EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
|
|
- Dorota Podgórska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ 01 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19 stron (zadania 1 11) Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym 3 Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby punktów 4 Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem 5 Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl 6 Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane 7 Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora 8 Na tej stronie oraz na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem 9 Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora Czas pracy: 180 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 MMA-R1_1P-1
2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 1 (4 pkt) Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb
3 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 3 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1 Maks liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt
4 4 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie (4 pkt) Rozwiąż nierówność 4 x x x Odpowiedź:
5 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 5 Zadanie 3 (4 pkt) Rozwiąż równanie cos x 3cos x Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 3 Maks liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt
6 6 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 4 (6 pkt) Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x m xm ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x 1, x takie, że x1 x 4m 6m 3m 1
7 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 7 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 4 Maks liczba pkt 6 Uzyskana liczba pkt
8 8 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 5 (6 pkt) Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny Znajdź te liczby Uwzględnij wszystkie możliwości
9 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 9 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 5 Maks liczba pkt 6 Uzyskana liczba pkt
10 10 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 6 (6 pkt) 1 5 W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: P m, m, 55 gdzie m 1, 7 Oblicz najmniejszą i największą wartość PQ, gdzie Q,0
11 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 11 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 6 Maks liczba pkt 6 Uzyskana liczba pkt
12 1 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 7 (3 pkt) Udowodnij, że jeżeli ab 0, to prawdziwa jest nierówność 3 3 a b a b ab
13 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 13 Zadanie 8 (4 pkt) Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 1 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 7 8 Maks liczba pkt 3 4 Uzyskana liczba pkt
14 14 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 9 (5 pkt) Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB a, BC b i a b Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b
15 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 15 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 9 Maks liczba pkt 5 Uzyskana liczba pkt
16 16 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 10 (5 pkt) Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC Krawędź AS jest wysokością ostrosłupa oraz AS 8 10, BS 118, CS 131 Oblicz objętość tego ostrosłupa
17 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 17 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 10 Maks liczba pkt 5 Uzyskana liczba pkt
18 18 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 11 (3 pkt) Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz P AB 0,7 (A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B) Wykaż, że PA B 0,3 Wypełnia egzaminator Nr zadania 11 Maks liczba pkt 3 Uzyskana liczba pkt
19 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 19 BRUDNOPIS
20 Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 01
21 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1 (0 4) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Rozwiązanie zadania, prowadzącego do równania kwadratowego (III3b) Rozwiązanie Niech a oznacza najmniejszą z czterech szukanych liczb całkowitych Wtedy kolejne liczby to: a 1, a, a 3 Zapisujemy zatem równanie kwadratowe a3a a1 a które po przekształceniu przyjmuje postać 3a 5a 0 Równanie to ma dwa rozwiązania: a1 1, a Rozwiązanie 3 sprzeczne z treścią zadania (nie jest to liczba całkowita) Zatem szukane liczby to: 1, 0, 1, odrzucamy jako 3 Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, że szukane liczby to: a, a1, a, a 3, gdzie a jest liczbą całkowitą Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą: 3 1 a a a a lub 3a 5a 0 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 3 pkt albo Przekształcenie równania a 3 a a 1 a do postaci równania kwadratowego z błędem rachunkowym (na przykład błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste), poprawne rozwiązanie równania kwadratowego 3a 5a 0, nieodrzucenie rozwiązania i podanie w odpowiedzi dwóch czwórek liczb 3 Rozwiązanie pełne 4 pkt Zapisanie czwórki liczb całkowitych spełniających warunki zadania: 1, 0, 1, Uwagi 1 Jeżeli zdający źle zinterpretuje treść zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeśli zdający bez wykonywania rachunków poda odpowiedź i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje 1 punkt
22 Egzamin maturalny z matematyki 3 Zadanie (0 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie nierówności wielomianowej (IV3cR) I sposób rozwiązania Rozwiązanie nierówności wielomianowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap to zastosowanie jednej z kilku metod, które pozwalają zapisać wielomian w postaci iloczynowej, drugi etap to rozwiązanie nierówności Pierwszy etap: zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej I wariant (grupowanie wyrazów) 4 Zapisujemy nierówność w postaci x x x 0, a następnie przedstawiamy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej: 4 3 x x x x x x x x x 1 x x x x x x x x x x x x x x II wariant (odgadnięcie pierwiastka i dzielenie metodą pisemną) 4 Zapisujemy nierówność w postaci x x x 0, a następnie przedstawiamy lewą stronę x 4 x x x x 3 x Zauważamy, że x 1 jest nierówności w postaci iloczynowej: 3 3 pierwiastkiem wielomianu x x i dzielimy wielomian x x przez dwumian x 1 sposobem pisemnym lub za pomocą algorytmu Hornera, otrzymując x x Następnie x x1 x x 0 zapisujemy nierówność w postaci iloczynowej Drugi etap: rozwiązanie nierówności Zauważamy, że trójmian x x przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby x x1 x x 0 jest jednocześnie rzeczywistej x, zatem rozwiązanie nierówności rozwiązaniem nierówności kwadratowej x x1 0, czyli sumą przedziałów,0 1, ) Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt 4 Zapisanie wielomianu x x x w postaci iloczynu, w którym jednym z czynników jest x lub x 1 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie nierówności w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego, np xx1x x 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt 4 Zauważenie, że rozwiązanie nierówności x x x 0 jest jednocześnie rozwiązaniem nierówności kwadratowej x x1 0 albo narysowanie i uzupełnienie tabeli znaków lub sporządzenie szkicu wykresu wielomianu z uwzględnieniem jego miejsc zerowych Rozwiązanie pełne 4 pkt 4 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności x x x: x,0 1, )
23 4 Egzamin maturalny z matematyki Uwaga Jeśli zdający podzieli nierówność przez x lub x 1, bez rozpatrzenia odpowiednich przypadków to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów II sposób rozwiązania Rozwiązujemy nierówność w trzech przedziałach: I,0 x 0,1, III x 1, ) I x,0 x, II 4 Wtedy x 0 i x 0, a x 0 4 Stąd x x x dla każdego x,0 II x 0,1 Wtedy x 4 x i x x 4 Stąd x x x dla każdego x 0,1 Zatem dana nierówność nie ma rozwiązań w tym przedziale III x 1, ) Wtedy x 4 x i x x 4 Stąd x x x dla każdego x 1, ) Odp Rozwiązaniem nierówności 4 x x x jest zbiór x,0 1, ) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje po 1 punkcie za rozwiązanie nierówności w każdym z trzech przedziałów Czwarty punkt zdający otrzymuje za podanie odpowiedzi końcowej Zadanie 3 (0 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IV6eR) Rozwiązanie Wykorzystując wzór na cosinus podwojonego kąta: cos x cos x 1, przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna argumentu x: cos x1 3cosx 0 Porządkujemy i otrzymujemy równanie: cos x 3cos x1 0 Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, np t cos x, gdzie t 1, 1 Otrzymujemy równanie kwadratowe t 3t1 0 1 Rozwiązujemy równanie kwadratowe, otrzymując: t1 1, t 1 Rozwiązujemy równania cos x 1 i cos x
24 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zapisujemy rozwiązania równań: x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą 3 lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą 3 Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej argumentu x, np: cos x1 3cosx 0 lub cos x 3cos x1 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 1 Rozwiązanie równania cos x3cos x1 0 z niewiadomą cos x : cos x 1 lub cos x Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt 1 Rozwiązanie jednego z równań cos x 1 lub cos x Rozwiązanie pełne 4 pkt Rozwiązanie równania: x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, 3 gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą 3 albo xn360, gdzie n jest liczbą całkowitą lub x 60n360, gdzie n jest liczbą całkowitą lub x60n360, gdzie n jest liczbą całkowitą Uwaga Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału 1,1 i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 3 punkty
25 6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 4 (0 6) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków (IV3bR) I sposób rozwiązania Obliczamy Wówczas x 1 m 1 i następnie m m 1 x1, x m m 1 m m m 1m 1 m 4m8 m m m m4 m m 1 i podobnie m m4 m m 1 x Następnie x 4 1 i podobnie m m4 m m4m m 1 m m m 8m 1m 64m3 m m4 m m 1 4 x 4 Teraz x1 x m 4m 6m 3m 16, czyli mamy równanie m 4m 6m 3m16 4m 6m 3m 1, czyli m m 6 64, stąd : Zatem m 6 8 lub czyli m lub m 14 Przypadek m jest niemożliwy; zatem Należy na zakończenie zauważyć, że jeśli oba pierwiastki x 1 i x są rzeczywiste 4 3 m 8m 1m 64m3 m m4 m m 1 4 m 6 8, 4 m 14, czyli 14 m 14, to m 4m 4m 16m16 m 4m 8m 48m48 m m4 m m m m lub m 14 m , a więc Uwaga Zdający może rozpocząć od rozważenia nierówności 0, czyli m 1 0 Otrzymuje m 3 lub m 3 Potem może sprawdzać, czy otrzymane rozwiązania są zgodne z tymi nierównościami
26 Egzamin maturalny z matematyki 7 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m 1 Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 1 0 m, 3 3, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt m, czyli dla Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x1 x 4m 6m 3m 1 do postaci równania ze zmienną m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt Wyznaczenie x 1 i x Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie x 1 i x Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania 3 pkt Wyznaczenie x 1 i x i zapisanie równości x1 x m 4m 6m 3m 16 Rozwiązanie bezbłędne części b) 4 pkt 4 Rozwiązanie równania m 1m 8 0 : m 14 lub m 14 Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi 1 Przyznajemy 1 punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 4 0 z etapu a) i równania m 1m z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów II sposób rozwiązania: m m 1 m m 1 Tak jak w sposobie I obliczamy x1, x Następnie przyjmujemy oznaczenie t m 1 Wówczas mt mt mt mt x1 x Korzystamy ze wzorów: ab a 4a b6a b 4ab b a b a 4a b 6a b 4ab b Stąd ab ab a 1a b b
27 8 Egzamin maturalny z matematyki Zatem m 1m t t m 6m t t x1 x 16 8 Ponieważ t m 1, więc t m 1 i t 4 m 4 4m 144 Mamy zatem m 8m 4m 3m m 4m4m 1 m 4m 144 x1 x m 3m 48m 56m m 4m 6m 3m16 8 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m 1 Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy m 1 0, czyli dla m, 3 3, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x1 x 4m 6m 3m 1 do postaci równania z niewiadomą m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt Wyznaczenie x 1 i x Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt Przyjęcie oznaczenia, np t m 1 Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania 3 pkt Wyznaczenie x oraz x i zapisanie równości mt mt mt mt x x m 4m 16m 3m Rozwiązanie bezbłędne części b) 4 pkt 4 Rozwiązanie równania m 1m 8 0 : m 14 lub m 14 Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi 1 Przyznajemy 1 punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 4 0 z etapu a) i równania m 1m z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów
28 Egzamin maturalny z matematyki 9 III sposób rozwiązania: Korzystamy ze wzorów Viète a: x1 x m, x1 x m 4 Mamy teraz: m m m m m m m x x x x x x x x x x x x Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m 1 Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy m 1 0, czyli dla m, 3 3, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x x 4m 6m 3m 1 do postaci równania z niewiadomą m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt 4 4 Zapisanie równości: x1 x x1 x x1x Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt x x x x x x x x x x x x 4 4 Zapisanie równości: Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania 3 pkt 4 4 Zapisanie wyrażenia x x w postaci sumy jednomianów zmiennej m, np x x x x x x x x xx xx m 4m 6m 3m 16 Rozwiązanie bezbłędne części b) 4 pkt 4 Rozwiązanie równania m 1m 8 0 : m 14 lub m 14 Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi 1 Przyznajemy 1 punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 4 0 z etapu a) i równania m 1m z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów
29 10 Egzamin maturalny z matematyki IV sposób rozwiązania: Korzystamy ze wzorów Viète a oraz ze wzoru na 4 a b x1 x x1 4x1x 6x1x 4xx 1 x x1 x 4xx 1 x1 x 6xx x x xx x x xx xx czyli x x x x xx x x xx xx m 4 m4 m m4 6 m4 m 4m 6m 3m16 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m 1 Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 1 0 m, 3 3, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt m, czyli dla Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x x 4m 6m 3m 1 np 4 do postaci m 1m i rozwiązaniu tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt Skorzystanie z wzoru a b a 4a b 6a b 4ab b Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt 4 4 x x x x 4 4x x x x x x 6 x x Zapisanie równości: Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania 3 pkt 4 4 Zapisanie wyrażenia x x w postaci sumy jednomianów zmiennej m, np x1 x x1x 4xx 1 x1x xx 1 6 xx 1 m 4m 6m 3m 16 Rozwiązanie pełne części b) 4 pkt 4 Rozwiązanie równania m 1m 8 0 : m 14 lub m 14 Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi 1 Przyznajemy 1 punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 4 0 z etapu a) i równania m 1m z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów
30 Egzamin maturalny z matematyki 11 Zadanie 5 (0 6) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu geometrycznego oraz własności ciągu arytmetycznego (IV5c) I sposób rozwiązania Oznaczmy przez a, b, c kolejne liczby tworzące, w podanej kolejności, ciąg geometryczny Przez a oraz q oznaczamy odpowiednio pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu geometrycznego Wówczas b aq oraz c aq Z treści zadania wiemy, że ciąg o wyrazach a, b 8, c jest arytmetyczny, co oznacza, że jest spełniona równość 8 aq 8a aq Ponadto, ciąg o wyrazach a, b 8, c 64 b 8 a c 64 aq 8 a aq 64, a stąd b a c, czyli jest geometryczny, więc Zapisujemy układ równań: aq 8 a aq aq 8 a aq Z pierwszego równania wyznaczamy a 1 q q (przy założeniu, że q 1 ) i podstawiamy do drugiego równania Otrzymujemy równanie: q qq 1qq Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego: 16q 4 1qq 64 0, 4q 1 q q 16 0, q q15 0 Rozwiązaniami tego równania są liczby: q1 5, q Jeżeli q 5, to a, b oraz c Jeżeli zaś q 3, to a 4, b 1 oraz c Zauważmy na zakończenie, że założenie q 1 nie zmniejsza ogólności rozważań, bo gdyby q 1, to otrzymalibyśmy (początkowy) ciąg geometryczny stały, zaś ciąg a, a 8, a nie byłby arytmetyczny dla żadnej wartości a, wbrew treści zadania Odpowiedź: Istnieją dwa ciągi geometryczne spełniające warunki zadania: 4, 1, 36 oraz ,, Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, że: liczby a, aq, aq są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz liczby a, aq 8, aq, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby a, aq8, aq 64, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny
31 1 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do zapisania układu równań, np aaq aq8 aq 8 a aq 64 Uwaga Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą np: q q15 0 lub 9a 40a 160 Uwaga Jeżeli zdający w trakcie przekształcania układu równań popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty za całe rozwiązanie Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Zdający popełni błędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego, np q q15 0 i konsekwentne do tych błędów poda w odpowiedzi dwa ciągi geometryczne lub przekształci układ równań z błędem (np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 6 pkt Zapisanie dwóch trójek liczb, z których każda tworzy ciąg geometryczny opisany w treści zadania: 4, 1, 36 oraz,, II sposób rozwiązania Oznaczmy przez a, b, c trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego Wówczas b a c Ponieważ ciąg a, b 8, c jest arytmetyczny, więc b 8 a c Ponadto, ciąg c jest geometryczny, zatem b 8 a c 64 a, b 8, 64 Zapisujemy zatem układ równań: b ac b8ac b8 ac64 a następnie przekształcamy go w sposób równoważny: cba16 b ab16aa b8 ab16aa 64a
32 Egzamin maturalny z matematyki 13 Odejmujemy stronami drugie i trzecie równanie i otrzymujemy b8 b 64a b 4 b 4 Stąd a Podstawiamy a do drugiego równania i otrzymujemy 4 4 b4 b4 b b Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego 16b 7b 88b 40, czyli 9b 88b Rozwiązaniami tego równania są liczby: b1, b Jeżeli b, to a oraz c Jeżeli zaś b 1, to a 4 oraz c 36 Odpowiedź: Istnieją dwa ciągi geometryczne spełniające warunki zadania: 4, 1, 36 oraz ,, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania zadania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, że liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz, że liczby a, b 8, c, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny, zaś liczby a, b8, c 64, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do zapisania układu równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np b ac b8ac b8 ac64 Uwaga Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np: 9a 40a 160 lub 9b 88b40 0 lub 9c 44c Uwaga Jeżeli w trakcie przekształcania układu równań zdający popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty za całe rozwiązanie Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Zdający popełni błędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego, np 9b 88b40 0 i konsekwentne do tych błędów poda w odpowiedzi dwa ciągi geometryczne
33 14 Egzamin maturalny z matematyki lub przekształci układ równań z błędem (np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 6 pkt Zapisanie dwóch trójek liczb, z których każda tworzy ciąg geometryczny opisany w treści zadania: 4, 1, 36 oraz,, Zadanie 6 (0 6) Modelowanie matematyczne Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (III8e; 4k) Rozwiązanie Wyznaczamy odległość punktów P i Q: PQ m m m m Wyznaczamy wzór funkcji f opisującej wartość PQ : f m m m m 0m500 dla m 1, 7 4 Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji f: mw 0 : 5: Ponieważ 10 1,7, więc w tym przedziale funkcja f jest monotoniczna Zatem największa i najmniejsza wartość funkcji f dla m 1, 7 są przyjmowane dla argumentów, będących końcami tego przedziału 5 5 f , 5 oraz f , Zatem najmniejsza i największa wartość PQ to odpowiednio 511,5 oraz 651,5 Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt 50 1 Wyznaczenie odległości między punktami P i Q: PQ m m lub 50 1 PQ m m
34 Egzamin maturalny z matematyki 15 Uwaga Jeżeli zdający zapisze, np 0 punktów 50 1 PQ m m, to otrzymuje za całe zadanie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 5 Zapisanie wzoru funkcji f w postaci, np: f m m 5m 65 lub 4 5 f m m 0m Uwaga Dalszej ocenie podlega badanie tylko takich funkcji kwadratowych, które przyjmują wartości nieujemne w całym zbiorze liczb rzeczywistych Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f i stwierdzenie, że współrzędna ta nie należy do przedziału 1, 7 : mw 10 i 10 1,7 i z rozwiązania wynika, że f 10 nie jest żadną z poszukiwanych wartości albo obliczenie f 1 i f 7, zapisanie bez uzasadnienia, że f 1 jest wartością największą, f 7 jest wartością najmniejszą Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Rozwiązanie pełne 6 pkt Podanie najmniejszej i największej wartość PQ odpowiednio 511,5 oraz 651,5 z uzasadnieniem, np powołanie się na monotoniczność lub stwierdzenie, że pierwsza współrzędna wierzchołka nie należy do podanego przedziału Uwaga Jeśli zdający obliczy f , f 1 651,5 i f 7 511,5 i stąd wywnioskuje, że najmniejszą wartością funkcji f jest 500, a największą 651,5, to za całe rozwiązanie otrzymuje 4 punkty Zadanie 7 (0 3) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (Vb) Rozwiązanie Przekształcamy nierówność w sposób równoważny 3 3 a b a bab 0, a 3 a b b 3 ab 0, a a b b b a 0,
35 16 Egzamin maturalny z matematyki a ba b 0, a b a b 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż z założenia a b 0 wszystkich liczb rzeczywistych a i b, co kończy dowód oraz a b 0 dla Schemat oceniania rozwiązania Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a b a b 0 lub Zapisanie nierówności w postaci iloczynowej ab ab 0, lub a ba ba b 0 Rozwiązanie pełne 3 pkt Przeprowadzenie pełnego dowodu Uwaga 1 Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez a b, nie zakładając, że ab 0, to otrzymuje 0 punktów W przypadku gdy zdający podzieli nierówność przez a b 0 i nie rozpatrzy przypadku ab 0, to przyznajemy punkty Zadanie 8 (0 4) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (IV10R) Rozwiązanie Rozkładamy liczbę 1 na czynniki pierwsze 1 3 Mamy więc trzy, parami wykluczające się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy 1: 1 Wśród cyfr tej liczby są 3, 4 i sześć 1 ( ) Takich liczb jest: wybieramy miejsce dla 3 na 8 sposobów i z pozostałych dla 4 na 7 sposobów Wśród cyfr tej liczby są, 6 i sześć 1 ( ) Takich liczb jest: wybieramy miejsce dla na 8 sposobów i z pozostałych dla 6 na 7 sposobów 3 Wśród cyfr tej liczby są dwie, jedna 3 i pięć 1 ( ) Takich 7 liczb jest: wybieramy jedno miejsce z ośmiu dla 3 a następnie dwa miejsca z pozostałych siedmiu dla Zatem liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 1 jest Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, co najmniej dwóch z trzech parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy 1 (bez obliczania liczby tych możliwości):
36 Egzamin maturalny z matematyki 17 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie wszystkich trzech, parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy 1 (bez obliczania liczby tych możliwości): Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 1, w co najmniej dwóch z trzech możliwości Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 1: Zadanie 9 (0 5) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem własności figur podobnych (IV7cR) I sposób rozwiązania D C b α h E c A a α B Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt ten jest podobny do trójkąta DEA (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku D), AE BA DE DA h a DE b więc oraz, czyli oraz Stąd AD BD DA DB b a b b a b ab b h oraz DE a b a b ab b ab Pole trójkąta AED jest równe P ADE h DE a b a b a b II sposób rozwiązania Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt ten jest podobny do trójkąta DEA (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku D), AE BA DE DA h a DE b więc oraz, czyli oraz Stąd AD BD DA DB b a b b a b ab h oraz DE a b b a b
37 18 Egzamin maturalny z matematyki DE b Wyznaczamy sinus kąta EAD w trójkącie AED: sin EAD = b a b Pole trójkąta AED jest równe: ab b ab PAED bhsin EAD b a b a b a b Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zauważenie, że trójkąty AED (lub AEB) i BAD są podobne i zapisanie odpowiedniej AE AB DE AD proporcji np: lub AD BD AD BD albo zapisanie pola trójkąta AED: P AE DE AE AD sin EAD lub P Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości odcinka DE: DE b ab lub AE: AE a b a b lub sin EAD b a b Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Obliczenie długości obu odcinków DE: DE b ab i AE: AE a b a b lub obliczenie długości odcinka AE: AE ab b i sin EAD a b a b Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt 3 ab Obliczenie pola trójkąta AED: PAED a b III sposób rozwiązania D C b h E c A a B
38 Egzamin maturalny z matematyki 19 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt AED jest podobny do trójkąta BAD, a ten jest podobny do trójkąta BEA, więc trójkąt BEA jest podobny do trójkąta AED Skala tego podobieństwa jest równa b a Stosunek pól tych trójkątów jest równy Ponieważ Stąd P PBEA a a Stąd PBEA PAED P b b AED AED P ABD 1 ab P BEA P 1 ab 3 ab a a b 1 b AED 1 a, więc ab P AED PAED b Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zauważenie, że trójkąty AED i BEA są podobne i zapisanie stosunku ich pól w zależności od BEA P a skali ich podobieństwa: PAED b Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Wyznaczenie pola trójkąta ABD i zapisanie go jako sumy pól trójkątów BEA i AED Uwaga Rozwiązanie możemy zakwalifikować do tej kategorii tylko pod warunkiem, że skala podobieństwa trójkątów BEA i AED została zapisana w zależności od a i b Rozwiązanie zadania prawie do końca 4 pkt 1 a Zapisanie równania z niewiadomą P AED : ab P AED PAED b Rozwiązanie pełne 5 pkt 3 ab Obliczenie pola trójkąta AED: PAED a b
39 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 10 (0 5) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie (IV9b) S h A D B Rozwiązanie Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BAS, obliczamy długość boku AB: AB Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CAS, obliczamy długość boku AC: AC Stąd wynika, że BC 61, ponieważ nie istnieje trójkąt o długościach boków,, 61 (nierówność trójkąta) Trójkąt ABC jest równoramienny, wówczas wysokość h opuszczona na bok AB jest równa: h Obliczamy pole P trójkąta ABC: P Obliczamy objętość V ostrosłupa ABCS: V P AS Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt Obliczenie długości boku AB: AB albo obliczenie długości boku AC: AC 61 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 3 pkt Obliczenie długości boku AB: AB i długości boku AC: AC 61 oraz zauważenie, że długość boku BC jest równa 61 Uwaga Jeśli zdający obliczy AB oraz AC i nie zapisze (zauważy), że BC 61, to przyznajemy punkty C
40 Egzamin maturalny z matematyki 1 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: P 660 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V Uwaga Jeśli zdający nie zauważy, że trójkąt o bokach,, 61 nie istnieje i obliczy dwie możliwe objętości ostrosłupów, to otrzymuje 4 punkty Zadanie 11 (0 3) Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V10cd) I sposób rozwiązania Zdarzenia A B oraz A B są rozłączne P AB AB wynika, że Stąd i z faktu, że 1 1 P ABAB P AB P A B, czyli P A B 0,3 Uwaga Zdający może rozwiązać zadanie za pomocą diagramu Venna Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt Zdający zauważy, że zdarzenia A B oraz A B są rozłączne Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 1 P AB AB P AB P A B Zdający zapisze, że Rozwiązanie pełne 3 pkt Zdający przeprowadzi pełny dowód Uwaga Jeżeli zdający przeprowadzi pełny dowód, ale nie zapisze, że podane zdarzenia są rozłączne, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania Wiemy, że A B B, stąd P AB PB, czyli P A B 1 PB Zatem PB 0,3 Wiemy, że A B B, stąd mamy P A B PB, czyli P A B 0,3 dowód, co kończy
41 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, że AB B Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z dalszych rozważań Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie, że A B B oraz, że PB 0,3 Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z pozostałych zapisów Rozwiązanie pełne 3 pkt Zapisanie wniosku: PA B 0,3
EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2019
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 9 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 3
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 9 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 25 SIERPNIA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 2 czerwca 2017
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 8 MAJA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 20 sierpnia
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 3 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 14:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJ CY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2017
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 8 MAJA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoMAJ Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby.
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2017
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoMAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 7 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 203 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 9 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: czerwca
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 209 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 7 maja 209 r.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 sierpnia
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 4 czerwca 2019
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 4 czerwca 2019
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 2 CZERWCA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 14:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Miejsce na naklejkę ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 14:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 1 sierpnia 018
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoCzas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. UZUPEŁNIA UCZEŃ miejsce KOD UCZNIA PESEL na naklejkę z kodem UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 UZUPEŁNIA UCZEŃ miejsce KOD UCZNIA PESEL na naklejkę z kodem UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2018
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 2008 Czas pracy 180 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 2
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Instrukcja dla zdającego Czas pracy 180
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ
WPISUJE ZDAJĄCY KOD IMIĘ I NAZWISKO * * nieobowiązkowe PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ matematyka poziom ROZSZERZONY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 czerwca 018
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie.. Imię i Nazwisko... Klasa... Liczba uzyskanych punktów PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI... Wynik procentowy... Ocena szkolna POZIOM ROZSZERZONY 1. Sprawdź, czy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI. dla osób niesłyszących CZERWIEC 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: do 200 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja 017 r.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL We współpracy PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki 2010
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 klasa 2 (pp)
Kod ucznia Nazwisko i imię ucznia M A T E M A T Y K A klasa -(pp) MAJ 07 Czas pracy: 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron (zadania -4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIA ZDAJĄCY PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY
KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: MAJ 2017 R. CZAS PRACY: 180 MINUT LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie
Uzupełnia zdający PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY DATA: 25 stycznia 2017 r. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS PRACY: 170 minut MaturoBranie LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 Instrukcja
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja
Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 7 maja 018 r.
Bardziej szczegółowoPODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY
5 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY DATA: 30 MAJA 2017 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:000 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW
Bardziej szczegółowo