Analia matematycna, ce ść cwarta Ekstrema wia ane warunkowe, mnożniki Lagrange a Posukuja c ekstremów lokalnych i globalnych funkcji pomijaliśmy do tej pory jeden bardo ważny prypadek. W wielu agadnieniach mie dy argumentami funkcji achoda pewne wia ki, ce sto sa one wyrażane a pomoca równości. Chca c naleźć odleg lość punktu od p lascyny ropatrujemy funkcje kwadrat odleg lości jedynie na tej p lascyźnie. Jeśli firma planuje swe wydatki i prenaca ce ść swych środków na p lace, ce ść na reklame, ce ść na akup materia lów potrebnych do produkcji itd, to suma tych wsystkich kwot jest ustalona, bo to sa środki, które osta ly prenacone na ten rodaj produkcji. W bardiej aawansowanych modelach dopusca sie nierówności: suma wydatków nie może prekrocyć tego, cym firma dysponuje, ale też nie musi być równa jej asobom finansowym. Ocywiście to tylko pryk ladowe astosowania teorii, która w skrócie amieramy tera predstawić. Tera wypada prejść do posukiwania ekstremów funkcji określonych co prawda na biorach otwartych, ale pry a lożeniu, że interesuja nas jedynie punkty bioru M definiowanego jak w twierdeniu o funkcjach uwik lanych a pomoca równania postaci 0 = F x y. Pry posukiwaniu ekstremów awse do tej pory formu lowaliśmy najpierw warunek koniecny: erowanie sie pochodnej. W prypadku tera ropatrywanym be die nieco inacej, bowiem ogranicamy swe ainteresowanie do powierchni k wymiarowej w prestreni wymiaru l. Pochodna powinna w dalsym cia gu być równa 0, ale tylko w kierunku tej powierchni! W kierunku prostopad lym może być nieerowa. Ten warunek można sformu lować w terminach wia anych opisem powierchni a pomoca uk ladu równań cyli takiego opisu, o jakim jest mowa w twierdeniu o funkcjach uwik lanych. Die ki temu be diemy mogli unikna ć rowia ywania uk ladu równań i wyrażania funkcji k + l miennych ograniconej do powierchni wymiaru k a pomoca w laściwej licby miennych, cyli k. Rowia ywanie tego rodaju uk ladów równań bywa bardo trudne a casem jest wre c niemożliwe, co mog loby musać do stosowania metod prybliżonych, niekiedy skomplikowanych. Twierdenie Lagrange a o lokalnych ekstremach warunkowych* Za lóżmy, że funkcja F : G G IR l spe lnia a lożenia twierdenia o funkcjach uwik lanych w punkcie p q G G ora że funkcja różnickowalna f pryjmuje w punkcie p q wartość najmniejsa lub naj spośród pryjmowanych w biore M = { x y : F x } y = 0. Istnieja wtedy licby λ,..., λ l takie, że grad f p q = λ grad F p q + λ grad F p q + + λl grad F p l q, wie c grad f p q jest prostopad ly do prestreni wektorów stycnych do M w punkcie p q. Dowód. Niech g onaca funkcje, której istnienie jest agwarantowane twierdeniem o funkcjach uwik lanych, tj. funkcje, której wykresem jest fragment bioru M lożony e wsystkich jego punktów najduja cych sie dostatecnie blisko punktu p q, pry cym q = gp. Dla ustalenia uwagi pryjmijmy, * casem wanych wia anymi, termin angielski: constrained maximum or minimum 66
że f p q jest najwie wartościa funkcji f. Wtedy funkcja prypisuja ca punktowi x IR k licbe f x gx ma najwie wartość w punkcie p U, biór U otwarty w IR k, awieraja cy punkt p jest diedina funkcji g. Wobec tego gradient funkcji f w tym punkcie musi być wektorem erowym cyli musi achodić równość 0 = x f p q + f p y q Dgp. Zbiór wektorów v, dla których achodi równość 0 = v x + v y Dg p, jest podprestrenia linowa wymiaru l. Wynika to tego, że dla każdego wektora v y IR l można pryja ć v x = v y Dg p q. Jasne jest, że baa w tej prestreni liniowej sa wierse maciery DF p q sa one liniowo nieależne, bo ra d tej maciery równy jest l, c licbie wiersy tej maciery, spe lniona jest też równość F x p q + F p y q Dgp = 0. Wobec tego każdy wektor tej prestreni liniowej jest kombinacja liniowa jej wiersy, atem grad f p q też, a to w laśnie mieliśmy wykaać. Uwaga. Licby λ,..., λ l naywane sa mnożnikami Lagrange a. Funkcja L definiowana a pomoca równości L = f λ i F i lub L = f + λ i F i funkcja Lagrange a, w ależności od podre cnika. Nase uje cie jest bardo geometrycne, dlatego nasego punktu widenia równość L = f λ i F i jest bardiej naturalna. Wybór naku jest ocywiście niestotny, bowiem można precież mienić odpowiednio nak wsystkich mnożników Lagrange a. Pokażemy tera na kilku pryk ladach, jak można a pomoca twierdenia Lagrange a do najdować wartości naj kse i najmniejse funkcji różnickowalnych na biorach adanych a pomoca uk ladu równań, na ogó l nieliniowych, ale spe lniaja cych a lożenia twierdenia o funkcjach uwik lanych, c nieależnych każde równanie coś wnosi, np. mienia wymiar bioru rowia ań, ale nie mamy tu na myśli liniowej nieależności, bo to poje cie w sytuacjach nieliniowych nie ma astosowania. Pryk lad. xy Niech f be die funkcja definiowana worem f = x + 3y. Znajdiemy jej naj i { xy } najmniejsa wartość na biore M = : x + y + 4 = 0, x + y + = 0. Zbiór ten badaliśmy w pryk ladie cwartym. Stwierdiliśmy, że pry odpowiednim traktowaniu miennych, spe lnione sa a lożenia twierdenia o funkcjach uwik lanych w każdym punkcie tego bioru. Można c stosować twierdenie Lagrange a. Zacnijmy jednak od stwierdenia, że funkcja f jest cia g la w każdym punkcie tego bioru, M jest biorem wartym bo jest ogranicony jako awarty w kuli o promieniu 4 i domknie ty, bo adany a pomoca równań, w których wyste puja jedynie funkcje cia g le, atem funkcja f pryjmuje w jakimś punkcie tego bioru wartość najmniejsa i w jakimś punkcie bioru M wartość naj pryjmowanych na tym biore. xy Jeśli w pewnym punkcie funkcja osia ga jeden e swych kresów, to musi być tam spe lniony warunek Lagrange a, cyli musi być spe lniony uk lad równań: x + y + = 4. W tych równościach wyja tkowo wektory apisywane sa poiomo amiast pionowo, bo wektor v pojawi l sie tu w aste pstwie maciery Df cyli wektora apisanego poiomo. 67
x + y + = 0. = λ x + λ.3 3 = λ y + λ.4 = λ + λ.5 Odejmuja c stronami równanie.4 od równania.3, naste pnie równanie.5 od równania.4 otrymujemy równości = λ x y ora 5 = λ y. Z każdej nich wynika, że λ 0. Wobec tego 5y x = y : pomnożyliśmy pierwsa tych równości pre 5, naste pnie napisaliśmy, że prawe strony tych równości sa równe i podieliliśmy wynik pre λ. Do otrymanego woru wstawiamy tera = x y, co wynika od rau.. Mamy c 5y x = y + x, cyli y = x. Sta d i. wynika, że = 3x. Wobec tego. mamy 4 = x + 4x + 9x, c x = ±. Okaa lo sie c, że funkcja x + 3y może pryjmować ekstremalne wartości jedynie w punktach ora. W jednym nich musi pryja ć wartość + + 3 naj, a w drugim najmniejsa. Mamy c +3 + 3 3+ x + 3y + + 3+ 3 3 Znaleźliśmy c wartość najmniejsa i naj funkcji x + 3y na biore M. Nadmienić wypada, że w tym konkretnym prypadku można sie latwościa obejść be mnożników Lagrange a i ca lej teorii. Wystarcy skorystać nierówności Schwara: x + 3y + 3 + x + y + pamie taja c, że staje sie ona równościa wtedy jedynie, gdy istnieje licba t 0 taka, że x = t, y = 3t i = t. Analogicnie można poradić sobie osacowaniem do lu. Pryk lad. Niech f x { xy } y = xy, M = : x + y + = 5, x + y + 9. Znajdiemy najwie i najmniejsa wartość funkcji f na biore M. Zauważmy po pierwse, że biór M jest warty, a funkcja f cia g la, c f w jakimś punkcie bioru M ma wartość naj, a w innym najmniejsa. wektory Gradienty funkcji definiuja cych biór M = i x y { xy } : x + y + = 5, x + y + = 9, cyli sa w punktach tego bioru liniowo nieależne, bo ich linowej ależności, cyli równoleg lości wynika loby, że x = y =. Z równości x + y + = 5 wnioskowalibyśmy, że x = y = = 5 3, ale wtedy x + y + = 5 3 + 5 3 + 5 3 = 5 3 < 9. Jeśli c wartość ekstremalna pryjmowana jest w jednym punktów tego bioru, to musi być spe lniony warunek Lagrange a, cyli uk lad równań: 68
x + y + = 9. x + y + = 5. y = λ x + λ.3 x = λ y + λ.4 xy = λ + λ.5 Odejmuja c stronami równanie.3 od równania.4, równanie.4 od równania.5 otrymujemy wia ki y x = λ x y ora xy = λ y. Jeśli x = y, to x + = 9 i x + = 5, atem 9 = x + 5 x, cyli 3x 0x + 8 = 0. Sta d x = lub x = 4 3, c naleźliśmy dwa punkty, w których f może ewentualnie pryja ć wartość ekstremalna, mianowicie:,. Analogicnie jeśli y =, to otrymujemy punkty:,. Jeśli 4/3 4/3 7/3 natomiast x y i jednoceśnie y, to = λ = x, c otrymujemy punkty Wartościami funkcji f w tych punktach sa odpowiednio = 4 ora 4 3 4 3 7 3 = 7. 7/3 4/3 4/3, 4/3 7/3. 4/3 Być może f pryjmuje wartość naj lub najmniejsa w biore M ale nie w biore M, to wtedy też musi być spe lniony warunek Lagrange a, ale tera mamy do cynienia jednym równaniem x + y + = 5, c uk lad lożony równań i nierówności wygla da tak: x + y + < 9.n x + y + = 5.6 y = λ.7 x = λ.8 xy = λ.9 Jeśli λ = 0, to co najmniej dwie licb x, y, musa być równe 0, ale wtedy trecia musi być równa 5, co jest niemożliwe, bo wtedy x + y + = 5 > 9. Wobec tego λ 0. Wtedy jednak wsystkie licby x, y, sa różne od 0 i xy = y = x, c x = y =, atem x = y = = 5 3. Mamy ocywiście x + y + = 5 3, c warunki.n.9 sa spe lnione. Wobec tego punkt jest naste pnym podejranym o to, że w nim funkcja f pryjmuje jedna e swych wartości 5/3 5/3 5/3 ekstremalnych. By laby nia wtedy licba 5 3 5 3 5 3 = 5 5 7. Jasne jest, że 7 > 7 > 08 7 = 4. Wobec tego naj wartościa funkcji f spośród pryjmowanych w biore M jest licba 5 7, a najmniejsa licba 4. Pry okaji stwierdiliśmy, że naj wartościa funkcji f spośród pryjmowanych w biore M jest licba 5 7, a najmniejsa licba 7. 69
Uwaga. Pokażemy jak można naleźć naj i najmniejsa wartość funkcji f M parametryuja c M, c unikaja c mnoników Lagrange a. Każdy może obacyć, że M to okra g o środku w punkcie 5 3, 5 3, 5 3 i promieniu 6 3 najduja cy sie w p lascyźnie x + y + = 5. Wektory 3 3, 3, 0 i 3,, maja d lugość 6 3 i sa wajemnie prostopad le. Wobec tego każdy punkt interesuja cego nas okre gu jest postaci 3 5, 5, 5 + 3 cos t 3, 3, 0 + 3 sin t,, := ϕt. Nasym adaniem jest naleienie naj ksej i najmniejsej wartości funkcji F t := xt yt t = = 7 5+ 3 cos t+sin t5 3 cos t+sin t5 sin t = 7[ 5+0 sin t+sin t 3 cos t ] 5 sin t = [ = 7 + 0 sin t + 4 sin t ] 5 sin t = 7[ 0 + 6 sin t 8 sin 3 t ]. 0 = F t = 8 9 sin t cos t+ 9 cos t wtedy i tylko wtedy, gdy cos t = 0 lub sin t = ±. Jeśli cos t = 0, to sin t = lub sin t =. W pierwsym prypadku F t = 4, w drugim F t = 7 wartości pryjmuje funkcja w punktach, w których sin t =. Te same i odpowiednio sin t =. Ponieważ funkcja F jest okresowa, c osia ga swoje kresy, a ponieważ jest różnickowalne, c osia ga je w tych punktach, w których jej pochodna jest równa 0. Wobec tego sup F = 7 i inf f = 4. Zauważmy na koniec, że preksta lcenie ϕ: R R 3 ropatrywane na jakimkolwiek prediale otwartym I, którego d lugość jest mniejsa niż π jest homeomorfimem predia lu I na biór ϕi M, pry cym, ϕi jest otwartym podbiorem M. Zauważmy jesce, że jeśli sin t =, to ϕt =,, ; Jeśli sin t =, to ϕt = 4 3, 4 3, 7 3 ; jeśli cos t = 3 i sin t =, to ϕt = 7 3, 4 3, 4 3 ; cos t = 3 i sin t =, to ϕt =,, ; cos t = 3 i sin t =, to ϕt = 4 3, 7 3, 4 3 ; cos t = 3 i sin t =, to ϕt =,,. Okaa lo sie, że naleźliśmy te same punkty na M, które da la metoda Lagrange a, co ocywiście musia lo nasta pić. Podkreślmy, że metoda Lagrange a powala naleźć te punkty, w których pochodna lożenia f ϕ jest równa 0 be ropatrywania preksta lcenia ϕ. Pryk lad 3. Niech f x y = x + y + e x y 3, M niech onaca pierwsy oktant, tj. biór lożony tych wsystkich punktów prestreni trójwymiarowej, których wsystkie try wspó lre dne sa dodatnie. Wykażemy, że w biore M funkcja f nie ma wartości najmniejsej ani naj ksej i najdiemy jej kresy. Zauważmy prede wsystkim, że ponieważ wsystkie mienne sa dodatnie, to* Niech D = { xy x + y + e x y 3 < x + y + x + y + e x+y+ < x + y + /! = x + y + } : x + y + 0000, x 0, y 0, 0. Zbiór D jest ocywiście ogranicony i domknie ty, atem warty, c funkcja cia g la f pryjmuje w NIM wartość naj i najmniejsa. Najmniejsa to ocywiście 0, pryjmowana jest w punkcie 0. Naj ksa nie może Ciekawe ilu studentów potrafi loby naleźć preksta lcenie ϕ w casie nie prekracaja cym 5 minut. Nie ma powodu mieć, jest co prawda cia g la, ale M nie jest warty, c nic ich istnienia nie gwarantuje, chioć również go nie wykluca! * e t =+ t! + t! + t3 t 3! + >! dla t>0. 70
być mniejsa niż licba f = 3e 6 > 3 5 = 43 > 0000 > 0000. Wobec tego: e0000 albo naj ksa wartość w biore D jest pryjmowana wewna tr bioru D i wtedy gradient tej funkcji jest w tym punkcie wektorem erowym, xy albo lub w punkcie, którego prynajmniej jedna e wspó lre dnych równa jest 0. Zauważmy, że w tych punktach bioru M, które leża poa biorem D wartości funkcji f sa mniejse niż f, atem sup fx = supfx. x M x D Zachoda równości: f x = e x y 3 x y f y = e x y 3 x y f x = e x y 3 3x 3y 3 Jest c jasne, że wsystkie try pochodne ca stkowe, ani nawet dwie nie moga być równe 0 w tym samym punkcie. Wobec tego naj ksa wartość nie może być pryjmowana w punkcie wewne trnym bioru D. Jeśli np. jest pryjmowana w punkcie, w którym = 0 i jednoceśnie x 0 y, to dwie pierwse pochodne ca stkowe musa być równe 0, co również nie jest możliwe. Analogicnie nie jest możliwe, by wartość naj ksa pryjmowana by la w punkcie, w którym y = 0 i x 0, ani w punkcie, w którym x = 0 i y 0. Zostaja tylko punkty, w których x = y = 0 i 0 lub x = = 0 i y 0 lub y = = 0 i 0 x. Pryrównuja c odpowiednie pochodne ca stkowe do 0 otrymujemy try punkty, w których funkcja f może ewentualnie pryja ć swa naj wartość 0 00 w biore D :, i. Wartościami funkcji f w tych punktach sa licby e, e 0 0 0 3 i 3 e. Naj nich jest e, c ona jest naj wartościa funkcji f w biore D. Jest ona c też kresem górnym bioru wartości funkcji f w pierwsym oktancie. Kres ten nie jest osia gany, ale w punktach bliskich punktowi, 0, 0 wartości sa mu bliskie bo f jest funkcja cia g la. Analogicnie kresem dolnym jest licba 0, nie jest on osia gany, ale w punktach bliskich punktowi 0 lub w punktach w których suma x + y + jest bardo duża, wartość funkcji f jest bardo bliska 0. Pryk lad 4. Niech v IR k, a IR, v 0, M = {x IR k : v x + a = 0}. Niech p IR p i niech fx = x p. Wykażemy, że funkcja f M osia ga kres dolny na swej diedinie M. Zbiór M jest niepusty, np. a v v v M. W dalsym cia gu q M. Jeśli x / Bp, q p, to fx > fq. Wynika sta d, że inf{fx: x M} = inf{fx: x M Bp, q p }. Zbiór M Bp, q p jest domknie ty i ogranicony, c warty. Wobec tego funkcja f M osia ga na nim kres dolny. Mamy grad v x + a = v ora grad fx = x p. Z twierdenia Lagrange a o 7
ekstremach warunkowych wynika, że kres może być osia gany jedynie w takim punkcie x, dla którego istnieje licba λ, dla której achodi równość x p = λv. Ponieważ x M, c v x = a. Musi c achodić równość λv v = x v p v = a p v, atem λ = a+p v v v tych roważań, że jedynym kandydatem na punkt, w którym funkcja f M. Wynika pryjmuje swój kres dolny jest p a+p v v v v. Ponieważ wiemy już, że kres ten jest wartościa funkcji f M, c ta najmniejsa wartościa jest a+p v v v. Cytelnik pewnościa widi, że ropatrywany biór M to k wymiarowa podprestreń afinicna prestreni IR k, licba fx to kwadrat odleg lości punktu x od punktu p. Znaleźliśmy c punkt podprestreni M najduja cy sie najbliżej danego punktu p, cyli rut prostopad ly punktu p na podprestreń M. Odleg lość punktu p od tego rutu p a+p v v v v równa jest a+p v v. Otrymany wór nany jest w prypadku k = wielu studentom e sko ly, niektórym również w prypadku k = 3. Ocywiście wyprowadanie tego woru a pomoca twierdenia Lagrange a to strelanie armaty do wróbla, ale pokaaliśmy na tym prostym pryk ladie, jak dia la ta metoda. Pryk lad 5. Wykażemy, że dla dowolnych licb dodatnich x, x,..., x k achodi nierówność k x + x + + x k k x x... x k, cyli dobre nana nierówność o średniej arytmetycnej i średniej geometrycnej. Zauważmy, że jeśli t > 0 i licby x, x,..., x k asta pimy licbami tx, tx,..., tx k to obie strony nierówności ostana pomnożone pre t. Można c pryja ć dodatkowo, że achodi równość x + x + + x k =, jeśli tak nie jest, to wystarcy dane licby x, x,..., x k pomnożyć pre licbe t = x +x + +x k. Dowód nierówności o średnich sprowada sie c do wykaania, że kres górny funkcji f, definiowanej a pomoca równości fx = x x... x k, na biore M = {x IR k : x, x,..., x k > 0, x + x + + x k = }, nie jest ksy niż. Zbiór M jest ogranicony, ale nie jest warty, bo nie jest domknie ty. Roważmy c funkcje f na biore M = {x IR k : x, x,..., x k 0, x + x + + x k = }. Na tym biore funkcja f osia ga swe kresy, ponieważ jest nieujemna c jej kres górny jest dodatni, c jest pryjmowany w pewnym punkcie p M M. W tym punkcie musi być spe lniony warunek Lagrange a, tn. musi istnieć licba λ taka, że grad fx = λ grad x + x + + x k dla x = p, cyli p p 3 p 4... p k = λ, p p 3 p 4... p k = λ,..., p p p 3... p k = λ. Ponieważ wspó lre dne punktu p maja być różne od 0, c musa być równe. Wobec tego najwie wartość na biore M funkcja f pryjmuje w punkcie p = k, k,..., k. Wobec tego x x... x k k k dla pewnych numerów i, j. = x +x + +x k k k dla x M pry cym nierówność jest ostra, jeśli x i x j Pryk lad 6. Wykażemy, że dla dowolnych licb dodatnich x, x,..., x k, y, y,..., y k achodi nierówność Höldera x y +x y + +x k y k x p +xp + +xp k /p y q +yq + +yq k /q, gdie p i q onacaja licby dodatnie takie, że p + q =. Podobnie jak w poprednim pryk ladie asta pienie 7
licb x, x,..., x k licbami tx, tx,..., tx k, t > 0, powoduje pomnożenie obu stron nierówności pre licbe t. Można c be straty ogólności roważań pryja ć, że x p + xp + xp k =. Wtedy prawa strona równa jest y q + yq + yq k /q. Wystarcy c wykaać, że kres górny strony lewej pry ustalonym y nie prekraca tej licby. Aby mieć do cynienia e biorem wartym definiujemy M = {x: x 0, x 0,..., x k 0, x p +xp + +xp k = }, fx = x y +x y + +x k y k. Mamy grad x p + xp + xp k = pxp, x p,..., x p k 0, atem możemy korystać twierdenia Lagrange a prynajmniej wtedy gdy x > 0, x > 0,..., x k > 0. Powinna c istnieć licba λ taka, że y = λpx p, y = λpx p,..., y k = λpx p k. Wobec tego dla każdego j musi być spe lniona równość: x p j = yj λp. Równości p + q = ora qp = p sa równoważne, atem xp j = yj q. λp Z tej równości i x p + xp + + xp k = wynika, że λp = y q + yq + + yq k /q. Jeśli wie c funkcja f osia ga swój kres górny na biore M w punkcie, którego wsystkie wspó lre dne sa dodatnie, to x p j = y q j y q +yq + +yq k sta d x y + x y + + x k y k =. Z tej równości wynika, że x j y j = y p+q j y q +yq + +yq k /p = y q j y q +yq + +yq k /p, a yq +yq + +yq k = y q y q +yq + +yq k /p + yq + + yq k /q. Wykaaliśmy atem, że naj ksa wartość funkcji f albo równa jest y q + yq + + yq k /q albo jest pryjmowana w punkcie x, w którym jedna lub cej wspó lre dnych równa jest 0. Jeśli np. x = 0, to analogicne roumowanie prowadi nas do wniosku, że albo naj ksa wartość funkcji x y + x 3 y 3 + + x k y k jest pryjmowana w punkcie, w którym x > 0, x 3 > 0,..., x k > 0 i jest wtedy równa y q + yq 3 + + yq k /q < y q + yq + + yq k /q albo jest pryjmowana w punkcie w którym cej niż jedna wspó lre dna równa jest 0. Prosta indukcja końcy dowód. Pryk lad 7. Wykażemy nierówność Hadamarda: deta i,j k k i= j= a i,j. Wyjaśnimy najpierw sens geometrycny tej nierówności. Wartość bewgle dna wynacnika maciery kwadratowej to obje tość k wymiarowa równoleg lościanu k wymiarowego, w nasej interpretacji należy myśleć o wiersach jak o wektorach wynaconych pre krawe die tego równoleg lościanu. Twierdenie mówi c, że obje tość równoleg lościanu nie prekraca obje tości prostopad lościanu o tych samych krawe diach. Jest to c twierdenie cyklu ocywistych, jednak podamy jego dowód nie korystaja c interpretacji geometrycnych, można powiedieć: bo jesce nie ajmujemy sie miarami w prestreniach euklidesowych. Posta pimy jak w poprednich pryk ladach. Zacnijmy od stwierdenia, że pomnożenie jednego wiersa pre licbe t powoduje pomnożenie obu stron nierówności pre licbe t. Możemy c a lożyć, że każdy wiers to wektor o d lugości, tn. dla każdego numeru i achodi równość 73
a i, + a i, + + a i,k =. W dalsym cia gu M onaca biór takich w laśnie maciery. Mamy pry tym a lożeniu wykaać, że wartość wynacnika jest licba predia lu [, ]. Niech g m ai,j = a m, + a m, + + a m,k i niech g = g, g,..., g k. Zbiór maciery kwadratowych wymiaru k utożsamiamy IR k w ten sposób, że pierwsy wiers maciery to pierwse k wspó lre dnych punktu, naste pny wiers to naste pne wspó lre dne punktu itd. ocywiście nie mieniamy kolejności w ramach wiersa. Jeśli ga =,,...,, to Dga jest epimorfimem w pierwsym wiersu maciery Dga pojawiaja sie licby różne od era na co najmniej jednym pierwsych k miejsc, na poosta lych sa era; w drugim wiersu era sa wse die wyja tkiem niektórych miejsc o numerach k +, k +,..., k i na co najmniej jednym tych miejsc pojawia sie licba różna od era; itd., c sa spe lnione a lożenia twierdenia Lagrange a. Zachodi wór a i,j deta i,j = i+j A i,j, gdie A i,j jest wynacnikiem maciery powsta lej maciery a i,j pre wykreślenie i tego wiersa i j tej kolumny tw. dope lnienie algebraicne elementu a i,j. Wobec tego gradient funkcji deta i,j równy jest i+j A i,j. Mamy też równość grad g m ai,j = δ m,i a i,j, gdie δm,i onaca symbol Kroneckera, tj. δ m,i =, gdy m = i ora δ m,i = 0, gdy m i. Z twierdenia Lagrange a wynika, że jeśli w jakimś punkcie A = a i,j wynacnik osia ga naj wartość spośród osia ganych w biore M, to musa istnieć licby λ, λ,..., λ k takie, że grad a i,j = m λ m grad g m ai,j cyli i+j A i,j = λ i a i,j dla wsystkich i, j. Sta d wynika, że dla każdego m achodi równość k k deta i,j = m+j a m,j A m,j = λ m a m,j = λ m. j= j= Wynika sta d, że λ = λ =... = λ k = det a i,j = deta. Z woru na macier odwrotna do A = a i,j i równości i+j A i,j = λ i a i,j = a i,j deta wynika, że jeśli deta 0, to A = A T. Wobec tego = detaa = detaa T = deta deta T = deta, atem det A =. Wystarcy tera auważyć, że biór M jest warty: jest ogranicony, bo jest awarty w kuli o środku w punkcie 0 IR k i promieniu k, jest domknie ty jako preciwobra punktu pry odworowaniu cia g lym g: IR k IR k. Istnieja maciere, których wynacnik jest równy, np. I ora maciere których wynacnik równy jest, np. macier preka tniowa, na preka tnej której sa same jedynki wyja tkiem jednego miejsca, na którym najduje sie. Nierówność osta la wykaana. Zauważmy jesce, że warunek A = A T onaca, że preksta lcenie liniowe definiowane a pomoca maciery A jest iometria tn. Ax = x dla każdego x IR k, jeśli deta =, to iometria achowuje orientacje IR k niektóry mówia : jest parysta, jeśli deta =, to iometria 74
mienia orientacje jest nieparysta. TERMINOLOGIA Jeśli f: G IR l jest funkcja różnickowalna e bioru G otwartego w prestreni IR k, to punkty x G, w których Dfx jest epimorfimem naywamy punktami regularnymi f; punkty x G, które nie sa regularne naywamy krytycnymi; jeśli y = fx i x jest punktem krytycnym f, to y naywamy wartościa krytycna f ; jeśli y IR l nie jest wartościa krytycna, to naywamy je wartościa regularna. Zauważmy, że wartość regularna może w ogóle nie być wartościa funkcji f. W preciwobraie wartości krytycnej moga naleźć sie punkty regularne, natomiast musi naleźć sie co najmniej jeden punkt krytycny. W prypadku bioru M definiowanego a pomoca uk ladu równań g j = 0, gdie funkcje g, g,..., g l sa klasy C i których gradienty w punktach bioru M sa liniowo nieależne M jest romaitościa, ale ogólniejsa definicja romaitości pojawi sie w drugim semestre i funkcji f: G IR klasy C mówimy, że p M jest punktem krytycnym f M, jeśli spe lniony jest warunek Lagrange a, tn. gdy istnieja licby λ, λ,..., λ l takie, że grad fp = λ grad g p + λ grad g p + + λ l grad g l p. 75