Funkcje wielu zmiennych cia

Transkrypt

1 Funkcje wielu zmiennych g lość Do tej pory zajmowaliśmy sie funkcjami jednej zmiennej W wielu zagadnieniach wyste puja wielkości zależne od wielu czynników, co prowadzi do rozpatrywania funkcji cej niż jednej zmiennej W miejsce jednego argumentu, czyli jednej zmiennej rzeczywistej pojawia sie ich wiele Okazuje sie, że wygodnie jest traktować pary liczb rzeczywistych jako punkty p laszczyzny (na której ustalony zosta l uk lad wspó lrze dnych prostoka tnych) Analogicznie trójki liczb rzeczywistych traktujemy jako punkty przestrzeni trójwymiarowej, w której zosta l ustalony uk lad wspó lrze dnych prostoka tnych To podejście jest tak wygodne, że przenosimy je na przestrzenie o kszej licznie wymiarów: czwórki liczb rzeczywistych tworza przestrzeń czterowymiarowa, pia tki pie ciowymiarowa, itd Definicja k wymiarowej przestrzeni kartezjańskiej (euklidesowej) k wymiarowa przestrzenia kartezjańska nazywamy zbiór wszystkich k elementowych gów liczb rzeczywistych (x 1, x 2,, x k ) Oznaczamy ja symbolem IR k Piszemy x IR k wtedy i tylko wtedy, gdy x = (x 1, x 2,, x k ), tzn gdy x jest k elementowym giem liczb rzeczywistych Elementy przestrzeni IR k nazywamy punktami przestrzeni k wymiarowej lub wektorami* Definicja standardowego iloczynu skalarnego w IR k Wielkość x 1 y 1 + x 2 y x k y k nazywamy iloczynem skalarnym wektorów x = (x 1, x 2,, x k ) oraz y = (y 1, y 2,, y k ) i oznaczamy symbolem x y Twierdzenie o podstawowych w lasnościach iloczynu skalarnego a dla dowolnych x, y IR k zachodzi równość x y = y x przemienność iloczynu skalarnego, b dla dowolnych x, y, z IR k zachodzi równość (x + y) z = x z + y z rozdzielność iloczynu skalarnego wzgle dem dodawania wektorów, c dla dowolnego x IR k zachodzi nierówność x x 0, przy czym x x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 dodatnia określoność iloczynu skalarnego d dla dowolnych x, y IR k i dowolnej liczby t IR zachodzi równość (tx) y = t(x y) jednorodność iloczynu skalarnego Twierdzenie to wynika natychmiast z elementarnych w lasności liczb rzeczywistych, jego krótki dowód pozostawiamy czytelnikom w charakterze bardzo prostego ćwiczenia Definicja normy indukowanej przez iloczyn skalarny Norma wektora x IR k indukowana przez iloczyn skalarny nazywamy liczbe x = x x Te norme cze sto nazywamy euklidesowa Podstawowe w lasności normy a dla dowolnych x, y IR k zachodzi x + y x + y nierówność trójka ta, b dla dowolnego wektora x IR k i dowolnej liczby t IR zachodzi tx = t x jednorodność normy, * W tym drugim przypadku myślimy o wektorze, którego pocza tkiem jest punkt 0 = (0, 0,, 0), a końcem interesuja cy nas punkt 1

2 c dla dowolnego x IR k zachodzi nierówność x 0 przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0, d dla dowolnych x, y IR k zachodzi nierówność Schwarza: x y x y przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba t 0 taka, że x = ty lub y = tx, tzn gdy wektory x oraz y sa zgodnie równoleg le Dowód Nierówność Schwarza zosta la wykazana w zesz lym roku Z podanego wtedy dowodu wynika również, że równość ma miejsce jedynie w przypadku zgodnej równoleg lości wektorów Cze ści b i c wynikaja wprost z definicji normy Trzeba jeszcze wykazać nierówność trójka ta Mamy ( x + y ) 2 x + y 2 = x x y + y 2 (x + y) (x + y) = = x x y + y 2 (x x + x y + y x + y y) = 2 x y 2x y 0 ostatnia nierówność jest wynika bezpośrednio z nierówności Schwarza Dowód zosta l zakończony Przypomnijmy jeszcze, że iloczyn skalarny wektorów na p laszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej to po prostu iloczyn ich norm, czyli d lugości i kosinusa ka ta jaki tworza Osoby nie znaja ce tego twierdzenia moga pos lużyć sie twierdzeniem kosinusów dla udowodnienia go, np w dwóch wymiarach Jeśli rozszerzymy te interpretacje na przestrzenie o kszej liczbie wymiarów, to wtedy nierówność Schwarza oznaczać be dzie po prostu, że wartość kosinusa ka ta mie dzy wektorami jest mniejsza lub równa 1, przy czym wartość 1 jest osia gana jedynie wtedy, gdy kosinus ka ta mie dzy wektorami równy jest 1, czyli gdy ka t mie dzy wektorami równy jest 0 Podkreślić wypada jednak, że to tylko sugestia, że tak powinno być, a nie dowód, że tak jest, bo przecież geometria klasyczna (syntetyczna ) w przestrzeni o wymiarze kszym niż 3 do tej pory Państwo sie nie zajmowali W istocie rzeczy w tym rozdziale definiujemy pewne niezbe dne nam w dalszym gu poje cia Interpretacje geometryczne pozwalaja na rozumowania analogiczne do przeprowadzanych w wymiarze 3, a tego rodzaju analogie powinny u latwiać zrozumienie definicji, twierdzeń i ich dowodów Nie należy ich unikać, lecz stosować rozsa dnie, by nie przesadzić z analogiami nie wszystkie twierdzenia sa zgodne z intuicja Czasem rozpatrywane sa inne normy, np x p = ( x 1 p + x 2 p + + x k p ) 1/p, 1 p + Dla p = + mamy do czynienia z max{ x 1, x 2,, x k } = lim p x p My używać be dziemy na ogó l normy standardowej, czyli 2 Zadanie 1 Wykazać, że dla każdego x 0 funkcja p x p jest ściśle monotoniczna Zadanie 2 Wykazać, że dla każdego p 1 funkcja x x p jest norma, tzn spe lnia warunki a,b,c definicji normy Czy jest jakiś odpowiednik warunku d? Definicja kuli k wymiarowej Kula otwarta o środku p i promieniu r > 0 nazywamy zbiór B(p, r) = {x IR k : kula domknie ta o środku p i promieniu r > 0 zbiór B(p, r) = {x IR k : x p r} x p < r}, Jasne jest, że jednowymiarowa kula otwarta o środku w punkcie p IR i promieniu r > 0 jest przedzia l o środku w punkcie p i d lugości 2r Jednowymiarowa kula domknie ta o środku w punk- 2

3 cie p i promieniu r > 0 to po prostu przedzia l domknie ty o środku w punkcie p i d lugości 2r W tym wymiarze kula domknie ta różni sie od otwartej (o tym samym środku i promieniu) jedynie dwoma punktami Jasne jest, że dwuwymiarowa kula otwarta o środku p IR 2 i promieniu r > 0 jest ko lo o środku p i promieniu r, jednak bez punktów brzegowych, tj bez punktów, których odleg lość od p równa jest dok ladnie r Kula domknie ta o środku p i promieniu r > 0 to ko lo z brzegiem o środku p i promieniu r Trójwymiarowa kula otwarta to po prostu kula bez punktów brzegowych, a kula domknie ta to kula z punktami brzegowymi Widać c, że te nazwy motywowane sa terminologia stosowana w przypadku przestrzeni trójwymiarowej Mimo, że może sie komuś wydawać śmiesznym nazywanie przedzia lu kula, to jednak warto zap lacić taka cene za jednolita terminologie stosowana w odniesieniu do przestrzeni różnych wymiarów, to u latwia formu lowanie zarówno twierdzeń jak i ich dowodów Definicja zbioru otwartego w IR k Zbiór G nazywamy otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu p G istnieje liczba dodatnia r taka, że B(p, r) G Jasne jest, że ca la przestrzeń k wymiarowa jest zbiorem otwartym, w tym konkretnym przypadku można przyja ć np r = 1831 Również zbiór pusty jest otwarty Wynika to sta d, że jeśli poprzednik implikacji jest fa lszywy (czyli p ), to z tej nieprawdy już wszystko wynika w szczególności istnienie liczby r > 0 Również otwarta kula k wymiarowa w przestrzeni k wymiarowej jest zbiorem otwartym: jeśli q B(p, r), to przyjmuja c ϱ = r q p, otrzymujemy B(q, ϱ) B(p, r), bo jeśli x q < ϱ, to x p x q + q p < ϱ + q p = r Z tego ostatniego zdania wynika, że przedzia l otwarty jest otwartym podzbiorem prostej Natomiast odcinek bez końców otwartym podzbiorem p laszczyzny nie jest, bo przecież żaden jego punkt nie jest środkiem dwuwymiarowej kuli, czyli ko la zawartego w tym odcinku, odcinek w ogóle żadnego ko la nie zawiera Widzimy c, że to czy zbiór jest otwarty, czy też nie, zależy nie tylko od samego zbioru, lecz również od tego z jakiego punktu widzenia jest on rozpatrywany (szczegó ly na topologii)! Czytelnik sprawdzi bez trudu, że p laszczyzna bez jednego punktu, p laszczyzna bez skończenie wielu punktów, p laszczyzna bez skończenie wielu prostych sa otwartymi podzbiorami p laszczyzny Trójka t otwartym podzbiorem p laszczyzny nie jest, bo żadne ko lo o środku w punkcie leża cym na boku trójka ta zawarte w trójka cie nie jest Natomiast trójka t bez boków i wierzcho lków jest zbiorem otwartym, bo każdy punkt nie leża cy na boku trójka ta jest środkiem ko la zawartego w trójka cie bez boków Podobnie kwadrat nie jest otwartym podzbiorem p laszczyzny, ale staje sie otwarty po usunie ciu boków wraz z wierzcho lkami Analogiczne przyk lady można rozważyć w przestrzeni trójwymiarowej, co pozostawiamy czytelnikom w charakterze prostego ćwiczenia Podstawowe w lasności zbiorów otwartych a Suma dowolnie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym b Cze ść wspólna skończenie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym 3

4 Dowód Za lóżmy, że zbiory G i sa otwarte dla każdego i I, I oznacza tu dowolny zbiór (być może nieskończony) Jeśli p i I G i, to oczywiście p G j dla pewnego j G Zbiór G j jest otwarty c istnieje liczba r > 0 taka, że B(p, r) G j, ale wobec tego również B(p, r) i I G i To kończy dowód cze ści a Za lóżmy teraz, że zbiory G 1, G 2,, G n sa otwarte i niech p be dzie ich punktem wspólnym Istnieja wtedy liczby r 1, r 2,, r n takie, że B(p, r i ) G i dla i = 1, 2,, n Niech r oznacza najmniejsza z liczb r 1, r 2,, r n Oczywiście r > 0 i B(p, r) B(p, r i ) G i n dla i = 1, 2,, n Wobec tego B(p, r) G i Wykazaliśmy c, że jeśli p należy do wszystkich i=1 zbiorów G 1, G 2,, G n, to pewna kula o środku w punkcie p jest zawarta w zbiorze n G i, a to oznacza, że ten ostatni zbiór jest otwarty Dowód zosta l zakończony Wypada od razu zwrócić uwage na to, że {p} = B(p, 1 ), zatem cze n ść wspólna nieskończenie wielu zbiorów otwartych zbiorem otwartym być nie musi! Dowód otwartości cze ści wspólnej skończonej liczby zbiorów otwartych zacze liśmy od wyboru najmniejszego spośród skończenie wielu promieni, w przypadku nieskończonej ich liczby najmniejszego promienia może nie być i, co cej, kres dolny zbioru wszystkich promieni może być równy 0, dok ladnie tak, jak to ma miejsce w przyk ladzie, który podaliśmy n=1 Definicja zbioru domknie tego w przestrzeni IR k Zbiór F IR k jest domknie ty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór R k \ F jest otwarty Podane poprzednio przyk lady zbiorów otwartych daja od razu przyk lady zbiorów domknie tych: z tego, że ca la przestrzeń IR k jest zbiorem otwartym wnioskujemy natychmiast, że zbiór pusty jest domknie ty Z tego, że zbiór pusty jest otwarty wynika, że ca la przestrzeń jest zbiorem domknie tym Ponieważ kula otwarta jest zbiorem otwartym, c dope lnienie kuli otwartej jest zbiorem domknie tym Zbiory skończone sa domknie te, prosta jest podzbiorem domknie tym p laszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej Jasne jest też, że k wymiarowa kula domknie ta jest podzbiorem domknie tym przestrzeni IR k To stwierdzenie uzasadnimy Niech q / B(p, r), tzn q p > r Niech ϱ = q p r Oczywiście ϱ > 0 Niech x B(q, ϱ), tzn x q < ϱ = q p r Sta d wynika, że r < q p x q x p, co oznacza, że x / B(p, r), a c B(q, ϱ) B(p, r) = Wykazaliśmy c, że kula B(q, ϱ) jest zawarta w dope lnieniu kuli B(p, r), a ponieważ q oznacza tu dowolny punkt dope lnienia kuli B(p, r), c dope lnienie to jest otwarte, zatem sama kula B(p, r) jest zbiorem domknie tym w IR k Podstawowe w lasności zbiorów domknie tych a Cze ść wspólna dowolnej rodziny zbiorów domknie tych jest zbiorem domknie tym b Suma skończenie wielu zbiorów domknie tych jest zbiorem domknie tym Twierdzenie to wynika natychmiast z podobnego twierdzenia o zbiorach otwartych i praw de 4 i=1

5 Morgana: dope lnienie cze ści wspólnej zbiorów {F t } t T jest równe sumie dope lnień tych zbiorów, czyli zachodzi równość: IR k \ F t = ) (IR k \ F t Analogicznie IR k \ F t = ) (IR k \ F t, t T t T czyli dope lnienie sumy równe jest cze ści wspólnej dope lnień sumowanych zbiorów Zbiory otwarte maja swoja charakteryzacje wewne trzna nie ma konieczności badania dope lnienia zbioru W podobny sposób można scharakteryzować zbiory domknie te Przyda sie nam do tego poje cie granicy gu punktów Definicja granicy gu punktów przestrzeni euklidesowej Cia g (p n ) jest zbieżny do granicy p wtedy i tylko wtedy, gdy lim p n p = 0 n Widać, że definicja ta różni sie od definicji gu liczbowego bardzo nieznacznie: w przypadku gu wysta pi la wartość bezwzgle dna różnicy wyrazu gu i granicy, w przypadku gu punktów przestrzeni mówimy o odleg lości wyrazu gu od granicy Widać wyraźnie, że różnica obu definicji jest raczej kosmetyczna niż merytoryczna wartość bezwzgle dna różnicy dwu liczb to przecież odleg lość mie dzy nimi, jeśli o liczbach myślimy jak o punktach prostej Twierdzenie charakteryzujace zbiory domknie te Zbiór F jest domknie ty wtedy i tylko wtedy, gdy z tego że punkty p 1, p 2, należa do zbioru F oraz p = lim n p n wynika, że również p F Dowód Za lóżmy najpierw, że zbiór F jest domknie ty, czyli że zbiór IR k \ F jest otwarty Niech p = lim n p n i niech punkty gu (p n ) należa do zbioru F Jeśli p / F, to ponieważ zbiór IR k \ F jest otwarty, c istnieje r > 0 takie, że B(p, r) IR k \ F Wobec tego w kuli B(p, r) nie ma punktów gu (p n ), bo one leża w zbiorze F, a to oznacza, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność p n p r, wbrew temu, że lim p n p = 0 Za lóżmy teraz, że zbiór F n spe lnia warunek opisany w treści zadania i nie jest domknie ty, tzn jego dope lnienie nie jest otwarte Istnieje c punkt p IR k \ F taki, że żadna kula o środku p nie jest zawarta w zbiorze IR k \ F Niech p n B(p, 1 n ) F Mamy c p n p < 1 n, zatem lim p n p = 0, czyli lim p n = p n n i wobec tego musi też być p F, wbrew uczynionemu za lożeniu Dowód zosta l zakończony Z twierdzenia tego wynika natychmiast, że np zbiór IR 2 \{(0, 0)} nie jest zbiorem domknie tym Mamy bowiem lim ( 1 n n, 0) = (0, 0) / IR2 \ {(0, 0)}, chociaż oczywiście ( 1 n, 0) IR2 \ {(0, 0)} W taki sam sposób można wykazać, że zbiór Q z lożony ze wszystkich liczb wymiernych nie jest domknie tym podzbiorem prostej: każda liczba niewymierna jest granica gu liczb wymiernych Zauważmy, że zbiór ten nie jest również otwarty, bo każda liczba wymierna może być przedstawiona jako granica gu liczb niewymiernych Widzieliśmy c, że istnieja zbiory, które sa jednocześnie otwarte i domknie te ( IR k i ), istnieja też zbiory, które nie sa ani otwarte ani domknie te! Twierdzenie charakteryzuja ce zbieżność gów w IR k Cia g (p n ) punktów przestrzeni k wymiarowej jest zbieżny do punktu p IR k wtedy, gdy t T t T wtedy i tylko lim p i,n = p i dla i = 1, 2,, k, tu p n = (p 1,n, p 2,n,, p k,n ) dla n = 1, 2, n 5

6 i p = (p 1, p 2,, p k ) Dowód Dla każdego i {1, 2,, k} zachodzi nierówność: p i,n p i p 1,n p p 2,n p p k,n p k 2 = p n p, z której wynika od razu, że jeśli lim p n = p, to lim p i,n = p i dla każdego i {1, 2,, k} n n W druga strone twierdzenie wynika natychmiast z definicji odleg lości: pod pierwiastkiem jest k sk ladników i każdy z nich da ży do 0, co jest treś za lożenia Dowód zosta l zakończony Twierdzenie to pozwala w istocie rzeczy sprowadzać badanie zbieżności gu punktów przestrzeni k wymiarowej do badania zbieżności k gów liczbowych Ważnym twierdzeniem by lo w przypadku gów liczbowych twierdzenie Bolzano Weierstrassa Gwarantowa lo ono możliwość wybierania pod gów zbieżnych z gów ograniczonych Twierdzenie to pozostaje w mocy w przypadku wielowymiarowym Przed sformu lowaniem tego twierdzenia wypada powiedzieć, że g (zbiór) nazywamy ograniczonym, jeśli wszystkie jego wyrazy (elementy) znajduja sie w pewnej kuli Przypomnijmy, że w jednowymiarowym przypadku kulami sa przedzia ly, c ta definicja to po prostu uogólnienie definicji stosowanej w przypadku jednowymiarowym Warto od razu zauważyć, że jeśli g punktów przestrzeni IR k jest ograniczony, to również gi liczbowe: utworzony z jego pierwszych wspó lrze dnych, utworzony z drugich wspó lrze dnych itd sa ograniczone Czytelnik bez trudu stwierdzi, że jeśli wszystkie gi utworzone ze wspó lrze dnych o ustalonym numerze sa ograniczone, to również g punktów przestrzeni k wymiarowej jest ograniczony Twierdzenie Bolzano Weierstrassa, przypadek wielowymiarowy Z każdego ograniczonego gu (p n ) punktów przestrzeni IR k można wybrać pod g zbieżny do pewnego punktu p IR k, tzn istnieje ściśle rosna cy g (n j ) liczb naturalnych taki, że zachodzi równość lim p n j = p j Dowód Z poprzedniego twierdzenia wynika, że trzeba wybrać g (n j ) w taki sposób, by ( ) ( ) ( ) wszystkie gi p1,nj, p2,nj,, pk,nj by ly zbieżne Twierdzenie Bolzano Weierstrassa jest prawdziwe dla gów liczbowych, zatem istnieje g (n j ) taki, że g (p 1,nj ) jest zbieżny, ale nie wiemy nic o naste pnych k 1 gach: (p 2,nj ), (p 3,nj ), itd Możemy jednak skorzystać z tego, że wszystkie pod gi gu zbieżnego też sa zbieżne i to do tej samej granicy Zasta pimy c g wyjściowy (p n ) giem (p nj ) ( c pierwsze wspó lrze dne tworza g zbieżny) i z tego gu wybierzemy pod g (p n j ) w taki sposób, by g (p 2,n j ) by l zbieżny Jest to możliwe, bo g (p 2,nj ) jest ograniczony, c możemy zastosować jednowymiarowe twierdzenie Bolzano Weierstrassa Uzyskamy c w ten sposób g (p n j ), którego pierwsze i drugie wspó lrze dne tworza gi zbieżne* Wystarczy te procedure zastosować jeszcze kolejno k 2 razy, by uzyskać pod g, którego wszystkie wspó lrze dne: pierwsze, drugie, itd tworza gi zbieżne, dzie ki czemu również sam pod g jest zbieżny Dowód zosta l zakończony Warto porównać z dowodem twierdzenia Arzeli Ascoliego z zesz lego roku * Pierwsze bo pod g gu zbieżnego jest zbieżny, drugie bo tak wybieramy 6

7 Podamy teraz jedna z najważniejszych definicji tej cze ści wyk ladu Definicja zbioru zwartego Zbiór C nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego gu punktów zbioru C można wybrać pod g zbieżny do punktu leża cego w zbiorze C Zbiory zwarte moga być definiowane w taki sposób w nieco ogólniejszej sytuacji niż rozpatrywana przez nas, moga to być mianowicie podzbiory przestrzeni metrycznych Podamy teraz twierdzenie, które w ogólnej sytuacji nie jest prawdziwe, ale jest prawdziwe i bardzo użyteczne w przypadku tych zbiorów, którymi zajmować sie be dziemy na analizie Twierdzenie charakteryzuja ce zbiory zwarte w przestrzeni IR k Zbiór C IR k jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknie ty i ograniczony Dowód Za lóżmy, że zbiór C IR k jest zwarty Jeśli C nie jest ograniczony, to dla każdej liczby naturalnej n istnieje punkt p n C taki, że p n / B(0, n), czyli p n n Ponieważ C jest zbiorem zwartym, c z gu (p n ) wybrać można pod g zbieżny (p nj ) do pewnego punktu p C Sta d wynika, że g ( p nj p ) jest zbieżny do 0, c jest ograniczony Zachodzi nierówność p nj p + p nj p, a z niej i ze zdania poprzedniego wynika, że g ( ) p nj jest ograniczony, co oczywiście przeczy temu, że p nj n j Wykazaliśmy c, że podzbiór zwarty przestrzeni IR k musi być ograniczony Teraz wykażemy, że musi być również domknie ty Za lóżmy, że nie jest domknie ty Wtedy istnieje g (p n ) punktów zbioru C zbieżny do punktu p / C Wszystkie pod gi gu (p n ) sa oczywiście zbieżne do punktu p, c nie można wybrać z tego gu pod gu, którego granica należa laby do C Wobec tego podzbiór zwarty przestrzeni IR k musi być też domknie ty Czas na dowód implikacji przeciwnej Zak ladamy teraz, że zbiór C IR k jest domknie ty i ograniczony Niech (p n ) be dzie giem punktów zbioru C Na mocy twierdzenia Bolzano Weierstrassa można zeń wybrać pod g (p nj ) zbieżny do pewnego punktu p Ponieważ zbiór C jest domknie ty a wyrazy gu (p nj ) sa elementami zbioru domknie tego C, c również jego granica, czyli punkt p jest elementem zbioru C Wykazaliśmy c, że z gu punktów zbioru C można wybrać pod g zbieżny do punktu leża cego w zbiorze C, a to oznacza, że C jest zbiorem zwartym Dowód zosta l zakończony Interesuja nas nie tylko zbiory, ale również funkcje, w tym funkcje g le Definicja gowa (Heinego) g lości funkcji przenosi sie na przypadek wielowymiarowy bez żadnych zmian Jeśli A IR k i f: A IR l jest funkcja określona na zbiorze A, to f jest g la w punkcie p IR k wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, że lim p n = p, p n A wynika, że n również przeformu lować definicje otoczeniowa (Cauchy ego): funkcja f: A IR l lim f(p n) = f(p) Można n jest g la w punkcie p A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, że jeśli q A i q p < δ, to f(q) f(p) < ε Ponieważ definicje te nie różnia sie od podawanych w przypadku jednowymiarowym, c dowód ich równoważności pomijamy, zreszta nie różni sie on od dowodu w przypadku jednowymiarowym niczym istotnym Dzie ki twierdzeniu Bolzano Weierstrassa 7

8 pozostaje też w mocy Twierdzenie Weierstrassa o osia ganiu kresów przez funkcje g la Jeśli f: C IR jest funkcja g la w każdym punkcie zbioru zwartego C IR k, to istnieja punkty p, q C takie, że dla każdego punktu x C zachodzi nierówność podwójna f(p) f(x) f(q), czyli f(p) jest najmniejsza wartoś funkcji f zaś f(q) naj ksza Twierdzenie o osia ganiu kresów można sformu lować w nieco ogólniejszej wersji: Twierdzenie Weierstrassa o obrazie g lym zbioru zwartego Jeśli C IR k jest zbiorem zwartym a f: C IR l funkcja g la w każdym punkcie zbioru C, to zbiór f(c) z lożony z wartości funkcji f, czyli punktów postaci f(x), gdzie x C jest zwarty Dowód Niech y n f(c) dla n = 1, 2, Ponieważ y n jest wartoś funkcji f, c istnieje punkt x n C taki, że y n = f(x n ) Ponieważ C jest zbiorem zwartym, c z gu (x n ) można wybrać pod g (x nj ) zbieżny do pewnego punktu p C Funkcja f jest g la w każdym punkcie zbioru C, w szczególności w punkcie p Wobec tego f(p) = lim j f(x n j ) = lim j y n j Wybraliśmy c z gu (y n ) pod g zbieżny do granicy f(p) f(c) i tym samym wykazaliśmy, że zbiór f(c) jest zwarty Zache camy Czytelnika do wywnioskowania twierdzenia o osia ganiu kresów z twierdzenia o obrazie g lym zbioru zwartego Może przydać sie charakteryzacja podzbiorów zwartych prostej Można myśleć, że zbiory zwarte maja być uogólnieniem przedzia lu domknie tego Najważniejsze z naszego punktu widzenia twierdzenia, twierdzenie Weiertrassa o osia ganiu kresów przez funkcje g la i twierdzenia Cantora Heinego o jednostajnej g losci funkcji g lej, pozostaja w mocy Innym uogólnieniem przedzia lu jest scharakteryzowanie zbiorów, na których funkcje g le maja w lasność przyjmowania wartości pośrednich Takie zbiory powinny sie sk ladać z jednego kawa lka Oczywiście nie możemy pozostawić określenia na tym poziomie precyzji Zdefiniujemy teraz tzw zbiory spójne to w laśnie one maja być z lożone z jednego kawa lka, niespójne maja sk ladać sie z co najmniej dwóch ( oddalonych ) kawa lków cze ści Definicja zbioru niespójnego Zbiór C IR k nazywamy niespójnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja dwa zbiory otwarte G i H takie, że G C, H C, G C H = i wreszcie G H C Zbiory G C, H C sa otwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej C Ponieważ dope lniaja sie wzajemnie do C, c sa również domknie tymi podzbiorami przestrzeni metrycznej C Zbiór C jest c niespójny, gdy traktowany jako przestrzeń metryczna jest suma dwóch niepustych zbiorów otwartych roz la cznych lub, co na jedno wychodzi, domknie tych Definicja zbioru spójnego Zbiór C IR k nazywany jest spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest on niespójny Tymi kawa lkami (oddalonymi), o których mówiliśmy przed definicja zbioru niespójnego maja być oczywiście zbiory G C oraz H C Istota rzeczy jest otwartość zbiorów G i H Dla nas pod- 8

9 stawowym przyk ladem zbioru spójnego okaże sie zbiór, którego każde dwa punkty można po la czyć lamana w nim zawarta (istnieje wiele innych) Odpowiednie twierdzenie pojawi sie niżej Przypomnijmy, że zbiór {(1 t)p + tq: t [0, 1]} = {p + t(q p): t [0, 1]} nazywamy odcinkiem (domknie tym) o końcach p, q IR k O punktach odcinka o końcach p, q można c myśleć jako o środkach masy uk ladu dwu mas: masy 1 t umieszczonej w punkcie p i masy t umieszczonej w q, wtedy środkiem masy jest w laśnie punkt (1 t)p + tq Można też w tym przypadku myśleć o średniej ważonej punktów p i q z wagami 1 t i t Można też tak: ponieważ (1 t)p + tq = p + t(q p), c odcinek zaczynaja cy sie w punkcie p i kończa cy sie w punkcie q sk lada sie z końców wektorów zaczepionych w punkcie p, równoleg lych do wektora o pocza tku p i końcu q, nie d luższych niż ten wektor Niech p, q be da dwoma różnymi punktami przestrzeni IR k Niech [p, q] oznacza zbiór z lożony z punktów postaci (1 t)p + tq, t [0, 1], czyli odcinek domknie ty o końcach p, q Jeśli k = 1, to różnica mie dzy przedzia lem domknie tym [p, q] (w tym przypadku mamy do czynienia z liczbami) i odcinkiem [p, q] jest niewielka i raczej formalna Myśla c o przedziale [p, q] zak ladamy, że p < q lub chociaż p q, natomiast myśla c o odcinku [p, q] tego za lożenia nie robimy Ponieważ różnica jest jedynie formalna, c nie wprowadzamy różnicy w oznaczeniach szanse nieporozumienia spowodowanego ta dwuznacznoś sa znikome Podobnie (p, q) oznacza odcinek otwarty, czyli zbiór z lożony z punktów postaci (1 t)p+tq, t (0, 1), zbiór [p, q) odcinek domknie to otwarty, zaś zbiór (p, q] odcinek otwarto domknie ty Twierdzenie o spójności odcinka Odcinek jest zbiorem spójnym Dowód* Za lóżmy, że tak nie jest Niech p i q be da końcami odcinka, który nie jest spójny Niech p t = (1 t)p + tq Odcinek [p, q] sk lada sie c ze wszystkich punktów p t gdzie t [0, 1] Ponieważ zak ladamy, że odcinek [p, q] nie jest spójny, c istnieja zbiory otwarte G, H takie, że G [p, q], H [p, q], G H [p, q] i G H [p, q] = Punkt p jest c elementem dok ladnie jednego ze zbiorów G, H Bez straty ogólności rozważań można przyja ć, że p G Ponieważ G jest zbiorem otwartym, c istnieje liczba r > 0 taka, że B(p, r) G Jeśli r 0 t < p q, to p t p = (1 t)p+tq p < r, c p t B(p, r) G Wykazaliśmy c, że [p, p t ] G, jeśli tylko t jest dostatecznie ma la liczba dodatnia Rozważymy teraz najd luższy z odcinków [p, p t ] zawartych w G, jeśli taki istnieje Niech punkt p s oznacza jego koniec Z określenia liczby s wynika od razu, że jeśli 0 t < s, to p t G Ponieważ p s G, c pewna kula o środku p s jest zawarta w G Sta d wynika, że jeśli p s q, to odcinek [p, p s ] można wyd lużyć w kierunku punktu q nie wychodza c ze zbioru G Przeczy to temu, że odcinek [p, p s ] jest najd luższy spośród odcinków postaci [p, p t ] zawartych w zbiorze G Wobec tego punkt p s musi pokryć sie z * Warto zrozumieć, pamie tać nie trzeba, bo ten dowód można wymyśleć samodzielnie, myśle, że w po lowie semestru każdy już be dzie w stanie go odtworzyć dzie ki aktywnemu uczestnictwu w ćwiczeniach z topologii 9

10 punktem q, a to oznacza, że ca ly odcinek [p, q] jest zawarty w zbiorze G, c nie ma punktów wspólnych ze zbiorem H, wbrew za lożeniu Oznacza to, że najd luższego odcinka nie ma Rozważmy c sume wszystkich odcinków postaci [p, p t ] zawartych w zbiorze G Ponieważ nie ma wśród nich najd luższego, c ich suma jest domknie to otwartym odcinkiem postaci [p, p s ) i p s / G Wobec tego p s H, bo ca ly odcinek [p, q] jest zawarty w zbiorze G H Ponieważ zbiór H jest otwarty, c wraz z punktem p s zawiera pewna kule o środku w punkcie p s, a c również pewien odcinek postaci [p t, p s ], przy czym t < s Żaden punkt odcinka [p t, p s ] nie leży c w zbiorze G, wbrew temu, że wszystkie z wyja tkiem punktu p s tam być powinny Również druga możliwość zosta la wykluczona Oznacza to, że odcinek [p, q] nie może być niespójny, jest c spójny Uwaga Jedynymi spójnymi podzbiorami prostej sa przedzia ly Ich spójność wynika z poprzedniego twierdzenia Jeśli natomiast zbiór A IR nie jest przedzia lem, to istnieja trzy liczby a, b, c takie, że a, c A, b / A oraz a < b < c Przyjmujemy wtedy G = (, b) oraz H = (b, ) Ponieważ a G A, c G A Analogicznie H A Ponieważ G H = IR \ {b} A, c zbiór A nie jest spójny Niestety, w przestrzeniach wyższego wymiaru zbiorów spójnych nie można równie prosto scharakteryzować Można jednak latwo scharakteryzować spójne zbiory otwarte, czym zajmiemy sie dalej Poprzedzimy jednak to twierdzeniem, które pozwoli nam stwierdzać spójność zbiorów dzie ki informacji o spójności innych zbiorów Twierdzenie o spójności sumy zbiorów spójnych Jeśli zbiory A i B sa spójne i maja co najmniej jeden punkt wspólny, to ich suma A B też jest zbiorem spójnym Dowód Niech p A B Jeśli zbiór A B nie jest spójny, to istnieja dwa zbiory otwarte G, H takie, że H (A B) = G (A B), G H (A B) = i G H A B Wobec tego punkt p znajduje sie w jednym ze zbiorów G, H Niech p G Ponieważ zbiór A jest spójny i A G, c A H =, czyli A G Analogicznie B G, bo również zbiór B jest spójny Przeczy to temu, że zbiór H ma punkty wspólne z A B leża ce poza G Dowód zosta l zakończony Jasne jest, że to samo rozumowanie może być użyte dla dowodu spójności sumy dowolnie wielu (nawet nieskończenie wielu) zbiorów spójnych, których cze ść wspólna jest niepusta Przypomnijmy, że lamana nazywamy sume skończenie wielu odcinków takich, że koniec pierwszego z nich jest pocza tkiem drugiego, koniec drugiego pocza tkiem trzeciego itd Lamana może mieć punkty samoprzecie cia, np trzynasty odcinek może przecinać sie z siódmym Z twierdzenia o spójności sumy zbiorów spójnych wynika, że lamana jest zbiorem spójnym: suma dwóch odcinków przecinaja cych sie jest zbiorem spójnym, wobec tego suma odcinka i sumy dwóch innych odcinków też jest spójna itd 10

11 Twierdzenie o spójności zbiorów, których punkty można la czyć lamanymi Jeśli każde dwa punkty zbioru A IR k można po la czyć lamana w nim zawarta, to zbiór A jest spójny* Dowód Za lóżmy, że zbiór A jest niespójny Wtedy istnieja dwa zbiory otwarte G i H, każdy z nich ma punkty wspólne z A, ale A G H = Wybieramy c punkty p G A oraz q H A i la czymy je lamana zawarta w zbiorze A Istnienie zbiorów otwartych G i H przecinaja cych lamana, których suma ja zawiera, ale żaden punkt nie należy jednocześnie do G, H i lamanej przeczy spójności tej ostatniej Dowód zosta l zakończony Okazuje sie, że w przypadku zbiorów otwartych w przestrzeni IR k twierdzenie, które w laśnie udowodniliśmy można odwrócić i w ten sposób otrzymać dosyć prosta charakterystyke zbiorów otwartych i spójnych Twierdzenie o spójności otwartych podzbiorów przestrzeni IR k Zbiór otwarty U IR k jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy każde jego dwa punkty można po la czyć lamana w nim zawarta Dowód Dzie ki poprzedniemu twierdzeniu wystarczy wykazać, że jeśli zbiór otwarty jest spójny, to każde dwa jego punkty można po la czyć lamana w nim zawarta Niech p U Niech U p oznacza zbiór z lożony ze wszystkich punktów zbioru U, które można po la czyć z punktem p lamana zawarta w U Ponieważ zbiór U jest otwarty, c również zbiór U p jest otwarty: jeśli x U p, to zbiór U zawiera pewna kule o środku w punkcie x, c lamana, która la czy p z x można wyd lużyć o fragment dowolnego promienia tej kuli, c można po la czyć lamana zawarta w U punkt p z dowolnym punktem kuli o środku w punkcie x, zawartej w zbiorze U Zauważmy teraz, że jeśli p, q U oraz U p U q, to U q U p Niech bowiem x U q i niech y U p U q Wtedy tworzymy lamana z trzech lamanych zawartych w zbiorze U : la cza cej p z y, la cza cej y z q i la cza cej q z x W wyniku otrzymujemy lamana zawarta w zbiorze U, która la czy punkt p z punktem x Wykazaliśmy, że U p U q Analogicznie można wykazać, że U q U p Wobec tego U p = U q, jeżeli tylko zbiory U p i U q maja co najmniej jeden punkt wspólny Niech p be dzie punktem zbioru U Niech G = U p i niech H oznacza sume wszystkich tych zbiorów U x, które sa roz la czne z U p Ponieważ zbiory G i H sa otwarte, H jako suma zbiorów otwartych, i roz la czne oraz G H = U, a zbiór U jest spójny, c jeden z nich musi być pusty, zatem H = Wykazaliśmy c, że U = G = U p, a to oznacza, że każdy punkt zbioru U można po la czyć lamana zawarta w zbiorze U z punktem p Dowód zosta l zakończony Uwaga Dla zbiorów, które nie sa otwarte twierdzenie poprzednie nie jest prawdziwe Nie be dziemy sie wg le biać w te problematyke, bo te kwestie sa omawiane na topologii, ale zaznaczmy, że nawet * Zwykle mówi sie o la czeniu punktów krzywymi, teza też jest wtedy prawdziwa, wymaga to jednak zdefiniowania krzywej, czego w tym miejscu nie zrobimy, idea twierdzenia i jego dowodu nie ulega istotnej zmianie 11

12 zasta pienie lamanych przez krzywe nie poprawia sytuacji Różnych punktów okre gu (nie ko la) lamanymi zawartymi w nim la czyć sie nie da, bo okra g w ogóle żadnych odcinków, tym bardziej lamanych, nie zawiera Oczywiście luk okre gu to krzywa, c tu wystarczy rozważyć twierdzenie nieco tylko ogólniejsze Jeśli jednak rozważymy wykres Γ funkcji f(x) = sin 1 x na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych x 0 i uzupe lnimy go odcinkiem pionowym S = [(0, 1), (0, 1)], to otrzymamy zbiór spójny Punktów odcinka S z punktami Γ nie da sie la czyć krzywymi zawartymi w Γ S Po tych przyd lugich opowieściach o zbiorach spójnych trzeba wyjaśnić wreszcie, dlaczego w ogóle sie nimi interesujemy Otóż chodzi o twierdzenie Bolzano Cauchy ego Twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich Jeśli zbiór C IR k jest spójny i funkcja f: C IR jest g la oraz f(p) < a < f(q), to istnieje punkt x C taki, że a = f(x), tzn liczby znajduja ce sie mie dzy wartościami funkcji same sa wartościami tej funkcji, czyli zbiór wartości funkcji g lej określonej na zbiorze spójnym jest przedzia lem Dowód Za lóżmy, że teza jest nieprawdziwa Wtedy istnieja punkty p, q C oraz liczba a takie, że f(p) < a < f(q) i liczba a nie jest wartoś funkcji f Niech G be dzie zbiorem z lożonym z tych punktów x zbioru C, dla których f(x) < a Dla każdego takiego punktu x istnieje kula B(x, r x ) taka, że jeśli y C B(x, r x ), to f(y) < a wynika to z g lości funkcji f w punkcie x Niech G be dzie suma tych wszystkich kul Zbiór G jest otwarty jako suma rodziny kul otwartych Analogicznie definiujemy zbiór otwarty H taki, że w punktach zbioru H C funkcja f przyjmuje wartości ksze niż a Istnienie zbiorów G i H przeczy spójności zbioru C zosta l zakończony Uwaga Dowód Podobnie jak w przypadku zbiorów zwartych, można to twierdzenie uogólnić: jeśli f: C IR l jest funkcja g la, to zbiór f(c), czyli zbiór z lożony ze wszystkich punktów postaci f(x), gdzie x C, jest spójny Nie be dziemy tego twierdzenia dowodzić, bo zbiory spójne maja dla tego wyk ladu znacznie mniejsze znaczenie niż zwarte, a dowód różni sie bardzo nieznacznie od dowodu twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich Zreszta dowody be da na topologii Przypominaliśmy już definicje funkcji g lej stosowana w przypadku jednowymiarowym i ta sama definicja obowia zuje w przypadku wielowymiarowym Tak jak w jednym wymiarze prawda jest, że suma i różnica odwzorowań g lych w jakimś punkcie sa odwzorowaniami g lymi w tym punkcie To samo dotyczy iloczynu skalarnego dwu funkcji g lych Jeśli funkcja f jest g la w punkcie p a funkcja g jest g la w punkcie f(p) i dziedzina funkcji g zawiera zbiór wartości funkcji f, to z lożenie g f jest g le w punkcie p Dowodów tych stwierdzeń nie be dziemy powtarzać, bowiem nie różnia sie one niczym od przedstawionych poprzednio w wymiarze 1 Stwierdzenia te maja jednak ważne konsekwencje Pozwalaja one na stwierdzenie g lości wielu funkcji, mówia c niezbyt precyzyjnie funkcji określonych jednym wzorem Zauważmy, że funkcja przypisuja ca punktowi x 12

13 liczbe x j jest g la, a nawet spe lnia warunek Lipschitza ze sta la 1: x j y j x y, można ja określić mianem rzutu prostopad lego na j ta oś uk ladu wspó lrze dnych i wtedy powiedzieć, że odleg lość rzutów x j i y j punktów x i y nie przekracza odleg lości rzutowanych punktów Sta d bez trudu wywnioskować można g lość funkcji typu f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 x określonej na ca lej x p laszczyźnie: funkcje (x 1, x 2 ) x 1 oraz (x 1, x 2 ) x 2 sa g le, c ich kwadraty, czyli funkcje (x 1, x 2 ) x 2 1 i (x 1, x 2 ) x 2 2 sa również g le (bo iloczyn funkcji g lych jest g ly), wobec tego funkcja (x 1, x 2 ) x x jest g la jako suma trzech funkcji g lych, również funkcja (x 1, x 2 ) x 1 + x 2 jest g la jako suma funkcji g lych Z ostatniego zdania i tego, że iloraz dwu funkcji g lych jest g ly w tych punktach, w których mianownik nie zeruje sie, wynika g lość funkcji f Warto dodać, że funkcja f: G IR l określona na zbiorze G IR k jest g la w punkcie p G wtedy i tylko wtedy, gdy g le sa w punkcie p funkcje f 1, f 2,, f l odzorowania f : określone jako wspó lrze dne f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),, f l (x)) Wynika to natychmiast z definicji g lości i wzoru na odleg lość dwóch punktów przestrzeni l wymiarowej: jeśli lim x n = p i dla każdego n j {1, 2,, l} zachodzi równość lim f j(x n ) = f j (p), to również n (f1 (x n ) f 1 (p)) 2 + (f 2 (x n ) f 2 (p)) (f l (x n ) f l (p)) 2 = 0 lim n czyli lim f(x n) = f(p) Wykazaliśmy, że z cia n g lości wszystkich funkcji f 1, f 2,, f l wynika g lość funkcji f Wynikanie przeciwne jest jeszcze latwiejsze: funkcja f j jest z lożeniem funkcji f i rzutu na j ta oś uk ladu wspó lrze dnych, c jest g la jako z lożenie funkcji g lych Wynika sta d, że funkcja, która przypisuje punktowi (r, ϕ) IR 2 punkt (r cos ϕ, r sin ϕ) IR 2 jest g la Funkcja przypisuja ca punktowi (ϕ, ψ) IR 2 punkt (cos ϕ cos ψ, cosϕ sin ψ, sin ϕ) IR 3 również jest g la Można zauważyć, że zbiorem wartości tej ostatniej funkcji jest sfera (tzn powierzchnia kuli) o promieniu 1 i środku (0, 0, 0) Funkcja przypisuja ca punktowi (ϕ, ψ) punkt ((2 + cos ϕ) cos ψ, (2 + cos ϕ) sin ψ, sin ϕ) IR 3 jest g la Przekszta lca ona p laszczyzne na powierzchnie powsta la w wyniku obrotu okre gu o promieniu 1 i środku (2, 0, 0) leża cego w p laszczyźnie y = 0 wokó l osi danej równaniami x = 0 = y, a c powierzchni wygla daja cej jak de tka (np rowerowa) Taka powsta la powierzchnie matematycy nazywaja torusem Funkcja, przypisuja ca liczbie t punkt (( 2 + cos(t 2) ) cos t, ( 2 + cos(t 2) ) sin t, sin(t 2) ) przekszta lca prosta w przestrzeń trójwymiarowa, a nawet w torus opisany w poprzednim akapicie Można sobie wyobrażać, że nawijamy nieskończenie d luga (i nieskończenie cienka ) nić na szpulke w kszta lcie de tki rowerowej Czytelnik powinien sprawdzić, że to ostatnie przekszta lcenie jest różnowartościowe: ( (2 ) ( ) ) s t + cos(s 2) cos s, 2 + cos(s 2) sin s, sin(s 2) ( (2 ) ( ) ) + cos(t 2) cos t, 2 + cos(t 2) sin t, sin(t 2) Oznacza to, że nitka nie trafia ponownie w miejsce, w którym zosta la już raz umieszczona jest 13

14 to możliwe, bo jest ona nieskończenie cienka Można wykazać, że ca la ta nitka tworzy zbiór ge sty w torusie, oznacza to, że kula o środku w jakimkolwiek punkcie torusa i dowolnym promieniu (oczywiście chodzi o promienie ma le) zawiera jakieś punkty leża ce na nitce Dowód tego ostatniego stwierdzenia jest nieco trudniejszy, ale nie jest na tyle trudny, by student matematyki nie móg l go przeprowadzić samodzielnie, w razie zaćmienia umys lu zapraszam na konsultacje Czytelnik przekonany o tym, że konstrukcja ta jest sztuczna, zechce przyja ć do wiadomości, że tego rodzaju zjawiska pojawiaja sie w zagadnieniach matematycznych zwia zanych np z ruchem planet Uk ladu S lonecznego Warto też zauważyć, że funkcja odwrotna do ostatnio omawianej funkcji nie jest g la w żadnym punkcie, to spowodowane jest ge stoś nici : po nawinie ciu na szpulke w kszta lcie torusa punkty nici, których odleg lość jest duża, moga znaleźć sie bardzo blisko Można podać prostszy przyk lad ilustruja cy tego rodzaju zjawisko Niech γ(t) = ( 2 t (1 2 t )( t ), 2 t (1 2 t ) ) dla t 0 Czytelnik sprawdzi bez trudu, że funkcja γ jest różnowartościowa oraz że lim γ(t) = (0, 0) = γ(0), t + a z tego wynika, że funkcja odwrotna nie jest g la w punkcie (0, 0) Nie chcemy sie tu wdawać w szczegó lowe rozważania, jednak przestrzegamy czytelników przed zbyt daleko ida cymi analogiami z twierdzeniami, które sa prawdziwe dla funkcji g lych, których dziedzina i zbiór wartości sa jednowymiarowe: pewne twierdzenia można przenieść bez trudu, a inne przestaja być prawdziwe lub wymagaja dodatkowych za lożeń Twierdzenie o g lości funkcji odwrotnej wymaga dodatkowego za lożenia: można np za lożyć, że funkcja, której odwrotna nas interesuje jest g la oraz że prowadzi ona ze zbioru otwartego po lożonego w przestrzeni k wymiarowej w przestrzeń tego samego wymiaru k W tej wersji twierdzenie to jest prawdziwe, ale jego dowód znacznie wykracza poza ramy tego wyk ladu Dla matematyków jest to ważne twierdzenie, ale jego dowód należy do topologii (nazywane jest ono twierdzeniem Brouwera o niezmienniczości obszaru) Innym za lożeniem gwarantuja cym g lość funkcji odwrotnej jest zwartość jej dziedziny: jeśli f: C IR k jest funkcja g la, różnowartościowa a zbiór C jest zwarty, to funkcja f 1 : f(c) C jest g la Dowód tego ostatniego stwierdzenia jest latwy i zache camy czytelnika, by w chwilach wolnych od innych zaje ć udowodni l to twierdzenie samodzielnie, zanim pojawi sie ono na wyk ladzie z topologii Ważna klasa funkcji g lych sa funkcje liniowe* Za lóżmy, że macierz A = (a mn ) ma k kolumn i l wierszy Niech x IR k i niech y m = 1ka mn x n Innymi s lowy wektor y = Ax, którego wspó lrze dnymi sa liczby y 1, y 2,, y l jest zdefiniowany jako iloczyn y 1 a 11 a 12 a 1k x 1 y 2 = a 21 a 22 a 2k x 2 y l a l1 a l2 a lk x k Z twierdzeń, które zosta ly sformu lowane do tej pory wynika od razu, że przekszta lcenie liniowe jest g le Ważne jednak jest również to, że spe lnia ono warunek Lipschitza ze sta la nie ksza niż * Na analizie baza w przestrzeni IR k jest ustalona, c przekszta lcenia liniowe sa utożsamiane z ich macierzami wzgle dem standardowych baz w przestrzeniach euklidesowych Dlatego też cze sto zamiast pisać L(x), gdy chodzi o wartość przekszta lcenia liniowego L w punkcie x, piszemy Lx Mamy L(x+ x)=lx+l x i L(tx)=t(Lx) dla x, x IR k, t IR 14

15 a 2 mn Wynika to latwo z nierówności Schwarza: m,n l ym 2 = m=1 ( l k ) 2 a mn x n m=1 n=1 ( l k a 2 mn m=1 n=1 k n=1 x 2 n ) = ( l ( l Z otrzymanej mierówności wynika, że y = Ax Wpro- ( l wadźmy oznaczenie: α = k m=1 n=1 a 2 mn ) k m=1 n=1 k m=1 n=1 a 2 mn a 2 mn ) ( k n=1 ) ( k n=1 x 2 n x 2 n ) ) Mamy c Ax α x dla wszystkich x IR k Wobec tego również Ax Ay = A(x y) α x y, co oznacza, że przekszta lcenie liniowe przypisuja ce punktowi x IR k punkt Ax IR l spe lnia warunek Lipschitza ze sta la α Nie wykluczamy oczywiście tego, że może ono spe lniać warunek Lipschitza ze sta la mniejsza niż α Przyk lad świadcza cy o tym, że może sie tak zdarzyć to przekszta lcenie zdefiniowane macierza ( ) 1 0, czyli przekszta lcenie identycznościowe p laszczyzny Spe lnia ono warunek Lipschitza ze 0 1 sta la 1 < = 2 Jasne jest również to, że w przypadku l = 1, tj przekszta lcenia liniowego, które przekszta lca przestrzeń k wymiarowa w przestrzeń jednowymiarowa najmniejsza możliwa sta la Lipschitza jest w laśnie liczba α nierówność Schwarza staje sie równoś w przypadku wektorów zgodnie równoleg lych Jeśli zbiór wartości jest wielowymiarowy, to nawet w przypadku tak prostego przekszta lcenia jak identyczność liczba α może być sta la Lipschitza ksza od najmniejszej, jest to spowodowane tym, że maksimum wyrażenia y m = (Ax) m jest osia gane na różnych wektorach (zak ladamy, że x = 1 ) w przypadku różnych m Definicja normy przekszta lcenia liniowego Norma przekszta lcenia liniowego A: IR k IR l nazywamy najmniejsza liczbe nieujemna a, dla której nierówność Ax a x zachodzi dla wszystkich punktów x IR k Wykazaliśmy przed podaniem tej definicji, że norma przekszta lcenia liniowego może być zdefiniowana w przypadku każdego przekszta lcenia liniowego z IR k do IR l Czytelnik może sprawdzić, że tak zdefiniowana norma przekszta lcenia ma w lasności opisane na pocza tku tego rozdzia lu oraz że AB A B dla dowolnych przekszta lceń liniowych A, B, których z lożenie AB jest zdefiniowane Twierdzenie o oszacowaniu minimalnego stopnia roz gania liniowego izomorfizmu Jeśli L jest liniowym izomorfizmem przestrzeni IR k, to dla dowolnego punktu x IR k nierówność: Lx L 1 1 x zachodzi Dowód Z definicji normy przekszta lcenia liniowego wynika, że x = L 1 Lx L 1 Lx, a to w laśnie mieliśmy wykazać Niech f : IR k IR be dzie funkcja postaci k a i,j x i x j Jeśli choć jedna z liczb a i,j jest różna i,j=1 15

16 od 0, to mówimy, że funkcja f jest wielomianem jednorodnym drugiego stopnia zespo lu zmiennych x 1, x 2,, x k * Zachodzi oczywisty wzór f(tx) = t 2 f(x) dla dowolnej liczby rzeczywistej t i dowolnego x IR k Jeśli dla pewnej funkcji g: IR k \ {0} IR zachodzi równość g(tx) = t α g(x) dla wszystkich liczb rzeczywistych t 0 i wszystkich x 0, to mówimy, że g jest funkcja jednorodna stopnia α Wielomiany jednorodne drugiego stopnia to szczególny przypadek takich funkcji, bardzo ważny z naszego punktu widzenia Wykażemy teraz latwe i jednocześnie ważne z naszego punktu twierdzenie Twierdzenie o oszacowaniu wartości jednorodnego wielomianu kwadratowego Za lóżmy, że f jest jednorodnym wielomianem kwadratowym, takim że f(x) > 0 dla x 0 Istnieja wtedy liczby rzeczywiste dodatnie a, b, takie że dla każdego x IR k zachodzi nierówność podwójna: Dowód ax 2 = a k x 2 i i=1 k a i,j x i x j b i,j=1 k x 2 i = bx 2 Wystarczy zauważyć, że jeśli x 0, to f(x) = x 2 f ( x x ) Funkcja f jest oczywiście g la na przestrzeni IR k, c również na sferze wymiaru k 1 o środku w punkcie 0 i promieniu 1, wobec tego jej kresy na tej sferze sa jej wartościami, sa c liczbami dodatnimi Niech a = min x =1 f(x) i b = max f(x) i niech x 0 Mamy wtedy a x 2 x =1 f(x) b x 2 i=1 f ( x x ) x 2 = f(x) i analogicznie Sformu lowanie analogicznej tezy dla wielomianów, których wartości sa liczbami ujemnymi pozostawiamy czytelnikom w charakterze prostego ćwiczenia Oprócz tego zauważmy jeszcze, że jeśli A = (a i,j ), to f(x) = x Ax i wobec tego f(x) x Ax x A x Wynika sta d, że jeśli b jest najmniejsza sta la, dla której nierówność f(x) bx 2 zachodzi dla wszystkich x IR k, to b A Analogicznie można udowodnić, że jeśli a jest naj ksza sta la, dla której nierówność f(x) ax 2 1 zachodzi dla wszystkich A 1 a czytelnik powinien udowodnić to samodzielnie * Można też powiedzieć zmiennej x, maja c na myśli to, że argumentami funkcji f sa punkty przestrzeni k wymiarowej 16