Stan odkształcenia i jego parametry (1)

Transkrypt

1 Wprowadzenie nr * do ćwiczeń z przedmiotu Wytrzymałość materiałów przeznaczone dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku nergetyka na wydz. nergetyki i Paliw, w semestrze zimowym /. Zakres wprowadzenia nr To wprowadzenie dotyczy ćwiczenia, na którym kaŝdy student samodzielnie opracowuje Arkusz ćwiczeniowy nr. Przez opracowanie tego arkusza studenci nabywają umiejętność analizy i oceny energetycznej odkształceń spręŝystych materiału z wykorzystaniem podstawowych zaleŝności konstytutywnych nazywanych uogólnionym prawem Hooke a.. Pojęcia podstawowe Odkształcenie bryły: zmiana objętości i postaci bryły wskutek działania sił zewnętrznych. Odkształcenie wybranego punktu bryły: zmiana objętości i postaci elementarnego prostopadłościanu (P) o początkowych wymiarach dx, dy, dz oraz o początkowych kątach między krawędziami równych,π, wskutek działania napręŝeń. Główne załoŝenie stosowane w analizie odkształceń: wydłuŝenia x, y, z krawędzi P są wywoływane przez napręŝenia normalne, natomiast zmiany γ xy, γ xz, γ yx kątów pomiędzy poszczególnymi krawędziami P przez napręŝenia styczne. *Autorem wprowadzenia jest Marek Płachno, prof. ndzw. AGH. Wprowadzenie (8 stron) stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 994 r. Nr 4 poz.8 z późn. zm.). Autor nie wyraŝa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŝ podane w jego przeznaczeniu Stan odkształcenia i jego parametry () Odkształcenia objętościowe: WydłuŜenia względne poszczególnych krawędzi P definiowane jako: dx dy =, y =, dx dy x z = dz dz Odkształcenia objętościowe powodują zmianę objętości P bez zmiany jego postaci, tzn. odkształcony objętościowo P pozostaje prostopadłościanem. Odkształcenia postaciowe: Wartości kątów γ xy, γ xz, γ yz ( w radianach) określające zmianę kształtu ścian P z prostokątów w równoległoboki, bez zmiany powierzchni tych ścian. Odkształcenia postaciowe zmieniają P w graniastosłup o równoległych podstawach, ale objętość graniastosłupa pozostaje taka sama jak nieodkształconego P.

2 Stan odkształcenia i jego parametry () lementarny prostopadłościan odkształcony objętościowo lementarny prostopadłościan odkształcony postaciowo ZaleŜności pomiędzy parametrami stanu odkształcenia i napręŝenia () Uogólnione prawo Hooke a dla odkształcenia objętościowego = [ σ ν ( σ + σ )], = [ σ ν ( σ + σ )] = [ σ ν ( σ + σ )],, - parametry stanu odkształcenia objętościowego w analizowanym punkcie bryły, w kierunku napręŝeń głównych. σ, σ, σ napręŝenia główne w analizowanym punkcie bryły, moduł spręŝystości wzdłuŝnej (Younga) dla materiału bryły, ν - liczba Poissona dla materiału bryły. 4

3 ZaleŜności pomiędzy parametrami stanu odkształcenia i napręŝenia () Uogólnione prawo Hooke a dla odkształcenia postaciowego τ xy xz γ xy =, γ xz =, γyz = G G τ τ yz G γ xy,γ xz,γ yz parametry stanu odkształcenia postaciowego w analizowanym punkcie bryły, τ xy, τ xz, τ yz - parametry stanu napręŝeń stycznych w analizowanym punkcie bryły, G moduł spręŝystości postaciowej (Kirchhoffa), MPa, dla materiału bryły, przy czym: G = ( ) +ν Uwaga Uogólnione prawo Hooke a jest zgodne z wynikami empirycznymi dla odkształceń i napręŝeń zmieniających się od zera do wartości nazywanych granicami zakresu spręŝystego 6

4 nergia odkształcenia spręŝystego Jest to energia zakumulowana w jednostce objętości materiału wskutek występowania w tym materiale określonego stanu odkształcenia nergia objętościowego odkształcenia spręŝystego + ν Φ P = [( σ σ ) 6 ν Φ + 6 O = ( σ + σ σ ) σ, σ, σ napręŝenia główne w analizowanej objętości materiału, moduł spręŝystości wzdłuŝnej (Younga) dla materiału, ν - liczba Poissona dla materiału. nergia postaciowego odkształcenia spręŝystego + ( σ ) ( ) σ + σ σ Całkowita energia odkształcenia spręŝystego ] Φ = Φ O + Φ P 7 Parametry własności spręŝystych róŝnych materiałów Wpływ temperatury na własności spręŝyste materiałów na przykładzie stali węglowej Materiał Stal węglowa konstrukcyjna Stal spręŝynowa śeliwo Stopy aluminium Stopy tytanu Moduł Younga, MPa,, (,,6),7, Liczba Poissona,4,,4,,,7,6, Beton (,8,44), 6,8 Szkło,6,, 8 4

5 Kierunki analizowania odkształceń.kierunki osi x, y, z, pokrywające się z kierunkami przyjętymi dla napręŝeń w analizowanym punkcie bryły..kierunki,, wzajemnie prostopadłe, pokrywające się z kierunkami głównymi stanu napręŝenia w analizowanym punkcie bryły. Odkształcenia o kierunkach napręŝeń głównych,,, mają nazwę Przypadki stanów odkształceń Przestrzenny (trójosiowy) stan odkształcenia: Płaski (dwuosiowy) stan odkształcenia: Jednoosiowy stan odkształcenia: odkształcenia główne Stan odkształcenia, w którym:,, Stan odkształcenia, w którym np.: = oraz > Stan odkształcenia, w którym np.: = = oraz > 9 Analiza stanu odkształcenia Przykład obliczeniowy Sześcian o krawędzi a został obciąŝony siłą P, która w kaŝdym punkcie objętości sześcianu wywołuje jednoosiowy stan napręŝeń głównych: σ = σ =, σ = - MPa Obliczyć odkształcenia,, dla dwu wykonań sześcianu, tj.: ze stali konstrukcyjnej, której parametry własności spręŝystych mają wartości: S =, MPa, ν S =,6, ze stopu aluminium, którego parametry własności spręŝystych są określone jako: A =,7 MPa, ν A =, 6.

6 Analiza stanu odkształcenia Przykład obliczeniowy (c.d.) Dane dla sześcianu ze stali: σ = σ = σ = - MPa S =, MPa, ν S =,6 Obliczenia odkształceń,, dla sześcianu ze stali: = [ σ ν ( σ + σ )] = [,6( )] =,, = [ σ ν ( σ + σ )] = [,6( )] =,, = [ σ ν ( σ + σ )] = [,6( + )] =,49, Analiza stanu odkształcenia Przykład obliczeniowy (c.d.) Wyniki obliczeń Materiał sześcianu Sześcian ze stali o parametrach =, MPa ν =,6 Sześcian ze stopu aluminium o parametrach =,7 MPa ν =,6 σ NapręŜenia i odkształcenia σ σ, -, - - MPa, 7 -, MPa -,49 - -,9 - Wniosek Przy takich samych napręŝeniach materiału, jego odkształcenia są tym większe, im mniejszy jest moduł spręŝystości wzdłuŝnej (moduł Younga) tego materiału 6

7 Analiza stanu odkształcenia Przykład obliczeniowy Sześcian pokazany na rysunku pozbawiono moŝliwości odkształceń w kierunku osi, aby spowodować w sześcianie dwuosiowy stan napręŝeń. W tym celu umieszczono sześcian w wycięciu sztywnej płyty. Obliczyć napręŝenie σ oraz odkształcenia i przy załoŝeniu, Ŝe = oraz Ŝe σ =, σ =- MPa, a sześcian jest wykonany ze stopu aluminium jak przykładzie. Obliczony stan odkształceń i napręŝeń sześcianu nieswobodnego (umieszczonego w wycięciu płyty) porównać ze stanem napręŝeń i odkształceń obliczonym w przykładzie dla sześcianu swobodnego. Analiza stanu odkształcenia σ =, σ =- MPa, = =,7 MPa, ν =, 6 σ,, Równanie do obliczeń i obliczenie napręŝenia σ : = [ σ ν ( σ + σ )] = σ = ν ( σ + σ ) =,6 ( ) = 6 MPa Przykład obliczeniowy (c.d.) Dane: Obliczyć : Wzór do obliczeń i obliczenie odkształcenia : [,6( 6 )],46 = [ σ ν ( σ + σ )] =,7 = Wzór do obliczeń i obliczenie odkształcenia : = [ σ ν( σ + σ )] = [,6 ( 6)] =,,7 4 7

8 Analiza stanu odkształcenia - przykład obliczeniowy (c.d.) Wyniki obliczeń Sześcian σ NapręŜenia i odkształcenia σ σ Swobodny (rys. z lewej strony), 7 -, MPa -, 9 - Nieswobodny (rys. z prawej strony), MPa - MPa -, - Wniosek Ograniczenie swobody odkształceń materiału powoduje wzrost napręŝeń w materiale tym większy, im większa jest liczba Poissona ν tego materiału. Koniec wprowadzenia nr 8