PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

Transkrypt

1 PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o.

2 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi. Zadanie. (0 ) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe.7. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia. Poprawna odpowiedź Zadanie. (0 ).. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach... Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ^a! bh oraz a - b. A Zadanie. (0 ).4. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. D Zadanie 4. (0 ).6. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. Zadanie 5. (0 ) III. Modelowanie matematyczne..9. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok) A z 9

3 Zadanie 6. (0 ).. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ^a! bh oraz a - b.. Równania i nierówności. Zdający: ) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności; ) rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. D Zadanie 7. (0 ). Równania i nierówności. Zdający: 6) korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x =- 8; 7) korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x^x+ h^x - 7h = 0. Zadanie 8. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 4. Funkcje. Zdający: ) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu [ ]; 6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie. Zadanie 9. (0 ) 4.. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą). Zadanie 0. (0 ) 4. Funkcje. Zdający: ) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość; 9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie. A z 9

4 Zadanie. (0 ) 4.0. Funkcje. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje). Zadanie. (0 ) 5.. iągi. Zdający bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny. A Zadanie. (0 ) III. Modelowanie matematyczne iągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Zadanie 4. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 6.. Trygonometria. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80. Zadanie 5. (0 ) 6.. Trygonometria. Zdający oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną korzystając z tablic lub kalkulatora przybliżoną). D Zadanie 6. (0 ) IV. Użycie i tworzenie strategii Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający oblicza odległość dwóch punktów. A 4 z 9

5 Zadanie 7. (0 ) IV. Użycie i tworzenie strategii. 7.. Planimetria. Zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym. Zadanie 8. (0 ) IV. Użycie i tworzenie strategii. 7.. Planimetria. Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych. Zadanie 9. (0 ) 8.4. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie. Zadanie 0. (0 ) 8.. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych Zadanie. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. GIMNAZJUM.. ryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli. Zadanie. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 9. Stereometria. Zdający: 4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami; 5) określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną. D 5 z 9

6 Zadanie. (0 ) III. Modelowanie matematyczne. GIMNAZJUM.. ryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). D Zadanie 4. (0 ) 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. D Zadanie 5. (0 ) 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych. GIMNAZJUM 9.. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Zdający interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i kołowych, wykresów. 6 z 9

7 Ogólne zasady oceniania zadań otwartych Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie 6. (0 ) Rozwiąż nierówność: x^x- 4hG ^x+ h^x- 4h. Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe.5. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. Przykładowe rozwiązania Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na ustaleniu pierwiastków trójmianu kwadratowego, drugi na ustaleniu zbioru rozwiązań nierówności. Realizacja pierwszego etapu Sposób I Przenosimy składniki na jedną stronę nierówności ^x+ h^x-4h-x^x-4h H 0 i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias, zapisując nierówność w postaci iloczynowej. ^x- 4h^x+ - xhh 0 ^x- 4h^x+ hh 0 Pierwiastkami trójmianu kwadratowego ^x- 4h^x+ h są liczby x =-, x = 4. Sposób II Wymnażamy obie strony nierówności: x -4x G x - 8x+ x -4 i redukujemy wyrazy podobne, zapisując nierówność w postaci równoważnej: x -x-4 H 0 Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x -x- 4. Obliczamy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego: 5 T = ^-h -4$ $ ^- 4h = 5, stąd x = - 5 =-, x = + = 4 stosujemy wzory Viète a: x$ x =- 4 oraz x+ x =, stąd x =- oraz x = 4, y podajemy je bezpośrednio, zapisując pierwiastki trójmianu x =-, x = 4 (podajemy uzasadnienie, np. f^-h= f^4h = 0) lub zaznaczając je na wykresie x 7 z 9

8 Realizacja drugiego etapu Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: x G- lub x H 4. Alternatywnie: x! ^, -h, ^4, h. Schemat oceniania Próbny egzamin maturalny z Nową Erą pkt gdy: prawidłowo wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego: x =-, x = 4 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności realizując pierwszy etap, popełni błąd, ale otrzyma dwa różne pierwiastki i konsekwentnie rozwiąże nierówność. pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: x! ^-, -h, ^4, h w postaci: x G- lub x H 4 sporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x G- lub x H 4, poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. 4 x Uwagi. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x - 4 bez stosownego założenia lub rozważy tylko jedno założenie: x 4 x 4, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x - 4 i rozważy jedno z założeń: x 4, x 4 oraz sprawdzi warunek x = 4, rozwiąże nierówność w każdym z dwóch przypadków oraz konsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez x - 4 i rozważy dwa założenia: x 4, x 4 oraz sprawdzi warunek x = 4, rozwiąże nierówność w każdym z trzech przypadków i poprawnie wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje punkty. Zadanie 7. (0 ) 4n 5 iąg ^a n h jest określony wzorem an = n + + dla n H. Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy. Wymaganie ogólne V. Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe.8. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych. 5.. iągi. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. 8 z 9

9 Przykładowe rozwiązania Sposób I 4n 5 iąg ^a n h ma wyraz an = wtedy, gdy rozwiązaniem równania n + + = jest liczba naturalna dodatnia. 4n n + = 0n+ 5 = 8n+ 0 5 n = 5 Liczba n = nie jest liczbą naturalną, więc w tym ciągu nie istnieje wyraz równy. Sposób II 7 Obliczamy kolejne wyrazy ciągu ^a n h: a =, a = 5 = 5, a = 7 = 7. Wystarczy zatem uzasadnić, że ciąg ^a n h jest malejący. 4^n + h + 5 4n 5 4n 9 n 4n 5 n an - an= - n + + n + + ^ + h^ + h- ^ + h^ + h + = ^ h ^n+ h^n+ h Mnożymy wyrażenia w nawiasach, redukujemy wyrazy podobne i ostatecznie otrzymujemy 6 an - an= dla n! N ^n+ h^n+ h +, więc ciąg ^a n h jest malejący: iąg ^a n h jest malejący, a = 5, a a = 7, więc w tym ciągu nie istnieje wyraz równy. Sposób III Wzór na wyraz ciągu można przekształcić w następujący sposób: 4n 5 4n n an = n + + ^ + h+ ^ + h+ = n + = n + = + n +. Z powyższego zapisu widać, że ciąg (a n ) jest ciągiem malejącym. I dalej jak wyżej. Schemat oceniania Próbny egzamin maturalny z Nową Erą gdy: poprawnie wyznaczy rozwiązanie równania wymiernego: n = uzasadni, że ciąg ^a n h jest malejący. gdy poprawnie uzasadni, że w ciągu ^a n h nie istnieje wyraz równy. 5 pkt pkt Uwagi. Jeżeli zdający jedynie wyznaczy wyrazy a =, a = 5, a = 7 i stąd wywnioskuje, że w ciągu ^a n h nie istnieje wyraz równy, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający wyznaczy wyrazy a =, a = 5, a = 7 i badając monotoniczność ciągu popełni błędy rachunkowe, ale przeprowadzi poprawne rozumowanie prowadzące do wniosku, że wyraz równy nie istnieje, to otrzymuje punkt. 9 z 9

10 Zadanie 8. (0 ) Udowodnij, że nierówność ^x - h + x 4 H 4 jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej. Wymaganie ogólne V. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ^a! bh oraz a - b. Przykładowe rozwiązanie Sposób I Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą. hcemy wykazać, że ^x - h + x 4 H 4. Przekształcamy tezę do postaci równoważnej. x 4 9-6x + 9+ x 4 - H x - 6x + H 0 4x 4 - x + 9 H 0 ^x - h H 0 Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x, bo kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zatem równoważna jej teza też jest prawdziwa. To kończy dowód. Sposób II Do tezy podstawiamy t = x i otrzymujemy nierówność kwadratową ^t- h + t H 4 4t - t+ 9 H 0 Trójmian kwadratowy 4t - t + 9 najmniejszą wartość przyjmuje dla t b =- a (a > 0). Dla t =- - 8 =,5 wartość trójmianu wynosi 0. Ponieważ najmniejsza wartość trójmianu wynosi 0, zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, a tym samym jest prawdziwa teza twierdzenia. Schemat oceniania Próbny egzamin maturalny z Nową Erą pkt gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej ^x - h H 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy zapisze nierówność jako nierówność kwadratową (po podstawieniu t = x ) i obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego lub poda współrzędne wierzchołka paraboli. gdy przeprowadzi pełny dowód. pkt 0 z 9

11 Zadanie 9. (0 ) Dla pewnej liczby rzeczywistej x liczby - x, - x, 0 + x są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego ^a n h, określonego dla n H. Wyznacz x oraz oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Wymaganie ogólne IV. Użycie i tworzenie strategii. Próbny egzamin maturalny z Nową Erą Wymaganie szczegółowe 5.. iągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Przykładowe rozwiązanie Korzystamy z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego i zapisujemy równanie. - x+ 0+ x = -x x+ = 4-6x x =- Stąd a =, a = 5, a = 8,.... Różnica tego ciągu r =. Możemy skorzystać ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. $ 9$ S0 = a0 = + $ 0 = 55 Schemat oceniania pkt gdy obliczy pierwszy wyraz ciągu: a = oraz jego różnicę: r = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy wyznaczy wyraz pierwszy oraz różnicę z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy sumę dziesięciu początkowych wyrazów otrzymanego ciągu. gdy obliczy sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu: S0 = 55. pkt Uwaga Jeżeli zdający stosuje własności ciągu geometrycznego zamiast własności ciągu arytmetycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. z 9

12 Zadanie 0. (0 ) Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f^xh = ax + bx +, gdzie a! 0, jest prosta o równaniu x =-. Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y =- x +. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej bądź kanonicznej. Wymaganie ogólne Próbny egzamin maturalny z Nową Erą Wymagania szczegółowe 4. Funkcje. Zdający: 9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; 0) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje). Przykładowe rozwiązania Prosta o równaniu x =- jest osią symetrii paraboli, więc pierwszą współrzędną jej wierzchołka W(p, q) jest p =-. Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu y = - x+, więc drugą współrzędną wierzchołka jest q = + = 4. Stąd wierzchołkiem paraboli jest punkt W = ^-4, h. Szukamy wzoru funkcji kwadratowej w postaci ogólnej: f^xh = ax + bx + bądź w postaci kanonicznej: f^xh= a^x + h + 4 Sposób I Zauważmy, że f^0h = a$ 0 + b$ 0+ =, więc do paraboli należy punkt P = (0, ). Wstawiamy współrzędne punktu P do wzoru funkcji f. = a^0+ h a =- a =- 4 Wzór funkcji w postaci kanonicznej ma postać: f^xh= - 4 ^x+ h + 4. Sposób II Tworzymy układ równań. Stąd: Zatem * - b a =- f( - ) = 4 b = 4a ( a$ ^-h + b$ ^-h+ = 4 4a- 8a = a =- 4 b = 4a, b =-. f^xh =- 4 x - x +. z 9

13 Sposób III Tworzymy układ równań. Z - b a ] =- [ - T ] 4a = 4 \ b = 4a * -b + ac 4a 4 = 4 Stąd po podstawieniu otrzymujemy równanie: -6a + a 4a = 4 4a^-4a+ h 4a = 4-4a + = 4 a =- 4 b = 4a, Zatem Schemat oceniania Próbny egzamin maturalny z Nową Erą b =-. f^xh =- 4 x - x +. pkt gdy wyznaczy współrzędne wierzchołka paraboli p =-, q = 4 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. pkt gdy zapisze wzór funkcji w postaci kanonicznej f x 4 x ^ h= ^ + h + 4lub ogólnej f^xh =- 4 x - x +. Zadanie. (0 ) Na ściankach symetrycznej dwunastościennej kostki do gry zapisano liczby,,,, (jak na rysunku). Rzucamy tą kostką trzy razy i zapisujemy wyrzucone liczby w kolejności otrzymywania, tworząc ciąg trójwyrazowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzymy w ten sposób ciąg geometryczny o ilorazie całkowitym. Wymaganie ogólne III. Modelowanie matematyczne Wymaganie szczegółowe 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Przykładowe rozwiązanie Zdarzeniem elementarnym jest każdy trójwyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru {,,,..., }. Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Z reguły mnożenia wynika, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa X = = 78. z 9

14 Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy ciąg geometryczny o ilorazie całkowitym. Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A pogrupujmy w zależności od ilorazu ciągu geometrycznego. Iloraz ciągu iągi Liczba ciągów q = (,, ), (,, ),..., (,, ) q = (,, 4), (, 4, 8), (, 6, ) q = (,, 9) Stąd liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A = 6. A 6 Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe P^Ah = $ $ 08 X = =. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający: zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: X = = 78 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: (,, ), (,, ), (,, ), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6), (7, 7, 7), (8, 8, 8), (9, 9, 9), (0, 0, 0), (,, ), (,, ), (,, 4), (, 4, 8), (, 6, ) (,, 9) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: X = = 78 oraz zapisze, że A = 6 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego: P^Ah = 08. Uwaga Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale przy wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A pominie jedno zdarzenie elementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty. 4 z 9

15 Zadanie. (0 ) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 45. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Wymaganie ogólne I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe 9.. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów. GIMNAZJUM.. ryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli. Przykładowe rozwiązania Wprowadzamy oznaczenia na rysunku. D A 45 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny A, punkt S jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa. Kąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy 45, zatem możemy zauważyć, że trójkąty prostokątne SD, SAD, SD są równoramienne. Można też skorzystać z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym i obliczyć długość odcinków AS = S = S. tg45c = x = x AS = S = S = Aby obliczyć pole podstawy, potrzebna jest długość boku trójkąta lub wysokość trójkąta A. Wiadomo, że AS to wysokości trójkąta A. Obliczamy wysokość trójkąta A. h = h = Wyznaczmy długość krawędzi podstawy ostrosłupa AD, korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego A. a h = a = a = 6 S 5 z 9

16 Obliczamy pole podstawy ostrosłupa. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego. a P = 4 6 P = 4 = 9 Na koniec obliczamy objętość ostrosłupa. V = Pp $ H = $ 9 $ = 8 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający obliczy długość odcinka AS lub S lub S i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania Zdający obliczy wysokość podstawy ostrosłupa ^ h oraz długość boku tej podstawy (6). Rozwiązanie pełne Zdający obliczy objętość ostrosłupa AD (8). pkt pkt pkt Zadanie. (0 4) W trapezie prostokątnym AD o podstawach A i D przekątna A jest prostopadła do ramienia, dłuższa podstawa A ma długość 9, a sinus kąta AD jest równy. Oblicz pole tego trapezu. Wymaganie ogólne IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 7.4. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych. GIMNAZJUM 0. Figury płaskie. Zdający: 7) stosuje twierdzenie Pitagorasa; 9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. Przykładowe rozwiązanie Wprowadzamy oznaczenia na rysunku. D A α β α 6 z 9

17 Zauważmy, że a = 90c - b, więc sin a = sin^90c - bh = cos b. Stąd w trójkącie A: Następnie w trójkącie AD: Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AD: Pole trapezu AD wynosi więc: P Próbny egzamin maturalny z Nową Erą cos b = A A A = 9 A = sin a = D A D = D = AD + =^ h AD = = ^ 9 + h = 8. AD $ Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający: zapisze, że sina = cos b zauważy, że trójkąty A i AD są podobne, więc A = AD = a i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający obliczy długość przekątnej A: A = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający wyznaczy długości przyprostokątnych w trójkącie AD: D =, AD = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy pole trapezu: PAD = 8. 7 z 9

18 Zadanie 4. (0 5) W trójkącie A wierzchołek A ma współrzędne (, 6), wierzchołek leży na osi Oy, a A = 90c. Prosta o równaniu y = x+ jest równoległa do boku i przecina każdy z boków A i A w połowie. Wyznacz współrzędne wierzchołków i tego trójkąta. Wymagania ogólne IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający: ) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt; 4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych; 5) wyznacza współrzędne środka odcinka. Przykładowe rozwiązanie y A=(, 6) M N x Punkty M i N są odpowiednio środkami odcinków A oraz A. Z warunku prostopadłości wyznaczamy równanie prostej AN: y =- x+ b. Podstawiając współrzędne punktu A = (, 6) otrzymujemy równanie 6 =-$ + b b = 8 Zatem równanie prostej AN ma postać: y =- x + 8. Następnie obliczamy współrzędne punktu N. Jest to punkt wspólny prostych AN i MN, rozwiązujemy zatem układ równań: y = x+ * y =-x + 8 Stosując metodę podstawiania, otrzymujemy równanie: x + =-x x = x = Wstawiamy wyznaczoną wartość x np. do pierwszego równania układu: y = $ + =. x Rozwiązaniem układu jest para liczb ( = y =, stąd punkt N = (, ). 8 z 9

19 Korzystając ze wzoru na środek odcinka, wyznaczamy współrzędne wierzchołka = ^c, ch. Z c + ] = [ c + 6 ] = \ c = 5 ( c =- Zatem = ^5, -h. Wierzchołek trójkąta jest punktem przecięcia prostej z osią Oy, wystarczy zatem wyznaczyć jej równanie. Proste MN i są równoległe, stąd równanie prostej : y = x+ b. Podstawiając współrzędne punktu = ^5, -h otrzymujemy równanie: 5 - = + b 9 b =- 9 Zatem równanie prostej ma postać y = x-. Wynika stąd, że = `0, -4 j. Odpowiedź: = `0, -4 j, = ^5, -h. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wyznaczy równanie prostej AN: y =- x + 8 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający obliczy współrzędne punktu N = ^, h i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający wyznaczy współrzędne punktu = ^5, -h i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania 4 pkt 9 Zdający zapisze równanie prostej : y = x- i poprzestanie na tym lub rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania). Rozwiązanie pełne 5 pkt Zdający obliczy współrzędne obu punktów: = `0, -4 j, = ^5, -h. 9 z 9