GEOMETRIA FIGUR PŁASKICH
|
|
|
- Ludwik Michalik
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 EOMETRI FIUR PŁKICH. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI.. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI BRYŁY MTERILNE PRZETRZENNE eżel sztwą brłę mterlą pdzelm mślw dużą lczbę młch cząstek w spsób reulr t kżd z ch psd kreślą msę m rz cężr P. Cężr wszstkch cząstek stwą ukłd sł rówlełch, wpdkw tch sł stw cężr cłej brł. Śrdkem cężkśc brł mterlej zwm rcze płżee puktu przłże wpdkwej sł cężkśc wszstkch cząstek brł, d ch lczb dąż d eskńczśc. Nech P zcz cężr -tej cząstk brł, lczb (,, z będą współrzędm puktu przłże tej sł. Operjąc sę defcj śrdk cężkśc mżem psłużć sę zm wzrm sttk płżee wpdkwej sł rówlełch. P P lm ; lm ; z lm P P P z P
2 ... UPROZCZENI W WYZNCZNIU ŚRODK CIĘŻKOŚCI płszczz smetr b ś smetr pukt smetr Wsek eżel brł sztw jest smetrcz wzlędem płszczz, s lb puktu, t jej śrdek cężkśc leż tej płszczźe, s lb w pukce smetr. Uw: pwższe zps są ktule dl brł jedrdej tz. przjęt stł cężr jedstk jej bjętśc w kżdm pukce.
3 .. ZD RUPOWNI eżel brł m ksztłt, któr pzwl pdzelć ją tke częśc, dl którch płżee śrdków cężkśc jest ze lub łtwe d kreśle, t mżem rzptrwć skńczą lść cężrów tch częśc, umeszczch w ch śrdkch cężkśc. Wzr współrzęde śrdk cężkśc: z z z z.. ZD M UEMNYCH W mejscu twru w brle ddjem słę cężkśc, tk jkb twru e bł, tz. brłę trktujem jk pełą. Dl rswe przkłdu mżem węc psć:
4 ; ; z z z.4. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI FIURY PŁKIE eżel rubść fur jest brdz mł w prówu z jej pzstłm wmrm, t mż przjąć że śrdek cężkśc tej fur leż w jej płszczźe, t zcz że d je wzcze wstrcz pdć tlk dwe współrzęde:. Przez zczm pwerzchę elemetu przez Δ γ cężr cząstk brł pwerzch jedstkwej. Cężr wck elemetre będze węc wsł P Δ γ. Δ Δ Δ Δ P P lm lm lm γ γ γ γ d Δ Δ lm 4
5 lcze: d Wrżee lm Δ płskej wzlędem s zczm smblem. Wrżee lm Δ d płskej wzlędem s zczm smblem. d zwm mmetem sttczm fur zwm mmetem sttczm fur Psłuując sę wprwdzm pjęcm mżem dć wzrm współrzęde śrdk cężkśc fur płskej stępującą pstć:.5. MOMENT TTYCZNY FIURY PŁKIE Mmetem sttczm fur płskej wzlędem pewej s (p. zwm welkść wrżą przez cłkę lczu elemetów pl tej fur ch dlełśc d dej s, rzcąętą cłm plu tej fur. d Wsk Mmet sttcze bszrów leżącch dlej d s sąją bezwzlęde wrtśc wększe ż mmet sttcze elemetów leżącch blżej s. 5
6 Mmet sttcze mą bć lczbm ddtm jk ujemm. Zleż t d płże fur w stsuku d s. Wmrem mmetu sttcze są jedstk dłuśc d ptę trzecej [cm ], [m ] 4 Wzrm, mż dć pstć: eżel ze są współrzęde śrdk cężkśc fur płskej, t mmet sttcze tch fur mż blczć z tch wzrów Wzór zcz, że mmet sttcz fur płskej wzlędem dwlej s jest rów lczw jej pwerzch dlełśc jej śrdk cężkśc d tej s. Przkłd h b h bh 5 Ze wzrów pwższch wk, że p. 0 jeżel 0 c zcz, że Mmet sttcz fur wzlędem s przechdzącej przez jej śrdek cężkśc jest rów zer. 6
7 6 eżel d wsku r 4 ddm zsdę rupw, t mżem blczć współrzęde śrdk cężkśc fur złżch, p.: ; ; III II I III II I ; ; III II I III II I W zpse ólm prz dwlej lśc pól prstch twrzącch furę złżą mżem zpsć: 7
8 . MOMENT BEZWŁDNOŚCI FIURY PŁKIE Mmet bezwłdśc fur płskej wzlędem s jest welkścą chrkterzującą ksztłt fur płskej rzptrwą w uce wtrzmłśc mterłów. d Mmetem bezwłdśc fur płskej wzlędem pewej s p., zwm cłkę z lczu elemetów pl tej fur kwdrtu ch dlełśc d dej s rzptrwą cłm plu tej fur. Włsśc: Welkść t jest zwsze zwąz z wbrem s; Mmet bezwłdśc przjmuje wrtśc wększe d zer > 0 ; Wmrem (jedstką mmetu bezwłdśc są jedstk dłuśc d ptę czwrtej: [cm 4 ] ; [m 4 ]. 8
9 .. Zleżśc dl s rówlełch d sebe Zkłdm, że mmet bezwłdśc wzlędem s jest welkścą zą. twm sbe pte, jk jest mmet bezwłdśc wzlędem s, dze ś jest rówleł d s ddl d ej wrtść. d d ; Czl: d d d d d d d d ( ( eżel ddtkw przjmem, że ś przechdz przez śrdek cężkśc fur płskej (zczm ją wted 0, t mmet sttcz 0 pwższ wzór przjme pstć: Wzór te zwm wzrem teer. Przkłd Zleźć mmet bezwłdśc fur płskej wzlędem: s przechdzącej przez je pdstwę; b s przechdzącej przez śrdek cężkśc rówlele d pdstw. 9
10 h h d bd b 0 0 bh Wedłu wzru teer: b d h 0 bh h bh bh bh bh 4 bh. ODŚRODKOWY MOMENT BEZWŁDNOŚCI FIURY (MOMENT DEWICYNY est t welkść uwzlędjąc ustuwe fur płskej wzlędem dwóch s jedcześe. d 0
11 Uw: Odśrdkw mmet bezwłdśc mże bć welkścą ddtą jk ujemą Wmrem (jedstką dśrdkwe mmetu bezwłdśc są jedstk dłuśc d ptę czwrtej: [cm 4 ] ; [m 4 ]. eżel fur płsk m przjmej jedą ś smetr t jej mmet dewcj wzlędem tej s jest rów zer.. Zleżśc dl s rówlełch d sebe d ( ( b d d d b d def b b eżel ddtkw se perwte przechdzą przez śrdek cężkśc fur t 0 wzór przjme prstszą pstć: b d b est t dpwedk wzru teer. Zrów prz lczeu mmetu bezwłdśc wzlędem s jk dewcjch mmetów bwązuje zsd rupw, któr mów, że jeżel furę mżem pdzelć klk prstszch elemetów t mmet cłej fur wzlędem kreślej s jest sumą mmetów wzlędem tej s dl pszczeólch elemetów skłdwch tej fur.
12 b ( ( lcze trzmm dl mmetów dewcjch: b ( W tm sttm wzrze, jeżel elemetm skłdwm rzptrwm pd zkem sum są prstkąt zk wzór przjmuje pstć: b. Wk t stąd, że dl prstkąt mm: 0
13 4. BIEUNOWY MOMENT BEZWŁDNOŚCI FIURY PŁKIE Welkść t wstępuje m.. prz lze prężeń stczch dksztłceń w elemetch dzjącch zjwsk skręc. def ρ d Włsśc: Beuw mmet zwsze przjmuje wrtśc wększe d zer > 0 ; Wmrem (jedstką mmetu beuwe są jedstk dłuśc d ptę czwrtej: [cm 4 ] ; [m 4 ]; ρ d ( d d d 4. ZLEŻNOŚCI DL OI OBRÓCONYCH De są mmet bezwłdśc fur płskej wzlędem s. Ze są róweż wrtśc, rz wzlędem tch s. zukm mmetu bezwłdśc tej fur wzlędem wch s ξ (ks η (et brócch wzlędem ukłdu kąt.
14 η ξ s cs s cs Uwzlędjąc pwższe zleżśc blczm klej,. ξ η ξη η ξ s s cs s s cs cs s s cs cs ( s cs ( d d d d d d ξ η cs s s s s cs s s cs cs s s cs cs ( s cs ( d d d d d d 4
15 Wlczm w pdb spsób dśrdkw mmet bezwłdśc ξη : ξη cs ( ξηd ( ( cs d s cs s cs s s( cs s d Wk te wkrzstm pżej. (cs cs d s cs s d s 5. ŁÓWNE OIE BEZWŁDNOŚCI FIURY PŁKIE d Wprwdze w pprzedm pukce wzr blcze mmetów bezwłdśc,, wzlędem s ξ η ξη ξ, η twrzącch kąt z pewm sm pczątku w pukce O. eżel będzem brl pd uwę szere różch s ξη stle pczątku O, dpwdjącm różm kątm, t trzmwć będzem dpwed róże mmet bezwłdśc. Mżem węc p. welkśc, ptrktwć jk fukcje kąt zdć ξ η ω sąą te fukcje ekstremum. pte, dl jke kąt Będze t czwśce wted, d jej perwsze pchde wzlędem przjmą wrtść zer: dξ 0 d ξ dξ d ( cs s cs( s s s s cs cs cs Nstępe prówując tę pchdą d zer trzmujem rówe: ( s cs 0 / : cs ( * Osttecze: 5
16 Przez kąt ξ t ω ξ ω zcz zstł kąt, dl które zchdz ekstremum. Pewż tes kąt jest fukcją kreswą krese 80 rcch d 0 d 60 dw kąt różące sę 80 stąd ω ξ ω ξ ω ω ω ξ ω ξ ω 80 ω ω ξ 90 ω ξ rct ωξ eżel rów ( * pdzelm przez t trzmm: ( s cs 0 rct ξ trzmm w Lew str te rów jest detcz z prwą strą rów zpse w pkt. 4 wrżee, czl ξη ξη ( s cs 0 ω ξ ω Wk stąd, że dl kątów wzczch pprzed, dl którch spełe jest pwższe rówe, będzem mel 0. η Te dw kąt ω psdjące mówe włsśc wzczją tzw. łówe se bezwłdśc. łówm sm bezwłdśc fur płskej zwązm z pewm puktem O zwm se, dl którch dśrdkw mmet bezwłdśc fur jest rów zeru. Mmet bezwłdśc wzlędem jedej z ch jest jwększ, wzlędem druej jmejsz ze wszstkch mżlwch mmetów bezwłdśc tej fur wzlędem różch s przechdzącch przez pukt O. Nleż tu jeszcze zwrócć uwę, że dl różch puktów fur trzmm e łówe se bezwłdśc mmet blcze wzlędem ch będą dl kżde puktu e. ξη 6
17 eżel jk pukt O berzem śrdek cężkśc fur t wted se łówe zwm łówm śrdkwm sm bezwłdśc, mmet blcze wzlędem tkch s zwm łówm śrdkwm mmetm bezwłdśc Ze wzru teer wk wsek, że mmet bezwłdśc wzlędem jedej z łówch śrdkwch s bezwłdśc jest jmejszm mmetem bezwłdśc fur w óle. Wzlędem druej s mmet jest jwększ ze wszstkch mmetów bezwłdśc, le tlk wzlędem s przechdzącch przez śrdek cężkśc. Tk pstępw prz pszukwu łówch śrdkwch s bezwłdśc łówch śrdkwch mmetów bezwłdśc. Złżee dwle ukłdu s.. Zlezee współrzędch śrdk cężkśc. ;. Przeprwdzee przez śrdek cężkśc O s (se śrdkwe. 4. Oblczee, rz. 5. Zlezee płże łówch śrdkwch s bezwłdśc tω rct ω ω rct ω ω Oblczee łówch śrdkwch s bezwłdśc ξ cs s s 7
18 ( cs ω s ω s ω (b η s cs s s ω cs ω s ω 0 Wzr ( (b są ucążlwe w stswu w zwązku z czm z pstc trmetrczej mż przejść pstć lebrczą dkując pewch pdstweń P dku frmlch przeksztłceń sttecze trzmujem: ( ( ± m ( ( 4 4 eżel eżel > < t berzem pd uwę zk óre. t berzem pd uwę zk dle. Kł bezwłdśc Mhr eżel dl pewej fur zm płżee łówch s bezwłdśc zwązch z pewm puktem lub łówch śrdkwch s bezwłdśc, t blcze mmetów bezwłdśc wzlędem jkchś ch s chlch w stsuku d pprzedch pewe kąt mżem przeprwdzć z pmcą pprzed zprezetwch wzrów. cs s s cs ( s. eżel zstsujem tu ze wzr trmetrcze 8
19 t trzmm: ( s ( cs cs ( cs ( cs ( ( W te spsób uzskujem sttecze trz wzr: ( ( ( ( ( s. cs cs cs Welkśc, łtw mż wzczć dl kżde kąt pdstwe kł Mhr, które buduje sę stępując: N pewej s dkłdm, w przjętej skl, wrtśc mmetów bezwłdśc dej fur wzlędem łówch s bezwłdśc. Nstępe zkreślm kł średc rówej śrdku K przjętej s. Łtw zuwżć, że: ( OK (. Chcąc zleźć mmet bezwłdśc dej fur wzlędem s twrzącch z sm łówm kąt, t dkłądm kąt dw rz wększ w pukce K prwdzm dpwedą średcę. Wzcz pukt B kle, ch rzut ś, kreślją welkśc. 9
20 N pdstwe kł Mhr mż wkć tkże czśc dwrtą, ż przedstw wżej wzczć płżee łówch s bezwłdśc welkśc mmetów łówch wzlędem tch s. 6. PROMIEŃ BEZWŁDNOŚCI FIURY PŁKIE W zdech emetr fur płskch bk wcześej pzch welkśc wstępuje welkść zw prmeem bezwłdśc pl fur wzlędem s. Określ ją wzór: dze: - prmeń bezwłdśc pl wzlędem s, - mmet bezwłdśc pl wzlędem s, - ple dej fur. edstką prme bezwłdśc jk wk ze wzru jest jedstk dłuśc [cm], [m]. 0
21 Kńce prme bezwłdśc ukłdją sę dl dwlch s mjącch swój pczątek w pukce O w elpsę. est t tzw. elps bezwłdśc.
Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.
terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest
dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)
Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1
Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh Środek ms fgur płskej Zleżnoś n współrzędne środk ms, fgur płskej złożonej z fgur regulrnh rs.. możem zpsć w nstępują sposób: gdze:. pole powerzhn -tej
OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE
OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch
2.3. ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE) MIMOŚRODOWE
.. RZCĄGNE (ŚCSKNE) MMŚRDWE Rcągne (ścskne) mmśrdwe wstępuje wówcs gd bcążene ewnętrne redukuje sę d wektr sł prstpdłeg d prekrju pprecneg cepneg p jeg śrdkem cężkśc (rs. ). Rs. Złżene: se C r C są sm
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH
MOMENT BEZWŁNOŚC FGU PŁSKCH Przekrje pprzeczne prętów włów i elek figur płskie crkterzujące się nstępującmi prmetrmi: plem pwierzcni przekrju [mm cm m ] płżeniem śrdk ciężkści przekrju mmentmi sttcznmi
Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI
Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI 3. Krter proksmcj. Złóżm że () jest ukcją cągłą w przedzle [ b ]. Zlezee przblże (proksmcj) poleg wzczeu współczków pewego welomu P() któr będze dobrze przblżł w tm przedzle
Rzwiązie ) Trpez jest pisy kle Z włsści czwrkąt piseg kle mmy: AB + CD AD + BC + r+ r+ 8 Pdt w trójkącie EBC: ( r) + Otrzymliśmy ukłd rówń: r+ 8 (r) +
Siedem zdń iterutów Zdie - pzim wymgń: pdstwwy Współczyiki fukcji kwdrtwej f(x) x + bx+ c twrzą w klejści,b, c ciąg gemetryczy Wyzcz wrtść współczyików b i c, jeżeli widm, że sią symetrii wykresu fukcji
Spójne przestrzenie metryczne
lz Włd 5 d d Ćel cel@gedpl Spóe pzeszee ecze De Pzeszeń eczą ρ zw spóą eżel e d sę e pzedswć w psc s dwóc zów epsc wc złączc ρ - pzeszeń spó ~ we Icze es ze spó eżel dl dwlc pów czl see cągł c γ : : γ
Ś Ż ż Ż
Ś Ż ż Ż ż ć ć ć ć ć ć ż ż Ż ż Ż ż ż ć ż ż Ż Ż ż Ż ż Ż ż Ż Ż ż Ż ż ć ć ć ż ć ż ż ż ć Ż ć ć Ś ć Ż ć ż ź ż ż ż ć ż ż ż ż ć Ś ż Ż ż Ć Ć ć Ż ź ć ć ć ć ż ź ć ć Ść ć ż ź Ść ć ź Ś ć ć ć Ś ć ć ć ć ć ź ż ż ć ć
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Woskowe sttstcze - egesj koelcj teść Wpowdzee Regesj koelcj low dwóch zmech Regesj koelcj elow - tsfomcj zmech Regesj koelcj welokot Wpowdzee Jedostk zoowośc sttstczej mogą ć chktezowe
Granica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych
Gric cigu puktów Ztem Cig puktów P P ; jest zie do puktu P ; gd P P [ ] Oliczm gric cigu l Poiew l l wic cig l jest zie i jego gric jest pukt π π [ ] Oliczm gric cigu si π π π π Poiew si si wic cig si
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów
. Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc
1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii
Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) 5 5 5 5 Dl
- wartość funkcji f dla argumentu x. Zbiór PD f
Pdstwwe widmści ukcjch W cłści mteriłu będą bwiązwć stępujące zczei R - zbiór liczb rzeczwistch Z - zbiór liczb cłkwitch N - zbiór liczb turlch Niech X i Y będą dwlmi iepustmi zbirmi Deiicj dwzrwi Odwzrwiem
termodynamika fenomenologiczna p, VT V, teoria kinetyczno-molekularna <v 2 > termodynamika statystyczna n(v) to jest długi czas, zachodzi
fzka statstczna stan makroskopow układ - skończon obszar przestrzenn (w szczególnośc zolowan) termodnamka fenomenologczna p, VT V, teora knetczno-molekularna termodnamka statstczna n(v) stan makroskopow
UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow UWAI O ROZKŁADZIE UNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. - d zm losow cągł o gęstośc. Y g g - borlows tz. g - B BR dl B BR Wzczć gęstość g zm losow Y. Jśl g - ścśl mootocz różczowl
Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
MATEMATYKA. Sporządził: Andrzej Wölk
MATEMATYKA Sporządzł: Adrzej ölk . adae Rozwązać rówae różczkowe: b) e X X e rozwązuję całkę żeb wzaczć e X e X z tego wka, że e X X e X e adae a) s d t dt d ( t ) dt dt pochoda d dt s d s s s s d = C
Józef Beluch Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Wpływ wag współrzędnych na wyniki transformacji Helmerta
Józef Beluch Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe płw wag współrzędch a wk trasformacj Helmerta . zór a trasformację współrzędch sposobem Helmerta: = c + b = d + a + a b () 2 2. Dwa modele wzaczea parametrów
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO
ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Mehaka, Draa Fale. Ops teretz d ćwzea zameszz jest a stre www.wt.wat.ed.pl w dzale DYDAKYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORAORYJNE.
STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
6. POWIERZCHNIOWE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI
6. POWERZCHNOWE MOMENTY BEZWŁADNOŚC Zadanie 6. Dla figury przedstawinej na rysunku 6.. wyznaczyć płżenie głównh centralnh si bezwładnści i kreślić względem nich główne centralne mmenty bezwładnści. Rys.6..
Przykład 2.1. Wyznaczanie prędkości i przyśpieszenia w ruchu bryły
Przykłd 1 Wyzncznie prędkści i przyśpieszeni w ruchu bryły Stżek kącie rzwrci twrzących i pdstwie, której prmień wynsi tczy się bez pślizgu p płszczyźnie Wektr prędkści śrdk pdstwy m stłą długść równą
Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak
Metod umerze Wkłd r 5: Aproksmj terpolj dr Potr Frozk Aproksmj terpolj Aproksmj rówem lowm Błąd dopsow E - Fukj dwóh zmeh Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę: E E Jest
nazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n
Rk II Temt 7 SZEREGI FUNKCYJNE SZEREG POTĘGOWY SZEREG TAYLORA Ciąg ukcyjy Szeregi ukcyje Zbieżść jedstj Szereg ptęgwy Prmień zbieżści szeregu ptęgweg Szereg Tylr Ciąg ukcyjy Niech U zcz iepusty pdzbiór
Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n
lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.
Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
2.5. RDZEŃ PRZEKROJU
.5. RDZEŃ RZEKRJU Rdenem rekru nwm sr wukł wkół eg śrdk cężkśc w którm rłżn sł rcągąc (ścskąc) wwłue nrężen ednkweg nku w cłm rekru Równne s ętne mżn redstwć w dwóc lterntwnc stcc 0 () l () gde () Równne
Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19
Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej
BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH
BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH Ops ukłdu pomrowego Ukłd pomrow skłd sę z podstwowch częśc: dego geertor drgń relkscjch, zslcz geertor, geertor odese (drgń hrmoczch), oscloskopu. Pokz rsuku schemt deow geertor
opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam
2.2. ZGINANIE UKOŚNE
.. ZGINNIE UKŚNE Zginnie ukśne (dwukierunkwe) wstępuje wówcs, gd bciążenie ewnętrne redukuje się d wektr mmentu ginjąceg, leżąceg w płscźnie prekrju, któreg kierunek nie pkrw się żdną głównch, centrlnch
Powinowactwo chemiczne Definicja oraz sens potencjału chemicznego, aktywność Termodynamiczne funkcje mieszania
ermdyamka układów rzeczywstych 2.7.1. Pwwactw chemcze 2.7.2. Defcja raz ses tecjału chemczeg aktywść 2.7.3. ermdyamcze fukcje meszaa 2.7.4. Klasyfkacja rztwrów Waruk ztermcz-zchrycze ) ( V F F j V V d
Działania wewnętrzne i zewnętrzne
Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem
Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
instrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego
5.Bde wocze pręt śckego UT-H Rdom Ittut Mechk Stoowej Eergetk Lortorum Wtrzmłośc Mterłów trukcj do ćwcze 5. Bde wocze pręt śckego I ) C E L Ć W I C Z E N I A Celem ćwcze jet dośwdczle wzczee metodą Southwell
0, co implikuje tezę. W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna ( f (c)
RACHUNEK RÓŻNCZKOWY cd Twierdzeie Lagrage a: Jeżeli jest ciągła w [a,b], jest różiczkwala w a,b), t ca,b) : b)-a)= c) b-a) b) Dwód Wystarczy rzpatrzyć ukcję t) t) t a), t[a,b], która b a spełia załżeia
Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Iormaa - Wład 9 - dr Bogda Ćmel cmelbog@ma.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec
Matematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.
Wkład. Całka podwója. Zamaa a całkę terowaą. Oblczae pól obszarów objętośc brł.. Całka podwója w prostokące. Jak pamętam, całka ozaczoa z cągłej fukcj jedej zmeej wprowadzoa bła w celu oblczaa pola powerzch
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Potr Szczepńk Ktedr Chem Fzczej Fzkochem Polmeró ANALIZA REGRESJI REGRESJA LINIOWA. REGRESJA LINIOWA - metod jmejzch kdrtó. REGRESJA WAŻONA 3. ANALIZA RESZT 4. WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI,
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Przekroje efektywne wyboczenia lokalnego 61,88 28,4 0,81 4 =1,34>0,673. = 28,4 ε k. ρ,, = λ 0,22 λ = 1,34 0,22 1,34 =0,62. = =59,39,
Przekrój efektywny stalweg dźwigara z zastępczymi płytami rttrpwymi klasy 4 W bustrnnie sztywn umcwanym dźwigarze skrzynkwym długści 15,0 m ze stali S355 usztywnin pasy i śrdniki żebrami pdłużnymi (rys.
( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.
Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr
(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)
Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s
Charakterystyki geometryczne przekrojów poprzecznych prętów
Chrkterystyk geometrycze przekrojów poprzeczych prętów Zgode z złożem mechk ukłdów prętowych rzeczywste trójwymrowe cło odksztłcle modelowć będzemy ukłdem jedowymrowym, w którym formcje dotyczące wymrów
Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
Wykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
Ń Ó ć Ó Ó Ó ć Ż Ś Ą ź ź ć Ą ć Ź ć ć ź ć ć źćź ć ź Ż ć ć Ź ć Ą Ą ć ź Ą ź Ą ź Ż ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ż Ź ć ć Ź ć Ą ć Ż ć Ś Ą ć Ąć ć ź ć ć ć Ą ź ć ź ć Ł Ą Ż ź ź ź ć ć ć ź ć Ś ć ć Ś Ł Ż Ą ć Ż ć Ż ź Ą ć ć Ż ć
WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej
Isttt Atomt Iformt Stosowe Poltech Wrszwse Algortm predce w wers ltcze z efetwm mechzmem względ ogrczeń wść Potr Mrs Pl prezetc. Wstęp. Algortm reglc predce 3. Uwzględe ogrczeń łoŝoch sgł sterąc 4. Uwzględe
7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Prawo propagacji niepewności. 1
Prwo propgc nepewnośc. Prwo propgc nepewnośc. W przpdk pomrów metodą pośredną wrtość welkośc stl sę n podstwe wrtośc nnch welkośc zmerzonch bezpośredno. przkłd obętość V 0 prostopdłoścn o krwędzch D 0
mechanika analityczna 2 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechnik nlityczn niereltywistyczn L.D.Lndu, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-8.06.07 środek msy w różnych ukłdch inercjlnych v = v ' u m v = P= P ' u m v ' m m u trnsformcj pędu istnieje
Podstawy wytrzymałości materiałów
Podstw wtrzmłości mteriłów IMiR - MiBM - Dodtek Nr 1 rkterstki geometrcze figur płskic Momet sttcze, środek ciężkości figur i jego wzczie, momet bezwłdości, główe cetrle osie bezwłdości, promieie bezwłdości,
POWTÓRKA ( ) ( ) ROZRÓŻNIENIE MIĘDZY PARAMETREM A STATYSTYKĄ
Zwsowe Metod Ali Prestrech Powtórk I Mrci Ligs Ktedr Geomtki WGGiIŚ AGH w Krkowie POWÓRKA ROZRÓŻNINI MIĘDZY PARAMRM A SAYSYKĄ Populcj sttstc populcj geerl iorowość) peł iór elemetów podlegjącch diu sttstcemu.
Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa
W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y n i w d n i u 2 0 1 4 r po m i d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j i j e d n o s t k a b u d e t o w a ( 8 1-5 3 8 G d y n i a ), l
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
dr inż. Zbigniew Szklarski
Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego
VI. Mechanika ciał nieodkształcalnych dzieli się na: - statykę, - kinematykę, - dynamikę
M E C H A N I K A ( S T A T Y K A ) Mechk jest wdębm dłem fk jmującm sę gdem ówwg, psem uchu dkstłceń cł ecwstch (cł stłch, cekłch gwch). Mechkę cł stłch mżem pdelć : - mechkę cł stwch - edkstłclch - mechkę
Dziennik Transakcyjny. JLoXiM
JXiM Dzieik Trskcj JXiM Mteusz Łuiński JXiM Rzdził 1 Ogólie dzieiku JXiM Rzdził 1 Ogólie dzieiku C t jest trskcj dzieik bzdw? Kcecjie: ieskńcz tśm Grmdzi ifrmcje wszelkich ercjch wkwch i w bzie dch JXiM
MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
METODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Ł Ł Ę Ż ć ć ą Ź ą Ś Ę ą Ź Ą Ż Ą ą ź ą Ł Ą Ś Ą ą
ą Ł Ó ą Ą ą ą Ó Ś Ó ą Ż ą Ś Ą Ł Ł Ę Ż ć ć ą Ź ą Ś Ę ą Ź Ą Ż Ą ą ź ą Ł Ą Ś Ą ą ć Ś ą ą ą ć ą ą ć ą ą Ź ą ćś ą ą ą Ż ą ą ć ą ć ą ć ą ą ć ć ą ą Ż ą ą ć Ł ĘŚĆ Ź Ść ą ą ą ą ŚŚ ć ą ą Ż Ź ą ć ć ć ą ą ąą ą ć ą
Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,
utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem
Ś ć Ś Ę Ś Ś Ś Ś Ę Ę
Ł Ś Ę ź Ż Ż ź ź Ż Ś Ż Ś Ł Ś ć Ś Ę Ś Ś Ś Ś Ę Ę Ś Ę Ń Ę ć ć Ę Ś Ę Ś Ę Ś Ś Ś ŚĘ ć Ś Ś Ś Ś ŚĘ Ł Ś Ł ź Ę ź ź ź ź Ń Ś Ś Ń ź ć ź ź ź ź ź ź Ś ź Ż ź Ń ź Ś ź ź ć Ę ź Ę Ę Ś Ę Ę Ł ź ź Ę ć Ś Ś Ł Ś Ę Ś Ł Ł Ś ć Ł ź Ł
DOPASOWANIE ZALEŻNOŚCI LINIOWEJ DO WYNIKÓW POMIARÓW
DOPAOWANIE ZALEŻNOŚCI LINIOWEJ DO WYNIKÓW POMIARÓW Jedm stotch gdeń l dch pomroch jest dopsoe leżośc teoretcej do kó pomró. Dotc oo stucj gd dokoo ser pomró pr elkośc które są e soą poąe leżoścą f... m
XII.1.2. Rozwiązania urojone.
XII... Rzwiązni urjne. Mtemtc twierdzą, że Krl Friedrich Guss (777-855, strnm, fizk i mtemtk niemiecki) twierdził z żci sweg, że kżde równnie stpni n zwsze m dkłdnie n rzwiązń. Ani mniej, ni więcej. Uprzejmie
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7
Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw
ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż
Ł Ę Ł ż Ż ć ż ż ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż ż ż Ł ż Ż Ł Ż Ż Ż Ż ż ż Ż Ż Ż ć ć ż ć ż ż ŻĄ ć ć ż Ż Ż ż Ż Ż ć Ż ź ć ż Ę Ż Ę Ż ć Ż Ż ć Ż ć ż Ż Ż ż Ż Ą Ż ć ż ć Ś Ą ż Ż Ż Ż ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż ż ż Ż ż ż Ż Ż
Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Materiały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
DZIAŁ 2. Figury geometryczne
1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko
Johann Wolfgang Goethe Def.
"Maemac ą ja Facuz: coolwe m ę powe od azu pzeładają o a wój wła jęz wówcza aje ę o czmś zupełe m." Joha Wola Goehe Weźm : m m Jeżel zdeujem ucje pomoccze j : j dla j = m o = m dze = Czl wacz pzeaalzowad
Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.
Wykłd 6 Cłk ozczo: olcze pól oszrów płskch. Cłk ewłścwe. Wprowdźmy jperw ocję sumow: Dl dego zoru lcz {,,..., } symol ozcz ch sumę, z.... Cłk ozczo zosł wprowdzo w celu wyzcz pól rpezów krzywolowych (rys.
LISTA ZADAŃ Z MECHANIKI OGÓLNEJ
. RCHUNEK WEKTOROWY LIST ZDŃ Z MECHNIKI OGÓLNEJ Zd. 1 Dne są wektor: = i + 3j + 5k ; b = i j + k. Oblicz sumę wektorów e = + b orz kosinus kątów, jkie tworz wektor e z osimi ukłdu ( kosinus kierunkowe
5.3.1. Zmiana układów odniesienia
531 Zmi ukłdów odieiei Z kżdą brłą twą możem wiąć ukłd wółrędch oiując ruch tej brł w retrei Dltego w dlm ciągu w kiemtce brł będiem ię jmowć główie wjemm ruchem ukłdów wółrędch Zjąc ruch ukłdu wółrędch
; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale
AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale [ ] Q spełna je także
lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt