, π); f)=,=,=; g)=π,=π ; h) 4 =,=,=6; i) =,= 6,=,=4... Obliczć długości krzwch: = 3, gdzie ; b)=ch, gdzie ; c)=ln e + e, gdzie 3; = lncos, gdzie π 4..3. Obliczć objętości brł powstałch z obrotu figur T wokół wskazanch osi: T:,,O; b)t: 5, +4,O; c)t:,,o; T: 3,,O; e)t: 4, 4 5,O; f)t: π, sin+cos,o..4. Obliczć pola powierzchni powstałch z obrotu wkresów podanch funkcji wokół wskazanch osi: f)=,,o; b)f)= 4+, 4,O; 9 c)f)= 4,,O; f)= +,,O; e)f)=, 3,O; f)f)=cos, π,o..5. Prz rozciąganiu sprężn siła jest wprost proporcjonalna do wdłużenia sprężnwspółcznnik proporcjonalności wnosi k). Obliczć pracę jaką należ wkonać, ab sprężnę o długości l rozciągnąć do długości L. b)zbiornikmakształtwalcaoosipoziomej.średnicawalcad=m,adługośćl=6m.obliczćpracę,jaką potrzeba wkonać, ab opróżnić zapełnion całkowicie wodą zbiornik. Otwór do opróżnienia zbiornika znajduje sięwjegogórnejczęści.masawłaściwawodγ=kg/m 3. Lista 3 3.. Sprawdzić, że dla każdego C R podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch, a następnie znaleźć rozwiązania spełniające zadane warunki początkowe: t)=t+c, =, )=; b)t)=ce t, =, )= ; c)t)=ce t + 3 et, +=e t, )=; t)=t+c t +, = t+ t +, )=. 3.. Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch: +4t=; b)d=t dt; c)t ) dt+ t ) d=; t = ; e) =+t++t; f) +4= e t +4 ). 3.3.Dokonaćanalizrozwiązańrównaniaróżniczkowego t=kwzależnościodrzeczwistegoparametru k. Naszkicować krzwe całkowe tego równania. 3.4. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowch o rozdzielonch zmiennch:
π sint=ln, =e; b)t ) dt+ t d=, )=; c)t+) =, e)=; costdt + ) d=, )=; e) = +t ), )= ; f)e )=, )=. 3.5. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: +=sint; b) +t=e t ; c)t =t 3 cost; t =4t 4 ; e)t+e t t =; f)t+) =4t+. 3.6. Wznaczć rozwiązania podanch zagadnień początkowch dla równań liniowch niejednorodnch oraz podać przedział, na którch są one określone: =,3)=3; b) =+)sint,t )= ; π c)t +=t+,)=; sintcost=+sin 3 t, =. 4) Lista 4 4..Danjestukładfundamentaln t), t))równanialiniowegojednorodnegopostaci +pt) +qt)=.dlajakichparametrówα,β R,parafunkcjiu t),u t))określonchwzorami jest również układem fundamentalnm tego równania? u t)=α t)+ t) u t)= t)+β t) 4.. Sprawdzić, że podane funkcje tworzą na zadanch przedziałach układ fundamentalne wskazanch równań różniczkowch. Znaleźć rozwiązania tch równań z zadanmi warunkami początkowmi: t)=e t, t)=e t,, ), =, )=, )= 5; b) t)=lnt, t)=t,,e), t lnt) +t =, )=, )=; c) t)=t, t)=e t,,), t ) t +=, )=, )=; t)=t, t)=t,, ), t t +=, )=3, )=. 4.3.Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodnepostaci +pt) +qt)=,którchukład fundamentalne składają się z podanch funkcji: t)=sht, =cht,gdziet R; b) t)=t, t)=t,gdziet, ). 4.4. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o stałch współcznnikach: 6 5 +=; b) =; c)4 4 +=; + + 4 =; e) 4 +5=; f) +5=; g) +6 +8=; h)7 +4 3=; i) 6 +9=. 4.5. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe: π + 6=, )=, )=; b) +9=, =, 3) π ) =; 3 c) +=, )=, )=3; 7 +=, )=3, )= ; e) 7 +=, )=, )=5. Lista 5 5.. Wznaczć rozwiązania ogólne podanch równań liniowch niejednorodnch, jeżeli znane są układ fundamentalne odpowiadając im równań jednorodnch: 3
7 +=e 3t, t)=e t, t)=e 5t ; b) 3t+t ) 6+t) +6=6, t)=t 3, t)=t+; c)t ) t +=t ) e t, t)=t, t)=e t ; t+) +t) =e t, t)=, t)=te t. 5.. Korzstając z metod uzmienniania stałch rozwiązać podane równania różniczkowe: +4 +4=e t ; b) +4= cost ; c) = 4t + t ; t tgt=; e) +3 += +e t; f) +3 +=cos e t). 5.3. Korzstając z metod współcznników nieoznaczonchmetoda przewidwani rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: + += ; b) 4 +4=t ; c) +4 +4=8e t ; +3 =3te 3t ; e) +5 +6= t)e t ; g) +9=3sin3t+cos3t; f) +4 4=8sint; h) +α =cosαt,gdzieα. 5.4.* Korzstając z twierdzenia o składaniu rozwiązań i metod współcznników nieoznaczonchmetoda przewidwani rozwiązać podane równania różniczkowe: =e t +e t ; b) =t+sint; c) 4 =cos 4t; =4t e t. 5.5. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe: += t), )=, )= ; b) 6 +9=9t t+, )=, )=3; c) +6 +9=sint, )=, )=; + =e t, )=, )=. Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczlas 4