Wprowadzenie. metody elementów skończonych



Podobne dokumenty
Defi f nicja n aprę r żeń

Twierdzenia o wzajemności

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch

Układy liniowosprężyste Clapeyrona

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

Metoda elementów skończonych

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Mec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Definicja interpolacji

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Parametryzacja rozwiązań układu równań

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MEDYCYNIE (wyłącznie do celów dydaktycznych zakaz rozpowszechniania)

Podprzestrzenie macierzowe

Analiza płyt i powłok MES

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz

Mechanika teoretyczna

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Podprzestrzenie macierzowe

MACIERZE STOCHASTYCZNE

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Wytrzymałość materiałów

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE

Podstawy wytrzymałości materiałów

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

A A A A11 A12 A1. m m mn

KADD Metoda najmniejszych kwadratów

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Chemia Teoretyczna I (6).

Twierdzeie Closa Problem: Jak duże musi być m, aby trzysekcye pole Closa ν(m,, r) )było ieblokowale w wąskim sesie? Twierdzeie Closa: Dwustroe trzysek

Metody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie

PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA

gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

Wytrzymałość materiałów

Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Stan odkształcenia i jego parametry (1)

Mechanika teoretyczna

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA

Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 5

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

OBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO

Szkic do wykładów z mechaniki analitycznej

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Integralność konstrukcji w eksploatacji

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Modelowanie układów prętowych

gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

ROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Transkrypt:

Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych

Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów skończoych w mechaice kostrukcji, Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej, Warszawa 25. Błazik-Borowa E., Podgórski J.: Wprowadzeie do metody elemetów skończoych w statyce kostrukcji iżyierskich, IZT, Lubli 2 Metoda elemetów skończoych wybrae problemy, Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej, Warszawa 996. Ciesielski R. i ii. Mechaika Budowli. Ujęcie komputerowe t. I i II Arkady. Warszawa, 99. Łodygowski T., ąkol W.: Metoda elemetów skończoych w wybraych zagadieiach mechaiki kostrukcji iżyierskich, Skrypt Politechiki Pozańskiej, 994; 2

Podstawowe pojęcia, założeia i twierdzeia mechaiki Liiowy model kostrukcji; Rówaia kostytutywe; Płaski sta apręŝeia i płaski sta odkształceia; Rówaia rówowagi; Zasada prac wirtualych; Twierdzeie Clapeyroa; Twierdzeia Bettiego i Maxwella. 3

Liiowy model kostrukcji Układ opisują liiowe rówaia róŝiczkowe: Małe przemieszczeia kostrukcji (duŝo miejsze od wymiarów kostrukcji); Małe odkształceia; Materiał liiowo-spręŝysty (moŝliwość stosowaia prawa Hooke a: E). Moduł Youga Etg(α) α 4

Nieliiowy model kostrukcji W rówaiach róŝiczkowych układu mogą być wprowadzoe: DuŜe przemieszczeia kostrukcji; Materiał z ieliiową zaleŝością. Obliczeia dla kostrukcji z ieliiowym modelem są wykoywae jak dla układów liiowych, ale obciąŝeie jest dzieloe a miejsze wartości tak, aby moŝa przy małej wartości obciąŝeia problem traktować jak liiowy. α β Moduł wzmocieia E w tg(β) Moduł Youga Etg(α) Przykład materiału ieliiowego 5

Naprężeia, działające a elemet o ieskończeie małych wymiarach, zestawia się w macierz, która osi azwę tesora stau aprężeń a wygląda w astępujący sposób: τ τ Tesor aprężeia i tesor odkształceia xx yx zx τ a aprężeia ii i τ ij są azywae składowymi tesora aprężeń. Powyższa macierz jest macierzą symetryczą czyli Τ oraz τ ij τji τ xy yy zy τ τ xz yz zz Odkształceia elemetu o ieskończeie małych wymiarach, zestawia się także w macierz, która osi azwę tesora stau odkształceia i wygląda w astępujący sposób: xx yx zx xy yy zy xz yz zz 6

Tesor aprężeia i tesor odkształceia Składowe tesorów aprężeń i odkształceń moża zapisać w formie wektorów: xx τxy τxz τ τ yx yy yz τzx τzy zz τxy τ yx xx yx zx xy yx τ yz yz τ xy yy zy zy zy τ xz yz zz xz xz τ zx zx τ τ τ xx yy zz xy xz yz xx yy zz xy xz yz 7

Tesor aprężeia Tesor aprężeia i tesor odkształceia i tesor odkształceia Składowe tesora apręŝeia (9) z uwagi a symetrię moŝa zapisać jako wektor: Podobie moŝa postąpić ze yz xz z y x τ τ Podobie moŝa postąpić ze składowymi tesora odkształceia: Składowe tesora odkształceia jako pochode przemieszczeń: 8 xy yz τ xy yz xz z y x x u x x y u y y z u z z x u y u y x xy + x u z u z x xz + y u z u z y yz +

Rówaia kostytutywe Rówaia kostytutywe Rówaia wiąŝące składowe tesorów apręŝeia i odkształceia: + + + µ µ µ λ λ λ λ µ λ λ λ λ µ λ 2 2 2 D odkształceia: 9 µ µ D D ( )( ) λ 2 + E ( ) µ 2 + E + + + ) 2( ) 2( ) 2( E D

Rówaia kostytutywe Zestawieie odkształceń podłużych w przestrzeym staie aprężeń xx yy E xx xx E xx E xx zz aprężeia działają wzdłuż osi x xx E xx E xx yy xx yy E yy E yy E yy zz aprężeia działają wzdłuż osi y yy E yy E yy zz xx zz E zz E zz E zz aprężeia działają wzdłuż osi z zz yy zz zz E E

Rówaia kostytutywe Tak jak w przypadku odkształceń podłużych a podstawie badań stwierdzoo zakres pracy materiału, który azyway jest sprężystym i w odiesieiu do którego moża zapisać: W przypadku odkształceń postaciowych ie ma sprzężeia pomiędzy odkształceiami w staie przestrzeym. Odkształceia postaciowe ostatecze zależą tylko od aprężeń styczych, działających w płaszczyźie zmiay kąta odkształceia postaciowego. 2 2 2 xy yz xz τ xy G τ G yz τxz G

Rówaia kostytutywe W rówaiach kostytutywych występują stałe materiałowe: E moduł Youga, moduł sprężystości podłużej G moduł irchoffa, moduł sprężystości postaciowej współczyik Poissoa E 2 + Wszystkie powyższe parametry łączy zależość: 2 ( + ) G W przypadku zapisu rówań kostytutywych za pomocą rachuku tesorowego dochodzą dwie stałe λ i µ,, azywae stałymi Lamego. Pomiędzy stałymi Lamego a wyżej wymieioymi stałymi istieją zależości: µ G 2G λ 2 2

Rówaia kostytutywe Rówaia kostytutywe Zależość pomiędzy aprężeiami i odkształceiami moża zapisać w formie: gdzie: D 3 stałe Lamego τ τ τ yz xz xy zz yy xx yz xz xy zz yy xx + + + µ µ µ µ λ λ λ λ µ λ λ λ λ µ λ 2 2 2 D µ G λ 2 2 G

Płaski sta aprężeia Płaski elemet, którego grubość jest zaczie miejsza od dwóch pozostałych, obciążoy tylko w swojej płaszczyźie azyway jest tarczą. W takiej sytuacji a powierzchi elemetu ie ma obciążeń, a więc ie ma aprężeń czyli aprężeia, które mają jede z ideksów z, są rówe zero. Taki sta aprężeń azyway jest płaskim staem aprężeń (PSN). Tarcza obciążoa tylko w swojej płaszczyźie. 4

Płaski sta aprężeia Założeie upraszczające, które moża stosować p. w przypadku ciekich tarcz. z zx zy τ τ Otrzymujemy astępujące składowe tesora odkształceia: ( ) z x + y zx zy Zredukowae wektory aprężeń i odkształceń: x y τ xy x E y D 2 xy 2 5

Płaski sta odkształceia W przypadku budowli, których wymiary są we wszystkich kierukach podobe, moża wyciąć płaski elemet. Na te płaski elemet działają pozostałe części bryły, które ie pozwalają a odkształceia w kieruku prostopadłym do tarczy. W takiej sytuacji a powierzchi elemetu odkształceia są rówe zero. Taki sta aprężeń azyway jest płaskim staem odkształceń (PSO). Bryła Wycięta tarcza 6

Płaski sta odkształceia Założeie upraszczające w przypadku masywych budowli. z zx zy Otrzymujemy astępujące składowe tesora aprężeia: z ( ) + τ x y zx Związek między zredukowaymi wektorami aprężeia i odkształceia: D E ( + )( 2) 2 2 τ zy D E 2 2 7

Rówaia rówowagi Wektorowa suma sił i suma mometów są rówe : Zapis skalary w przestrzei: a płaszczyźie: P i i P Xi i M Xi i M i i P Yi i i P Zi i M Yi M Zi i P Xi i P Yi i M Zi i 8

Ciało sztywe i odkształcale Ciało doskoale sztywe (idealizacja): Brak zmia odległości puktów ciała pod działaiem obciąŝeń. Ciało odkształcale: Odkształceia są a tyle duŝe, Ŝe ie jest moŝliwe pomiięcie odkształceń ciała w aalizie, bez istotej utraty dokładości obliczeń. 9

Zasada prac wirtualych ciało sztywe Praca wykoywaa a przemieszczeiach wirtualych przez siły zewętrze (obciążeia, reakcje) rówa jest. i P i u i i Przemieszczeie wirtuale powio spełiać astępujące waruki: dowole, iezależe od sił działających a bryłę, zgode z więzami (kiematyczie dopuszczale), iezależe od czasu. 2

Zasada prac wirtualych przykład H A H A V A a P P b RB δ B P δ P RB δ B δ P a δ B a + b δ P a R B P P δ a + b δ B ( ) δ P H A δ A V A V A δ P P RB R B P δ δ P VA A δ P b δ A a + b δ P b V A P P δ a + b A ( ) 2

Zasada prac wirtualych ciało odkształcale Wzrost eergii potecjalej ciała, zajdującego się w rówowadze, rówy jest pracy sił zewętrzych wykoaych a przemieszczeiach wirtualych. i P u E i i Wzrost eergii potecjalej praca wykoywaa przez siły wewętrze a przemieszczeiach wirtualych. V T E dv 22

omplemetara zasada prac wirtualych Wzrost eergii potecjalej ciała, zajdującego się w rówowadze, rówy jest pracy wirtualych sił zewętrzych wykoaych a rzeczywistych przemieszczeiach. i P i ui Wzrost eergii potecjalej praca wykoywaa przez wirtulae siły wewętrze a przemieszczeiach rzeczywistych. V E E dv T 23

Twierdzeie Clapeyroa () Twierdzeia Clapeyroa mówi, że dla układu sprężystego, zajdującego się w rówowadze, praca sił zewętrzych L z rówa jest eergii potecjalej sił wewętrzych (eergii sprężystej): L z V 2 lub w iej wersji i P i u i 2 T dv T dv 2 V V Praca sił zewętrzych jest miarą eergii potecjalej obciążeia zewętrzego przekształcającej się w eergię sprężystą: L z V z V-L w 24

Twierdzeie Clapeyroa (2) Układ musi spełiać astępujące waruki: materiał zachowuje się zgodie z prawem Hooke a, ie ma takich waruków brzegowych, których istieie zaleŝy od odkształceia kostrukcji, temperatura układu jest stała, ie ma apręŝeń i odkształceń wstępych. 25

Twierdzeie Bettiego Układ sił P ik wykouje taką samą pracę a przemieszczeiach wywołaych układem sił P j jak układ sił P j a przemieszczeiach wywołaych przez siły P ik. k P ik u jk P j u i P i u j P j u i P i Ugięcie belki od siły Ugięcie belki od siły P j P i P j u ii u ji u ij u jj P j P i Praca siły P j Praca siły P i u ii u ji u ij u jj Pj u ji P u i ij 26

Twierdzeie Maxwella Jeżeli a kostrukcję działają dwie iezależe uogólioe siły jedostkowe P i i P j, wywołujące odpowiedio przemieszczeia w ji (przemieszczeie w pukcie j a kieruku siły P j wywołae siłą P i ) i w ij (przemieszczeie w pukcie i a kieruku siły P i wywołae siłą P j ), to te przemieszczeia są sobie rówe. P i P i w ij P j w ji oraz P i i P j w ij w ji Ugięcie belki od siły P i Ugięcie belki od siły P j P j w ii w ji w ij w jj P j Praca siły P j P i Praca siły P i w ii w ji w ij w jj 27

Metoda elemetów skończoych Aproksymacja układu rówań różiczkowych wraz z warukami brzegowymi, opisujących obiekt układem rówań algebraicczych, który jest łatwiejszy do rozwiązaia. Rozwiązaie przybliżoe dokładość zależy od metod aproksymacji. Metoda stosowaa w różych dziedziach: mechaika ciała stałego, budowli, płyów, elektryka itp. 28

Sposób poszukiwaia rozwiązaia przybliżoego () Podział a elemety skończoe połączoe w węzłach. Niewiadome: przemieszczeia w węzłach. Przybliżeie przemieszczeń puktów wewątrz elemetów za pomocą fukcji aproksymujących (fukcje kształtu) a podstawie przemieszczeń węzłowych. Siły w elemetach uzależioe od przemieszczeń węzłów za pomocą macierzy sztywości. 29

Sposób poszukiwaia rozwiązaia przybliżoego (2) Zapis układu rówań rówowagi dla wszystkich węzłów (stopi swobody) i wprowadzeie waruków brzegowych. Rozwiązaie układu rówań algebraiczych obliczeie przemieszczeń węzłów. Obliczeie pozostałych wielkości odkształceia, siły wewętrrze, apręŝeia. 3

Algorytm metody elemetów skończoych Dyskretyzacja (geeracja siatki); Tworzeie macierzy sztywości elemetów; Agregacja globalej macierzy sztywości; Budowa globalego wektora obciąŝeia; Wprowadzeie waruków brzegowych; Rozwiązaie układu rówań; Obliczeie sił wewętrzych i reakcji. 3

ostrukcje prętowe: kratowe i ramowe Często podział aturaly odciek prostoliiowy pręta jest elemetem skończoym; Tarcze, płyty i powłoki: Elemety prostokąte lub trójkąte; Dyskretyzacja () 32

Dyskretyzacja (2) ostrukcje bryłowe: Elemety czterowęzłowe (czworościee), sześciowęzłowe, ośmiowęzłowe. 33

Macierze sztywości elemetów Macierze sztywości elemetów Aaliza poszczególych elemetów; Zalezieie związków między parametrami statyczymi (obciążeiami) i odpowiadającymi im parametrami geometryczymi (przemieszczeiami). (przemieszczeiami). 34 jy jx iy ix jy jx iy ix e e e F F F F u u u u l EA l EA l EA l EA ' ' ' f u

Stopie swobody Rodzaj kostrukcji Ilość stopi swobody Przesuięcia Obroty N D u x u y u z ϕ x ϕ y ϕ z krata płaska 2 krata przestrzea 3 rama płaska 3 rama przestrzea 6 ruszt 3 tarcza 2 płyta 3 powłoka 6 bryła 3 35

Globala macierz sztywości Globala macierz sztywości i rozwiązaie układu rówań i rozwiązaie układu rówań Układ rówań metody elemetów skończoych: p u N N p p p u u u M M M M O M M 2 2 2 22 2 2 Jako wyik otrzymujemy przemieszczeia w węzłach (a poszczególych stopiach swobody). Na ich podstawie wyliczae są siły odkształceia i aprężeia a astępie siły wewętrze, reakcje, itp. 36 N N N N N N N N p p u u M M M O M M M 2

Fukcje kształtu Do wyzaczeia przemieszczeń wewątrz elemetu a podstawie przemieszczeń węzłów służy fukcja kształtu. u( x, y) N ( x, y) u e e [ i j k l ] u ( x, y) N ( x, y) N ( x, y) N ( x, y) N ( x, y) Na podstawie fukcji przemieszczeń liczoe są odkształceia u x x x u x xz + z uz x y u u u u i j k l u y u z z y z u y uz yz + z y xy u y x + u y x I a tej podstawie aprężeia D 37

Moduły systemów MES (FEM) Preprocesor: Dyskretyzacja; Dae materiałowe; Opis obciążeia. Nowoczesy preprocesor pozwala a graficze wprowadzaie iformacji o modelu. Procesor: Macierze sztywości elemetów; Globala macierz sztywości; Wektor obciążeia; Waruki brzegowe; Rozwiązaie układu rówań. 38

Moduły systemów MES (FEM) Postprocesor: Obliczeie sił wewętrzych i reakcji; Wizualizacja wyików. 39

Moduły systemów MES (FEM) Postprocesor: (postaci drgań własych prostokątej płyty) 4

oiec