EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

Transkrypt

1 Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0

2 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji Opis wymagań pojęcia wartości bezwzględnej Poprawna odpowiedź ( p) C Zadanie (0 ) Wykonanie obliczeń procentowych B Zadanie (0 ) i tworzenie informacji Rozłożenie wielomianu na czynniki z zastosowaniem wyłączenia wspólnego czynnika poza nawias B Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie układu równań D Zadanie (0 ) Rozwiązanie równania liniowego i sprawdzenie czy rozwiązanie należy do danego przedziału D Zadanie 6 (0 ) Sprawdzenie, które z podanych liczb spełniają nierówność i wybranie z nich najmniejszej B Zadanie (0 ) Zinterpretowanie rozwiązania nierówności kwadratowej i liniowej na osi liczbowej C Zadanie 8 (0 ) definicji logarytmu B

3 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 9 (0 ) Określenie funkcji za pomocą wzoru i interpretowanie wykresów funkcji kwadratowych A Zadanie 0 (0 ) Obliczenie miejsca zerowego funkcji liniowej D Zadanie (0 ) Zastosowanie wzory na n-ty wyraz ciągu geometrycznego D Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego C Zadanie (0 ) Wyznaczenie wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego, gdy dana jest wartość jednej z nich A Zadanie (0 ) Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego B Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w przestrzeni C Zadanie 6 (0 ) Skorzystanie ze związków między kątem środkowym i kątem wpisanym B Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich A

4 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 8 (0 ) Zbadanie równoległości i prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych C Zadanie 9 (0 ) Posłużenie się równaniem okręgu ( x a) + ( y b) = r i sprawdzanie czy dana prosta jest styczną B Zadanie 0 (0 ) Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie D Zadanie (0 ) Wyznaczenie związków miarowych w bryłach obrotowych B Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Zastosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia D Zadanie (0 ) Obliczenie średniej arytmetycznej D

5 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Rozwiązanie nierówności kwadratowej Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap może być realizowany na sposoby: I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu) Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 0x + obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ= 00 = 6 i stąd x = = oraz x = = 6 6 stosujemy wzory Viète a: 0 x+ x = oraz x x = i stąd x = oraz x = podajemy je bezpośrednio, np zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową trójmianu, lub zaznaczając na wykresie x =, x = lub x ( x ) lub y x II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu) Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego nierówność w postaci, np x 0, stąd x a następnie x 0x + i zapisujemy

6 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci iloczynowej x x ( x ) x 0 przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości bezwzględnej 0 6 x 6 6 Drugi etap rozwiązania: 0 8 x 6 6 Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: x lub Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x =, x = i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) = x 0x+ i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np x ( x ) i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność 0 8 o zapisze nierówność x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze 6 6 zbiór rozwiązań nierówności realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność 0 o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np: x + x = 0 i x x = lub x + x = i x x = i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, lub x,

7 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy o błędnie zapisze nierówność, np błędu rozwiąże nierówność 0 8 x + i konsekwentnie do popełnionego 6 6 Zdający otrzymuje pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:, lub x, lub x, sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów Uwaga Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x = i x = i zapisze np x,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty Zadania (0 ) x Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie zależności arytmetycznej z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia I sposób rozwiązania Ponieważ a b + =, więc ( a b) + =, czyli a + ab+ b = Ponieważ a + b =, więc ab + = Stąd mamy, że ab Stosując wzory skróconego mnożenia, zapisujemy wyrażenie a ( ) a + b a b = czyli II sposób rozwiązania Przekształcamy tezę w sposób równoważny: a + b = ( ) a + b a b = 9 ab = ab = 9 9= co należało uzasadnić = ab = 9 ab = i ( ) + b = w postaci:

8 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Korzystając z założeń a + b = i a+ b=, otrzymujemy ab + = Stąd ab = Zatem ab = 9, co kończy dowód Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: korzystając z założeń obliczy, że ab = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy przekształci tezę w sposób równoważny do postaci ab = 9 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie III sposób rozwiązania Tak jak w sposobie I obliczamy, że ab = Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona: ( ) 6 ( ) 6( ) a+ b = a + a b+ a b + ab + b = a + ab a + b + ab + b = ( ) ( ) = a + b = a + b 8+ = a + b 0 Stąd a + b = Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy poda lub obliczy wartość wyrażenia ab = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy wykorzysta wzór dwumianowy Newtona i zapisze np ( ) ( ) 6( ) a+ b = a + ab a + b + ab + b Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie IV sposób rozwiązania Rozwiązujemy układ równań, wyznaczając a i b : a + b = stąd: a+ b=

9 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 9 a = + b = lub + a = b = a + b = Układ równań a+ b= możemy rozwiązać jednym z podanych sposobów I sposób Podstawiamy b= a do równania a a ( a) + b =, stąd otrzymujemy równanie + =, które jest równoważne równaniu a a = 0 Obliczamy Δ= oraz a a 6 0 =, czyli a = + b = lub + a = b = II sposób Oznaczamy: a= + x, b= x Wtedy a + b = + x =, stąd x =, czyli Stąd otrzymujemy: x =, więc x =, x = a = + b = lub + a = b = III sposób Obliczamy ab = tak jak w I sposobie rozwiązania Mamy zatem układ równań: a+ b= ab = Stąd otrzymujemy: a = + b = lub + a = b =

10 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Obliczamy a + b, korzystając ze wzoru ( c+ d) + ( c d) = c + c d + d : + a + b = + = = + + = = + + = 69 8 = + + = = Uwaga Zdający może także obliczyć: a = = = = = = = = = a = = oraz + b = = = = = = = = = b = = Zatem + a + b = + = Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt + + gdy obliczy jedną z wartości a = lub a = lub b = lub b = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Uwaga + + Jeżeli zdający obliczy jedną z wartości a = lub a =, lub b =, lub b = i uzasadni tezę tylko dla tej jednej wartości, to otrzymuje punkty

11 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 6 (0 ) i tworzenie informacji Odczytanie z wykresu funkcji: zbioru wartości oraz maksymalnego przedziału, w którym funkcja maleje Rozwiązanie Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji:, Zapisujemy przedział maksymalnej długości, w którym funkcja jest malejąca:, Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy: zapisze zbiór wartości funkcji f :, i na tym poprzestanie zapisze zbiór wartości funkcji f :, i błędnie zapisze przedział maksymalnej długości, w którym ta funkcja jest malejąca zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca:, i na tym poprzestanie zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, np:, i błędnie zapisze zbiór wartości funkcji f Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze zbiór wartości funkcji f :, oraz przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca:, Uwagi Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, w postaci x lub x,, lub x, ), lub x (,, lub x (,) Zdający może zapisać zbiór wartości funkcji f, w postaci y lub x, Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, w postaci,0 0, Nie akceptujemy, jeżeli zdający zapisze przedział maksymalnej długości, w którym, funkcja f jest malejąca, w postaci { }

12 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadania (0 ) Modelowanie matematyczne Zastosowanie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego lub wykorzystanie własności trzech kolejnych wyrazów tego ciągu I sposób rozwiązania Liczby x, y, 9 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, stąd y = x+ 9 Zapisujemy więc układ równań y = x+ 9 x + y = 8 którego rozwiązaniem jest x = i y = 9 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i zapisze równanie np y = x+ 9 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy: x = i y = 9 Uwaga Zdający może jako rozwiązanie podać ciąg (, 9, 9) i wtedy również otrzymuje punkty II sposób rozwiązania Liczby x, y, 9 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny Niech r będzie różnicą tego ciągu i x = a, y = a = a+ r, 9 = a = a+ r Otrzymujemy układ równań a+ a+ r = 8 a + r = 9 Rozwiązaniem tego układu jest a =, r = 0 Stąd: x= a =, y = a = 9 Uwaga Możemy również otrzymać następujące układy równań: a + r = 8 y = x+ r a + 9 lub 9 = x + r = a + r x + y = 8 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy wprowadzi oznaczenia x = a, y = a = a+ r i zapisze równanie a + r = 9 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy: x = i y = 9

13 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy III sposób rozwiązania Wprowadzamy oznaczenia x = a, y = a, 9 = a Obliczamy: S = x+ y+ 9 = = Korzystając ze wzoru na sumę trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, a + 9 otrzymujemy = Stąd a =, zatem x =, y = 9 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt a+ a gdy wprowadzi oznaczenia x = a, y = a, 9 = a i zapisze równanie = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy: x = i y = 9 Uwaga Jeżeli zdający zapisze x = i y = 9 bez obliczeń i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje punkt Zadanie 8 (0 ) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego I sposób rozwiązania sin cos Sprowadzamy wyrażenie + = do wspólnego mianownika i otrzymujemy cos sin sin + cos = Korzystając z tożsamości sin + cos =, otrzymujemy sincos sincos =, a stąd sincos = Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: sin cos sprowadzi wyrażenie + = do wspólnego mianownika i na tym cos sin poprzestanie lub dalej popełnia błędy sin cos doprowadzi wyrażenie + = do postaci sin + cos = sincos cos sin i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy, że sincos =

14 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy II sposób rozwiązania Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz zaznaczamy kąt ostry taki, że sin = a c lub cos = b c a c b Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej: c = a + b Ponieważ sin cos a b a + b c + =, więc + =, czyli = Stąd cos sin b a ab ab = Ponieważ sincos = ab, to sincos = c III sposób rozwiązania Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz zaznaczamy kąt ostry taki, że sin = a c lub cos = b c a c b Ponieważ sin cos + =, więc otrzymujemy kolejno: cos sin a b a + b + =, =, a + b = ab, b a ab stąd ( ) π a b = 0, więc a = b Zatem = = Wtedy sin = sin = i cos = cos = Obliczamy sincos = =

15 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania II i III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym trójkącie kąt i zapisze: sin = a c, cos = b c i a + b = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy ab sin = a c, cos = b c i a + b = a b i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy, że sincos = Uwaga Zdający może także odczytać z tablic przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych i obliczyć: sin cos 0,0 0,0 0,999 0, Nie akceptujemy innych przybliżeń IV sposób rozwiązania Wyrażenie sin cos + = zapisujemy w postaci tg + = cos sin tg Stąd tg tg + = 0 Zatem tg = i stąd = Obliczamy wartość wyrażenia, sin cos = = Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze równanie tg + = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy tg Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy sincos = V sposób rozwiązania Zauważamy, że suma liczby i jej odwrotności jest równa wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba sin jest równa Zatem tg = = i stąd =, a więc sin cos = = cos

16 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania V sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze, że suma liczby i jej odwrotności jest równa wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa, zapisze tg = lub sin = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy cos Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy sincos = Uwaga Jeżeli zdający w V sposobie rozwiązania zapisze bez uzasadnienia: tg = lub sin = lub cos = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 0 punktów tg = lub sin = lub cos = i poprawnie obliczy sincos =, to otrzymuje punkt Zadania 9 (0 ) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie, że wskazany kąt jest prosty I sposób rozwiązania Niech CED = Ponieważ trójkąt DCE jest równoramienny i EC = CD, to EDC = CED = Zatem DCE = 80 Podobnie, ponieważ trójkąt ABE jest równoramienny i AEB = EAB = β, to ABE = 80 β Kąty ABE i DCE są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i DCE + ABE = 80 Stąd β = 80, czyli + β = 80 + β = 90 AED = 80 CED AEB = 80 β = 80 + β = 90 Zatem ( ) Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy napisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE, np DCE = 80 i ABE = 80 β i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90

17 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy II sposób rozwiązania D C F β E β A β Niech CED = i AEB = β Trójkąty DCE i ABE są równoramienne Zatem EDC = CED = oraz AEB = EAB = β Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD Kąty naprzemianległe CDE i DEF mają równe miary, zatem EDC = DEF = Analogicznie EAB = AEF = β Zatem BEC = 80 = + β, więc + β = 90 Stąd AED = 90, co kończy dowód Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne, dorysuje odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD i zapisze, że EDC = DEF = i EAB = AEF = β Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90 (uzasadnienie równości kątów może być przedstawione na rysunku) B

18 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy III sposób rozwiązania D 80 C F E Niech ABC =, stąd BCD = 80 A 90 Ponieważ CE = CD i EB = BA, więc trójkąty DCE i ABE są równoramienne 80 Zatem AEB = EAB = = 90 oraz EDC = CED = Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD, więc zachodzi równość: EDC = CED = DEF = i AEB = EAB = AEF = 90 Stąd otrzymujemy AED = AEF + DEF = 90 + = 90 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne i przyjmie, że ABC =, dorysuje odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD i zapisze, 80 że AEB = EAB = AEF = i EDC = CED = DEF = Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90 (uzasadnienie równości kątów może być przedstawione na rysunku) B

19 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 9 IV sposób rozwiązania D C E β A β B Niech CED = Ponieważ trójkąt DCE jest równoramienny i EC = CD, to EDC = CED = Podobnie, ponieważ trójkąt ABE jest równoramienny, to AEB = EAB = β Kąty ADC i BAD są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i ADC + BAD = 80 Stąd ADE + EAD = 80 ( + β ) Zatem w trójkącie DAE mamy: ( ) AED = + β = + β Stąd BEC = 80 = DEC + AED + AEB = + β, czyli + β = 90 Zatem AED = 90 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE, np EDC = CED = oraz AEB = EAB = β i zapisze, że ADC + BAD = 80 Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90 Uwaga Jeżeli zdający przyjmie dodatkowe założenia o trapezie ABCD, przez co rozważa tylko szczególny przypadek, np ABC = 90 lub DEC =, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów

20 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 0 (0 ) Użycie i tworzenie strategii Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia I sposób rozwiązania (metoda klasyczna) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary( ab, ) liczb z podanego zbioru Jest to model klasyczny Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym na otrzymaniu liczb, których suma jest podzielna przez, np wypisując je i zliczając: A =,,,,,,,,,,,,,6,,,,,,,,,, 6,, 6,6,,,,, {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )} czyli A = 6 6 Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA= ( ) 9 II sposób rozwiązania (metoda tabeli) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary( ab, ) liczb z podanego zbioru Jest to model klasyczny Tworzymy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu 6 X X X X X X X X X X X X 6 X X X X Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = Zliczamy oznaczone krzyżykami zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: A = 6 Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: 6 PA= ( ) 9 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: Ω = = 9 obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A = 6 Zdający otrzymuje pkt 6 gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA= ( ) 9

21 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Rysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie Prawdopodobieństwo na każdym odcinku tego drzewa jest równe Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: 6 PA= ( ) 6 = 9 IV sposób rozwiązania (metoda drzewa) Rysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie i zapisujemy na nich prawdopodobieństwo {, 6 } {,, } {,} {, 6 } {, } {,, } Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( ) 6 P A = + + =

22 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami Zdający otrzymuje pkt 6 gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA= ( ) 9 Uwagi Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma PA> ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów Jeżeli zdający opuści przez nieuwagę w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie obliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkt Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np 6 PA= ( ) =, to otrzymuje punkty 9 Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Wyznaczenie współrzędnych punktu styczności prostej z okręgiem I sposób rozwiązania Wyznaczamy współczynnik kierunkowy m prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = x : m = S =, : Zapisujemy równanie prostej prostopadłej do stycznej i przechodzącej przez punkt ( ) y = x + Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań: y = x y = x + x + = x x = Stąd y = Zatem punkt styczności ma współrzędne:,

23 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = x, np m = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt y = x Zapisanie układ równań y = x + Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np x + = x lub y = y + Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie współrzędnych punktu styczności:, Uwaga Jeśli zdający zapisał układ równań liniowych i odgadł jego rozwiązanie, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania Obliczamy odległość d środka okręgu S = (,) od prostej y = x : 6 d = = + Punkt P= ( x,x ) jest punktem styczności okręgu o środku w punkcie S = (,) i prostej y = x Zatem PS = d oraz PS x x = ( ) + ( 0) 6 Przekształcamy równanie ( x ) + (x 0) = do postaci x 6x + 09 = 0 Rozwiązujemy równanie x 6x + 0 = 0, stąd x = Zatem punkt styczności ma współrzędne: P =, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt 6 obliczenie odległości punktu S od danej prostej d = = + zapisanie długości odcinka PS : PS = ( x ) + (x 0) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt y = x Zapisanie układ równań, np ( ) ( x ) + y =

24 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np x 6x + 0 = 0 ( x ) + (x 0) = Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie współrzędnych punktu P styczności:, III sposób rozwiązania P= x, y jest punktem styczności okręgu o środku S = (,) i prostej y = x Punkt ( ) ( x ) + ( y ) = r Zapisujemy układ równań: y = x Przekształcamy układ równań do równania kwadratowego z niewiadomą x: ( x ) + (x 0) = r x 6x+ 09 r = 0 Zapisujemy warunek Δ= 0, dla którego okrąg ma jeden punkt wspólny z prostą y = x i obliczamy r : 6 6 Δ= 6 + 0r, 0r 6 = 0, 0r = 6, r = = 0 Rozwiązujemy równanie: 6 x 6x + 09 = 0 x 6x + 0 = 0 x = Zatem punkt styczności ma współrzędne: P =, Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie układu równań i warunku pozwalającego wyznaczyć promień okręgu: ( x ) + ( y ) = r y = x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą x 6x+ 09 r = 0, zapisanie 6 r : r = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania kwadratowego, np x 6x + 0 = 0 Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie współrzędnych punktu styczności: P =, warunku Δ= 0 i obliczenie

25 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Uwaga Jeśli zdający popełnił błąd rachunkowy, przekształcając układ równań do równania kwadratowego, rozwiązał to równanie i otrzymał dwa punkty styczności, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego z jedną niewiadomą I sposób rozwiązania Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem x y = Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o dni więcej, idąc każdego dnia o km mniej, wówczas zapisujemy równanie: ( x+ ) ( y ) = x y = Zapisujemy układ równań, np ( x+ ) ( y ) = Z pierwszego równania wyznaczamy y = x = x y podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy ( ) x + = x + ( y ) = y Przekształcamy to równanie do równania Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np x + x 8= 0 kwadratowego, np y y 8 = 0 Δ= 9 + = = Δ= + 9 = 96 = x = = sprzeczne z zał x > 0 y = = 6 sprzeczne z zał y > 0 + x = = + y = = 8 Obliczamy y: y = = 8 Odp: Turysta przechodził dziennie 8 km Odp: Turysta przechodził dziennie 8 km II sposób rozwiązania Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem x y = Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o dni więcej, idąc każdego dnia o km mniej, wówczas zapisujemy równanie: ( x+ ) ( y ) = x y = Zapisujemy układ równań, np ( x+ ) ( y ) = x y = Stąd otrzymujemy kolejno x y x + y 6 =

26 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy x y = x+ y 6 = x y = x + y 6 = 0 W równaniu x y 6 0 Otrzymujemy x y+ = 0, stąd wyznaczamy + = obie strony dzielimy przez ( ) y = x+ x = y podstawiamy do równania pierwszego i rozwiązujemy x ( x+ ) = x + x = 0 y y = x + x 8= 0 0 Δ= 9 + = = y y = y y 8 = 0 x = = sprzeczne z zał x > 0 Δ= + 9 = 96 = + x = = y = = 6 sprzeczne z zał y > 0 Obliczamy y: y = + = 8 + y = = 8 Odp: Turysta przechodził dziennie 8 km Odp: Turysta przechodził dziennie 8 km Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie zależności między przebytą drogą, liczbą dni wędrówki oraz liczbą kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, np: ( x+ ) ( y ) = x y = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y odpowiednio: liczbą dni wędrówki i liczbą x y = kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, np ( x+ ) ( y ) = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np: ( ) x + = lub + ( y ) =, lub x ( x+ ) =, x y lub y y = Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą

27 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę rozwiązanie równania z niewiadomą x lub y z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 8 km III sposób rozwiązania Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę Liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę opisujemy równaniem y = x Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o dni więcej, idąc każdego dnia o km mniej, wówczas zapisujemy równanie: x x+ Przekształcamy to równanie do postaci x + x 8= 0 Rozwiązaniem równania są: x = = sprzeczne z założeniem x > 0 + i x = = Obliczamy y: y = = 8 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Przyjęcie oznaczeń: x - liczba dni wędrówki, y liczba kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę i zapisanie zależności, np y = x y = x + + Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą: x = x+ + Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę rozwiązanie równania z niewiadomą x błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, przy czym obliczona liczba kilometrów musi być większa od

28 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 8 km Uwagi Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający odgadnie liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje punkt Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie Rozwiązanie H L G E F M A D B K C Trójkąt ABK jest trójkątem prostokątnym, zatem AK = + Stąd AK = Trójkąt MAK jest trójkątem prostokątnym, zatem MK = MA + AK = + = Analogicznie dla trójkątów MEL i LGK obliczamy kwadraty długości boków ML i KL: ML = KL = Ponieważ ML = KL = MK, więc trójkąt KLM jest równoboczny Zatem jego pole wyraża się wzorem MK P =, stąd P = = 8 Uwaga Zdający nie musi obliczać kwadratów długości boków ML i KL Wystarczy, że korzystając z przystawania trójkątów MAK, MEL, LGK uzasadni równość boków: ML = KL = MK

29 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 9 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie kwadratu długości odcinka AK : AK = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt obliczenie kwadratów długości lub długości boków trójkąta KLM: 6 ML = KL = MK = lub ML = KL = MK = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy zauważenie, że trójkąt KLM jest równoboczny i obliczenie kwadratu długości jednego z boków tego trójkąta, np MK = Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie pola trójkąta KLM : P = 8 Uwaga Akceptujemy rozwiązanie, w którym zdający przyjmuje, że długość krawędzi sześcianu jest oznaczona literą l