EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Rozwiązanie zadania, prowadzącego do równania kwadratowego (IIIb) Rozwiązanie Niech a oznacza najmniejszą z czterech szukanych liczb całkowitych Wtedy kolejne liczby to: a, a, a Zapisujemy zatem równanie kwadratowe aa a a które po przekształceniu przyjmuje postać a 5a 0 Równanie to ma dwa rozwiązania: a, a Rozwiązanie sprzeczne z treścią zadania (nie jest to liczba całkowita) Zatem szukane liczby to:, 0,, odrzucamy jako Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że szukane liczby to: a, a, a, a, gdzie a jest liczbą całkowitą Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą: a a a a lub a 5a 0 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt albo Przekształcenie równania a a a a do postaci równania kwadratowego z błędem rachunkowym (na przykład błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste), poprawne rozwiązanie równania kwadratowego a 5a 0, nieodrzucenie rozwiązania i podanie w odpowiedzi dwóch czwórek liczb Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie czwórki liczb całkowitych spełniających warunki zadania:, 0,, Uwagi Jeżeli zdający źle zinterpretuje treść zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeśli zdający bez wykonywania rachunków poda odpowiedź i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje punkt

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie nierówności wielomianowej (IVcR) I sposób rozwiązania Rozwiązanie nierówności wielomianowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap to zastosowanie jednej z kilku metod, które pozwalają zapisać wielomian w postaci iloczynowej, drugi etap to rozwiązanie nierówności Pierwszy etap: zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej I wariant (grupowanie wyrazów) Zapisujemy nierówność w postaci x x x 0, a następnie przedstawiamy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x II wariant (odgadnięcie pierwiastka i dzielenie metodą pisemną) Zapisujemy nierówność w postaci x x x 0, a następnie przedstawiamy lewą stronę x x x x x x Zauważamy, że x jest nierówności w postaci iloczynowej: pierwiastkiem wielomianu x x i dzielimy wielomian x x przez dwumian x sposobem pisemnym lub za pomocą algorytmu Hornera, otrzymując x x Następnie x x x x 0 zapisujemy nierówność w postaci iloczynowej Drugi etap: rozwiązanie nierówności Zauważamy, że trójmian x x przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby x x x x 0 jest jednocześnie rzeczywistej x, zatem rozwiązanie nierówności rozwiązaniem nierówności kwadratowej x x 0, czyli sumą przedziałów,0, ) Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie wielomianu x x x w postaci iloczynu, w którym jednym z czynników jest x lub x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie nierówności w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego, np xxx x 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zauważenie, że rozwiązanie nierówności x x x 0 jest jednocześnie rozwiązaniem nierówności kwadratowej x x 0 albo narysowanie i uzupełnienie tabeli znaków lub sporządzenie szkicu wykresu wielomianu z uwzględnieniem jego miejsc zerowych Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności x x x: x,0, )

Egzamin maturalny z matematyki Jeśli zdający podzieli nierówność przez x lub x, bez rozpatrzenia odpowiednich przypadków to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów II sposób rozwiązania Rozwiązujemy nierówność w trzech przedziałach: I,0 x 0,, III x, ) I x,0 x, II Wtedy x 0 i x 0, a x 0 Stąd x x x dla każdego x,0 II x 0, Wtedy x x i x x Stąd x x x dla każdego x 0, Zatem dana nierówność nie ma rozwiązań w tym przedziale III x, ) Wtedy x x i x x Stąd x x x dla każdego x, ) Odp Rozwiązaniem nierówności x x x jest zbiór x,0, ) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje po punkcie za rozwiązanie nierówności w każdym z trzech przedziałów Czwarty punkt zdający otrzymuje za podanie odpowiedzi końcowej Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IV6eR) Rozwiązanie Wykorzystując wzór na cosinus podwojonego kąta: cos x cos x, przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna argumentu x: cos x cosx 0 Porządkujemy i otrzymujemy równanie: cos x cos x 0 Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, np t cos x, gdzie t, Otrzymujemy równanie kwadratowe t t 0 Rozwiązujemy równanie kwadratowe, otrzymując: t, t Rozwiązujemy równania cos x i cos x

Egzamin maturalny z matematyki 5 Zapisujemy rozwiązania równań: x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej argumentu x, np: cos x cosx 0 lub cos x cos x 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Rozwiązanie równania cos xcos x 0 z niewiadomą cos x : cos x lub cos x Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie jednego z równań cos x lub cos x Rozwiązanie pełne pkt Rozwiązanie równania: x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą albo xn60, gdzie n jest liczbą całkowitą lub x 60n60, gdzie n jest liczbą całkowitą lub x60n60, gdzie n jest liczbą całkowitą Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału, i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje punkty

6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 6) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków (IVbR) I sposób rozwiązania Obliczamy Wówczas x m i następnie m m x, x m m m m m m m m8 m m m m m m i podobnie m m m m x Następnie x i podobnie m m m mm m m m m 8m m 6m m m m m x Teraz x x m m 6m m 6, czyli mamy równanie m m 6m m6 m 6m m, czyli m m 6 6, stąd : Zatem m 6 8 lub czyli m lub m Przypadek m jest niemożliwy; zatem Należy na zakończenie zauważyć, że jeśli oba pierwiastki x i x są rzeczywiste m 8m m 6m m m m m m 6 8, m, czyli m, to m m m 6m6 m m 8m 8m8 m m m m m 6 6 m lub m m 0, a więc Zdający może rozpocząć od rozważenia nierówności 0, czyli m 0 Otrzymuje m lub m Potem może sprawdzać, czy otrzymane rozwiązania są zgodne z tymi nierównościami

Egzamin maturalny z matematyki 7 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 m,, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt m, czyli dla Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x x m 6m m do postaci równania ze zmienną m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Wyznaczenie x i x Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie x i x Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Wyznaczenie x i x i zapisanie równości x x m m 6m m 6 Rozwiązanie bezbłędne części b) pkt Rozwiązanie równania m m 8 0 : m lub m Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi Przyznajemy punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 0 z etapu a) i równania m m 6 6 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów II sposób rozwiązania: m m m m Tak jak w sposobie I obliczamy x, x Następnie przyjmujemy oznaczenie t m Wówczas mt mt mt mt x x 6 Korzystamy ze wzorów: ab a a b6a b ab b a b a a b 6a b ab b Stąd ab ab a a b b

8 Egzamin maturalny z matematyki Zatem m m t t m 6m t t x x 6 8 Ponieważ t m, więc t m i t m m Mamy zatem m 8m m m6 6m mm m m x x 8 8m m 8m 56m8 m m 6m m6 8 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy m 0, czyli dla m,, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x x m 6m m do postaci równania z niewiadomą m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Wyznaczenie x i x Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt Przyjęcie oznaczenia, np t m Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Wyznaczenie x oraz x i zapisanie równości mt mt mt mt x x m m 6m m 6 6 Rozwiązanie bezbłędne części b) pkt Rozwiązanie równania m m 8 0 : m lub m Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi Przyznajemy punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 0 z etapu a) i równania m m 6 6 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów

Egzamin maturalny z matematyki 9 III sposób rozwiązania: Korzystamy ze wzorów Viète a: x x m, x x m Mamy teraz: m m m m m m m x x x x x x x x x x x x 6 6 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy m 0, czyli dla m,, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x x m 6m m do postaci równania z niewiadomą m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równości: x x x x xx Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt x x x x x x x x x x x x Zapisanie równości: Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Zapisanie wyrażenia x x w postaci sumy jednomianów zmiennej m, np x x x x x x x x xx xx m m 6m m 6 Rozwiązanie bezbłędne części b) pkt Rozwiązanie równania m m 8 0 : m lub m Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi Przyznajemy punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 0 z etapu a) i równania m m 6 6 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów

0 Egzamin maturalny z matematyki IV sposób rozwiązania: Korzystamy ze wzorów Viète a oraz ze wzoru na a b x x x xx 6xx xx x x x xx x x 6xx 6 x x xx x x xx xx czyli 6 x x x x xx x x xx xx m m m m 6 m m m 6m m6 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 m,, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt m, czyli dla Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x x m 6m m np do postaci m m 6 6 i rozwiązaniu tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Skorzystanie z wzoru a b a a b 6a b ab b Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt x x x x x x x x x x 6 x x Zapisanie równości: Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Zapisanie wyrażenia x x w postaci sumy jednomianów zmiennej m, np x x xx xx xx xx 6 xx m m 6m m 6 Rozwiązanie pełne części b) pkt Rozwiązanie równania m m 8 0 : m lub m Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi Przyznajemy punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 0 z etapu a) i równania m m 6 6 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 5 (0 6) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu geometrycznego oraz własności ciągu arytmetycznego (IV5c) I sposób rozwiązania Oznaczmy przez a, b, c kolejne liczby tworzące, w podanej kolejności, ciąg geometryczny Przez a oraz q oznaczamy odpowiednio pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu geometrycznego Wówczas b aq oraz c aq Z treści zadania wiemy, że ciąg o wyrazach a, b 8, c jest arytmetyczny, co oznacza, że jest spełniona równość 8 aq 8a aq Ponadto, ciąg o wyrazach a, b 8, c 6 b 8 a c 6 aq 8 a aq 6, a stąd b a c, czyli jest geometryczny, więc Zapisujemy układ równań: aq 8 a aq aq 8 a aq 6 6 Z pierwszego równania wyznaczamy a q q (przy założeniu, że q ) i podstawiamy do drugiego równania Otrzymujemy równanie: 6 6 q 0 qq qq Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego: 6q qq 6 0, q q q 6 0, q q5 0 Rozwiązaniami tego równania są liczby: q 5, q 0 0 00 Jeżeli q 5, to a, b oraz c 5 9 9 9 9 Jeżeli zaś q, to a, b oraz c 6 Zauważmy na zakończenie, że założenie q nie zmniejsza ogólności rozważań, bo gdyby q, to otrzymalibyśmy (początkowy) ciąg geometryczny stały, zaś ciąg a, a 8, a nie byłby arytmetyczny dla żadnej wartości a, wbrew treści zadania Odpowiedź: Istnieją dwa ciągi geometryczne spełniające warunki zadania:,, 6 oraz 0 00,, 9 9 9 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że: liczby a, aq, aq są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz liczby a, aq 8, aq, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby a, aq8, aq 6, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny

Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do zapisania układu równań, np aaq aq8 aq 8 a aq 6 Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą np: q q5 0 lub 9a 0a 60 Jeżeli zdający w trakcie przekształcania układu równań popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty za całe rozwiązanie Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Zdający popełni błędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego, np q q5 0 i konsekwentne do tych błędów poda w odpowiedzi dwa ciągi geometryczne lub przekształci układ równań z błędem (np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 6 pkt Zapisanie dwóch trójek liczb, z których każda tworzy ciąg geometryczny opisany w treści 0 00 zadania:,, 6 oraz,, 9 9 9 II sposób rozwiązania Oznaczmy przez a, b, c trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego Wówczas b a c Ponieważ ciąg a, b 8, c jest arytmetyczny, więc b 8 a c Ponadto, ciąg c jest geometryczny, zatem b 8 a c 6 a, b 8, 6 Zapisujemy zatem układ równań: b ac b8ac b8 ac6 a następnie przekształcamy go w sposób równoważny: cba6 b ab6aa b8 ab6aa 6a

Egzamin maturalny z matematyki Odejmujemy stronami drugie i trzecie równanie i otrzymujemy b8 b 6a b b Stąd a Podstawiamy a do drugiego równania i otrzymujemy b b b b6 Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego 6b 7b 88b 0, czyli 9b 88b0 0 0 Rozwiązaniami tego równania są liczby: b, b 9 0 00 Jeżeli b, to a oraz c 9 9 9 Jeżeli zaś b, to a oraz c 6 Odpowiedź: Istnieją dwa ciągi geometryczne spełniające warunki zadania:,, 6 oraz 0 00,, 9 9 9 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania zadania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz, że liczby a, b 8, c, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny, zaś liczby a, b8, c 6, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do zapisania układu równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np b ac b8ac b8 ac6 Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np: 9a 0a 60 lub 9b 88b0 0 lub 9c c 600 0 Jeżeli w trakcie przekształcania układu równań zdający popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty za całe rozwiązanie Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Zdający popełni błędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego, np 9b 88b0 0 i konsekwentne do tych błędów poda w odpowiedzi dwa ciągi geometryczne

Egzamin maturalny z matematyki lub przekształci układ równań z błędem (np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 6 pkt Zapisanie dwóch trójek liczb, z których każda tworzy ciąg geometryczny opisany w treści 0 00 zadania:,, 6 oraz,, 9 9 9 Zadanie 6 (0 6) Modelowanie matematyczne Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (III8e; k) Rozwiązanie 55 5 50 Wyznaczamy odległość punktów P i Q: PQ m m m m Wyznaczamy wzór funkcji f opisującej wartość PQ : 50 5 f m m m m 0m500 dla m, 7 Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji f: 5 5 5 mw 0 : 5: 5 0 5 Ponieważ 0,7, więc w tym przedziale funkcja f jest monotoniczna Zatem największa i najmniejsza wartość funkcji f dla m, 7 są przyjmowane dla argumentów, będących końcami tego przedziału 5 5 f 0 500 65, 5 oraz f 7 9 0 500 5, 5 Zatem najmniejsza i największa wartość PQ to odpowiednio 5,5 oraz 65,5 Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt 50 Wyznaczenie odległości między punktami P i Q: PQ m m lub 50 PQ m m

Egzamin maturalny z matematyki 5 Jeżeli zdający zapisze, np 0 punktów 50 PQ m m, to otrzymuje za całe zadanie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 5 Zapisanie wzoru funkcji f w postaci, np: f m m 5m 65 lub 5 f m m 0m 500 Dalszej ocenie podlega badanie tylko takich funkcji kwadratowych, które przyjmują wartości nieujemne w całym zbiorze liczb rzeczywistych Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f i stwierdzenie, że współrzędna ta nie należy do przedziału, 7 : mw 0 i 0,7 i z rozwiązania wynika, że f 0 nie jest żadną z poszukiwanych wartości albo obliczenie f i f 7, zapisanie bez uzasadnienia, że f jest wartością największą, f 7 jest wartością najmniejszą Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Rozwiązanie pełne 6 pkt Podanie najmniejszej i największej wartość PQ odpowiednio 5,5 oraz 65,5 z uzasadnieniem, np powołanie się na monotoniczność lub stwierdzenie, że pierwsza współrzędna wierzchołka nie należy do podanego przedziału Jeśli zdający obliczy f 0 500, f 65,5 i f 7 5,5 i stąd wywnioskuje, że najmniejszą wartością funkcji f jest 500, a największą 65,5, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Zadanie 7 (0 ) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (Vb) Rozwiązanie Przekształcamy nierówność w sposób równoważny a b a bab 0, a a b b ab 0, a a b b b a 0,

6 Egzamin maturalny z matematyki a ba b 0, a b a b 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż z założenia a b 0 wszystkich liczb rzeczywistych a i b, co kończy dowód oraz a b 0 dla Schemat oceniania rozwiązania Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a b a b 0 lub Zapisanie nierówności w postaci iloczynowej ab ab 0, lub a ba ba b 0 Rozwiązanie pełne pkt Przeprowadzenie pełnego dowodu Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez a b, nie zakładając, że ab 0, to otrzymuje 0 punktów W przypadku gdy zdający podzieli nierówność przez a b 0 i nie rozpatrzy przypadku ab 0, to przyznajemy punkty Zadanie 8 (0 ) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (IV0R) Rozwiązanie Rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze Mamy więc trzy, parami wykluczające się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy : Wśród cyfr tej liczby są, i sześć ( ) Takich liczb jest: 87 56 wybieramy miejsce dla na 8 sposobów i z pozostałych dla na 7 sposobów Wśród cyfr tej liczby są, 6 i sześć ( 6 ) Takich liczb jest: 87 56 wybieramy miejsce dla na 8 sposobów i z pozostałych dla 6 na 7 sposobów Wśród cyfr tej liczby są dwie, jedna i pięć ( ) Takich 7 liczb jest: 8 68 wybieramy jedno miejsce z ośmiu dla a następnie dwa miejsca z pozostałych siedmiu dla Zatem liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy jest 56 56 68 80 Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, co najmniej dwóch z trzech parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy (bez obliczania liczby tych możliwości): 6

Egzamin maturalny z matematyki 7 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie wszystkich trzech, parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy (bez obliczania liczby tych możliwości): 6 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy, w co najmniej dwóch z trzech możliwości Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy : 56 56 68 80 Zadanie 9 (0 5) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem własności figur podobnych (IV7cR) I sposób rozwiązania D C b α h E c A a α B Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt ten jest podobny do trójkąta DEA (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku D), AE BA DE DA h a DE b więc oraz, czyli oraz Stąd AD BD DA DB b a b b a b ab b h oraz DE a b a b ab b ab Pole trójkąta AED jest równe P ADE h DE a b a b a b II sposób rozwiązania Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt ten jest podobny do trójkąta DEA (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku D), AE BA DE DA h a DE b więc oraz, czyli oraz Stąd AD BD DA DB b a b b a b ab h oraz DE a b b a b

8 Egzamin maturalny z matematyki DE b Wyznaczamy sinus kąta EAD w trójkącie AED: sin EAD = b a b Pole trójkąta AED jest równe: ab b ab PAED bhsin EAD b a b a b a b Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zauważenie, że trójkąty AED (lub AEB) i BAD są podobne i zapisanie odpowiedniej AE AB DE AD proporcji np: lub AD BD AD BD albo zapisanie pola trójkąta AED: P AE DE AE AD sin EAD lub P Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości odcinka DE: DE b ab lub AE: AE a b a b lub sin EAD b a b Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie długości obu odcinków DE: DE b ab i AE: AE a b a b lub obliczenie długości odcinka AE: AE ab b i sin EAD a b a b Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt ab Obliczenie pola trójkąta AED: PAED a b III sposób rozwiązania D C b h E c A a B

Egzamin maturalny z matematyki 9 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt AED jest podobny do trójkąta BAD, a ten jest podobny do trójkąta BEA, więc trójkąt BEA jest podobny do trójkąta AED Skala tego podobieństwa jest równa b a Stosunek pól tych trójkątów jest równy Ponieważ Stąd P PBEA a a Stąd PBEA PAED P b b AED AED P ABD ab P BEA P ab ab a a b b AED a, więc ab P AED PAED b Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zauważenie, że trójkąty AED i BEA są podobne i zapisanie stosunku ich pól w zależności od BEA P a skali ich podobieństwa: PAED b Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Wyznaczenie pola trójkąta ABD i zapisanie go jako sumy pól trójkątów BEA i AED Rozwiązanie możemy zakwalifikować do tej kategorii tylko pod warunkiem, że skala podobieństwa trójkątów BEA i AED została zapisana w zależności od a i b Rozwiązanie zadania prawie do końca pkt a Zapisanie równania z niewiadomą P AED : ab P AED PAED b Rozwiązanie pełne 5 pkt ab Obliczenie pola trójkąta AED: PAED a b

0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 0 (0 5) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie (IV9b) S h A D B Rozwiązanie Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BAS, obliczamy długość boku AB: AB 8 8 0 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CAS, obliczamy długość boku AC: AC 8 0 6 Stąd wynika, że BC 6, ponieważ nie istnieje trójkąt o długościach boków,, 6 (nierówność trójkąta) Trójkąt ABC jest równoramienny, wówczas wysokość h opuszczona na bok AB jest równa: h 6 60 Obliczamy pole P trójkąta ABC: P 60 660 Obliczamy objętość V ostrosłupa ABCS: V P AS 660 8 0 760 0 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Obliczenie długości boku AB: AB albo obliczenie długości boku AC: AC 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości boku AB: AB i długości boku AC: AC 6 oraz zauważenie, że długość boku BC jest równa 6 Jeśli zdający obliczy AB oraz AC i nie zapisze (zauważy), że BC 6, to przyznajemy punkty C

Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: P 660 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V 760 0 Jeśli zdający nie zauważy, że trójkąt o bokach,, 6 nie istnieje i obliczy dwie możliwe objętości ostrosłupów, to otrzymuje punkty Zadanie (0 ) Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V0cd) I sposób rozwiązania Zdarzenia A B oraz A B są rozłączne P AB AB wynika, że Stąd i z faktu, że P ABAB P AB P A B, czyli P A B 0, Zdający może rozwiązać zadanie za pomocą diagramu Venna Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zauważy, że zdarzenia A B oraz A B są rozłączne Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt P AB AB P AB P A B Zdający zapisze, że Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełny dowód Jeżeli zdający przeprowadzi pełny dowód, ale nie zapisze, że podane zdarzenia są rozłączne, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania Wiemy, że A B B, stąd P AB PB, czyli P A B PB Zatem PB 0, Wiemy, że A B B, stąd mamy P A B PB, czyli P A B 0, dowód, co kończy

Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że AB B Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z dalszych rozważań Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie, że A B B oraz, że PB 0, Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z pozostałych zapisów Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie wniosku: PA B 0,