PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
|
|
- Witold Kamiński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o.
2 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi. Zadanie. (0 ) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe.7. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia. Poprawna odpowiedź Zadanie. (0 ).. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach... Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ^a! bh oraz a - b. A Zadanie. (0 ).4. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. D Zadanie 4. (0 ).6. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. Zadanie 5. (0 ) III. Modelowanie matematyczne..9. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok) A z 9
3 Zadanie 6. (0 ).. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ^a! bh oraz a - b.. Równania i nierówności. Zdający: ) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności; ) rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. D Zadanie 7. (0 ). Równania i nierówności. Zdający: 6) korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x =- 8; 7) korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x^x+ h^x - 7h = 0. Zadanie 8. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 4. Funkcje. Zdający: ) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu [ ]; 6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie. Zadanie 9. (0 ) 4.. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą). Zadanie 0. (0 ) 4. Funkcje. Zdający: ) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość; 9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie. A z 9
4 Zadanie. (0 ) 4.0. Funkcje. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje). Zadanie. (0 ) 5.. iągi. Zdający bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny. A Zadanie. (0 ) III. Modelowanie matematyczne iągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Zadanie 4. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 6.. Trygonometria. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80. Zadanie 5. (0 ) 6.. Trygonometria. Zdający oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną korzystając z tablic lub kalkulatora przybliżoną). D Zadanie 6. (0 ) IV. Użycie i tworzenie strategii Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający oblicza odległość dwóch punktów. A 4 z 9
5 Zadanie 7. (0 ) IV. Użycie i tworzenie strategii. 7.. Planimetria. Zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym. Zadanie 8. (0 ) IV. Użycie i tworzenie strategii. 7.. Planimetria. Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych. Zadanie 9. (0 ) 8.4. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie. Zadanie 0. (0 ) 8.. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych Zadanie. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. GIMNAZJUM.. ryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli. Zadanie. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 9. Stereometria. Zdający: 4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami; 5) określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną. D 5 z 9
6 Zadanie. (0 ) III. Modelowanie matematyczne. GIMNAZJUM.. ryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). D Zadanie 4. (0 ) 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. D Zadanie 5. (0 ) 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych. GIMNAZJUM 9.. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Zdający interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i kołowych, wykresów. 6 z 9
7 Ogólne zasady oceniania zadań otwartych Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie 6. (0 ) Rozwiąż nierówność: x^x- 4hG ^x+ h^x- 4h. Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe.5. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. Przykładowe rozwiązania Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na ustaleniu pierwiastków trójmianu kwadratowego, drugi na ustaleniu zbioru rozwiązań nierówności. Realizacja pierwszego etapu Sposób I Przenosimy składniki na jedną stronę nierówności ^x+ h^x-4h-x^x-4h H 0 i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias, zapisując nierówność w postaci iloczynowej. ^x- 4h^x+ - xhh 0 ^x- 4h^x+ hh 0 Pierwiastkami trójmianu kwadratowego ^x- 4h^x+ h są liczby x =-, x = 4. Sposób II Wymnażamy obie strony nierówności: x -4x G x - 8x+ x -4 i redukujemy wyrazy podobne, zapisując nierówność w postaci równoważnej: x -x-4 H 0 Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x -x- 4. Obliczamy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego: 5 T = ^-h -4$ $ ^- 4h = 5, stąd x = - 5 =-, x = + = 4 stosujemy wzory Viète a: x$ x =- 4 oraz x+ x =, stąd x =- oraz x = 4, y podajemy je bezpośrednio, zapisując pierwiastki trójmianu x =-, x = 4 (podajemy uzasadnienie, np. f^-h= f^4h = 0) lub zaznaczając je na wykresie x 7 z 9
8 Realizacja drugiego etapu Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: x G- lub x H 4. Alternatywnie: x! ^, -h, ^4, h. Schemat oceniania Próbny egzamin maturalny z Nową Erą pkt gdy: prawidłowo wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego: x =-, x = 4 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności realizując pierwszy etap, popełni błąd, ale otrzyma dwa różne pierwiastki i konsekwentnie rozwiąże nierówność. pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: x! ^-, -h, ^4, h w postaci: x G- lub x H 4 sporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x G- lub x H 4, poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. 4 x Uwagi. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x - 4 bez stosownego założenia lub rozważy tylko jedno założenie: x 4 x 4, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x - 4 i rozważy jedno z założeń: x 4, x 4 oraz sprawdzi warunek x = 4, rozwiąże nierówność w każdym z dwóch przypadków oraz konsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x - 4 i rozważy dwa założenia: x 4, x 4 oraz sprawdzi warunek x = 4, rozwiąże nierówność w każdym z trzech przypadków i poprawnie wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje punkty. Zadanie 7. (0 ) 4n 5 iąg ^a n h jest określony wzorem an = n + + dla n H. Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy. Wymaganie ogólne V. Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe.8. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych. 5.. iągi. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. 8 z 9
9 Przykładowe rozwiązania Sposób I 4n 5 iąg ^a n h ma wyraz an = wtedy, gdy rozwiązaniem równania n + + = jest liczba naturalna dodatnia. 4n n + = 0n+ 5 = 8n+ 0 5 n = 5 Liczba n = nie jest liczbą naturalną, więc w tym ciągu nie istnieje wyraz równy. Sposób II 7 Obliczamy kolejne wyrazy ciągu ^a n h: a =, a = 5 = 5, a = 7 = 7. Wystarczy zatem uzasadnić, że ciąg ^a n h jest malejący. 4^n + h + 5 4n 5 4n 9 n 4n 5 n an - an= - n + + n + + ^ + h^ + h- ^ + h^ + h + = ^ h ^n+ h^n+ h Mnożymy wyrażenia w nawiasach, redukujemy wyrazy podobne i ostatecznie otrzymujemy 6 an - an= dla n! N ^n+ h^n+ h +, więc ciąg ^a n h jest malejący: iąg ^a n h jest malejący, a = 5, a a = 7, więc w tym ciągu nie istnieje wyraz równy. Sposób III Wzór na wyraz ciągu można przekształcić w następujący sposób: 4n 5 4n n an = n + + ^ + h+ ^ + h+ = n + = n + = + n +. Z powyższego zapisu widać, że ciąg (a n ) jest ciągiem malejącym. I dalej jak wyżej. Schemat oceniania Próbny egzamin maturalny z Nową Erą gdy: poprawnie wyznaczy rozwiązanie równania wymiernego: n = uzasadni, że ciąg ^a n h jest malejący. gdy poprawnie uzasadni, że w ciągu ^a n h nie istnieje wyraz równy. 5 pkt pkt Uwagi. Jeżeli zdający jedynie wyznaczy wyrazy a =, a = 5, a = 7 i stąd wywnioskuje, że w ciągu ^a n h nie istnieje wyraz równy, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający wyznaczy wyrazy a =, a = 5, a = 7 i badając monotoniczność ciągu popełni błędy rachunkowe, ale przeprowadzi poprawne rozumowanie prowadzące do wniosku, że wyraz równy nie istnieje, to otrzymuje punkt. 9 z 9
10 Zadanie 8. (0 ) Udowodnij, że nierówność ^x - h + x 4 H 4 jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej. Wymaganie ogólne V. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ^a! bh oraz a - b. Przykładowe rozwiązanie Sposób I Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą. hcemy wykazać, że ^x - h + x 4 H 4. Przekształcamy tezę do postaci równoważnej. x 4 9-6x + 9+ x 4 - H x - 6x + H 0 4x 4 - x + 9 H 0 ^x - h H 0 Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x, bo kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zatem równoważna jej teza też jest prawdziwa. To kończy dowód. Sposób II Do tezy podstawiamy t = x i otrzymujemy nierówność kwadratową ^t- h + t H 4 4t - t+ 9 H 0 Trójmian kwadratowy 4t - t + 9 najmniejszą wartość przyjmuje dla t b =- a (a > 0). Dla t =- - 8 =,5 wartość trójmianu wynosi 0. Ponieważ najmniejsza wartość trójmianu wynosi 0, zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, a tym samym jest prawdziwa teza twierdzenia. Schemat oceniania Próbny egzamin maturalny z Nową Erą pkt gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej ^x - h H 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy zapisze nierówność jako nierówność kwadratową (po podstawieniu t = x ) i obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego lub poda współrzędne wierzchołka paraboli. gdy przeprowadzi pełny dowód. pkt 0 z 9
11 Zadanie 9. (0 ) Dla pewnej liczby rzeczywistej x liczby - x, - x, 0 + x są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego ^a n h, określonego dla n H. Wyznacz x oraz oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Wymaganie ogólne IV. Użycie i tworzenie strategii. Próbny egzamin maturalny z Nową Erą Wymaganie szczegółowe 5.. iągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Przykładowe rozwiązanie Korzystamy z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego i zapisujemy równanie. - x+ 0+ x = -x x+ = 4-6x x =- Stąd a =, a = 5, a = 8,.... Różnica tego ciągu r =. Możemy skorzystać ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. $ 9$ S0 = a0 = + $ 0 = 55 Schemat oceniania pkt gdy obliczy pierwszy wyraz ciągu: a = oraz jego różnicę: r = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy wyznaczy wyraz pierwszy oraz różnicę z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy sumę dziesięciu początkowych wyrazów otrzymanego ciągu. gdy obliczy sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu: S0 = 55. pkt Uwaga Jeżeli zdający stosuje własności ciągu geometrycznego zamiast własności ciągu arytmetycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. z 9
12 Zadanie 0. (0 ) Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f^xh = ax + bx +, gdzie a! 0, jest prosta o równaniu x =-. Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y =- x +. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej bądź kanonicznej. Wymaganie ogólne Próbny egzamin maturalny z Nową Erą Wymagania szczegółowe 4. Funkcje. Zdający: 9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; 0) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje). Przykładowe rozwiązania Prosta o równaniu x =- jest osią symetrii paraboli, więc pierwszą współrzędną jej wierzchołka W(p, q) jest p =-. Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y = - x+, więc drugą współrzędną wierzchołka jest q = + = 4. Stąd wierzchołkiem paraboli jest punkt W = ^-4, h. Szukamy wzoru funkcji kwadratowej w postaci ogólnej: f^xh = ax + bx + bądź w postaci kanonicznej: f^xh= a^x + h + 4 Sposób I Zauważmy, że f^0h = a$ 0 + b$ 0+ =, więc do paraboli należy punkt P = (0, ). Wstawiamy współrzędne punktu P do wzoru funkcji f. = a^0+ h a =- a =- 4 Wzór funkcji w postaci kanonicznej ma postać: f^xh= - 4 ^x+ h + 4. Sposób II Tworzymy układ równań. Stąd: Zatem * - b a =- f( - ) = 4 b = 4a ( a$ ^-h + b$ ^-h+ = 4 4a- 8a = a =- 4 b = 4a, b =-. f^xh =- 4 x - x +. z 9
13 Sposób III Tworzymy układ równań. Z - b a ] =- [ - T ] 4a = 4 \ b = 4a * -b + ac 4a 4 = 4 Stąd po podstawieniu otrzymujemy równanie: -6a + a 4a = 4 4a^-4a+ h 4a = 4-4a + = 4 a =- 4 b = 4a, Zatem Schemat oceniania Próbny egzamin maturalny z Nową Erą b =-. f^xh =- 4 x - x +. pkt gdy wyznaczy współrzędne wierzchołka paraboli p =-, q = 4 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. pkt gdy zapisze wzór funkcji w postaci kanonicznej f x 4 x ^ h= ^ + h + 4lub ogólnej f^xh =- 4 x - x +. Zadanie. (0 ) Na ściankach symetrycznej dwunastościennej kostki do gry zapisano liczby,,,, (jak na rysunku). Rzucamy tą kostką trzy razy i zapisujemy wyrzucone liczby w kolejności otrzymywania, tworząc ciąg trójwyrazowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzymy w ten sposób ciąg geometryczny o ilorazie całkowitym. Wymaganie ogólne III. Modelowanie matematyczne Wymaganie szczegółowe 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Przykładowe rozwiązanie Zdarzeniem elementarnym jest każdy trójwyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru {,,,..., }. Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Z reguły mnożenia wynika, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa X = = 78. z 9
14 Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy ciąg geometryczny o ilorazie całkowitym. Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A pogrupujmy w zależności od ilorazu ciągu geometrycznego. Iloraz ciągu iągi Liczba ciągów q = (,, ), (,, ),..., (,, ) q = (,, 4), (, 4, 8), (, 6, ) q = (,, 9) Stąd liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A = 6. A 6 Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe P^Ah = $ $ 08 X = =. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający: zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: X = = 78 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: (,, ), (,, ), (,, ), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6), (7, 7, 7), (8, 8, 8), (9, 9, 9), (0, 0, 0), (,, ), (,, ), (,, 4), (, 4, 8), (, 6, ) (,, 9) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: X = = 78 oraz zapisze, że A = 6 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego: P^Ah = 08. Uwaga Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale przy wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A pominie jedno zdarzenie elementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty. 4 z 9
15 Zadanie. (0 ) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 45. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Wymaganie ogólne I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe 9.. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów. GIMNAZJUM.. ryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli. Przykładowe rozwiązania Wprowadzamy oznaczenia na rysunku. D A 45 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny A, punkt S jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa. Kąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy 45, zatem możemy zauważyć, że trójkąty prostokątne SD, SAD, SD są równoramienne. Można też skorzystać z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym i obliczyć długość odcinków AS = S = S. tg45c = x = x AS = S = S = Aby obliczyć pole podstawy, potrzebna jest długość boku trójkąta lub wysokość trójkąta A. Wiadomo, że AS to wysokości trójkąta A. Obliczamy wysokość trójkąta A. h = h = Wyznaczmy długość krawędzi podstawy ostrosłupa AD, korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego A. a h = a = a = 6 S 5 z 9
16 Obliczamy pole podstawy ostrosłupa. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego. a P = 4 6 P = 4 = 9 Na koniec obliczamy objętość ostrosłupa. V = Pp $ H = $ 9 $ = 8 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający obliczy długość odcinka AS lub S lub S i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania Zdający obliczy wysokość podstawy ostrosłupa ^ h oraz długość boku tej podstawy (6). Rozwiązanie pełne Zdający obliczy objętość ostrosłupa AD (8). pkt pkt pkt Zadanie. (0 4) W trapezie prostokątnym AD o podstawach A i D przekątna A jest prostopadła do ramienia, dłuższa podstawa A ma długość 9, a sinus kąta AD jest równy. Oblicz pole tego trapezu. Wymaganie ogólne IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 7.4. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych. GIMNAZJUM 0. Figury płaskie. Zdający: 7) stosuje twierdzenie Pitagorasa; 9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. Przykładowe rozwiązanie Wprowadzamy oznaczenia na rysunku. D A α β α 6 z 9
17 Zauważmy, że a = 90c - b, więc sin a = sin^90c - bh = cos b. Stąd w trójkącie A: Następnie w trójkącie AD: Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AD: Pole trapezu AD wynosi więc: P Próbny egzamin maturalny z Nową Erą cos b = A A A = 9 A = sin a = D A D = D = AD + =^ h AD = = ^ 9 + h = 8. AD $ Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający: zapisze, że sina = cos b zauważy, że trójkąty A i AD są podobne, więc A = AD = a i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający obliczy długość przekątnej A: A = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający wyznaczy długości przyprostokątnych w trójkącie AD: D =, AD = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy pole trapezu: PAD = 8. 7 z 9
18 Zadanie 4. (0 5) W trójkącie A wierzchołek A ma współrzędne (, 6), wierzchołek leży na osi Oy, a A = 90c. Prosta o równaniu y = x+ jest równoległa do boku i przecina każdy z boków A i A w połowie. Wyznacz współrzędne wierzchołków i tego trójkąta. Wymagania ogólne IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający: ) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt; 4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych; 5) wyznacza współrzędne środka odcinka. Przykładowe rozwiązanie y A=(, 6) M N x Punkty M i N są odpowiednio środkami odcinków A oraz A. Z warunku prostopadłości wyznaczamy równanie prostej AN: y =- x+ b. Podstawiając współrzędne punktu A = (, 6) otrzymujemy równanie 6 =-$ + b b = 8 Zatem równanie prostej AN ma postać: y =- x + 8. Następnie obliczamy współrzędne punktu N. Jest to punkt wspólny prostych AN i MN, rozwiązujemy zatem układ równań: y = x+ * y =-x + 8 Stosując metodę podstawiania, otrzymujemy równanie: x + =-x x = x = Wstawiamy wyznaczoną wartość x np. do pierwszego równania układu: y = $ + =. x Rozwiązaniem układu jest para liczb ( = y =, stąd punkt N = (, ). 8 z 9
19 Korzystając ze wzoru na środek odcinka, wyznaczamy współrzędne wierzchołka = ^c, ch. Z c + ] = [ c + 6 ] = \ c = 5 ( c =- Zatem = ^5, -h. Wierzchołek trójkąta jest punktem przecięcia prostej z osią Oy, wystarczy zatem wyznaczyć jej równanie. Proste MN i są równoległe, stąd równanie prostej : y = x+ b. Podstawiając współrzędne punktu = ^5, -h otrzymujemy równanie: 5 - = + b 9 b =- 9 Zatem równanie prostej ma postać y = x-. Wynika stąd, że = `0, -4 j. Odpowiedź: = `0, -4 j, = ^5, -h. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wyznaczy równanie prostej AN: y =- x + 8 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający obliczy współrzędne punktu N = ^, h i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający wyznaczy współrzędne punktu = ^5, -h i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania 4 pkt 9 Zdający zapisze równanie prostej : y = x- i poprzestanie na tym lub rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania). Rozwiązanie pełne 5 pkt Zdający obliczy współrzędne obu punktów: = `0, -4 j, = ^5, -h. 9 z 9
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoZakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki
ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017. MATEMATYKA POZIOM Podstawowy. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM Podstawowy Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp z oo Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia KLASA I 1. Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne 1) Liczby naturalne, cechy podzielności stosuje cechy podzielności liczby przez 2, 3,
Bardziej szczegółowoIV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas
WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej Temat ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. TRYGONOMETRIA (15 h )
Bardziej szczegółowoPODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne
PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 04/05 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMTY PUNKTOWNI Copyright by Nowa Era Sp z oo Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6 7 8 0 4 5 6 7 8 0 D
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)
Bardziej szczegółowoNowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)
IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń
Bardziej szczegółowoIV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,
Bardziej szczegółowoWykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego
Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowo1 wyznacza współrzędne punktów przecięcia prostej danej
Wymagania edukacyjne z matematyki DLA II i III KLASY ZASADNICEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ Gwiazdką * oznaczono te hasła i wymagania, które są rozszerzeniem podstawy programowej. Nauczyciel może je realizować jedynie
Bardziej szczegółowoWymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14
z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 Liczby rzeczywiste Wiadomości i umiejętności rozpoznać liczby naturalne w tym pierwsze i złożone,
Bardziej szczegółowoOpis założonych osiągnięć ucznia klasy ZSZ (od 2012r.)
Opis założonych osiągnięć ucznia klasy ZSZ (od 2012r.) Zastosowanie przez nauczyciela wcześniej opisanych metod nauczania, form pracy i środków dydaktycznych oraz korzystanie z niniejszego programu nauczania
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17
Bardziej szczegółowoSponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoPRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań
PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ
WPISUJE ZDAJĄCY KOD IMIĘ I NAZWISKO * * nieobowiązkowe PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 22
Bardziej szczegółowoPODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA
IV etap edukacyjny: liceum, technikum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014
I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Bardziej szczegółowoIII. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU
III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres podstawowy
MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2017/2018 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 60 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia
MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia KLASA I (3 h w tygodniu x 32 tyg. = 96 h; reszta godzin do dyspozycji nauczyciela) 1. Liczby rzeczywiste Zbiory Liczby naturalne Liczby wymierne
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki 2010
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA poziom rozszerzony Cele kształcenia wymagania ogólne wymienione w podstawie programowej
MATEMATYKA poziom rozszerzony Cele kształcenia wymagania ogólne wymienione w podstawie programowej ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.
Bardziej szczegółowoZdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa
Bardziej szczegółowoI. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 2c: wpisy oznaczone jako: (PI) PLANIMETRIA I, (SA) SUMY ALGEBRAICZNE, (FW) FUNKCJE WYMIERNE, (FWL) FUNKCJE
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z rozkładem materiału MATEMATYKA ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA
. Liczby rzeczywiste (3 h) Plan wynikowy z rozkładem materiału MATEMATYKA ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Gwiazdką * oznaczono te hasła i wymagania, które są rozszerzeniem podstawy programowej. Nauczyciel może
Bardziej szczegółowo1. LICZBY RZECZYWISTE. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli:
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE POZIOM PODSTAWOWY KLASA 1 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:
MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane
Bardziej szczegółowoProgram zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom rozszerzony
Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom rozszerzony podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji
Bardziej szczegółowo1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza
1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA
EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja
Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWY 1. ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
1. ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH stosuje ogólny zapis liczb naturalnych parzystych, nieparzystych, podzielnych przez 3 itp. wykorzystuje dzielenie z resztą do przedstawienia
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE
Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je
Bardziej szczegółowoProjekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)
Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy Potęgi Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; zna prawa działań na potęgach i potrafi
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne
CZĘŚĆ II ZAKRES PODSTAWOWY Wyrażenia wymierne Temat: Wielomiany-przypomnienie i poszerzenie wiadomości. (2 godz.) znać i rozumieć pojęcie jednomianu (2) znać i rozumieć pojęcie wielomianu stopnia n (2)
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoTomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)
Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji
Bardziej szczegółowo