Paca i enegia
Paca Paca jest jedną fom wymiany enegii międy ciałami. W pypadku, gdy na ciało będące punktem mateialnym diała stała siła F const oa uch ciała odbywa się od punktu A do B po linii postej be awacania to paca wykonana pe siłę F wyażasiępe ilocyn skalany wektoów siły i pemiescenia ciała W F FS cos α S Tylko składowa siły ównoległa do tou wykonuje pacę F F cos( α ) Paca wykonana pe siłę skieowaną postopadłe do tou ciała jest ówna eu F W 0 ( ) F S A Składowa postopadła α F α B Składowa ównoległa
Paca wykonana pe siłę skieowaną peciwnie do wektoa pemiescenia (np. paca siły tacia) jest ujemna W F FS cos ( ) < 0 F π FS Ogólnie paca jest ujemna gdy kąt międy wektoami F oa jest owaty π. α > Pacę będącą wielkością skalaną mieymy w dżulach J N*mkg*m /s. Dżul jest jednostką pochodną w układie SI. Dżul jest to paca wykonana pe stałą siłę o watości 1N py pemiesceniu ciała na odległość 1m w kieunku diałania siły
Paca stałej siły o stałej watości FF 0 stycnej do tou ciała o wocie godnym e wotem pemiescenia ciała F Paca takiej siły na dode o długości S k jest ówna anaconemu na ysunku polu postokąta na płascyźnie F S (siła-doga) F 0 W F0 S k s k S Gdy siła mienia się w takcie uchu ciała to wó obowiąuje tylko na infiniteymalnie kótkim odcinku dogi S, na któym można ałożyć iż siła jest stała. Paca wykonana na tym odcinku jest ówna dwfdsf S
Paca miennej siły stycnej do tou o wocie godnym e wotem pemiescenia ciała Paca wykonana na odcinku dogi o długości SS i+1 -S i Pole postokąta Całkowita paca Sumie pól postokątów Pole pod kywą F F 1 S s W Σ W i Σ F i (S i ) s (F 1 (S 1 )+F (S )+ ) S k s W S k 0 FdS
Całka onacona: b a b ( ) H( b) h( ) d H H( a) a py cym h( ) dh ( ) d Licby a i b onacają dolną i góną ganicę całkowania. W celu analitycnego oblicenia całki onaconej teba naleźć dowolną funkcję H() wana całką nieonaconą, któej pochodna jest ówna funkcji podcałkowej cyli achodi dh ( ) h( ) d a następnie okeślić watość tej funkcji dla gónej ganicy całkowania H(b) i odjąć watość tej funkcji dla dolnej ganicy całkowania H(a).,
Gdy f()>0 dla a<<b to całka onacona b a f ( ) d jest ówna anaconemu polu pod wykesem funkcji f() f () f () b a f ( ) d a b
Wybane całki nieonacone k d 1 k + 1 k + 1 + C k-stała k 1 sin 1 b ( b ) d cos( b) + C b-stała b 0 1 cos( b ) d sin( b) + C b b-stała b 0 C-stała dowolna Wybane własności całki [ ( ) g( ) ] d f ( ) d f + + g( ) d f(), g()- funkcje miennej kf ( ) d k f ( ) d k-stała k 0
Ogólny wó na pacę Kieunek uchu ciała F F F Γ F d l F F + F d l Gdy siła nie jest stycna do tou to można siłę ołożyć na siłę stycną do tou F i siłę postopadłą F do tou. Siła postopadła do tou nie wykonuje pacy, gdyż jest postopadła do wektoa pemiescenia. Pace wykonuje siła stycna do tou F W ogólnym pypadku paca wyaża W F dl się pe całkę kywoliniową wdłuż Γ tou uchu Γ d -wekto o niekońcenie kótkiej długości stycny do tou ciała o kieunku i wocie wynaconym pe wekto pędkości
Paca siły miennej py uchu ciała po linii postej ównoległej do osi OX F F Zakładamy iżuch ciała achodi po linii postej wynaconej pe ośox, a więc nieskońcenie małe pesuniecie ciała w tym uchu jest ówne dl di gdie i -weso wynacający wot osi OX Paca wykonana pe siłę F na takim pesunięciu jest ówna Paca wykonana py pesunięciu ciała od punktu A do B W B B dw F dl F di F i d A A i 0 F i dl di F i A A B A B A F d F ( ) F i F cos( α ) -składowa -owa wektoa siły (skala) v Fi ( F i ) i F cos( α )i -ut siły na oś OX (taktowany jako wekto stycny do tou ciała) F α F dw B B d F dl Wó słusny także gdy F <0 (α>π/) gdy F >0 ds
Siła spężystości i 0 < 0 F sp ki 0 F 0 sp > 0 F sp ki Według pawa Hooke a jeżeli wydłużenie (skócenie) spężyny nie jest byt duże to watość siły diałającej na ciało umiescone na końcu spężyny jest popocjonalna do wydłużenia (skócenia) spężyny, a jej wot jest skieowany w kieunku położenia ównowagi końca spężyny k-stała spężystości F sp ki
Paca siły spężystości (py wydłużeniu spężyny o d py pesunięciu jej końca punktu 0 do d) F sp ma dl peciwny wot niż Zwot dl godny e wotem i i 0 d F 0 0 sp > 0 F sp ki f ( ) k > 0 F sp kd 0 d 1 kd d kd 0 d f ( ) k Powiechnia akeślonego pola ówna polu tójkąta d W d d d d, ( ) sp Fsp d kd kd 0 0 0 0 1 d kd kd k 0 k d 0 d k < 0 d < 0 1 d k d 1 f ( ) d d k d 1 k k
Moc Moc śednia siły F wykonującej pacę W w peciągu casu t wyaża się woem : W P t Moc (chwilowa) siły F w chwili casu t : W t W( t + t) W( t) t dw dt F d dt ( ) lim lim F F( t) V( t) P t t 0 t 0 (V - pędkość ciała w chwili casu t ) Jednostka mocy jest W (wat) W J s d dt Ilocyn skalany wektoa siły i pędkości ciała będącego punktem mateialnym ( lub któego wsystkie punkty mają jednakową pędkość)
Zwiąek enegii kinetycnej pacą siły wypadkowej Enegia kinetycna ciała ależy od jego masy i pędkości Zmiana enegii kinetycnej ciała będącego punktem mateialnym podcas uchu jest ówna pacy W w wykonanej pe siłę wypadkową diałającą na to ciało ównej sumie pac wykonanych pe wsystkie siły diałające na ciało. Dla dowolnego ciała można okeślić w ten sposób mianę enegii kinetycnej w uchu postępowym. W uchu jednostajnie miennym po linii postej punktu mateialnego pod wpływem wypadkowej stałej siły stycnej do tou punktu mateialnego o wocie godnym e wotem pędkości Vkonc Vpoc mv mv konc poc Ww Fwyp S mas ma a W w Ekin, konc Ekin, poc Ekin Relacja słusna dla dowolnego uchu, nie tylko jednostajnie miennego i dowolnej oientacji siły oa kstałtu tou ciała S S Vpoc t + 1 at Vkonc Vpoc + E kin V ( t 0) V t V konc konc V a 1 mv a V poc V poc at poc
W c mgh>0 Paca siły ciężkości Ciało spada wysokości h pod wpływem siły ciężkości Zakładamy iż wysokość jest na tyle nieduża iż można pyjąć iż siła ciężkości nie ulega mianie w takcie uchu (pomijamy ależność pyspiesenia iemskiego od wysokości ) W W c c Fc F c cos( 0) α 0 F wyp F c F c Y p h h Y k 0 Gdy siła wypadkowa to E W mgh > 0 k c y
W c -mgh<0 Paca siły ciężkości Ciało wnosi się na wysokość h. Zakładamy iż wysokość jest na tyle nieduża iż można pyjąć iż siła ciężkości nie ulega mianie w takcie uchu (pomijamy ależność pyspiesenia iemskiego od wysokości ) W W c c Fc Y k h F cos( π ) F c c h α π Y p 0 Znak pacy py wnoseniu ciała jest peciwny niż w pypadku spadku ciała, a watość (bewględna) pacy jednakowa py ałożeniu iż doga pokonana pe ciało py spadku i wnoseniu jest jednakowa. F wyp F c Gdy siła wypadkowa to E W mgh < 0 V 0 kin c y
Siły achowawce j 1 Okeślamy pace siły ciężkości F c mg mgj py pesuwaniu ciała (punktu mateialnego) po dode A B C D y C WA B C D WA B + WB C + WC D D 0 mgh + 0 mgh po dode A D j A mg H B W A D mgh A B C D Paca siły ciężkości py pesuwaniu ciała po obu dogach jest jednakowa. Siła ciężkości jest siłą achowawcą Siłę naywamy achowawcą jeśli paca wykonana pe tę siłę py pesuwaniu ciała pomiędy dwoma punktami ależy tylko od położenia tych punktów, a nie ależy od tou po któym ciało się pousa. Paca siły achowawcej po toe amkniętym jest ówna eo. W W A B C D A WA B + WB C + WC D + WD A WA D WA D 0
Siły achowawce Siła ciężkości, gawitacyjna, elektostatycna, spężystości jest achowawca! Siły nie achowawce Pykłady: siła tacia siła opou powieta
Enegia encjalna Dla układu łożonego ciał (punktów mateialnych) oddiaływujących e sobą a pomocą sił achowawcych można wpowadić pojęcie enegii encjalnej ależnej od położenia wględnego tych ciał Zmianę enegii encjalnej układu ciał py pesuwaniu jednego ciał pomiędy punktami A i B można powiąać pacą wykonaną pe siłę achowawcą py pesuwaniu tego ciała pomiędy tymi punktami E E ( B) E ( A) W ( nak odwotny niż A B we woe na E kin ) W celu ustalenia watości enegii encjalnej pyjmuje się umowę w myśl któej, py pewnym ustalonym położeniu układu ciał enegia ta jest ówna eu.
Enegia encjalna wiąana e stałą siłą A F c mg m ciężkości (gconst) Paca siły ciężkości W A mgh 0 h W0 A mgh E ( A) E (0) W0 A WA 0 mgh O Założenie ( 0) 0 E E ( A) mgh
Enegia encjalna wiąana siłąspężystości d E ( d) E ( 0) Wsp, 0 d ( k ) k Zakładamy iż ( 0) 0 i 0 d E F 0 0 sp > 0 F sp kdi Dla enegii encjalnej E (,y,) de de de F i + j + k d dy d E ( ) k d Ogólnie ależy od wydłużenia (skócenia ) spężyny. Jest jednakowa py jednakowym wydłużeniu i skóceniu spężyny F sp de d ( ) i v ki
Siła gawitacyjna Siła gawitacyjna to siła pyciągająca diałająca międy ciałami obdaonymi masą. Dla ciał o symetii sfeycnej (punktów mateialnych) jest ona odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości międy śodkami tych ciał (odległości miedy punktami) M m mm mm F Mm G F G mm mm F F 3 11 Nm 11 m G G 6,673 10 6,673 10 Mm mm kg kgs Można pokaać iż siła gawitacyjna jest siłą achowawcą dlatego można dla układu ciał oddiałujących py pomocy tej siły wpowadić pojęcie enegii encjalnej
Enegia encjalna wiąana siłą gawitacyjną układu łożonego ciał o masach M i m W celu okeślenia miany enegii encjalnej układu py pesunięciu ciała o masie m punktu A do B można oblicyć pacę W A B wykonaną pe siłę gawitacyjną F G F mm diałającą na ciało o masie m py pesunięciu ciała międy tymi punktami Można pokaać iż paca ta nie ależy od tou po któym pesuwamy ciało o masie m i wyaża się woem E ( B) E ( A) W Widać iż enegia encjalna ależy tylko od óżnicy odległości od siebie śodków obu ciał o symetii sfeycnej (odległości międy punktami mateialnymi) A M A B m A 1 GMm B A 1 B B
1 E ( B ) E ( A ) GMm A Założenie E ( ) 0 E ( ) GMm Enegia encjalna jest ówna eu gdy ciała są oddalone nieskońcenie od siebie i oddiaływanie międy nimi maleje do ea. Enegia encjalna układu dwóch ciał oddiałujących siłą gawitacyjną jest ujemna i jest ona ówna pacy W W F F G siły ewnętnej py utwoeniu układu tych ciał dwóch ciał poostających pocątkowo w spocynku w nieskońconej odległości od siebie.
Zasada achowania enegii mechanicnej Układ naywamy iolowany gdy na ciała wchodące w skład układu nie diałają siły ewnętne. Zamkniętość układu onaca iż do układu tego nie dochodą jak ównież jego nie opuscajążadne ciała Załóżmy iż w układie iolowanym i amkniętym diałają tylko siły achowawce (np. siła gawitacyjna, ciężkości, spężystości, elektostatycna) ; suma wektoowa sił achowawcych diałających na ciało jest ówna sile wypadkowej diałającej na to ciało; WA B -paca siły wypadkowej py pesunięciu ciała punktu A do B. B Zmiana enegii encjalnej py pesunięciu ciała od A do B E ( B) E ( A) W A B v A A E kin Zmiana enegii kinetycnej Ekin ( B) + E ( B) Ekin( A) + E ( A) const E kin ( B) E ( A) ( B) E ( A) + E ( B) E ( A) W W kin A B kin A B W 0 A B
Zasada achowania enegii mechanicnej Enegia mechanicna iolowanego i amkniętego układu ciał, pomiędy któymi diałają wyłącnie siły achowawce wykonujące pacę, jest stała E + E kin const E kin suma enegii kinetycnych wsystkich ciał wchodących w skład układu E suma wsystkich odajów enegii encjalnej układu
Pykład. Wynacyć maksymalną pędkość wahadła pokaanego na ysunku. Ruch odbywa się w płascyźnie,y.zakładamy iż w sytuacji pokaanej na ysunku pędkość ciała umiesconego na końcu nici wahadła jest ówna eu y F wyp N F c h F N + wyp F c m 0,001kg h 0,10 m g 9,81m/s
Enegia mechanicna ciała E jest achowana ( siła ciężkości F c jest siła achowawcą, a siła naciągu nici N nie wykonuje pacy gdyż jest skieowana postopadle do tou uchu) E mv Ekin + E + mgy W chwili pocątkowej yh, V0 E E E Ekin mgh W najniżsym położeniu y0, VV ma m V ma const mgh m V ma V ma gh
Wykoystanie asady achowania enegii do wynacenia pędkości uciecki (II pędkości kosmicnej) Ciału o masie m najdującemu się na Ziemi nadajemy pędkość o watości V. Całkowita enegia ciała najdującego się tuż nad Ziemią jest ówna. E 1 mv G M m R W takcie wnosenia się ciała watość jego pędkości i enegia kinetycna maleje, natomiast ośnie enegia encjalna. Na maksymalnej wysokości na jaką ciało wniesie się nad Ziemię pędkość ciała maleje do ea, a ciało posiada tylko enegię encjalną M m E G ( R + h) Całkowita enegia ciała nie ulega mianie M m M m E 1 mv G R G R + h A atem pędkość jaką należy wyucić ciało Ziemi, aby osiągnęło wysokość h 1 1 GM ( ) V R R + h R Z V V M 0 Uwaga: Ze wględu na miany g wysokością nad Ziemią nie można do wynacenia enegii encjalnej stosować wou Emgh S Dasu
E II pędkość kosmicna odpowiada sytuacji, gdy wysokość na jaką wniesie się ciało stanie się nieskońcona h 1 1 GM V GM ( R R h) gr 11, km/ s + R Całkowita enegia mechanicna ciała wyuconego Ziemi dugą pędkością kosmicną jest ówna 1 M m M m M m mveu G G G 0 R R R g GM R g- pyspiesenie na powiechni Ziemi Pojęcie II pędkości kosmicnej (pędkości uciecki) można wpowadić ównież dla innych obiektów kosmicnych (planet, gwiad) obdaonych masą. Jest ona popocjonalna do masy obiektu M i odwotnie popocjonalna do jego pomienia R. V GM R S Dasu
Możliwe toy uchu pod wpływem gawitacyjnej siły centalnej. Załóżmy iż kulistosymetycne ciało masie M>>m (np. Ziemia, Słońce) jest nieuchome i siła gawitacyjna diałająca na ciało o masie m jest skieowana w kieunku śodka ciała o masie M cyli w kieunku stałego punktu w pesteni. Siłę o tej własności naywamy siłą centalną. W ogólnym pypadku to uchu ciała o masie m jest postą pechodąca pe śodek ciała o masie M lub kywą stożkową o postaci ależnej od 1 całkowitej enegii E układu ciał. Enegia E G Mm jest achowana mv co onaca iż wtedy gdy odległość miedy ciałami maleje to V ośnie). M F G m Elipsa lub okąg E<0 Paabola E0 Hipebola E>0 elipsa hipebola
Ruch ciała o masie m wokół nieuchomego ciała o masie M>>m (np. satelity wokół Ziemi) po obicie kołowej Roważmy scególny pypadek uchu w któym uch ciała o masie m achodi po obicie kołowej. Wówcas siła gawitacyjna pełni olę siły dośodkowej. F d F G V GM mv GMm R M V m E mv GMm 1 kin E E GMm E Mm E + E G const < 0 kin enegia całkowita
I pędkość kosmicna I pędkość kosmicna ( pędkość skieowana ównolegle do powiechni iemi jaką należy nadać ciału na powiechni Ziemi w celu umiescenia go na obicie okołoiemskiej o pomieniu ównym pomieniowi iemi R 6371 km) GM GM V R gr R R 7,9km / g GM R m masa ciała pousającego się wokół Ziemi M -masa Ziemi, R - pomień Ziemi Gdy pędkość nadana ciału będie mniejsa od V I to ciało spadnie na Ziemie Gdy ciału nadamy pędkość więksą od piewsej pędkości kosmicnej ale mniejsą od dugiej pędkości kosmicnej to będie ono pousało się wokół Ziemi po obicie w kstałcie elipsy. s M R V m
Zmiany enegii mechanicnej wiąane pacą sił nieachowawcych Enegia mechanicna układu ciał (nawet iolowanego i amkniętego) pomiędy któymi diałają siły nieachowawce (np. tacia, lepkości) wykonujące pacę nie jest stała. Paca wykonana pe siłę tacia w takcie pesuwania ciała po powiechni jest ujemna i powadi do mniejsenia enegii mechanicnej układu o watość bewględną wykonanej pacy. Siły nieachowawce diałają także m.in. w takcie deeń niespężystych miedy ciałami. Całkowita paca siły wypadkowej w układach w któych diałają siły nieachowawce W W + W w C NC W w paca sił achowawcych paca sił nieachowawcych WC + WNC Ek WNC Ek WC W WNC Ek + E p E C E p
Uogólnienie pojęcia enegii mechanicnej. Dotychcas oważana enegia mechanicna ciał makoskopowych nie jest jedyną fomą enegii, jaką może posiadać układ ciał. Paca sił tacia (będących siłami nieachowawcymi) międy makoskopowymi ciałami wchodącymi w skład układu powadi do pemiany enegii mechanicnej ciał makoskopowych na inne fomy enegii (np. na enegie kinetycną wiąaną uchem cąstek, atomów twoących analiowane ciała i cąstek otocenia, co skutkuje wostem tempeatuy tych ciał i tempeatuy otocenia). Gdybyśmy wsystkie te cąstki taktowali jako ciała makoskopowe to ich całkowita enegia mechanicna nie ulegała by mianie. Z uwagi na bado dużą ilość cąstek, któe by teba opisywać takie podejście jest niewygodne (ponadto py opisie obiektów bado małych pestają obowiąywać pawa mechaniki klasycnej i teba do ich opisu stosować mechanikę kwantową). Do opisu układów łożonych bado wielu obiektów stosujemy pojęcia i teminy wpowadone pe temodynamikę. Układ taki będiemy naywać układem temodynamicnym, a jego enegie nie będącą enegią mechanicną ciał makoskopowych naywamy enegią wewnętną. Jest ona funkcją stanu układu. Ponadto enegia mechanicna może ulegać mianie na inne fomy enegii, np. ciało obdaone ładunkiem elektycnym pousające się nieeowym pyspieseniem emituje fale elektomagnetycne, któymi wiąana jest ównież pewna enegia pola elektomagnetycnego. Enegia mechanicna może ulegać także pemianie na enegie chemicną w eakcjach chemicnych, a także na enegie spocynkową w eakcjach jądowych w któych następuje miana masy.
Zasada achowania enegii całkowitej. Enegia całkowita amkniętego i całkowicie iolowanego od otocenia układu ciał, któy nie wymienia enegii otoceniem w żadnej postaci, nie mienia się w casie. Enegia może być pekstałcana jednej fomy w inną, ale nie może być wytwaana ani niscona. Pe enegię całkowitą oumie się sumę wsystkich fom enegii jakie może ten układ i ciała wchodące w jego skład posiadać