Pdstwwe widmści ukcjch W cłści mteriłu będą bwiązwć stępujące zczei R - zbiór liczb rzeczwistch Z - zbiór liczb cłkwitch N - zbiór liczb turlch Niech X i Y będą dwlmi iepustmi zbirmi Deiicj dwzrwi Odwzrwiem zbiru X w zbiór Y ukcj dwzrwując zbiór X w zbiór Y zwm przprządkwie kżdemu elemetwi zbiru X dkłdie jede elemet zbiru Y : X Y,, X, Y - rumet ukcji, X - dziedzi ukcji : X Y, - wrtść D ukcji dl rumetu Zbiór PD Y elemetów Y przprządkwch w dwzrwiu elemetm X zwm przeciwdziedzią zbirem wrtści te dwzrwi Tz PD Y : istieje X tkie, że Zbiór W X Y kreśl w stępując spsób W, : X, zwm wkresem ukcji : X Y Odwzrwie pdzbirów zbiru liczb rzeczwistch R tz d X R i Y R zwm ukcją rzeczwistą zmieej rzeczwistej lub krótk ukcją Fukcje rzeczwiste zmieej rzeczwistej Wkłd będzie pświec ukcją rzeczwistm zmieej rzeczwistej czli ukcją Niech : X Y, X R i Y R będzie ukcją Fukcję zwm różwrtściwą zbirze A X jeżeli dl kżde, A i, t, tz dl kżde, A Gemetrczie zcz t, że dwl prst rówleł d si OX przeci wkres ukcji w c jwżej jedm pukcie Fukcję zwm riczą zbirze A X jeżeli zbiór wrtści tej ukcji dl rumetów z zbiru A jest ricz, tz istieją tkie liczb m, M R, że dl kżde A mm m M Fukcj zbirze A X jest: rsąc dl kżde, A, mlejąc dl kżde, A,, A,, A, iemlejąc dl kżde iersąc dl kżde Fukcj mjąc jedą z pwższch czterech włsści zwm ukcją mticzą zbirze A X W szczeólści ukcje rsące i mlejące zwm ściśle mticzmi zbirze A Fukcje ściśle mticze są różwrtściwe zbirze A Fukcj zbirze A X jest: przstą dl kżde A, A i ieprzstą dl kżde A, A i
Wkres ukcji przstej jest smetrcz wzlędem si OY Wkres ukcji ieprzstej jest smetrcz wzlędem pczątku ukłdu współrzędch Fukcj zbirze X jest kresw jeżeli istieje liczb t, że dl kżde X, t X i t X i t t Fukcj kresw m ieskńczeie wiele kresów jeżeli m c jmiej jede Jeżeli t jest kresem t t jest rówież kresem Njmiejsz ddti kres jest kresem pdstwwm i zczm przez t Przkłd ukcji i ich włsści p R :, X D piewż pierwistek kwdrtw jest kreśl tlk dl liczb ddtich i zer Wrtść pierwistk jest też liczbą ddtią dl zer jest zerem i zwsze zjdzie się liczb, tk, że dl dwle, będzie c zcz, że PD, więc :,, Jest t ukcj rówież różwrtściw i rsąc w cłej dziedziie Jest ukcją różwrtściwą i zbiór, c zpisujem :,, Fukcj t z czwistch pwdów ie jest ukcją przstą i ie jest ukcją ieprzstą rz ie psid kresu b cs cs Uw Jeżeli p zwie ukcji ie m wisu t elemet wstępując p zwie trktujem jk rumet tej ukcji Pwższe dw zpis ukcji są prwidłwe Jeżeli mm wątpliwści d jkie miejsc wrżeie jest rumetem ukcji leż użć wisów X D R piewż wrtść csius mż kreślić dl kżdej liczb rzeczwistej Wrtść csius jk wik z deiicji jest z przedziłu wrtść z te przedziłu t PD,`, i mże przjąć kżdą
Csius ie jest ukcją różwrtściwą zbirze D R piewż p dl, mm i cs cs Ntmist jest ukcją różwrtściwą zbirze A, Csius jest ukcją riczą zbirze D R ; m, M Csius jest ukcją przstą zbirze D R piewż dl kżde R, R i cs cs Stąd wkres tej ukcji jest smetrcz wzlędem si OY Csius psid kres pstci t k k Z więc cs k cs k Z Są t wszstkie kres stąd kresem pdstwwm będzie kres t Csius jest ukcją mlejącą zbirze A, i rsącą zbirze A, Te sme włsści wstępują w przedziłch przesuwjąc przedził A wrtść k k Z Zjąc wszstkie wrtści csius w przedzile, uzskm wszstkie wrtści csius dl pzstłch rumetów wkrzstując włsść cs k cs k Z Fukcje trmetrcze si, cs, ct są ukcjmi kreswmi kresch t k k Z tmist ukcj =t m kres t k k Z Twrzeie wch ukcji Kżdą ukcję : X Y, X R i Y R mżem rzptrwć jk ukcję : X R lub ukcję : A R, A X Rówież jeżeli : X R i : X R t mżem kreślić ich sumę, ilcz, ilrz, mżeie przez stłą itd Odpwiedi ; ; dl R dl X Im isttm spsbem twrzei ukcji jest złżeie ukcji /superpzcj/ Złżeie ukcji Niech : X Z i : U Y będą ukcjmi tkimi, że Z U Fukcję h : X Y kreślą wzrem h dl X zwm złżeiem ukcji i Fukcję zwm ukcją wewętrzą, ukcję zwm ukcją zewętrzą złżei I spsób zpisu złżei d dl X Przkłd Jeżeli, t : R, :,, Wted,, i dl R Fukcj dwrt Niech : X Y będzie ukcją różwrtściwą i zbiór Y tz PD Y c zpisujem : X Y Fukcję : Y X tką, że dl kżde zwm ukcję dwrtą d ukcji p X i Y
Pdstwwe włsści ukcji dwrtej: id X dl X Wkres ukcji i idy dl Y są smetrcze d siebie wzlędem prstej Fukcj jest ukcją dwrtą ukcji spełie pwższe włsści i Przkłd : R R Wted jest ukcją dwrtą ukcji Spełi jest wruek dl R i R piewż i spełie są włsści Ie włsści ukcji wikjącch z deiicji Sum dwóch ukcji mlejącch rsącch zbirze A jest ukcją mlejącą rsącą zbirze A b Ilcz ukcji mlejącej rsącej zbirze A przez liczbę ddtią jest ukcją mlejącej rsącej zbirze A c Ilcz ukcji mlejącej rsącej zbirze A przez liczbę ujemą jest ukcją rsącą mlejącą zbirze A d Fukcj ściśle mticz zbirze A jest ukcją różwrtściwą zirze A Fukcje elemetre t są ukcje które dją się przedstwić z pmcą wzrów Wzr trzmujem stsując p pwższe spsb twrzei /dziłń rtmetczch, złżei/ ukcji z pmcą tzw ukcji pdstwwch elemetrch którch pwiliśm wszstk wiedzieć Dlte leż zpzć się z tmi ukcjmi Fukcje cklmetrcze Fukcj rcsi si dzie,, si :,, si rcsi :,, jest ukcją dwrtą ukcji si którą deiiuje się : dl kżde,,, rcsi si Fukcj rccs cs dzie,, cs :,, cs rccs :,, jest ukcją dwrtą ukcji cs którą deiiuje się : dl kżde,,, rccs cs i
Fukcj rct t dzie, R t :, R t rct : R, jest ukcją dwrtą ukcji t którą deiiuje się : dl kżde R,, rct t Fukcj rcct ct dzie, R ct :, R ct rcct : R, jest ukcją dwrtą ukcji ct którą deiiuje się : dl kżde R,, rcct ct Ie ukcje pdstwwe elemetre Fukcj wkłdicz i lrtmicz Jest t ukcj pstci R,, R : R, Dl ukcj t jest ukcją stłą przjmującą zwsze wrtść Dl ukcj t psid ukcję dwrtą któr jest ukcją lrtmiczą l dl R,, l :, R
Reuł ptęwi i lrtmwi i : k k 5 6 b b b ;, R k N dl ptęwi l l l l l l l l l b l b i b ;, R, dl lrtmwi l b l l R jk złżeie ukcji z ukcją dwrtą Wkres tch ukcji są stępujące: Dl p Dl ich licze Dl p, 5 Dl ich licze Fukcj wielmiw Jest ukcją pstci w,,, R ; stpień wielmiu Dziedzią ukcji wielmiwej jest R
W przpdku wkresem ukcji jest tzw prbl zwróc d ór dl i zwróc d dłu dl b W przpdku wkresem ukcji jest lii prst tzw ukcj liiw jest współczikiem kierukwm tej prstej i t kąt chlei tej prstej d si OX c W przpdku wkresem ukcji jest prst rówleł d si OX Jest ukcją stłą Twierdzeie Kżdą ukcję wielmiwąwielmi mż przedstwić w pstci k k kr l l w p q p q p q dzie,, r r R,,, pierwistki rzeczwiste wielmiu k i N i r pi, qi R, pi qi i j Fukcj wmier Jest ukcją w pstci ilrzu dwóch ukcji wielmiwch w, m są wielmimi w dzie Dziedzią ukcji wmierej jest R prócz miejsc zerwch wielmiu m W szczeólch przpdkch miejsc zerwe mą leżeć d dziedzi Fukcj część cłkwit Jest t ukcj pstci E jwiększ liczb cłkwit miejsz lub rów E : R Z Wkresem tej ukcji są tzw schd w órę krku Ciąi liczbwe Deiicj Ciąiem liczbwm zwm ukcję ze zbiru liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch tz : N R Wrtść ukcji dl rumetu N zczć będziem przez lub,,, tz Przkłd,,5,, lub N Ciąi zczć będziem przez lub krótk Cią jest rsącm mlejącm jeżeli dl kżde N Deiicje ric ciąów Cią jest zbież d ric włściwej R c zpisujem wted i m tlk wted d dl kżde istieje N, że dl kżde N jeżeli t Lub krótk N N Tłumcząc ituicjie mż pwiedzieć, że wrz z wzrstem ideksu są crz bliżej liczb b Cią jest zbież d ric iewłściwej c zpisujem N wrz ciąu j j l j
N N c Cią jest zbież d ric iewłściwej c zpisujem Twierdzeie Jeżeli ciąi N N i b b b b b b c c c R 5 ile b b b 6 k b są zbieże d ric włściwch t: k k Z k k k N 8 \ \ Twierdzeie trzech ciąch Jeżeli ciąi c spełiją włsści b b c dl kżde c b t b b Twierdzeie dwóch ciąch Jeżeli ciąi b spełiją włsści b dl kżde t b Twierdzeie dwóch ciąch Jeżeli ciąi b spełiją włsści b dl kżde t b
Wżiejsze rice R b b dl Deiicj liczb e Twierdzeie Jeżeli cią liczbw wrzch N jest ciąiem rsącm i riczm z ór dl kżde N dl pewe t m ricę włściwą Cią liczbw wrzch N spełi złżei pwższe twierdzei więc istieje ric włściw którą zcz się smblem e A więc 88,88885 e Uw Dl liczb e wprwdz się ddziel smbl lrtmu pdstwie e tzw lrtm turl e d l l Przkłd Wzczć rice ciąów : : 8 b Z twierdzei trzech ciąch mm = c 6 6 6 8 e e
Gric ukcji Sąsiedztwem prmieiu puktu R zwm zbiór D S,,, Otczeiem prmieiu puktu R zwm zbiór D U,, Złóżm, że jest d ukcj : X R, X R rz dziedzi X zwier pewe sąsiedztw puktu tz S, X dl pewe Deiicj Heie Liczb jest ricą ukcji w pukcie R wted i tlk wted dl kżde ciąu dziedzi wrzch leżącch d dwle sąsiedztw puktu zbieże d puktu, cią jest zbież d c zpisujem A więc S, X Deiicj Cuch e Liczb jest ricą ukcji w pukcie R wted i tlk wted dl kżde istieje liczb tk, że jeżeli t c zpisujem MR MR M R M R K R M R K R M R K R M R KR M R A więc Deiicj M Deiicj M Deiicj M Deiicj M Deiicj M K Deiicj M K Deiicj M K Deiicj M K Jeżeli w deiicjch ric riczm się tlk d rumetów z prwej lewej str puktu R t trzmm ricę prwstr lewstrą ukcji c zpisujem,,
Niektóre rice: si e 5 6 e 8 l 9 l rcsi R e Twierdzei ricch włściwch ukcji Jeżeli ukcje i mją rice włściwe w pukcie R t R 5 ile 6 Uw Twierdzeie jest prwdziwe w puktch w przpdku skńczej liczb skłdwch Twierdzeie rtmetce ric jest prwdziwe rówież w przpdku ric jedstrch w pukcie rz dl ric w i W pukcie 6 zkłdm, że w wrżeich mż bliczć wrtści Twierdzeie ric ukcji złżej Jeżeli ukcje i spełiją wruki dl kżde, S p t p Twierdzeie trzech ukcjch Jeżeli ukcje,, h spełiją wruki, S dl h h, t Twierdzeie t jest rówież prwdziwe d
Twierdzei ricch iewłściwch ukcji Stsując twierdzeie ricch włściwch ukcji mżem t twierdzeie rzszerzć dpuszczjąc rice iewłściwe dl ukcji i Wted wiki uzskch dziłń rtmetczch są stępujące: Jeżeli rice ukcje i uzskują stępujące wrtści R, p,, q,,, t p 5 q 6 p q 8 p p 9 q p p p, 5 p p q q 6 W przpdku d uzskm wrżei pstci: 5 6 wrtść ric mże bć róż lub ric mże ie istieć Nleż wted dlej zjdwć ricę Pwższe wrżei są t tk zwe wrżei iezcze Przkłd Obliczć rice ukcji b c więc ie istieje d cs cs cs więc cs i Z twierdzei trzech ukcjch cs Niech ukcj D Ciąłść ukcji : X R będzie kreśl w pewm tczeiu U,, Deiicj ciąłści ukcji w pukcie Fukcją zwm ukcją ciął w pukcie, jeżeli m w tm pukcie ricę rówą swjej wrtści tz
Fukcją zwm ukcją ciął lewstrie prwstrie w pukcie, jeżeli m w tm pukcie ricę lewstrą prwstrą rówą swjej wrtści Twierdzeie Sum, różic, ilcz ukcji ciąłch w pukcie jest rówież ukcją ciąłą w tm pukcie Ilrz ukcji ciąłch w pukcie jest rówież ukcją ciąłą w tm pukcie prz złżeiu, że ilrz jest kreśl Twierdzeie Jeżeli ukcj jest ciął w pukcie i ukcj jest ciął w pukcie, t ukcj złż jest ciął w pukcie Deiicj Fukcją zwm ukcją ciął w przedzile, b, jeżeli jest ciął w kżdm pukcie te przedziłu Jeżeli pdt w pukcie ukcj jest ciął prwstrie i w pukcie b jest ciął lewstrie, t jest ciął w przedzile, b Twierdzeie Wszstkie ukcje elemetre pdstwwe zdeiiwe pczątku wkłdu są ciąłe w swich dziedzich prócz ukcji E - jwiększ wrtść cłkwit Fukcj t jest ciął w puktch ie będącch liczbmi cłkwitmi W puktch będącch liczbmi cłkwitmi wstępuje lewstr ciąłść i ie wstępuje prwstr ciąłść Twierdzeie Drbu wrtścich pśredich Jeżeli ukcj jest ciął w przedzile dmkiętm, b rz b, t dl kżde, b istieje pukt, b tkie, że Pdt jeżeli ukcj jest rsąc w tm przedzile t pukt jest wzcz jedzczie Alicze twierdzeie jest prwdziwe w przpdku d b Twierdzeie t zcz, wszstkie liczb z przedziłu, b są wrtścimi ukcji Twierdzeie Drbu miejscch zerwch Jeżeli ukcj jest ciął w przedzile dmkiętm, b rz b, t istieje pukt, b tki, że tz wkres w przedzile, b przeci ś OX Twierdzeie Weierstrss Jeżeli ukcj jest ciął w przedzile dmkiętm, b, t istieją liczb c, d, b tkie, że dl m c i M d mm m M dl kżde, b