ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

Transkrypt

1 Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron (zadania 1..). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zapisz w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach zamkniętych (1. 5.) zaznacz poprawną odpowiedź. 4. W rozwiązaniach zadań (6..) otwartych przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. 5. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 6. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 7. Zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 8. Obok numeru każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów możliwych do uzyskania. 9. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Życzymy powodzenia! Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 50 punktów. Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO KOD ZDAJĄCEGO Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON. Kopiowanie w całości lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadań przez dyrektorów szkół biorących udział w programie Próbna Matura z OPERONEM.

2 Poziom podstawowy Matematyka Matematyka. Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. () Wartość liczby a = ( 5 ) jest równa: A. 11 B. 9 C D Zadanie. () x+ 4 dla x, 1 Ilość miejsc zerowych funkcji f określonej wzorem f( x) = x 1 dla x ( 1, ) x+ 5 dla x, + ) A. 4 B. C. D. 1 ( wynosi: Zadanie. () Miejscem zerowym funkcji y = x jest liczba: A. - B. - C. D. Zadanie 4. () W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę 0, a dłuższa przyprostokątna ma długość 6 cm. Długość przeciwprostokątnej jest równa: A. 4 cm B. 6 cm C. 6 cm D. 6 cm Zadanie 5. () Równanie x + ( y+) = 4 opisuje okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Wówczas: A. S= ( 0, ), r= 4 B. S= ( 0, ), r= C. S=( 0, ), r= 4 D. S=( 0, ), r= Zadanie 6. () Rozwiązaniem nierówności x + 4 > jest zbiór: A. (, 6) (, + ) B. (, 6), + C. 6, D. 6, Zadanie 7. () Proste l i k są prostopadłe i l: x+ 5y + 1= 0, k: y = ax + b. Wówczas: A. a= 5 B. a= 5 C. a= 5 D. a= 1

3 Matematyka. Poziom podstawowy BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

4 Zadanie 8. () Matematyka. Poziom podstawowy o wyrazach: ( ) Dany jest ciąg arytmetyczny a n 10, 6,,.... Czterdziesty wyraz tego ciągu jest równy: A. 16 B. 146 C. 156 D. 166 Zadanie 9. () Ciągiem arytmetycznym jest ciąg liczb: A. 48,,,, B. ( 91) C.,, 1 D. ( 4, 1, 0) Zadanie 10. () Ciąg ( x 714),, jest geometryczny. Wówczas: A. x = 1 B. x = C. x = 1 D. x = 9 14 Zadanie 11. () Wartość liczby a = jest równa: 10 9 A. B. C. D. Zadanie 1. () Dziedziną funkcji f określonej wzorem f( x)= 15+ x x jest zbiór: A. R \{ 5, } B. ( 5, ) C. (, 5 D. -5, Zadanie 1. () Zbiorem wartości funkcji f określonej wzorem f( x)= x 1 jest zbiór: A. 0, + ) B. 1, + ) C. 0, + Zadanie 14. () 7 D. ( 1, + ) 4 Liczba rozwiązań rzeczywistych równania 16 + x = 0 wynosi: A. 4 B. C. 1 D. 0 5 Zadanie 15. () Liczbą odwrotną do liczby 7 jest: A. 7 B. -7 C. 7 - D. 7 - Zadanie 16. () Wartość liczby: a = 17, jest równa: A. 1, 7- B. 1, 7+ C. 17, + D. -17, - 4

5 Matematyka. Poziom podstawowy BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) 5

6 Zadanie 17. () Matematyka. Poziom podstawowy Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f( x)= x o 6 jednostek w lewo, to: A. y = x + 6 B. y = x 6 C. y = x 6 D. y = x + 6 Zadanie 18. () Wielomian W = x x + 4x 8 po rozłożeniu na czynniki ma postać: A. W = x x B. W = x x 4 C. W = x x D. W = x+ x 4 ( + ) Zadanie 19. () ( + ) ( + ) Funkcja f( x)= m x m jest malejąca dla: A. m 9, + B. m 1, + C. m,1 D. m,9 Zadanie 0. () Rozwiązaniem nierówności m+ 5 0jest zbiór: A. R B. /0 C. 5 Zadanie 1. () { } D. { 5 } Miara kąta dziesięciokąta foremnego wynosi: A. 150 B. 144 C. 14 D. 10 Zadanie. () ( + ) Kąty a i b są przyległe i a jest o 5 większy od b. Wynika stąd, że: A. b = 5 B. b = 7, 5 C. b = 107, 5 D. b = 16, 5 Zadanie. () Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 4. Objętość tego stożka jest równa: A. 8 p B. 8p C. 16 p D. 16p Zadanie 4. () Prosta l jest styczna do okręgu o środku S w punkcie A. Kąt między prostą l i cięciwą AB jest równy 7. Zatem kąt ASB ma miarę: A. 14 B. 16 C. 144 D. 156 Zadanie 5. () A. 7 B. 7 Kąt a jest ostry i cosa = 5. Wówczas sina jest równy: 7 C. 6 7 D

7 Matematyka. Poziom podstawowy BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) 7

8 Matematyka. Poziom podstawowy ZADANIA OTWARTE Rozwiązania zadań o numerach od 6. do. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania. Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż nierówność: 9x + 6x 1< 0. Zadanie 7. ( pkt) Punkt S = ( 8), jest środkiem odcinka AB i B = 614,. Wyznacz współrzędne punktu A. 8

9 Zadanie 8. ( pkt) Matematyka. Poziom podstawowy W klasie IA było trzy razy więcej chłopców niż dziewcząt. Pewnego dnia do klasy doszły dwie dziewczyny i wówczas liczba dziewcząt stanowiła 0% wszystkich osób w klasie. Oblicz, ile było chłopców i dziewcząt na początku. Zadanie 9. ( pkt) Wykaż, że jeżeli a jest kątem ostrym i sina+ cosa= 6, to sin cos, 5 a a=0. 9

10 Matematyka. Poziom podstawowy Zadanie 0. ( pkt) o dodatnich wyrazach trzeci wyraz jest równy 6, a piąty jest rów- W ciągu geometrycznym a n ny 4. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu. Zadanie 1. (4 pkt) Rzucono cztery razy symetryczną sześcienną kością do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od. 10

11 Zadanie. (5 pkt) Matematyka. Poziom podstawowy Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AC, BC takich, że AC = 6 i BC = 8. Okrąg o środku C i promieniu r = AC przecina przeciwprostokątną AB w punkcie P. Wyznacz długość odcinka BP. 11

12 Zadanie. (6 pkt) Matematyka. Poziom podstawowy Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 0. Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej podanej bryły. 1

13 Matematyka. Poziom podstawowy BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) 1

14 KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematyka Poziom podstawowy Zadania zamknięte Listopad 014 Nr zad Odp. D C D A B A C B D C C D B D D C A B A D B B A C C Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje 1 punkt. Zadania otwarte Numer zadania 6. Postęp: Modelowe etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów Wyznaczenie pierwiastka trójmianu kwadratowego: x = 1 Rozwiązanie nierówności: x R \ 1 pkt 7. Postęp: x 6 = Zapisanie układu równań: y + 14 = 8 pkt Rozwiązanie układu równań: x = 0 i zapisanie odpowiedzi: A = y = 8. Postęp: Zapisanie równania: ( 4x+ ) 0% = x+ lub równoważnego, gdzie x oznacza liczbę dziewcząt w klasie albo Zapisanie układu równań: y = x ( x+ y+ ) 0, = x + lub równoważnego, gdzie x oznacza liczę dziewczyn, a y liczbę chłopców Rozwiązanie równania: x = 7 i podanie odpowiedzi, że w klasie na początku było 7 dziewczyn i 1 chłopców pkt 9. Postęp: Podniesienie obustronnie do kwadratu podanej równości i zastosowanie: 6 sin a+ cos a=1 do zapisania równania w postaci 1+ sina cosa= (za 5 samo podniesienie do kwadratu obu stron równania nie przyznajemy punktu) 11 Wyznaczenie sina cos a= = 0,, co kończy dowód 50 pkt 1

15 Matematyka. Poziom podstawowy 0. Postęp: Zapisanie układu równań: aq 1 = 6 4 aq 1 = 4 Wyznaczenie ilorazu ciągu o wyrazach dodatnich i pierwszego wyrazu: a 1 = q = 1. Postęp: Opisanie zbioru zdarzeń elementarnych i zdarzenia: W zbiór czwórek ( x, y, zt, ), gdzie x, y, z, t { 1456,,,,, } A suma wyrzuconych oczek mniejsza od A suma wyrzuconych oczek jest równa lub 4 Istotny postęp: Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: W = 6 4 Pokonanie zasadniczych trudności: Obliczenie liczebności zdarzenia A : A = 5 i prawdopodobieństwa zdarzenia 5 A : P( A ) = 6 4 Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P( A)= Postęp: Wyznaczenie długości przeciwprostokątnej: AB = 10 Istotny postęp: Długość wysokości CD trójkąta ABC: CD = 48, Pokonanie zasadniczych trudności: Zapisanie równania: x 6 + ( 48, ) = 6, gdzie AD = x Rozwiązanie prawie całkowite: Rozwiązanie równania: x = 6, Wyznaczenie długości odcinka BP: BP = 10 x =, 8. Postęp: Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń: ABC podstawa ostrosłupa SS = h wysokość prostopadłościanu R = SDS = 0 a krawędź podstawy ostrosłupa Istotny postęp: Wyznaczenie długości krawędzi podstawy: a = 6 i długości odcinka DS : DS = Pokonanie zasadniczych trudności: Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa: h = 1 Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej ostrosłupa: SD = Wyznaczenie objętości ostrosłupa: V = i pola powierzchni bocznej: P b = 18 pkt pkt pkt 4 pkt pkt pkt 4 pkt 5 pkt pkt ( pkt, gdy wyznaczono tylko jedną długość) 4 pkt 5 pkt 6 pkt