MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY"

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 06

2 Ogólne zasady oceniania Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania Zadanie (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Liczby rzeczywiste stosuje wzór na logarytm potęgi i wzór na zamianę podstawy logarytmu (Rb) Przykładowe rozwiązanie Stosujemy wzory na zamianę podstaw logarytmu zapisujemy liczbę log 49 w postaci log7 49 log 49 = i wykonujemy kolejne przekształcenia: log 49 = log log 7 Zauważamy, że jeżeli log7 4 a a Zatem log 7 = 4 8 Stąd wynika, że log 49 = = a a 4 Schemat punktowania = to ( ) 4 log 4 = log = 4 log = a Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p : zastosuje twierdzenie o zamianie podstawy logarytmu, na przykład zapisze szukaną 4 liczbę w postaci: log 49 = lub log 49 = log7 log7 a wyznaczy liczbę log 7 w zależności od a: log 7 = lub liczbę log7 4 a w zależności od a: log7 = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p zastosuje twierdzenie o zamianie podstawy logarytmu, na przykład zapisze szukaną 4 liczbę w postaci: log 49 = lub log 49 = oraz wyznaczy liczbę log 7 log7 log7 a a w zależności od a: log 7 = lub liczbę log7 w zależności od a: log7 = 4 7 Strona z 5

3 Rozwiązanie pełne p wyznaczy liczbę log 49 : 8 a Zadanie (0 5) IV Użycie i tworzenie strategii Przykładowe rozwiązania I sposób Wielomian W ( x) = x + mx x + n W ( ) = 0 W ( 4) = 0 Wyrażenia algebraiczne wykonuje dzielenie wielomianu przez dwumian x a, stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x a (Rb) Równania i nierówności rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe (Rc) Rozwiązujemy układ równań: ( ) + m ( ) ( ) + n = m n = 0 ( 7) + 9m n = m 88 + n = 0 9m + n = 6m + n = 40 m = 4 n = 4 Zatem wielomian W ma postać W ( x) = x 4x x + 4 jest podzielny przez dwumiany x + i x 4, zatem Rozwiązujemy nierówność x 4x x Po podzieleniu wielomianu W przez dwumian x + otrzymujemy iloraz x 0x + 8, który dzielimy przez dwumian x 4 i otrzymujemy iloraz x W rezultacie wielomian W możemy zapisać w postaci W ( x) = ( x + )( x )( x 4) Pierwiastkami wielomianu W są liczby:,, 4 Szkicujemy wykres wielomianu W, z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności x Strona z 5

4 Zatem rozwiązaniem nierówności x x x + 0 jest każda liczba rzeczywista x, 4, + ) II sposób Wielomian W ( x) = x + mx x + n jest podzielny przez dwumiany x + i x 4, więc jest podzielny przez wielomian x x + +, otrzymujemy iloraz x+ m+ Wykonujemy dzielenie ( x mx x n) :( x x ) oraz resztę ( ) 4+ m x+ m+ n+ 4 Wobec wspomnianej wyżej podzielności mamy ( ) x R Oznacza to, że spełniony musi być układ równań: 4+ m = 0 m+ n+ 4 = 0, skąd otrzymamy m = 4 n = 4 Dalsze rozumowanie jak w sposobie I rozwiązania Schemat punktowania 4+ m x+ m+ n+ 4= 0 dla każdego Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p zapisze układ równań, wynikający z podzielności wielomianu W x = x + mx x + przez ( ) n dwumiany x + i x 4 : 4+ m = 0 x x : m+ n+ 4 = 0 ( ) ( ) W = 0 W 4 = 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p obliczy współczynniki m i n: m = 4, n = 4 Pokonanie zasadniczych trudności zadania p W : x = wyznaczy trzeci pierwiastek wielomianu ( x) = x 4x x + 4 i zapisze wielomian w postaci iloczynowej: W ( x) = ( x + )( x )( x 4) Strona 4 z 5

5 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 p naszkicuje wykres wielomianu ( x) = x 4x x + 4 W Rozwiązanie pełne 5 p wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności x 4x x :, 4, + ) Zadanie (0 4) IV Użycie i tworzenie strategii Przykładowe rozwiązanie 6 Trygonometria rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne (R6e) Korzystając z jedynki trygonometrycznej, sprowadzamy równanie cos x + sin x + = 0 do równania z jedną funkcją trygonometryczną: ( sin x ) + sin x + = 0, sin x + sin x + = 0 Wprowadzamy niewiadomą pomocniczą, np sin x = t, t, Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą t : t + t + = 0 Rozwiązaniem równania są liczby t =, t = Powracając do podstawienia, otrzymujemy: sin x = lub w przedziale 0, π ma rozwiązania: x = π lub Schemat punktowania 7 x = π lub 6 Strona 5 z 5 x = π 6 sin x =, a stąd dane równanie Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p przekształci równanie cos x + sin x + = 0 do równania z jedną funkcją trygonometryczną np sin x + sin x + = 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p rozwiąże równanie kwadratowe sin x + sin x + = 0 : sin x = lub sin x = Pokonanie zasadniczych trudności zadania p π rozwiąże równanie sin x = : x = + kπ lub równanie sin x = : 7 x = π + kπ lub x = π + kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą 6 6

6 Rozwiązanie pełne 4 p rozwiąże oba równania: sin x = oraz sin x = uwzględniając podany przedział: 7 x = π lub x = π lub x = π 6 6 Uwagi: Jeżeli zdający rozwiąże równanie kwadratowe z błędem, ale otrzyma dwa różne pierwiastki należące do przedziału, i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Jeżeli zdający rozwiąże równanie kwadratowe z błędem, ale otrzyma dwa różne pierwiastki i tylko jeden z nich należy do przedziału, i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Zadanie 4 (0 6) III Modelowanie matematyczne 5 Ciągi liczbowe bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny, stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym (5b,c) Przykładowe rozwiązanie Oznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego Jeżeli drugi wyraz tego ciągu jest równy 4, to a = 4 r, b= 4 + r i c= 4+ r aa, + b,4c możemy zapisać następująco Przy tych oznaczeniach, ciąg geometryczny ( ) ( 4 r,8,6+ 8r) Stąd otrzymujemy równanie 64 = ( 4 r)( 6 + 8r) Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie 8r( r ) = 0 Rozwiązaniami tego równania są liczby r = 0 oraz r = Dla r = 0 otrzymujemy a = b= c= 4 Dla r = otrzymujemy a =, b = 6, c = 8 Uwaga: W rozwiązaniu można zapisać pierwszy i czwarty wyraz ciągu w zależności od trzeciego wyrazu ciągu arytmetycznego Jeżeli a= 8 b oraz c b 4 =, to ciąg geometryczny ma postać ( 8 b,8,b 4) Wykorzystując własność ciągu geometrycznego, możemy zapisać równanie ( b)( b ) 64 = Rozwiązaniami tego równania są liczby b = 4 oraz b = 6 Gdy b = 4, to a = 4 i c = 4 Strona 6 z 5

7 Gdy b = 6, to a = i c = 8 Możemy też zapisać trzeci i czwarty wyraz ciągu w zależności od pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego Jeżeli b= 8 a oraz c a =, to ciąg geometryczny ma postać ( a,8,48 8a) Wykorzystując własność ciągu geometrycznego, możemy zapisać równanie ( a) 64 = a 48 8 Rozwiązaniami tego równania są liczby a = oraz a = 4 Gdy a =, to b = 6 i c = 8 Gdy a = 4, to b = 4 i c = 4 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i wprowadzi oznaczenia, np: a = 4 r, b= 4 + r i c = 4+ r lub a= 8 b oraz c= b 4, lub b= 8 a oraz c= a Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p zapisze wyrazy ciągu geometrycznego z użyciem jednej niewiadomej, np: 4 r,8,6 8r 8 b,8,b 4 a,8,48 8a ( + ) lub ( ), lub ( ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania p wykorzysta własności ciągu geometrycznego i zapisze równanie z jedną niewiadomą, np: 64 = ( 4 r)( 6 + 8r) lub 64 = ( 8 b)( 8b 6), lub 64 = a( 48 8a) Pokonanie zasadniczych trudności zadania i dodatkowy postęp na drodze do pełnego rozwiązania 4 p obliczy różnicę ciągu arytmetycznego w przynajmniej jednym przypadku lub wyznaczy jedną z liczb spośród a, b, c i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie do końca z błędami rachunkowymi, które nie przekreślają poprawności rozwiązania 5 p obliczy ab, i c tylko w jednym przypadku a = 4 r, b= 4 + r i c= 4+ r w dwóch przypadkach z błędami rachunkowymi Rozwiązanie pełne 6 p obliczy a, b, c w obu przypadkach: a = b= c= 4 lub a =, b = 6, c = 8 Strona 7 z 5

8 Uwagi: Jeżeli zdający tylko poda odpowiedź: a = b= c= 4, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkt Jeżeli zdający poda: a = b= c= 4 lub a =, b = 6, c = 8 i sprawdzi, że odpowiednie ciągi spełniają warunki zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Jeżeli zdający poda jako całe rozwiązanie: ciąg arytmetyczny:, 4, 6, 8, to otrzymuje punkt 4 Jeżeli zdający poda jako całe rozwiązanie: ciąg arytmetyczny:, 4, 6, 8, a ciąg geometryczny:, 8,, to otrzymuje punkty 5 Jeżeli zdający poda jako całe rozwiązanie: ciąg arytmetyczny:, 4, 6, 8, 4, 4, 4, 4, to otrzymuje punkty Zadanie 5 (0 6) IV Użycie i tworzenie strategii Przykładowe rozwiązania I sposób 7 Planimetria stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu oraz znajduje związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii (R7a, 7c) D C P α G r A F E B Wprowadzamy oznaczenia: FAP = α, FG = r W trapezie równoramiennym ABCD mamy: AE = AB + CD AB CD 84 6 = = 60 oraz BE = = = 4 Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BEC, obliczamy wysokość CE trapezu CE = BC BE = = 8 W trójkącie AEC mamy tgα = = 60 5 Korzystając ze wzoru na tangens podwojonego kąta, obliczamy kolejno: tgα 8 tg α =, 5 5tgα = 4 4tg α, 4tg α + 5tgα 4 = 0, Δ= 89, 5+7 tg α = = 8 4 Strona 8 z 5

9 Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo α jest kątem ostrym Obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABP: r = AF tgα = 4 = 0,5 4 II sposób D P C W trapezie równoramiennym ABCD mamy: AB + CD AE = = = 60 oraz BE Ponadto AF = FB = 4 A AB CD 84 6 = = = 4 Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BEC obliczamy wysokość CE trapezu CE = BC BE = = Korzystając z podobieństwa trójkątów AFP i AEC, obliczamy wysokość PF trójkąta ABP Mamy PF CE =, AF AE 4 stąd PF = =,4 60 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AFP obliczamy długość odcinka AP: F ( ) AP = 4 +, 4 = 47,6 Następnie obliczamy pole trójkąta ABP i połowę jego obwodu: P ABP = 84,4 = 940,8 47,6 + 47, p = = 89,6 Korzystając ze wzoru na pole trójkąta w zależności od promienia okręgu wpisanego w trójkąt obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt ABP: P 940,8 r = ABP = = 0,5 p 89,6 E B Strona 9 z 5

10 III sposób D G P C A F E B AB 7 PF 7x Trójkąty ABP i CDP są podobne w skali k = =, stąd = CD PG x W trapezie równoramiennym ABCD mamy: AB + CD AB CD 84 6 AE = = = 60 oraz BE = = = 4 Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BEC i obliczamy wysokość CE trapezu: CE = BC BE = = Ponieważ PF + PG = CE, więc 7x+ x=, stąd x =, Zatem PF = 7x =,4 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AFP obliczamy długość odcinka AP: AP = 4 + (,4) = 47,6 W trójkąt ABP wpisujemy okrąg o środku w punkcie O i promieniu KO, gdzie K jest punktem styczności okręgu z bokiem AP trójkąta Zauważamy, że trójkąt PKO jest podobny do trójkąta AFP (cecha kkk) KO AF Niech KO = OF = r, stąd = PF OF AP r 4 Zatem,4 r = i stąd r = 0,5 47,6 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p obliczy wysokość trapezu CE = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p obliczy tangens kąta pomiędzy przekątną AC i podstawą AB trapezu: długość odcinka AP lub PF: AP = 47,6, PF =, 4 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy 8 tg α = 5 Strona 0 z 5

11 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i w którym przedstawiono początek rozumowania prowadzącego do pokonania zasadniczych trudności zadania p obliczy pole trójkąta ABP, ale nie obliczy jego obwodu nie obliczy pola trójkąta ABP, ale obliczy jego obwód, uzasadni podobieństwo trójkątów PKO i AFP, ale nie zapisze poprawnie równania, z którego można wyznaczyć r Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p zapisze równanie, z którego można obliczyć tangens połowy kąta pomiędzy tgα 8 przekątną AC i podstawą AB trapezu: tg α = 5 obliczy pole trójkąta ABP i jego obwód: P ABP = 940,8, O = 79,, zauważy podobieństwo trójkątów PKO i AFP i zapisze równanie, z którego można r 4 wyznaczyć r, np,4 r = 47,6 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 p obliczy tangens połowy kąta pomiędzy przekątną AC i podstawą AB trapezu: promień okręgu z błędem rachunkowym tg α = 4 Rozwiązanie pełne 6 p obliczy promień okręgu r = 0,5 Strona z 5

12 Zadanie 6 (0 6) IV Użycie i tworzenie strategii 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej podaje równanie prostej, mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a w równaniu kierunkowym, bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych, interpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (8b, c, d) Przykładowe rozwiązania I sposób Wyznaczamy równanie prostej AB, korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej y 6 x = przez dwa punkty: ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( x ) 0 5( y ) = x 5 y =, 4 Zatem prosta AB ma równanie y = x Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt M: y = 5 x +8 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (, ) i = (, ) ( y )( ) ( )( x ) = 0, ( y ) ( x ) = 0 M : Zatem prosta AM ma równanie y = x Współczynnik kierunkowy prostej BC jest równy a = i do prostej należy punkt B, więc równanie prostej ma postać y = x + 8 Punkt C = ( x, y) jest punktem wspólnym prostych CM i BC, więc jego współrzędne y = 5x + 8 wyznaczamy, rozwiązując układ równań y = x Zatem punkt C ma współrzędne, Wyznaczamy pole trójkąta ABC Można to zrobić różnymi metodami I metoda wyznaczania pola trójkąta ABC Obliczamy długość odcinka AB : = ( 6 ) + ( ) = 6 Strona z 5 AB Wyznaczamy odległość h punktu C od prostej AB h = = Wyznaczamy pole trójkąta ABC : P = AB h = 6 = = 0, 5 6 Odp: Pole trójkąta ABC jest równe P = 0, 5

13 II metoda wyznaczania pola trójkąta ABC Wyznaczamy pole trójkąta ABC, korzystając ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach 5 w punktach A = (, ) i B = ( 6, ) i C =, 5 P = B A C A B A C A ( x x )( y y ) ( y y )( x x ) = ( 6 ) ( ) Odp: Pole trójkąta ABC jest równe P = 0, 5 III metoda wyznaczania pola trójkąta ABC P =,5,5 = 0,5 9 Wyznaczamy współrzędne wektorów AB i AC : AB = [ 5, ] i AC =, Wyznaczamy pole trójkąta ABC, korzystając ze wzoru 5 P = d( AB, AC) = = (,5,5 ) = 0, 5,5 4,5 Odp: Pole trójkąta ABC jest równe P = 0, 5 II sposób Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (, ) i = (, ) ( y )( ) ( )( x ) = 0, ( y ) ( x ) = 0 Zatem prosta AM ma równanie y = x M : Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty B = ( 6, ) i = (, ) ( y )( 6) ( )( x 6) = 0, ( y ) ( x 6) = 0 M : Zatem prosta BM ma równanie y = x + 4 Wyznaczamy równania prostych, zawierających boki AC i BC trójkąta, które są prostopadłe odpowiednio do prostych: BM i AM Współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy a = i do prostej należy punkt A, więc równanie prostej ma postać y = x Współczynnik kierunkowy prostej BC jest równy a = i do prostej należy punkt B, więc równanie prostej ma postać y = x + 8 Punkt C = ( x, y) jest punktem wspólnym prostych AC i BC, więc jego współrzędne y = x wyznaczamy, rozwiązując układ równań y = x + 8 x = x + 8, x =,5, y = 5,5, Strona z 5

14 5 Zatem punkt C ma współrzędne, Wyznaczamy pole trójkąta ABC jak w I sposobie rozwiązania Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p 4 wyznaczy równanie prostej AB : y = x wyznaczy równanie prostej AM : y = x, wyznaczy równanie prostej BM : y = x + 4, obliczy długość odcinka AB: AB = 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p 4 wyznaczy równania prostych AB : y = x + i AM : y = x 5 5 wyznaczy równania prostych AM : y = x i BM : y = x + 4 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i w którym przedstawiono początek rozumowania prowadzącego do pokonania zasadniczych trudności zadania p wyznaczy równania prostych zawierających boki AC i BC i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p 5 wyznaczy współrzędne punktu C =, Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 p wyznaczy odległość h punktu C od prostej AB : h = i na tym zakończy 6 popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca Rozwiązanie pełne 6 p wyznaczy pole trójkąta ABC : P = 0, 5 Strona 4 z 5

15 Uwagi: Jeśli zdający wyznaczy równania prostych zawierających boki AC i BC i na tym poprzestanie, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający obliczy długość AB i wyznaczy równanie prostej AB, to otrzymuje punkty Zadanie 7 (0 ) V Rozumowanie i argumentacja Wyrażenia algebraiczne używa wzorów skróconego mnożenia na ( a± b) oraz a b () Przykładowe rozwiązania I sposób Ponieważ liczba a przy dzieleniu przez 6 daje resztę, więc a = 6k+, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną Ponieważ liczba b przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5, więc b= 6l+ 5, gdzie l jest liczbą całkowitą nieujemną Wtedy a b = ( 6k+ ) ( 6l+ 5) = ( 6k+ 6l+ 6)( 6k 6l 4) = ( k+ l+ )( k l ) Wykazaliśmy, że liczba a b jest podzielna przez Należy jeszcze wykazać, że przynajmniej jedna z liczb k + l+ lub k l jest podzielna przez Jeśli liczby całkowite k i l są jednakowej parzystości, to liczba k l jest parzysta oraz liczba k l = ( k l) jest parzysta, jako różnica dwóch liczb parzystych Jeśli liczby całkowite k i l są różnej parzystości, to liczba k+ l+ jest parzysta, jako suma dwóch liczb nieparzystych i jednej parzystej To kończy dowód II sposób Ponieważ liczba a przy dzieleniu przez 6 daje resztę, więc a = 6k+, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną Ponieważ liczba b przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5, więc b= 6l, gdzie l jest liczbą całkowitą nieujemną Wtedy a b = ( 6k+ ) ( 6l ) = ( 6k+ 6l)( 6k 6l+ ) = ( k+ l)( k l+ ) Wykazaliśmy, że liczba a b jest podzielna przez Należy jeszcze wykazać, że przynajmniej jedna z liczb k+ l lub k l+ jest podzielna przez Jeśli liczby całkowite k i l są jednakowej parzystości, to liczba k+ l jest parzysta Jeśli liczby całkowite k i l są różnej parzystości, to liczba k l jest nieparzysta, więc liczba k l+ = k l + jest parzysta To kończy dowód ( ) Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p zapisze liczbę a b k+ l+ k l lub w postaci ( k l)( k l ) w postaci ( )( ) + + i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Strona 5 z 5

16 Pokonanie zasadniczych trudności zadania p uzasadni parzystość jednej z liczb k+ l+ lub k l w jednym z przypadków w zależności od parzystości liczb k i l uzasadni parzystość jednej z liczb k+ l lub k l+ w jednym z przypadków w zależności od parzystości liczb k i l Rozwiązanie pełne p uzasadni podzielność liczby a b przez 4 Uwaga: Jeżeli zdający rozważa tylko szczególne przypadki, np przyjmie a= 6k+ oraz b= 6k+ 5 i wyznaczy a b = ( 6k+ ) ( 6k+ 5) == 4( k ), to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Zadanie 8 (0 6) IV Użycie i tworzenie strategii 9 Stereometria wyznacza związki miarowe w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii (9b) Przykładowe rozwiązanie Strategię rozwiązania zadania można zrealizować na wiele sposobów Każdy z nich różni się zestawem i kolejnością zastosowanych związków między odcinkami w ostrosłupie Przyjmijmy następujące oznaczenia jak na rysunku S b D H l α F C A a O B E Wtedy a OB =, a OE =, BFO = 60 BO BF = Ponieważ trójkąt BFO jest prostokątny, stąd sin 60 Strona 6 z 5

17 Zatem a BO a a 6 BF = = = = sin 60 a 6 Trójkąty SEC i BFC są podobne, stąd SE = BF l, czyli b 6 = Zatem l = SC BC b a Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych EOS i BOS, skąd otrzymujemy układ równań: a b 6 H + = a H + = b a b = a 5 + = b a b 5 + = 4 a 5 + = b 00 + a = 8b 50 + a = b b = a 75 = 00 b = 5 a = 0 Stąd pole P podstawy ABCD ostrosłupa jest równe P 500 równa: V = 00 5 = = a = 00, więc objętość ostrosłupa jest Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p zastosuje twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SOC Strona 7 z 5

18 zastosuje twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SOE, zastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie BFD, zapisze funkcję trygonometryczną kąta ostrego w trójkącie OBF, zapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów SEC i BCF, zapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów SOC i OFC i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Uwaga: Jeżeli zdający zapisze związki, z których można obliczyć długość krawędzi podstawy lub długość przekątnej podstawy ostrosłupa, ale pominie jedno równanie potrzebne do zakończenia obliczeń, to otrzymuje punkty Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p zapisze układ równań, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy lub długość przekątnej podstawy ostrosłupa i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p zapisze równanie z jedną niewiadomą oznaczającą wielkość, która pozwala obliczyć pole podstawy ostrosłupa i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie prawie pełne 5 p obliczy długość krawędzi podstawy lub długość przekątnej podstawy ostrosłupa obliczy długość krawędzi podstawy lub długość przekątnej podstawy ostrosłupa, popełniając błędy rachunkowe i konsekwentnie do tego obliczy objętość ostrosłupa Rozwiązanie pełne 6 p obliczy objętość ostrosłupa: 500 V = Uwagi: Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę, np ostrosłup, którego podstawą nie jest kwadrat ostrosłup, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi, ale przy korzystaniu z własności figur, w których ten kąt nie występuje, wykazuje się innymi umiejętnościami matematycznymi, to otrzymuje co najwyżej punkt Jeżeli zdający odczyta wartość sin BFO = sin 60 z tablic i wykona obliczenia na przybliżeniach, to otrzymuje co najwyżej 5 punktów Strona 8 z 5

19 Zadanie 9 (0 ) V Rozumowanie i argumentacja 7 Planimetria znajduje związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii (7c) Przykładowe rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, niech ponadto r S oznacza promień okręgu o środku w punkcie S i średnicy AB Wtedy AB = ( AK + LB ) oraz r S = AS = AB i KS = AB = rs 4 Trójkąt KLM jest trójkątem równoramiennym, którego podstawą jest odcinek KL Punkt S jest środkiem odcinka KL Zatem punkty K, S, M są wierzchołkami trójkąta prostokątnego, w którym KS + MS = KM przy czym MS = AB r = r r oraz KM = AB + r = r + r, 4 S Stąd mamy kolejno: rs + ( rs r) = rs + r, rs + rs rs r+ r = rs + rs r+ r, 4 4 r = r r S S Po wykorzystaniu zależności Zatem r = AB, co kończy dowód 6 S r AB = r S otrzymujemy: AB Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p zauważy, że trójkąt KSM jest trójkątem prostokątnym i zapisze długości boków tego trójkąta w zależności od długości odcinka AB: KS = AB, MS = AB r, KM = AB + r 4 4 w zależności od promienia r S : = KS = r, MS = rs r, S KM = r + r oraz AB = rs S Strona 9 z 5

20 Pokonanie zasadniczych trudności zadania p zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta KSM, np rs + ( rs r) = rs + r, i przekształci do postaci umożliwiającej wyznaczenie szukanej zależności np rs = rs r Rozwiązanie pełne p wykaże, że r = AB 6 Zadanie 0 (0 5) III Modelowanie matematyczne Przykładowe rozwiązanie 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych oraz wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (R0, 0d) Obliczymy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: 0 ( ) Ω= = 40 Zdarzenie A polega na tym, że co najmniej dwie z wylosowanych kul są tego samego koloru Ustalamy moc zdarzenia A: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = = 978 Obliczamy szukane prawdopodobieństwo, korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa: A P( A ) = = = Ω Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p zapisze moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω= 0 ( ) zapisze moc zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A lub zdarzeniu przeciwnemu do A: A = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( 0 ) lub A ' = ( 9 ) ( ) ( ), narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić wszystkie istotne gałęzie dla danego zdarzenia A lub dla zdarzenia do niego przeciwnego A') Strona 0 z 5

21 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p zapisze moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω= 0 ( ) i moc zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A lub zdarzeniu przeciwnemu do A: A = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( 0 ) lub A ' = ( 9 ) ( ) ( ) narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi Pokonanie zasadniczych trudności zadania p obliczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = 40 i moc zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A lub zdarzeniu przeciwnemu do A: A = 978 lub A ' = 6 obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi: np Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 p obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A: = i nie obliczy prawdopodobieństwa zdarzenia A obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A z błędami rachunkowymi Rozwiązanie pełne 5 p 489 obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P( A ) = 570 Strona z 5

22 Zadanie (0 ) III Modelowanie matematyczne 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (R0) Przykładowe rozwiązania I sposób Miejsce dla cyfry wybieramy na ( 0 ) sposobów Na pozostałych siedmiu miejscach rozmieszczamy cyfry lub w dowolnym porządku na 7 sposobów Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy 0 7 ( ) = 0 8 = 560 różnych liczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr,,, w zapisie których cyfra występuje w dokładnie trzy razy II sposób Rozpatrzymy trzy rozłączne przypadki, w zależności od tego, jaka cyfra została zapisana na pierwszym miejscu Jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra, to miejsce dla pozostałych dwóch jedynek wybieramy na ( 9 ) cyfrę w dowolnym porządku na sposobów, na pozostałych siedmiu miejscach rozmieszczamy cyfrę lub 7 sposobów Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy 9 = = ( ) liczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr,,, w których zapisie cyfra występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra, to miejsce dla trzech jedynek wybieramy na ( 9 ) sposobów, na pozostałych sześciu miejscach rozmieszczamy cyfrę lub cyfrę w dowolnym 6 porządku na sposobów Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy 9 6 ( ) = = 576 liczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr,,, w których zapisie cyfra występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra (rozumowanie analogiczne jak w p ) Jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra, to miejsce dla trzech jedynek wybieramy na ( 9 ) rozmieszczamy cyfrę lub cyfrę w dowolnym porządku na Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy 9 = = 576 ( ) 6 sposobów, na pozostałych sześciu miejscach 6 sposobów liczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr,,, w zapisie których cyfra występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra Sumujemy liczby powstałe w każdym z trzech przypadków i otrzymujemy: = 560 Strona z 5

23 liczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr,,, w zapisie których cyfra występuje dokładnie trzy razy III sposób Rozpatrzymy osiem rozłącznych przypadków, wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr,,, w których zapisie cyfra występuje dokładnie trzy razy: w zapisie tej liczby występują jedynki i 7 trójek, wtedy takich liczb jest 0! 0! 7! =, w zapisie tej liczby występują jedynki, dwójka i 6 trójek, wtedy takich liczb jest 0!! 6! = 840, w zapisie tej liczby występują jedynki, dwójki i 5 trójek, wtedy takich liczb jest 0! 50!! 5! =, 4 w zapisie tej liczby występują jedynki, dwójki i 4 trójki, wtedy takich liczb jest 0! 400!! 4! =, 5 w zapisie tej liczby występują jedynki, 4 dwójki i trójki, wtedy takich liczb jest 0! 400! 4!! =, 6 w zapisie tej liczby występują jedynki, 5 dwójek i trójki, wtedy takich liczb jest 0! 50! 5!! =, 7 w zapisie tej liczby występują jedynki, 6 dwójek i trójka, wtedy takich liczb jest 0!! 6! = 840, 8 w zapisie tej liczby występują jedynki i 7 dwójek, wtedy takich liczb jest 0! 0! 7! = Sumujemy liczby otrzymane w każdym przypadku i otrzymujemy: = 7680 = 560 ( ) różnych liczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr,,, w zapisie których cyfra występuje dokładnie trzy razy Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p zapisze, że: miejsce dla cyfry można wybrać na ( 0 ) sposobów miejsca dla cyfr lub można wybrać na ( ) cyfry lub można rozmieścić na 7 sposobów, 0 7 sposobów, Strona z 5

24 jeżeli cyfra jest na ustalonym (np pierwszym) miejscu, to pozostałe dwie cyfry można rozmieścić na ( 9 ) sposobów, jeżeli na ustalonym miejscu stoi jedna z cyfr lub, to trzy cyfry można rozmieścić na ( 9 ) sposobów, jeżeli cyfry stoją na ustalonych trzech miejscach, to jeśli w liczbie występuje n cyfr 7, to cyfry i można rozmieścić na ( n ) sposobów dla przynajmniej jednej konkretnej liczby n, jest 8 rozłącznych przypadków wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr,,, w których zapisie cyfra występuje dokładnie trzy razy i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p 0 zapisze, że liczba rozpatrywanych liczb dziesięciocyfrowych jest równa np ( ) 7 zapisze, ile jest liczb w każdym z rozpatrywanych przypadków wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr,,, w których zapisie cyfra występuje dokładnie trzy razy, zapisze osiem rozłącznych przypadków wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr,,, w których zapisie cyfra występuje dokładnie trzy razy oraz w przynajmniej jednym przypadku zapisze liczbę takich liczb, np ( 0 ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne p 0 zapisze, że jest ( ) 7 = 560 liczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr,,, w zapisie których cyfra występuje dokładnie trzy razy zsumuje liczby otrzymane w każdym z rozpatrywanych przypadków wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr,,, w których zapisie cyfra występuje dokładnie trzy razy i zapisze, że jest ich 560 Uwagi: Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli zdający zapisze liczbę rozpatrywanych liczb dziesięciocyfrowych bez użycia symbolu Newtona Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przedstawia zapisy, dla których brak bezpośredniej interpretacji kombinatorycznej i zapisom tym nie towarzyszą stosowne objaśnienia, to nie może otrzymać maksymalnej liczby punktów, przy czym za rozwiązanie, zawierające Strona 4 z 5

25 jedynie zapisy pojedynczych liczb lub symboli Newtona (typu 0, 8, ( 0 7 ) ), bez stosownych objaśnień, zdający otrzymuje 0 punktów, a za rozwiązanie, zawierające jedynie zapisy działań na liczbach (typu 0 8 = 5 60 ), bez stosownych objaśnień zdający może otrzymać co najwyżej punkt Jeżeli zdający przedstawia rozwiązanie, w którym części zapisanych liczb lub działań na liczbach nie towarzyszą stosowne objaśnienia, to za takie rozwiązanie może otrzymać co najwyżej punkty 4 może skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona i zapisać: ( ) {( 7) ( ) ( 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) = = 0 8 = 560 Strona 5 z 5

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017. MATEMATYKA POZIOM Podstawowy. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017. MATEMATYKA POZIOM Podstawowy. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM Podstawowy Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp z oo Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 014 ( STR MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 01 ( NOW MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 01/016 FORMUŁA OD 01 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P1 MAJ 016 Ogólne zasady oceniania Uwaga: Akceptowane są

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 04/05 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMTY PUNKTOWNI Copyright by Nowa Era Sp z oo Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6 7 8 0 4 5 6 7 8 0 D

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA OD 015 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo