DYNAMIKA MASZYN. Dynamika Maszyn Podstawy dynamiki

0-06-0 DYNAMIKA MASZYN Podstawy dynamiki; Modelowanie układów mechanicznych; Paamety dynamiczne układów mechanicznych; Redukcja układów mechanicznych; Układanie ównań uchu układów mechanicznych; Chaakteystyki dynamiczne; Silniki elektyczne; Nieównomieność biegu maszyny; Synteza układów mechanicznych. Podstawy dynamiki Liteatua: Bokowski W., Konopka S., Pochowski L.: Dynamika maszyn oboczych. WNT Waszawa 996. Edman A.G, Sando G.N.: Mechanism Design. Analysis and Synthesis. Vol. I, Pentice Hall, Uppe Saddle Rive, New Jesey 07458 997. Gabacik A.: Studium pojektowania układów hydaulicznych. Ossolineum, Kaków 887. Red. Gabacik A.: Kieunki ozwoju napędu hydaulicznego i konstukcji maszyn oboczych. Fluid Powe Net Publication. Kaków 999. Kodkiewski J.M.: Dynamics of machines. The Unvesity of Melboune 005. Machelek K.: Dynamika obabiaek. WNT Waszawa, 99. Moecki A., Odefeld J.: Teoia maszyn i mechanizmów. PWN, Waszawa 987. Moel J.: Dgania maszyn i diagnostyka ich stanu technicznego. Polskie Towazystwo Diagnostyki Technicznej, Waszawa, 994. Osiński Z.: Teoia dgań. PWN Waszawa 978. Red. Osiński Z.: Zbió zadań z teoii dgań. PWN Waszawa 989. Paszewski Z.: Dgania i dynamika maszyn. WNT Waszawa 98. Paca zbioowa: Elektotechnika i elektyka dla nieelektyków. WNT Waszawa 999. Ziemba S.: Analiza Dgań, PWN Waszawa, 959. Dynamika jest działem mechaniki zajmującym się badaniem uchu układu ciał mateialnych wywołanych działaniem zewnętznego wymuszenia. W mechanice podstawowymi zasadami, na któych opiea się dynamika są zasady Newtona. Maszyna jest uządzeniem stanowiącym układ połączonych ze sobą ciał, o ściśle okeślonym uchu, któego zadaniem jest wykonanie pacy uŝytecznej lub pzekształcenie enegii. Ze względu na efekt enegetyczny maszyny moŝna podzielić na: Maszyny obocze (obabiaki, maszyny tanspotowe itd.), któych zadaniem jest wykonanie pacy uŝytecznej, idącej na pokonanie opou uŝytecznego związanego ze zmianą kształtu i wymiau lub połoŝenia ciała. Silniki i geneatoy, któych zadaniem jest pzekształcenie enegii. Piewsza zasada dynamiki: Punkt mateialny, na któy nie działa Ŝadna siła, pozostaje w spoczynku lub pousza się uchem jednostajnym po linii postej. Tzecia zasada dynamiki: Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów mateialnych, są ówne co do watości bezwzględnej i są pzeciwnie skieowane wzdłuŝ postej łączącej oba punkty. Duga zasada dynamiki: Pzyspieszenie punktu mateialnego jest popocjonalne do siły działającej na ten punkt, a kieunek pzyspieszenia jest taki sam jak kieunek działania siły. dv F m d t W pzypadku, gdy na punkt mateialny działa kilka sił, wówczas kieunek pzyspieszenia jest sumą geometyczną wszystkich działających sił, zaówno czynnych jak ównieŝ bienych, będących eakcja więzów nałoŝonych na układ. Działanie jednego ciała na inne pzejawia się popzez oddziaływanie wzajemne. Tego typu oddziaływanie Newton sfomułował w tzeciej zasadzie dynamiki. Rys.3. Oyginalne bzmienie paw Newtona z pacy Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica

0-06-0 Siła czynna siła pzyłoŝona, siła aktywna; wszelka siła zdolna do wywołania pzyspieszonego uchu lub do odkształcenia ciała. Siła biena eakcja, siła eakcji więzów; pochodząca od tych ciał, któe oganiczają swobodę uchu ozpatywanego ciała. Siła zewnętzna siła oddziaływania na ozpatywany (wydzielony) układ od stony ciał nie naleŝących do tego układu; siła oddziaływania otoczenia na ozpatywany układ. Siła wewnętzna siła, z jaką punkt (ciało) układu mechanicznego działa na inny punkt (ciało) tego samego układu; zgodnie z pawem akcji i eakcji siły wewnętzne działają zawsze paami, są sobie ówne i mają pzeciwne zwoty, a więc ównowaŝą się. Siła bezwładności opó bezwładności, eakcja kinetyczna, siła d Alembeta; siła pozona (pomyślana, fikcyjna) okeślona w uchu postępowym iloczynem masy m pzez pzyspieszenie a ze znakiem pzeciwnym, a w uchu obotowym iloczynem momentu bezwładności pzez pzyspieszenie kątowe ze znakiem pzeciwnym P b ma; M b Jε; Siła uogólniona wielkość, któej pomnoŝenie pzez pzygotowany pzyost współzędnej uogólnionej δq daje watość pacy δl na dodze okeślonej tym pzyostem Qδq δl Dla pzemieszczeń uogólnionych wyaŝonych w jednostkach długości (pzemieszczeń tanlslacyjnych) siłę uogólnioną wyaŝa się w jednostkach siły (N), a dla pzemieszczeń kątowych (otacyjnych) [ad] siłą uogólnioną jest moment [Nm]. Pęd ilość uchu; wektoowa wielkość dynamiczna chaakteyzująca uch postępowy ciał mateialnych N H m v j j j Twiedzenie o pochodnej pędu. Pochodna względem czasu pędu układu punktów mateialnych ówna się geometycznej sumie wszystkich sił zewnętznych (czynnych i bienych) działających na ten układ dh Pe dt lub P H& e Kęt moment pędu, moment kinetyczny; wektoowa wielkość dynamiczna chaakteyzująca uch ciał mateialnych N K ( m v ) j j j j j pomień wekto okeślający połoŝenie punktu mateialnego o masie m j względem początku układu współzędnych. Kęt ciała sztywnego obacającego się z pędkością kątową ω wokół jednej z głównych osi bezwładności wyaŝa się wzoem K Jω J moment bezwładności względem osi obotu ciała. Twiedzenie o pochodnej kętu. Pochodna względem czasu kętu układu punktów mateialnych, wyznaczonego względem dowolnego nieuchomego punktu O (bieguna), ówna się geometycznej sumie momentów względem tego punktu (bieguna) wszystkich sił zewnętznych działających na punkty mateialne ozpatywanego układu dk dt N ( k Pek ) k N k M Ok Modelowanie układów mechanicznych Model układ (abstakcyjny, stosunkowo posty) uznany za wystaczająco podobny (izomoficzny, analogiczny) pod jakimś względem do układu (zeczywistego lub pojektowanego) będącego właściwym pzedmiotem badania, ułatwiający poznanie cech badanego układu; twoząc model, pzyjmuje się jako pzedmiot badań wybane własności badanego obiektu. Model funkcjonalny (fenomenologiczny) model imitujący działanie badanego układu; model funkcjonalny pzedstawiony na ysunku w postaci zbiou umownych symboli jest nazywany schematem funkcjonalnym, np. schemat kinematyczny, hydauliczny lub elektyczny. Model fizyczny model imitujący badany układ pod względem wybanych własności i właściwości fizycznych; model imitujący własności i właściwości dynamiczne nazywa się modelem dynamicznym. Model matematyczny opis matematyczny, najczęściej w postaci ównań (óŝniczkowych lub całkowych) opisujących zachowanie się badanego układu w óŝnych stanach; model matematyczny moŝna uzyskać dwoma sposobami: wykozystując pawa fizyczne czyli analitycznie, lub ekspeymentalnie czyli pzez identyfikację. Modele dynamicznie dysketne są to modele UM o paametach skupionych (punktowy ozkład mas i elementów spęŝysto-tłumiących), o skończonej liczbie stopni swobody; modele te opisują ównania óŝniczkowe zwyczajne. ZałoŜenia upaszczające eliminacje myślowe tych elementów, cech i elacji występujących wewnątz badanego układu oaz między układem i otoczeniem, któe są nieistotne dla danego celu lub na danym etapie badań. Model cybenetyczny schemat blokowy, schemat układu z zaznaczeniem podziału na człony funkcjonalne z uwzględnieniem ich własności dynamicznych, pzedstawiających oddziaływania między tymi członami (elacje między wejściami i wyjściami). Układ mechaniczny (UM) wyodębniony zbió ciał, ciało lub część ciała, któego uch mechaniczny jest pzedmiotem badań; W zaleŝności od banych pod uwagę i zeczywistych właściwości modelowanych ozóŝnia się: złoŝone z elementów sztywnych (UMSz), złoŝone z elementów masowo-spęŝystych (UMS), złoŝone z elementów masowo-spęŝysto-tłumiącym (UMST). Modele dynamicznie ciągłe są to modele UM o ciągłym ozkładzie mas, o nieskończonej liczbie stopni swobody, np. układy belkowe, płytowe i powłokowe; modele te opisuje się ównaniami óŝniczkowymi cząstkowymi.

0-06-0 ANALIZA TEORETYCZNA układu istniejącego lub PROJEKTOWANIE nowego układu: model funkcjonalny model fizyczny dynamiczny model matematyczny ozwiązanie modelu matematycznego analiza i intepetacja wyników wnioski do konstukcji i eksploatacji. IDENTYFIKACJA układu zeczywistego: plan doświadczeń (pzyjęcie modelu doświadczalnego badanego układu zeczywistego) pzepowadzenie doświadczeń opacowanie wyników doświadczeń wyznaczenie paametów układu matematyczny model układu poównanie modelu doświadczalnego z modelem teoetycznym (identyfikacja) i wpowadzenie koekt do modelu teoetycznego. Rys. Tok postępowania w ozwiązywaniu zagadnienia identyfikacji układu zeczywistego Rys. Podstawowe zagadnienia dynamiki maszyn technologicznych i manipulacyjnych W modelowaniu najczęściej stosuje się następujące pzybliŝenia techniczne, któe okazują się pzydatne i nadają się do stosowania w óŝnym stopniu i w óŝnych zagadnieniach: pomijanie czynników mających mały wpływ, upaszczanie kształtów geometycznych analizowanego układu, załoŝeniu jednoodności mateiału, poszczególnych elementów analizowanego układu, zastępowanie paametów ozłoŝonych w sposób ciągły, paametami skupionymi, pzyjęcie pewnych elementów, ozpatywanego modelu jako niewaŝkich, pzyjęcie pewnych elementów ozpatywanego modelu jako był idealnie sztywnych, załoŝenie, Ŝe modelowany układ nie powoduje zmian w otaczającym go śodowisku, załoŝenie (w miaę moŝliwości) postych liniowych zaleŝności między zmiennymi fizycznymi opisującymi pzyczyny i skutki, załoŝenie, Ŝe paamety fizyczne nie są funkcjami czasu, unikanie nieokeśloności i pomijanie szumów, Rys. Symbole na ysunkach modeli dynamicznych zastąpienie pocesów stochastycznych, jakie zachodzą w układzie zeczywistym, pocesami zdeteminowanymi. PRZYKŁAD Dany jest UM pzekładni zębatej walcowej, w któym moment bezwładności θ jest duŝo większy od sumy momentów bezwładności wałów i kół zębatych. Znane są własności spęŝyste wałów (długości l, momenty bezwładności pzekojów J oaz moduł spęŝystości postaciowej G). W modelu dynamicznym występują: jedno ciało o momencie bezwładności θ (pominięto momenty bezwładności kół zębatych i wałów), dwie skęcane spęŝyny, zastępujące wały, o sztywnościach skętnych: Układ zastępczy ma dwa stopnie swobody uchu, okeślone pzemieszczeniami kątowymi φ i φ Kąt obotu koła z jest związany z kątem obotu φ pzełoŝeniem i pzekładni zębatej. PRZYKŁAD Rys. Model pzekładni pasowej a) funkcjonalny, b) dynamiczny Rys. Model pasowego napędu wzeciona a) funkcjonalny, b) dynamiczny 3

0-06-0 PRZYKŁAD 3 UM belki dwupodpoowej, któej masa jest pomijalnie mała w stosunku do masy skupionej umieszczonej w śodku belki, spowadza się do UMZ masy skupionej zastępczej m z podpatej spęŝyną o zastępczej sztywności PRZYKŁAD 4 Na ysunku pzedstawiono modele zespołu wzeciona dwupodpoowego: a) modei funkcjonalny, b) model dynamiczny jednomasowy, c) model dynamiczny wielomasowy (dokładniejszy) Rys. Model belki dwupodpoowej a) funkcjonalny, b) dynamiczny Rys. Model wzeciona obabiaki a) funkcjonalny, b) dynamiczny dwupodpoowy, c) dynamiczny zastępczy Paamety dynamiczne to okeślone liczbowo wielkości fizyczne, chaakteyzujące układ mechaniczny, potzebne do matematycznego opisu stanów dynamicznych układów. Są to więc paamety: inecyjne, sztywnościowe i dysypacyjne. Paamety inecyjne Masa wielkość fizyczna (własność), chaakteyzująca bezwładność, czyli zdolność do pzeciwstawienia się zmianom pędkości ciała mateialnego w uchu postępowym; w mechanice klasycznej masa jest uznawana za wielkość stałą (pawo zachowania masy). Znając objętość V i gęstość ρ ciała jednoodnego, masę oblicza się ze wzou: Gęstości waŝniejszych mateiałów konstukcyjnych stosowanych w budowie maszyn są następujące [kg/m3]: Paamety dynamiczne układów mechanicznych Stal 7800 Bąz Al 7400 7600 śeliwo 750 Bąz Sn 8500 8900 Aluminium 700 Bąz Pb 8900 9000 Mosiądz 8400 Ołów 340 Miedź 8960 Kound 300 300 Złoto 930 Stop cynku 6600 Moment bezwładności względem osi wielkość fizyczna (skalana) chaakteyzująca bezwładność ciała w uchu obotowym dokoła danej osi; matematycznie moment bezwładności względem osi jest okeślony wzoami Momenty bezwładności ciał jednoodnych Moment bezwładności odśodkowy moment dewiacji; moment bezwładności okeślony w postokątnym układzie współzędnych Oxyz wzoami: Twiedzenie Steinea-Eulea: moment bezwładności względem dowolnej osi ówna się momentowi bezwładności ciała względem osi ównoległej pzechodzącej pzez śodek masy ciała plus iloczyn masy m tego ciała pzez kwadat odległości c między tymi osiami 4

0-06-0 Klasyfikacje pzestzennych był układu mechanicznego moŝna pzepowadzić z zaleŝności analitycznych. Na ich podstawie, moŝna okeślić czy daną byłę zakwalifikować jako jednoodny postopadłościan, czy jako cienką płytę. Cienka płyta ma tzy współmiene wymiay a, b i gubość δ o ząd mniejszy od wymiaów a oaz b. a δ 0 b δ 0 Na podstawie zaleŝności (a), kwalifikuje się postopadłościan jako cienką płytę lub nie. W analogiczny sposób postępuje się w pzypadku kwalifikowania były jako ua gubo, bądź cienkościenna D δ 0 h δ 0 Metody doświadczalne wyznaczenia momentu bezwładności metoda wahadła fizycznego, metoda wahań skętnych, metoda gawitacyjna. (a) (b) Paamety spęŝyste SpęŜystość jest właściwością ciał, polegającą na odkształcaniu się pod wpływem pzyłoŝonych obciąŝeń zewnętznych oaz na cofnięciu się tych odkształceń, czyli pzywóceniu piewotnego kształtu i wymiaów, po zaniku tych obciąŝeń. Sztywność jest to właściwość ciał spęŝystych, polegająca na pzeciwstawieniu się siłom wywołującym odkształcenia. Sztywność elementów konstukcyjnych okeśla się w stanach obciąŝeń statycznych lub quasi-statycznych (wolno naastających i wolno zanikających) i wyaŝa się współczynnikiem sztywności c, nazywanym często kótko sztywnością statyczną, okeślonym wzoem: W zaleŝności od odzaju występujących odkształceń ozóŝnia się: sztywność na ozciąganie i ściskanie [N/m] sztywność giętną [N/m], skętną [Nm/ad] i styczną [N/mm], któym w mechanice technicznej odpowiadają wskaźniki sztywności EA, EJx i GJo W pzypadku postych pzekojów elementów maszyn, do oszacowania watości współczynników sztywności oaz tłumienia wykozystuje się zaleŝności podane w metodzie sztywnych elementów skończonych (SES). Paamety dysypacyjne Dysypacja enegii ozpaszanie enegii; poces nieodwacalnego powstawania enegii cieplnej kosztem enegii innych odzajów. Pzyczyny dysypacji enegii: siły tacia, opoy pzepływu cieczy, odkształcenia ciał spęŝystych wykazujących histeezę odkształceniową (tacia wewnętzne w mateiale), opó elektyczny, histeeza magnetyczna. Siły dysypacyjne siły tacia, siły hamujące uch, siły tłumienia dgań; ogólnie siły występujące w czasie uchu ciała w ośodku (w cieczy, w powietzu) lub w zetknięciu z innym ciałem, zwócone pzeciwnie do wektoa pędkości względnej. W jednej z definicje bieze się stosunek watości bezwzględnych dwóch kolejnych ekstemalnych wychyleń. a δ ln a n+ W pzypadku dugiej definicji, uwzględnia się stosunek watości bezwzględnych dwóch óŝniących się o okes ekstemalnych wychyleń. n an δt ln a n+ Związek między tak okeślonymi dekementami jest następujący an δt ln a a + ln a n+ n+ n+ JeŜeli dekement jest stały lub mało óŝni się w ganicach jednego okesu, to δ. T δ Inną metodą oszacowywania watości tłumienia dgań, jest wykozystanie współczynnika doboci układu. Doboć układu jest stosunkiem liniowego wiskotycznego współczynnika tłumienia do kytycznej watości tego współczynnika b Q b k δ + δ odwotnością doboci jest współczynnik stat, bk χ Q b Rys. Gaficzna identyfikacja wychyleń pzebiegu dgań swobodnie tłumionych 5

0-06-0 Współczynniki stat mateiałów konstukcyjnych Mateiał konstukcyjny Moduł Kichhoffa Współczynnik stat Q - Stal 4HG.079 0 5 0.8 0-3 Stal 5HGM 0.883 0 5 0. 0-3 Stal 8HN4WA 0.84 0 5 0. 0-3 Stal H3N8 0.84 0 5 0. 0-3 śelazo Amko 0.93 0 5 0.5 0-3 Rys. Chaakteystyka amplitudowo częstotliwościowa, układu o jednym stopniu swobody Współczynnik stat oblicza się z zaleŝności ω ω χ Q ω Watość współczynnika tłumienia wyznaczyć moŝna z zaleŝności ez c b ω ω Tłumienie dgań moŝna okeślić takŝe za pomocą współczynnika ozposzenia. Okeślamy go jako stosunek enegii ozposzonej podczas jednego okesu do maksymalnej watości enegii w tym okesie W ψ. W W układzie z liniową spęŝystością istnieje posty związek między tymi współczynnikami a dekementem. Obwiednia wykesu a a(t) dgań tłumionych okeśla enegię w układzie. Enegia układu okeślona jest wzoem gdzie c jest współczynnikiem sztywności układu. Stąd Odpowiednio ψ Wt+ T Wt a ( t) W t c. dw W an+ an da a ln a a ( δ + ) ψ δ n n+ δ. T Pomiędzy tymi wielkościami zachodzą następujące zaleŝności. ωη QE E η bk π Q G ωη G ψ δ δ Q π η TmE T E η G Dla mateiałów izotopowych, moŝna zapisać wyaŝenia pzedstawiające stałe mateiałowe tłumienia w funkcji pozostałych wielkości opisujących ozposzenie enegii dgań. Q E δe bk E ψe η Tm E ωez πω ez ωez πω ez Q G δg bkg ψg η TmG ω ez πω ez ωez πω ez mg lub pzy stałym ψ 4δ Stałe czasowe tłumienia wewnętznego T m Mateiał T m Mateiał Stal St3 0 0-6 śeliwo zwykłe 34 0-6 Stal 50 30.3 0-6 śelazobeton 00 0-6 Stal 37HN3A. 0-6 Guma 300 0-6 Rodzaj łoŝyska T m ŁoŜysko kulkowe jednozędowe 3. 0-6 Dwa obok siebie łoŝyska kulkowe jednozędowe 4. 0-6 ŁoŜysko wałeczkowe jednozędowe 6 0-6 ŁoŜysko stoŝkowe 4.5 0-6 ŁoŜysko wałeczkowe dwuzędowe 3.4 0-6 ŁoŜysko kulkowe pomieniowe oaz łoŝysko kulkowe wzdłuŝne 0-6 Znając stałą czasową tłumienia oaz współczynnik sztywności, moŝna obliczyć współczynnik tłumienia elementu spęŝysto tłumiącego, opisanego modelem Kelvina Voita. b T c, i, Kn i m i 6

0-06-0 Układ mechaniczny zastępczy (UMZ) układ mechaniczny będący uposzczonym modelem fizycznym zeczywistego układu i stanowiący podstawę matematycznego opisu uchu tego układu; wybó układu zastępczego zaleŝy od agumentów uzasadniających z jednej stony kozyści wynikające z postoty modelu, a z dugiej moŝliwą do otzymania dokładność wyników. Redukcja układów mechanicznych Układ mechaniczny zedukowany (UMR) układ mechaniczny uposzczony w stosunku do układu zastępczego, lecz ównowaŝny mu pod względem dynamicznym, tzn. spełniający okeślone waunki edukcji; układy zedukowane wpowadza się dla ułatwienia opisu matematycznego. Człon edukcji człon mechanizmu wykonujący uch postępowy, obotowy lub złoŝony, do któego dokonuje się edukcji: jako człon edukcji pzyjmuje się zwykle człon napędzający mechanizmu (człon piewszy), a czasem wygodnie jest edukować do członu wykonawczego (np. wzeciona, stołu. supotu). Redukcja mas polega na zastąpieniu mas edukowanych (skupionych i ozłoŝonych) jedną masą (skupioną lub ozłoŝoną) związaną z członem edukcji, któej enegia kinetyczna w kaŝdej chwili uchu jest ówna sumie enegii kinetycznej mas edukowanych. Z poównania enegii kinetycznych otzymuje się wyaŝenia: dla masy zedukowanej dla zedukowanego momentu bezwładności masy i momenty bezwładności edukowanych członów, pędkość śodka masy i-tego członu, pędkość śodka masy zedukowanej, pędkość kątowa i-tego członu, pędkość kątowa członu, do któego edukujemy masę. PRZYKŁAD. Dla układu pzedstawionego na ysunku naleŝy zedukować masowe momenty bezwładności na koło zębate o pomieniu. W zadaniu, dane są bezwładności (m,, J, J3), pomienie kół zębatych (, ) oaz bębna (3) oaz pędkość kątowa silnika napędzającego (ω). Rys. Model mechanizmu podnoszenia suwnicy pomostowej Zedukowany na koło zębate o pomieniu masowy moment bezwładności dany jest zaleŝnością. v ω J ed m + J + ωed ωed ω ω 3 + J + J3 ωed ωed W ozpatywanym pzypadku pędkość edukcji dana jest zaleŝnością. ωed ω Pędkości poszczególnych elementów mechanizmu podnoszenia dane są: ω ω, ω ω ω ed 3 3 v ω33 ω ed ed Ostatecznie zaleŝność na moment bezwładności zedukowany na koło zębate o pomieniu pzyjmuje postać. 3 J ed m + J + J + 3 J PRZYKŁAD. Dla układu pzedstawionego na ysunku naleŝy zedukować masowe momenty bezwładności na podnoszony ładunek. Zedukowany na koło zębate o pomieniu masowy moment bezwładności dany jest zaleŝnością. v ω ω ω 3 3 med m + + J + J J ved ved ved ved W ozpatywanym pzypadku pędkość edukcji dana jest zaleŝnością. ved v Pędkości poszczególnych elementów mechanizmu podnoszenia dane są: Redukcja mas belek o stałym pzekoju popzecznym do jednej masy skupionej. W tego odzaju zagadnieniach zakłada się, Ŝe linia ugięcia belki podczas dgań (postać dgań) odpowiada statycznemu ugięciu belki pod działaniem obciąŝeń statycznych (metoda Rayleigha). ved ved ω3, ω ω3, ω ω ved 3 3 3 Ostatecznie zaleŝność na moment bezwładności zedukowany na koło zębate o pomieniu pzyjmuje postać. m ed m + J + 3 + J J 3 3 3 7

0-06-0 Redukcja sił uogólnionych (sił i momentów sił). Siłą P zedukowaną na kieunek x (momentem zedukowanym na kieunek x) nazywamy taką siłę (taki moment siły), któa pzyłoŝona do członu edukcji daje moc chwilową ówną sumie chwilowych mocy uogólnionych sił edukowanych. Stąd wynikają zaleŝności: Zedukowana na podnoszony ładunek siła dana jest zaleŝnością. v ω ω3 Fed G + M + M ved ved ved Zedukowana pędkość pzy edukcji siły mechanizmu podnoszenia do ładunku dana jest zaleŝnością. ved v PRZYKŁAD. Dla układu pzedstawionego na ysunku naleŝy zedukować siły oaz momenty na podnoszony ładunek. W zadaniu, dane są bezwładności (G, M, M), pomienie kół zębatych (, ) oaz bębna (3) oaz pędkość kątowa silnika napędzającego (ω). Rys. Model mechanizmu podnoszenia suwnicy pomostowej Pędkości poszczególnych elementów mechanizmu podnoszenia dane są: ved ved ω3, ω ω3 3 3 ω ω v ed 3 Ostatecznie zaleŝność na siłę zedukowaną do ładunku pzyjmuje postać. Fed G + M + M 3 3 PRZYKŁAD. Dla układu pzedstawionego na ysunku naleŝy zedukować siły oaz momenty na koło zębate o pomieniu. Zedukowany na koło zębate o pomieniu moment dany jest zaleŝnością. Rys. Redukcja mechanizmu lub łańcucha kinematycznego v 3 M ed G + M ω + M ω ωed ωed ωed W ozpatywanym pzypadku pędkość edukcji, dana jest zaleŝnością. ωed ω Pędkości poszczególnych elementów mechanizmu podnoszenia dane są: ω ω, ω ω ω ed 3 3 v ω33 ω Ostatecznie zaleŝność na moment siły zedukowany na koło zębate o pomieniu pzyjmuje postać 3 M ed G + M + M ed ed Redukcja sztywności opiea się na zasadzie, Ŝe enegia potencjalna elementów spęŝystych układu mechanicznego spęŝystego, wynikająca z pzemieszczeń (postępowych i obotowych) jego członów masowych, powinna być ówna w kaŝdej chwili uchu enegii potencjalnej elementów spęŝystych zedukowanych. PRZYKŁAD. Dokonać edukcji sztywności układu na wał i. Opieając się na tej zasadzie, w ozpatywanym pzykładzie (ys. a) otzyma się: dla edukcji sztywności c na wał (ys. c) dla edukcji sztywności c na wał (ys. b) 8

0-06-0 Redukcji opoów tłumienia dokonuje się wg zasady, Ŝe moc tacona w elementach układu mechanicznego spęŝystego-tłumiącego ówna się w kaŝdej chwili uchowi mocy taconej w odpowiednich elementach tłumiących zedukowanych. PRZYKŁAD. Zedukować na wał współczynnika tłumienia k Uwzględniając, Ŝe otzyma się skąd Moc tacona elementu tłumiącego k wynosi Waunki edukcji na wał współczynnika tłumienia k3 Układanie ównań uchu układów mechanicznych W dynamice układów mechanicznych ównania uchu opisują uch punktu mateialnego, ciała lub mechanizmu pod działaniem sił. Są modelem matematycznym ozwiązania II zadania dynamiki, tzn. pozwalają wyznaczyć paamety uchu, gdy znane są siły powodujące uch. Są nazywane dynamicznymi ównaniami uchu, w odóŝnieniu od kinematycznych ównań uchu, na podstawie któych moŝna wyznaczyć siły powodujące zadany uch (I zadanie dynamiki). Dynamiczne ównania uchu układów dysketnych są ównaniami óŝniczkowymi zwyczajnymi -go zędu liniowymi lub nieliniowymi. Zasada d Alembeta. W czasie uchu dowolnego układu punktów mateialnych (układu mechanicznego sztywnego lub układu spęŝysto-tłumiącego) siły zeczywiste zewnętzne działające na punkty tego układu (masy skupione) ównowaŝą się z siłami bezwładności, a więc Równania Lagange a II-go odzaju wywodzą się z zasady pacy pzygotowanej d Alembeta-Lagange a, któa w słownym sfomułowaniu bzmi: waunkiem niezbędnym i wystaczającym aby układ sił czynnych i bienych (eakcji więzów) oaz sił bezwładności w kaŝdej chwili uchu czynił zadość waunkom ównowagi, jest aby suma pac pzygotowanych wszystkich tych sił pzy odpowiadających im pzemieszczeniach witualnych ównała się zeu. We wzoach powyŝszych pzyjęto oznaczenia: Matematyczny zapis tej zasady wyaŝa się ównaniem Dla układów o wielu stopniach swobody ównania Lagange a II-go odzaju mogą mieć dwojaką postać: Enegia kinetyczna (E k ) enegia uchu ciał wchodzących w skład układu mechanicznego. Enegia kinetyczna ciała sztywnego wykonującego uch postępowy z pędkością v wynosi: lub pzy czym j,,..., n, co oznacza, Ŝe dla układu o n stopniach swobody liczba ównań wynosi n. Enegia kinetyczna ciała sztywnego wykonującego uch obotowy z pędkością kątową względem jednej z głównych osi bezwładności wynosi: 9

0-06-0 Twiedzenie Koeniga. Enegia kinetyczna ciała sztywnego ówna się sumie enegii kinetycznej uchu postępowego śodka masy i enegii kinetycznej uchu obotowego wokół śodka masy ciała. Enegia potencjalna (ciała, układu ciał) część enegii mechanicznej (poza enegią kinetyczną) związana ze zmianą wymiaów lub postaci ciała w wyniku odkształceń spęŝystych, zmianą wzajemnego połoŝenia ciał wchodzących w skład układu bądź oddziaływaniem innych układów lub pól fizycznych (gawitacyjnych, elektycznych, magnetycznych). Enegia potencjalna jest funkcją połoŝenia; jej watość w danym stanie ciała lub układu ówna się pacy zewnętznej, jaką tzeba wykonać, Ŝeby zmienić połoŝenie od okeślonego stanu początkowego, w któym pzyjmuje się zeowy poziom enegii potencjalnej (E 0). Enegia potencjalna liniowego elementu spęŝystego o sztywności c wynosi Dyssypacja enegii mechanicznej zjawisko nieodwacalne powstawania enegii cieplnej podczas uchu układów zeczywistych w wyniku działania opoów tacia. Funkcja dyssypacji (Rayleigha) funkcja intensywności pocesu dyssypacji enegii, ówna połowie enegii mechanicznej E D ozposzonej w jednostce czasu t Gdy siły opoów tacia zaleŝą liniowo od pędkości uogólnionych, funkcja dyssypacji jest jednoodną funkcją kwadatową pędkości uogólnionych PRZYKŁAD Dla modelu pzedstawionego na ysunku wyznaczyć ównania uchu. Rys. Model badanego układu Rys. Model układu waz ze współzędnymi uogólnionymi Rys. Model układu waz ze współzędnymi pomocniczymi Enegia kinetyczna układu E J + my ( & ϕ & ) Enegia potencjalna układu V c y + c y Równania więzów ( ) y y ϕl y y + ϕl Po uwzględnieniu ównań więzów enegia potencjalna układu wynosi V c ( ) ( y ϕ l yϕ l c y ϕ l yϕ l ) + + + + Dla kolejnych współzędnych E d E my& ; my && y& dt y& E d E J & ϕ ; J&& ϕ & ϕ dt & ϕ V c y c l ϕ + c y + c l ϕ y V c l ϕ c l y + c l ϕ + c l y ϕ Ostatecznie otzymano dwa ównania óŝniczkowe my && + c y cl ϕ + c y + clϕ F J&& ϕ + cl ϕ cl y + clϕ + cl y Fl3 PRZYKŁAD Podczas wyznaczania ównań uchu maszyny, maszynę zeczywistą zastępuje się modelem (najczęściej złoŝonym z elementów sztywnych), któy otzymuje się dogą edukcji mas. PRZYKŁAD Rozpatzymy mechanizm zedukowany do członu obotowego o momencie bezwładności Θ (łącznie z winikiem silnika), napędzanego momentem czynnym M c z pędkością kątową ω obciąŝonego momentem M ob. Rys. Model układu Rys. Model dynamiczny mechanizmu zedukowanego do członu napędzającego obotowego 0

0-06-0 Równanie d Alembeta takiego modelu ma postać Ostatecznie uzyskuje się ównanie uchu Równanie Lagange a II odzaju układamy dla ogólnego pzypadku, gdy moment bezwładności jest funkcją dogi kątowej φ. Składniki ównania Lagange a będą następujące JeŜeli to ównanie to spowadza się do postaci ównania otzymanego na podstawie zasady d Alambeta. JeŜeli w ównaniu dokonać pzekształcenia to otzymamy ównanie Analogicznie postępuje się, jeŝeli maszyna zostanie zedukowana do modelu wykonującej uch postępowy. Rys. Model wykonujący uch postoliniowy RóŜnica pomiędzy zedukowaną siłą czynną a zedukowaną siłą bieną nazywa się zedukowaną siłą esztkową F F F Kozystając z zaleŝności na elementany pzyost enegii, wypowadza się ównanie uchu maszyny. C B Wpowadzając wyaŝenie na enegię kinetyczną do ównania uchu otzymuje się ównanie uchu maszyny. d FC FB ( med x& ) dx dx& x& dm FC FB med x& + dx dx dx& x& dmed FC FB med + dt dx Stosując ównania uchu maszyny, pomija się opoy oaz zakłada występowanie enegii kinetycznej. ed med x& FC dx FB dx dek, EK Chaakteystyki dynamiczne Zastosowanie tansfomacji Laplace a umoŝliwia pzekształcenie ównania óŝniczkowego do ównania algebaicznego. Pocedua wykozystująca pzekształcenie Laplace a składa się z następujących etapów: ównanie óŝniczkowe w dziedzinie czasu opisuje elację pomiędzy wielkością wejściową a wielkością wyjściową, ównanie óŝniczkowe zostaje poddane pzekształceniu Laplace a, stając się ównaniem algebaicznym, w celu wyznaczenia poszukiwanego ównania dla funkcji wyjściowej w postaci opeatoowej, stosuje się zwykłe metody algebaiczne, otzymana w taki sposób tansfomata Laplace a funkcji na wyjściu, jest następnie poddawana odwotnemu pzekształceniu Laplace a, otzymując ostatecznie poszukiwaną funkcję wielkości wyjściowej w dziedzinie czasu. W celu uposzczenia zapisu oaz ułatwienia pzekształceń liniowych ównań óŝniczkowych wpowadza się zapis opeatoowy. 0 st X ( s) x( t) e dt

0-06-0 Rachunek opeatoowy, bo tak ównieŝ nazywane jest pzekształcenie Laplace a umoŝliwia ozwiązanie ównania óŝniczkowego pzy zeowych waunkach początkowych. Pzekształcenie Laplace a sumy (óŝnicy) dwóch funkcji jest ówne sumie (óŝnicy) pzekształceń Laplace a. L [ y( t) + x( t) ] Y ( s) + X ( s) Badzo waŝnymi i istotnymi pzekształceniami opeatoowymi są pzekształcenia óŝniczkowania. dx L ( ) ( ) sx s X 0 dt d x dx L s X ( s) sx( 0) ( 0) dt dt n n d x n n dx d x L s X ( s) s x( 0) ( 0) K ( 0) n n dt dt dt Pzekształcenie Laplace a dla całkowania t L x( t) dt X ( s) s 0 Funkcja czasu x(t) zwykło się nazywać oyginałem. W modelowaniu układów dynamicznych pzekształcenie Laplace a, jest stosowane do pzedstawienia w postaci opeatoowej chaakteystyk dynamicznych opisujących własności liniowych modeli matematycznych. Własności pzekształcenia Laplace a: Chaakteyzuje w sposób najbadziej zwięzły i jednoznaczny układ. Infomuje jednocześnie o stuktuze ównań dynamicznych układu, UmoŜliwia ozwiązanie ównań óŝniczkowych, dogą algebaicznych pzekształceń, UmoŜliwia w posty sposób wyznaczenie chaakteystyki dynamicznej układu na podstawie chaakteystyk dynamicznych elementanych układów. Iloaz tansfomaty Laplace a odpowiedzi układu do tansmitancji wymuszenia, pzy zeowych waunkach początkowych nazywa się tansmitancją opeatoową, niekiedy tansfomatą admitancji, funkcją pzejścia. m m X ( ) ( s) bs + bs + K+ bm s + bm G s n n Y( s) as + as + K+ an s + an W wyniku podstawienia jω za opeato Laplace a s, otzymuje się tansmitancję widmową nazywaną ównieŝ chaakteystyką dynamiczną. Tansmitancja widmowa G(jω) z tansmitancją opeatoową G(s) układu dynamicznego jest związana zaleŝnością: G( jω ) G( s) s jω Tansmitancję widmową otzymuje się bezpośednio z definicji tansmitancji opeatoowej i tansmitancji widmowej po uwzględnieniu, Ŝe pzekształcenie Fouiea, jest szczególnym pzypadkiem s jω pzekształcenia Laplace a. m m X ( ) ( jω ) b ( jω ) + b ( jω ) + K+ bm ( jω ) + bm G jω n n Y( jω ) a ( jω) + a( jω ) + K+ an ( jω ) + an Współczynniki wielomianów licznika i mianownika, są zdefiniowanymi popzez ównania óŝniczkowe. X ( ) ( jω ) ( s ˆ ω )( s ˆ ω ) K( s ˆ ωm )( s ˆ ωm ) G jω Y( jω) ( s ω )( s ω ) K( s ω )( s ω ) Miejsca zeowe wielomianu licznika chaakteystyki dynamicznej nazywane są zeami i epezentują częstotliwości antyezonansowe, natomiast piewiastki mianownika nazywa są biegunami i epezentują częstotliwości ezonansowe. n n Tansmitancja widmowa układów mechanicznych spęŝysto-tłumieniowych okeśla podatność układu na działanie sił wymuszających okesowo zmiennych w czasie, dlatego nazywa się ją podatnością dynamiczną. Znajomość tansmitancji widmowej umoŝliwia okeślenie liczbowych chaakteystyk dgań modeli, tj. amplitud dgań wymuszonych i częstości własnych. Tansmitancję widmową moŝna ozdzielić na część zeczywistą i uojoną: G( jω) P( ω) + jr( ω) lub zapisać w postaci wykładniczej j ( ) ( ) ( ω G jω A ω e ϕ ) Pzedstawienie tansmitancji widmowej na płaszczyźnie zmiennej zespolonej jest chaakteystyką amplitudowo-fazową (chaakteystyką Nyquista). Moduł tansmitancji widmowej jest nazywany chaakteystyką amplitudowoczęstotliwościową (a-cz) i opisuje ozkład amplitud dgań modelu w funkcji częstotliwości wymuszenia. G( jω) A( ω) P ( ω) + R ( ω) Chaakteystyka fazowo-częstotliwościowa (f-cz) pzedstawia zaleŝność kąta pzesunięcia fazowego φ(ω) między sinusoidalnym sygnałem wyjściowym i wejściowym w stanach stacjonanego wymuszenia, w funkcji częstości ω sygnału wymuszającego R( ω) ϕ( ω) actg P( ω) PRZYKŁAD Tansmitancja opeatoowa układu X( s) F( s) ms + cz Tansmitancja widmowa układu PRZYKŁAD X( jω ) F( jω ) mω + cz c m x Rys Model układu dgającego o jednym stopniu swobody F Równanie óŝniczkowe układu wynosi m&& x + cz x F ( t) Równanie algebaiczne (po pzekształceniach Laplace a i pzyjęciu zeowych watości początkowych) ms X ( s) cz X ( s) F( s) + c m x c F m x Rys. Model mechaniczny układu dgającego o dwóch stopniu swobody Równania óŝniczkowe układu wynoszą mx && + cx + c( x x ) F( t) mx && + c( x x ) 0

0-06-0 Równanie algebaiczne (po pzekształceniach Laplace a i pzyjęciu zeowych watości początkowych) ( ms + c) X( s) cx ( s) F ( s) ( ms + c) X ( s) cx( s) 0 Tansmitancje widmowe układu X( jω ) mω + c X ( jω ) c 4 4 F( jω ) m ω 3mcω + c F( jω ) m ω 3mcω + c PRZYKŁAD x x x3 c m c m c m c F Rys. Model mechaniczny układu dgającego o tzech stopniach swobody Rys. Chaakteystyki dynamiczne układów mechanicznych W odniesieniu do napędowych silników elektycznych stosuje się dwa sposoby wyaŝania chaakteystyk: ilościowa zawieająca zestaw paametów uządzenia, funkcyjna wyaŝona wzoami matematycznymi, wykesami lub tablicami. Podstawowe paamety silników elektycznych obotowych, waŝne z punktu widzenia dynamiki napędu, obejmują następujące wielkości: Silniki elektyczne Rodzaje silników elektycznych w napędach maszyn. Chaakteystyki funkcyjne silników elektycznych, zamieszczone w katalogach wytwóców najczęściej w postaci wykesów, mogą być następujące: chaakteystyka mechaniczna silnika, pzedstawiająca zaleŝność momentu obotowego ozwijanego pzez silnik, w óŝnych waunkach pacy, od pędkości obotowej (lub kątowej), chaakteystyka wykozystania mocy napędowej, podająca moc, jaką silnik moŝe ozwinąć długotwale lub w okeślonych pzedziałach czasu (pzeciąŝenia), w zaleŝności od pędkości obotowej, chaakteystyka cieplna (dopuszczalna tempeatua uzwojeń, czas nagzewania do tempeatuy ustalonej), chaakteystyka spawności (śedni współczynnik spawności lub zaleŝność spawności od pędkości obotowej pzy óŝnym stopniu wykozystania dysponowanej mocy). Wielkościami wejściowymi silnika elektycznego są: napięcie U, częstotliwość i natęŝenie pądu I w uzwojeniach silnika, a wielkościami wyjściowymi pędkość obotowa n (kątowa ω) i moment obotowy M (moment elektomagnetyczny) działający na winik. Napięcie i częstotliwość pądu wpływają bezpośednio na pędkość obotową, a natęŝenie pądu na moment obotowy. 3

0-06-0 Silniki asynchoniczne tójfazowe z winikiem klatkowym, jednostopniowe (jednobiegowe). Chaakteystykę mechaniczną silnika wypowadza się z następującego uposzczonego modelu: Moc wiującego pola magnetycznego Moc pzenoszona na winik Staty mocy w uzwojeniu winika Z bilansu mocy pędkość kątowa wiującego pola magnetycznego, pędkość kątowa winika, ezystancja w obwodzie winika, pąd w winiku (watość skuteczna). Ściślejszą zaleŝność, uwzględniającą zjawiska indukcyjne, opisuje wzó Klossa: Wykes na ysunku pzedstawia chaakteystykę mechaniczną silnika dla danego napięcia zasilania (zwykle znamionowego). wynika magnetycznego. poślizg winika względem wiującego pola Rys. Chaakteystyka mechaniczna silnika tójfazowego pądu pzemiennego Mk moment kytyczny (pzechyłowy), sk poślizg kytyczny Na stabilnej (z pawej stony s k ) części chaakteystyki, pzy małych poślizgach wzó Klossa upaszcza się do postaci: co oznacza, Ŝe w pzedziale pędkości bliskich ω 0 chaakteystyka silnika asynchonicznego jest pędkościowo dość sztywna i zbliŝona do linii postej. W stanach nieustalonych, np. pzy ozuchu, winik silnika jest pzyspieszany momentem Stała czasowa, w odniesieniu do winika silnika taktowanego jako człon inecyjny, chaakteyzuje czas naastania pędkości kątowej winika po skokowym zadziałaniu momentu elektomagnetycznego M s const. JeŜeli winik silnika jest poddany działaniu opoów tłumienia o współczynniku k, to ównanie uchu winika będzie następujące Rozwiązaniem tego ównania pzy waunku początkowym ω(t 0) O jest funkcja wykładnicza Populaność silników asynchonicznych spowodowana jest następującymi zaletami: Dostępności sieci, któa eliminuje potzebę stosowania specjalnych zasilaczy, Bezpośedniego dostaczenia pądu do silnika bez konieczności kozystania z komutatoów, w ezultacie nie ma w silniku pądu pzemiennego elementów zuŝywających się mechanicznie w skutek tacia poza łoŝyskami, Małych gabaytów, Niezawodności działania, Dostępności na ynku, pzy stosunkowo niskiej cenie, DuŜej pzeciąŝalności. Rys. Model silnika pędkość kątowa w uchu ustalonym, stała czasowa mechaniczna (bezwładnościowa). Rys. Stałe czasowe układu mechanicznego silnika pzy występowaniu opoów tłumienia Jeśli w silniku nie występują opoy tłumienia, to ównanie uchu upaszcza się do postaci W katalogach silników stałą czasową odnosi się do pędkości kątowej ω omax i do momentu M omax w postaci Rys. Model silnika skąd dla waunków początkowych otzymuje się ozwiązanie Pocesy pzejściowe w obwodach elektycznych silnika, po skokowym pzyłoŝeniu napięcia U, chaakteyzuje stała czasowa elektyczna Stałą czasową jest wtedy czas, po upływie któego winik silnika osiągnie pędkość kątową uchu ustalonego indukcyjność obwodu stojana i twonika [H], ezystancja obwodu stojana i twonika [Ω]. Łączna stała czasowa silnika Mechaniczna stała czasowa silnika z dołączonymi masami napędzającymi (stała czasowa układu mechanicznego) Rys. Stałe czasowe układu mechanicznego silnika bez opoów tłumienia Θ n zedukowany na wał silnika moment bezwładności mas napędzanych pzez silnik. 4

0-06-0 Na skutek zmiennego chaakteu sił czynnych oaz bienych maszyny, któe uzaleŝnione są kinematycznymi właściwościami układu napędowego, moment napędowy silnika pzebiega w sposób pulsacyjny nawet podczas uchu ustalonego. Zmiany te są spowodowane pzede wszystkim zmiennością esztkowego momentu oaz zedukowanego momentu bezwładności w pzypadku układów wykonujących uch obotowy. Miaą tej zmienności jest nieównomieność biegu maszyny: ωmax ωmin ωmax ωmin δ ) ), ω + ω Badanie nieównomieności biegu maszyny oganicza się do uchu ustalonego, w wyniku czego ezygnuje się ze szczegółowego ozwiązywania ównań uchu. Badania oganicza się jedynie do okeślenia zaleŝności pędkości obotowej. Postępuje się tak, w pzypadku, gdy człony maszyny taktuje się jako ciała idealnie sztywne. Nieównomieność biegu maszyny Rys. Pzebieg pędkości obotowej maszyny podczas niejednoodnego biegu Watości współczynników nieównomieności biegu maszyny δ zaleŝą od wymagań stawianych maszyną. W wielu układach mechanicznych i elektomechanicznych stosuje się zalecenia, ustalone na dodze doświadczalnej. W tablicy zamieszczono watości współczynników nieównomieności biegu pzykładowych maszyn. Maszyna Pompy Obabiaki Silniki okętowe Silniki spalinowe SpęŜaki Geneatoy pądu Współczynnik nieównomieności biegu δ 5 50 5 50 0 50 80 50 50 00 00 300 NadwyŜka chwilowego momentu obotowego ponad jego watość śednią, ówną momentowi napędowemu, powoduje pzyspieszanie silnika, natomiast niedobó momentu napędowego powoduje pzyhamowanie silnika. Rys. Pzebieg zmienności momentu napędowego Wywołaną w ten sposób nieównomieność biegu maszyny niweluje się stosując koła zamachowe, któe gomadzą enegię kinetyczną w chwili nadwyŝki momentu napędowego i oddają ją w momencie niedobou. Dołączając do układu napędowego koło zamachowe, zakłada się stałość jego masowego momentu bezwładności. Bilans enegetyczny okeślający pacę, któa ma być akumulowana, pzyjmuje postać, któą otzymuje się w wyniku scałkowania ównań uchu maszyny. ϕmax L Mdϕ ϕmin ( J KZ + J ed )( ωmax ωmin ) Uwzględniając zaleŝność nieównomieności biegu maszyny otzymuje się ostatecznie L J + J ) ω δ ( KZ ed ) 5