Fizyka dla Informatyki Stosowanej

Transkrypt

1 Fiyka dla nfomatyki Stosowanej Jacek Golak Semest imowy 018/019 Wykład n 1

2 Na ostatnim wykładie wkocyliśmy w magnetym, omawiając Definicję pola magnetycnego (wó Loenta) Linie pola magnetycnego Siłę diałającą w polu magnetycnym na pewodnik pądem Definicję ampea Cęść ysunków apożycyłem wykładu pofesoa Reinhada Kulessy.

3 Jak licyć indukcję pola magnetycnego? Mówi o tym pawo Biota-Savata: indukcja magnetycna liniowego pądu stałego (płynącego w cienkim pewodniku) w postaci kontuu Γ licona w punkcie P wynosi ' O dl B( ) ' 0 db 3 4 P dl ' ' 0 to penikalność magnetycna póżni (dana dokładnie dięki definicji ampea) N A

4 Ważny pykład: fagment postoliniowego pewodnika, w któym płynie pąd o natężeniu. Wybieamy układ współędnych tak, by pewodnik leżał na osi. ndukcję magnetycną wynacamy w odległości s od pewodnika. dl :{ x' 0, y' 0, ' s tan, [ 1, ]} ' ( x', y', ' ) dx' dy' d' s dl,, d 0,0, d d d d cos O ' s 1 P x ( s,0,0) ' ( s,0, s tan )

5 sin sin 4 cos 4 cos cos 4,0,0) ( cos ' (0,1,0) cos ' 1 1 s d s d s s s B s d s dl y Pole B ma tylko składową w kieunku osi y Dla nieskońconego postoliniowego pewodnika mamy s s B y,0,0) (, 0 1

6 Policymy tea kążenie pola B po okęgu o pomieniu, któy leży w płascyźnie postopadłej do pewodnika i ma śodek na pewodniku dl B dl B K B dl 0 0 dl K 0 Wynik nie ależy od pomienia

7 Ze wględu na to, że pole B ma tylko składową tanswesalną i mienia się jak 1/ odległością od pewodnika pądem, wynik nie ależy od kstałtu kontuu K! B B dl 0 K 1 B

8 B dl 0 K c Dalse uogólnienia są możliwe: Możemy oważyć wiąkę pewodów postoliniowych, w któych płyną pądy o óżnych natężeniach. Każdy pewodnik otacany pe kontu K daje wkład do kążenia pola B. Pewodnik, któego kontu nie obejmuje, nie daje żadnego wkładu.

9 Tea bieemy wó B dl 0 K i pekstałcamy go, koystając twiedenia Stokes a na całkę po powiechni S opiętej na kontue oa apisując całkowity pąd c w postaci całki gęstości pądu. S B B ds j 0 0 S c j ds Ten wó jest słusny ogólnie, chociaż oważaliśmy tylko nieskońcenie długie postoliniowe pewodniki pądem!

10 1 3 4 K Uwaga: W sytuacji pedstawionej na ysunku nak 5 jest ujemny! 5 K B dl 0 B 0 j n n Pawo Ampee a w postaci całkowej oa pawo Ampee a w postaci óżnickowej Słusne dla pądów stałych!

11 Z ogólniejsej fomy pawa Biota-Savata, w któej statujemy badiej ealistycnych pądów objętościowych ) wynika duga paa ważnych woów: S B ds B 0 0 Dla natężenia pola elektycnego mieliśmy Całkowity stumień indukcji magnetycnej po dowolnej powiechni amkniętej wynosi eo! Dywegencja indukcji magnetycnej wynosi eo! Pole magnetycne jest beźódłowe! E Linie pola elektostatycnego acynają się na dodatnich ładunkach, a końcą na ładunkach ujemnych. Linie pola magnetycnego nigdie się nie acynają i nigdie się nie końcą. Nie istnieją punktowe źódła dla indukcji magnetycnej! 0

12 W scególności pełamując magnes stabkowy nie dostaniemy osobnych kawałków biegunem północnym i południowym N S N S N S

13 Potencjał wektoowy W elektostatyce mieliśmy nikanie otacji natężenia pola elektycnego E 0, więc mogliśmy wpowadić potencjał skalany taki, że E V. V 0. Zachodi bowiem dla dowolnego pola skalanego (Rotacja gadientu wynosi eo.) W magnetostatyce mamy kolei B 0, więc możemy skoystać twiedenia (dywegencja otacji wynosi eo) 0. A

14 Wpowadamy potencjał wektoowy o tej własności, że Zachodi wtedy B A, A 0. B A j, A cyli dostajemy jakby ty (bo ty składowe) ównania Poissona! 0 0 A A j 0

15 Pe analogię elektostatyką możemy podać owiąania w postaci 0 j( ') A( ) d ' 4 ' pąd objętościowy, na pykład w gubym ealistycnym pewodie 0 K( ') A( ) d S' 4 ' S pąd powiechniowy 0 A( ) 4 dl ' ' pąd liniowy w cienkim pewodniku Te woy mają astosowanie dla pądów nikających w nieskońconości, cyli oganiconych pestennie.

16 Odpowiedniki! Elektostatyka Magnetostatyka Pawo Coulomba Pawo Gaussa Symetia powala na wykoystanie pawa Gaussa w następujących pypadkach: nieskońcona jednoodnie naładowana powiechniowo płascyna jednoodnie naładowany walec (powiechnia bocna walca, nić) Jednoodnie naładowana kula (sfea) Pawo Biota-Savata Pawo Ampee a Tak, jak pawo Coulomba: awse pawdiwe, ale nie awse pydatne do wynacenia indukcji magnetycnej! Symetia powala na wykoystanie pawa Ampee a w następujących pypadkach: nieskońcone postoliniowe pewodniki pądem (gube i cienkie) nieskońcone płascyny pądem nieskońcone solenoidy tousy

17 Scególnie ważnym pypadkiem wykoystania pawa Ampee a jest oblicenie indukcji magnetycnej (nieskońcenie długiego) solenoidu w kstałcie walca, na któy ciasno nawinięto pewodnik pądem. Taki solenoid jest odpowiednikiem kondensatoa płaskiego w elektostatyce i służy do wytwoenia jednoodnego pola magnetycnego! W paktyce pole jest jednoodne nawet dla solenoidu o skońconej długości, jeśli jesteśmy dala od jego końców. Pąd płynie po okęgach leżących w płascynach postopadłych do osi solenoidu. Kontu całkowania stanowią boki postokąta abcd. Pole B jest ównoległe do osi solenoidu i nika poa solenoidem, więc K B dl BL nl B 0 c 0 0 n n jest licbą wojów na jednostkę długości

18 Pole skońconego solenoidu jest badiej skomplikowane

19 Zastosujemy tea pawo Biota-Savata do policenia indukcji magnetycnej pochodącej od kołowej pętli i pomieniu R pądem o natężeniu, leżącej w płascyźnie xy i mającej śodek w pocątku układu współędnych. Pole B policymy a osi (bo tylko w tych punktach dostaniemy wynik analitycny ) :{ x' R cos, y' Rsin, ' 0, [0, ]} y ' x ' Kieunek natężenia pądu mus się gadać paametyacją kywej!

20 ,0, ) (0,0, 4 ), sin, cos ( 4 ) (0,0, ), sin, cos ( ' ' ), sin, cos ( ' ) (0,0,,0 cos, sin ', ', ',0) sin, cos ( ' R R R R d R R R R B d R R R dl R R R d R R d d d d dy d dx dl R R

21 To był wynik analitycny dla punków należących do osi. Dla innych punktów możemy dostać wynik analitycny py ałożeniu, że jest nacnie więkse od R. 5 0,,3 3 4 ),, ( y x y x y x R y x B x y O

22 Moglibyśmy też astosować pawo Biota-Savata do policenia indukcji magnetycnej pochodącej od kwadatowej pętli o boku a pądem o natężeniu, leżącej w płascyźnie xy i mającej śodek w pocątku układu, a boki ównoległe do osi układu współędnych. W tym pypadku pole B możemy policyć dokładnie w dowolnym punkcie poa amką pądem! y a O x a Wynik w dużej odległości od obwodu pądem byłby bado podobny. Zamiast πr, mielibyśmy a.

23 Zupełnie analogicny wynik otymaliśmy na natężenie pola elektycnego pochodącego od dipola elektycnego, cyli dwóch ładunków o tej watości bewględnej, ale o peciwnych nakach, umiesconych w odległości L od siebie E( x, y, ) LQ 4 0 3x,3y, x 5 x y y x -Q Q y O

24

25 W takim aie napotykamy kolejny odpowiednik tego, co mieliśmy w elektostatyce y x p -Q O Q QL y x O m S Dipol elektycny (dwa ładunki punktowe peciwnego naku) Dipol magnetycny (obwód pądem, niekoniecnie płaskim) elektycny moment dipolowy magnetycny moment dipolowy

26

27

28

29

30 Polecam notebooki, któe awieają kompletne pelicenia: dipol_elektycny_i_magnetycny_owiniecie.nb kwadatowa_amka padem_dipol_magnetycny.nb tojkatna_amka padem_dipol_magnetycny.nb lamana_kwadatowa_amka padem_dipol_magnetycny.nb dipol_elektycny_i_magnetycny_owiniecie_poa_xy.nb

31 Dalse analogie widocne w achowaniu dipola magnetycnego umiesconego w jednoodnym polu magnetycnym. Na obwód pądem w jednoodnym polu magnetycnym nie diała żadna wypadkowa siła F dl B dl B Siła wypadkowa jest ówna eo, ale wypadkowy moment siły jest óżny od ea i powoduje obót amki pądem tak, by magnetycny moment dipolowy ustawił się godnie kieunkiem pola B 0 0 m B M m moment siły B

32 Dipol swobodny ustawia się ównolegle do wektoa indukcji magnetycnej Aby obócić dipol, należy wykonać pacę! Dipol w jednoodnym polu magnetycnym posiada więc enegię potencjalną, V=V(ϕ), ależną od ustawienia jego momentu dipolowego wględem wektoa indukcji magnetycnej : V () m B Licne astosowania w technice: np. silniki elektycne na pąd stały Dipol magnetycny w niejednoodnym polu magnetycnym W tym pypadku nie tylko wypadkowy moment siły, ale także sama wypadkowa siła jest óżna od ea! Dla małych omiaów dipola możemy apisać wypadkową siłę w py pomocy opeatoa nabla: F m B Dipol jest wciągany w obsa silniejsego pola magnetycnego

33 W pypadku elektostatyki dipol elektycny był podstawowym pojęciem py omawianiu pola elektycnego w mateii! Mateia (dielektycna) w polu elektycnym stanowiła bió dipoli, któe kolei wytwaały pole elektycne. W pypadku magnetostatyki jest podobnie. W mateii można naleźć momenty magnetycne!

34 Momenty magnetycne atomów i jąde atomowych Roważmy najpiew klasycny model atomu wodou: wokół dodatnio naładowanego potonu kąży po obicie kołowej elekton o masie m e. L v + m Możemy pyjąć, że pe obitę płynie pąd o natężeniu ładunek/okes: m ev, a (obitalny) moment magnetycny elektonu wynosi: ev 1 ev

35 Kążący po obicie elekton posiada moment pędu ówny: L m v e Możemy więc magnetycny obitalny moment dipolowy napisać jako: m e m e L, e 0 W mechanice kwantowej ut wektoa L na dowolny kieunek (np. oś ) pybiea watości nieciągłe, cyli skwantowane! stała Plancka L m l, m h l 0, 1,, J s (h keślone) elementany kwant obitalnego momentu pędu

36 W takim aie magnetycny obitalny moment dipolowy też jest skwantowany i pyjmuje watości m L B e m e m e e e me 4 B m Am Bado niewykłe jest to, że punktowy elekton ma także własny (tw. spinowy) moment pędu, któego ut na dowolny kieunek (np. oś ) pybiea tylko dwie watości: l magneton Boha L s m s, m s 1

37 Magnetycny spinowy moment dipolowy też jest skwantowany i pyjmuje watości m spin g s e me m s B dodatkowy cynnik (histoia fiyka: Pauli, Diac, QED) Tak samo jest dla innych leptonów, mionu i taonu! Jakie są spinowe momenty magnetycne składników jąde atomowych? Rut spinowego momentu pędu potonu i neutonu na dowolny kieunek (np. oś ) pybiea, tak jak dla elektonu, tylko dwie watości: ±½! Odpowiednikiem magnetonu Boha jest magneton jądowy: N e m p Am masa potonu

38 Magnetycny moment dipolowy potonu mpot.79 N Magnetycny moment dipolowy neutonu mneut 1.91 N Te watości wskaują na to, że poton i neuton budowane są badiej elementanych składników kwaków! Momenty magnetycne jąde wynikają własnych momentów magnetycnych potonów i neutonów oa uchu wględnego nukleonów!