EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

Transkrypt

1 entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0

2 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe; wykorzystuje własności figur podobnych. Poprawna odpowiedź ( p.) Zadanie. (0 ) Stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych; oblicza potęgi o wykładniku wymiernym. Zadanie 3. (0 ) Oblicza wartości logarytmu. D Zadanie 4. (0 ) Wykonuje obliczenia z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia. D Zadanie 5. (0 ) i tworzenie Wyznacza wzór funkcji liniowej. Zadanie 6. (0 ) Wykorzystuje pojęcia wartości bezwzględnej i jej interpretacje geometryczną; zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane nierównością. A Zadanie 7. (0 ) Wyznacza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli. Zadanie 8. (0 ) i tworzenie Odczytuje z wykresu zbiór wartości funkcji.

3 Zadanie 9. (0 ) i tworzenie Rozwiązuje nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci przedziałów liczbowych. A Zadanie 0. (0 ) Rozkłada wielomian na czynniki stosując grupowanie wyrazów. Zadanie. (0 ) i tworzenie Rozwiązuje proste równanie wymierne. Zadanie. (0 ) i tworzenie Wyznacza wyraz ciągu określonego wzorem ogólnym. D Zadanie 3. (0 ) Wyznacza n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Zadanie 4. (0 ) i tworzenie Znając wartość jednej funkcji trygonometrycznej wyznacza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych. Zadanie 5. (0 ) Wykorzystuje definicje funkcji trygonometrycznych i wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych. A Zadanie 6. (0 ) Znajduje i wykorzystuje związki miarowe w figurach płaskich.

4 Zadanie 7. (0 ) Zadanie 8. (0 ) i tworzenie Zadanie 9. (0 ) i tworzenie Zadanie 0. (0 ) Zadanie. (0 ) i tworzenie Zadanie. (0 ) Zadanie 3. (0 ) Zadanie 4. (0 ) i tworzenie Zadanie 5. (0 ) i tworzenie Wykorzystuje związki między kątem wpisanym i środkowym do obliczenia miary kąta. Znajduje i wykorzystuje związki miarowe w figurach płaskich; wyznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny mając daną długość boku trójkąta. Wskazuje równania prostej prostopadłej do danej. Oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych; oblicza pole kwadratu. Posługuje się postacią równania okręgu; z zapisu równania okręgu odczytuje współrzędne jego środka. Wyznacza związki miarowe w wielościanach; wykorzystuje związek miedzy polem powierzchni całkowitej sześcianu a jego objętością. Wyznacza związki miarowe w bryłach obrotowych; na podstawie danych przekroju osiowego stożka oblicza jego objętość. Oblicza medianę podanych danych liczbowych. Stosuje definicję prawdopodobieństwa; oblicza prawdopodobieństwo zdarzeń. A D D

5 Zadanie 6. (0 ) Rozwiąż nierówność x 8x7 0. Rozwiązuje nierówność kwadratową. Zdający otrzymuje... pkt gdy: prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x 7 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy rozłoży trójmian kwadratowy x 8x 7 na czynniki liniowe i zapisze nierówność xx7 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność doprowadzi nierówność do postaci x 4 3 (na przykład z postaci x 4 90 otrzymujex 4 9, a następnie x 4 3) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:, 7, x lub x 7 x, x 7 w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Uwaga: W związku z rozbieżnością w rozumieniu i używaniu spójników w języku potocznym i formalnym języku matematyki akceptujemy zapis, np. x, i x 7,. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x 7, x i zapisze np. x, 7,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci,7,, to przyznajemy punkty.

6 Zadanie 7. (0 ) Rozwiąż równanie 3 x x x Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: x 9 x 6 lub przedstawi lewą stronę równania w postaci iloczynu x3x3x 6 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian 3 x 6x 9x 54 przez dwumian x 3 i otrzyma x 9x 8 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian 3 x 6x 9x 54 przez dwumian x 3 i otrzyma x 3x 8 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy sprawdzi, że liczba 6 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian 3 x 6x 9x 54 przez dwumian x 6 i otrzyma x 9 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x 3, x 3, x 6. Zadanie 8. (0 ) Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 5. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu. Rozwiązuje równanie wielomianowe. Oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy różnicę ciągu arytmetycznego ( r 4 ) i na tym poprzestanie lub błędnie wyznaczy S 6 obliczy lub zapisze poprawnie jeden z pozostałych wyrazów ciągu i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy S 6. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy S6 78.

7 Uwaga: Zdający otrzymuje 0 punktów, jeżeli: błędnie zapisze związek między a, a 4 i r, np. a 4r 5 i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy S 6, a 5r zacytuje odpowiednie wzory, np. a4 a 3r lub S6 6 i na tym poprzestanie. Zadanie 9. (0 ) W trójkącie równoramiennym A dane są A 6 i A 30(zobacz rysunek). Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok. 30 A D Użycie i tworzenie strategii Znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze zależność, z której można obliczyć wysokość AD, np.: AD sin 30 lub 66sin AD. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy wysokość opuszczoną z wierzchołka A na bok : AD 3. Uwaga: Jeśli zdający od razu zapisze, że AD 3, to otrzymuje punkty.

8 Zadanie 30. (0 ) Dany jest równoległobok AD. Na przedłużeniu przekątnej A wybrano punkt E tak, że E A (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku AD jest cztery razy większe od pola trójkąta DE. E D A Rozumowanie i argumentacja Znajduje związki miarowe w figurach płaskich; wykorzystuje związek między polami trójkątów o takiej samej wysokości. Rozwiązanie D E A D Rysujemy wysokość DD trójkąta AD. Wysokość DD jest również wysokością trójkąta DE o podstawie E. PDE E DD Ponieważ E A, więc PDE A DD PAD. P P 4P. AD AD DE Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze związek między polem trójkąta AD, a polem trójkąta DE, np.: PDE PAD. Zdający otrzymuje... pkt gdy wykaże, że P 4P. AD DE

9 Zadanie 3. (0 ) Wykaż, że jeżeli c 0, to trójmian kwadratowy zerowe. y x bx c ma dwa różne miejsca Rozumowanie i argumentacja ada funkcję kwadratową. Rozwiązanie Zapisujemy wyróżnik danego trójmianu kwadratowego: b 4c. Ponieważ c 0 to 4c 0. Stąd jest sumą dwóch wyrażeń: nieujemnego i dodatniego, czyli jest dodatnia. A zatem trójmian y x bxcma dwa różne miejsca zerowe. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni, że trójmian ma dwa różne miejsca zerowe. Uwaga: Jeżeli zdający podstawi konkretną wartość w miejsce c, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie 3. (0 4) Dany jest trójkąt równoramienny A, w którym A oraz A, i, 9. Podstawa A tego trójkąta jest zawarta w prostej y x. Oblicz współrzędne wierzchołka. Użycie i tworzenie strategii Oblicza odległość między punktami, wyznacza środek odcinka, interpretuje współczynniki funkcji liniowej, wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej. I sposób rozwiązania: (odległość) Punkt leży na prostej o równaniu y x, więc jego współrzędne można zapisać w postaci x, x. Obliczamy odległość punktu od punktu A: A 65 oraz odległość punktu od punktu : x x 9. Ponieważ A, więc możemy zapisać równanie z jedną niewiadomą x równanie kwadratowe 5 4 x x 7 0 lub x 9 65, skąd otrzymujemy 5x 44x 680. Równanie to ma dwa

10 34 rozwiązania x lub x. Ponieważ drugie rozwiązanie tego równania prowadzi 5 do punktu o współrzędnych,, co oznacza, że otrzymujemy podany w treści zadania 34 7 punkt A, zatem szukany punkt,. 5 5 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie odległości A: A 65. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt zapisanie równania x y y 9 65 zapisanie układu równań: x 9 65 y x x y 9 65 lub lub x x 9 65 lub y x x y9 65 Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Doprowadzenie do równania kwadratowego, np. lub 5y y x x lub 7 0 5x 44x 680 Rozwiązanie pełne...4 pkt Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka II sposób rozwiązania: (środek odcinka) 34 7,. 5 5 Niech punkt D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka. Wyznaczamy równanie prostej D: y x. Obliczamy współrzędne punktu D,. 5 5 Wyznaczamy współrzędne punktu : x 5 wykorzystując na przykład wzór na współrzędne środka odcinka: y 5 x 5 wykorzystując wzór na współrzędne środka odcinka i równanie prostej: y x

11 Egzamin maturalny z matematyki porównując długości odcinków AD i D: x y y x Otrzymujemy 34 7,. 5 5 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wyznaczenie równania prostej D, np. w postaci y x Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Obliczenie współrzędnych punktu D: D,. 5 5 Uwaga: y x Jeżeli zdający zapisze układ równań: lub analogiczny i popełni błąd y x rachunkowy w jego rozwiązaniu, to otrzymuje punkty. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 34 7 Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka,. 5 5 III sposób rozwiązania: (kąt między prostymi) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej A: a 8. Zapisujemy równanie: 8 a 4 a, korzystając ze wzoru na tangens kąta między prostymi A i, 8 9 a to współczynnik kierunkowy prostej A). Zapisujemy gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym prostej. Obliczamy a : a (drugie rozwiązanie tego równania 8 8 równanie prostej : y x 9, a następnie wyznaczamy punkt wspólny tej prostej 9 i prostej A o równaniu y x. Rozwiązujemy układ równań:

12 8 y 9 y x x 9 Otrzymujemy współrzędne szukanego punktu: 34 7,. 5 5 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie równania z niewiadomym współczynnikiem kierunkowym prostej : 8 a 4 a Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt 8 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej : a. 9 Rozwiązanie pełne...4 pkt 34 7 Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka, jako punktu wspólnego prostych o równaniach y x oraz y x 9. 9 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów lub zamieni miejscami liczby będące współrzędnymi danych punktów i rozwiąże konsekwentnie zadanie do końca, to za takie rozwiązanie otrzymuje 4 punkty.

13 Zadanie 33. (0 4) Egzamin maturalny z matematyki W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ADS o podstawie AD i wierzchołku S trójkąt AS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek). S b h H A E a D O Użycie i tworzenie strategii Wyznacza związki miarowe w wielościanach; znajduje związki miarowe w figurach płaskich, w tym stosuje własności trójkąta równobocznego i prostokątnego i wykorzystuje definicję i własności funkcji trygonometrycznych. I sposób rozwiązania: ) Obliczenie H (wysokości ostrosłupa), np. z własności trójkąta równobocznego AS: b 3 H 4 3, gdzie b 8 b b lub z trójkąta prostokątnego AOS : H Zdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu: H 6,93. ) Obliczenie a (długości krawędzi podstawy ostrosłupa), np. ze wzoru na długość przekątnej kwadratu: a 8, a 4 lub a 5,66. 3) Obliczenie h SE (wysokości ściany bocznej) z trójkąta prostokątnego SOE: h a H, h 4 lub z trójkąta prostokątnego SEA: h a b

14 Zdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu: h 7,48. H 4 4) Obliczenie sinusa kąta : sin h 7 lub obliczenie cosinusa kąta, np. z twierdzenia cosinusów: h a h ahcos, 7 cos, a następnie sinusa kąta, np. z jedynki trygonometrycznej: sin cos 49 7 lub wykorzystanie dokonanych przybliżeń do obliczenia sin 0,93. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt 8 3 obliczenie H (wysokości ostrosłupa): H 4 3 lub H 6,93 obliczenie a (długości krawędzi podstawy): a 4 lub a 5,66. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt obliczenie h (wysokości ściany bocznej ostrosłupa): h 4 lub h 7,48 oraz 8 3 obliczenie H (wysokości ostrosłupa): H 4 3 lub H 6,93. Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe, usterki... pkt Rozwiązanie pełne...4 pkt Obliczenie sinusa kąta : 4 sin lub sin 0,93. 7 II sposób rozwiązania: ) Obliczenie H (wysokości ostrosłupa), np. z własności trójkąta równobocznego AS b 3 H 4 3, gdzie b 8 b b lub z trójkąta prostokątnego AOS : H Zdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu: H 6,93. ) Obliczenie a (długości krawędzi podstawy ostrosłupa), np. ze wzoru na długość przekątnej kwadratu a 8, a 4 lub a 5,66.

15 3) Obliczenie tangensa kąta : tg H H 6 a a lub tg,45. 4) Odczytanie wartości kąta : 68 i sinusa tego kąta z tablic trygonometrycznych: sin 0,93 sin 6 lub obliczenie sin z układu równań: cos sin cos 4 Stąd sin. 7 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt 8 3 obliczenie H (wysokości ostrosłupa): H 4 3 lub H 6,93 obliczenie a (długości krawędzi podstawy): a 4 lub a 5,66. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Obliczenie tangensa kąta : tg 6 lub tg,45. Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe, usterki... pkt Rozwiązanie pełne... 4 pkt 4 Obliczenie sinusa kąta : sin lub sin 0,93. 7 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Nie obniżamy punktacji za rozwiązanie, w którym zdający poprawnie obliczył wysokość ostrosłupa, ale przy obliczaniu sinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy podstawił błędną wartość. Zadanie 34. (0 5) Kolarz pokonał trasę 4 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz. Modelowanie matematyczne Rozwiązuje zadania dotyczących sytuacji praktycznych, prowadzące do równania kwadratowego. I sposób rozwiązania: Przyjmujemy oznaczenia, np.: t czas pokonania całej trasy w godzinach, v średnia prędkość w kilometrach na godzinę. Zapisujemy zależności między czasem a prędkością w obu sytuacjach opisanych w zadaniu: vt 4 v9,5 t 4. oraz

16 vt 4 Następnie zapisujemy układ równań v9,5t4 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: 4 9,5 t 4 t 8 4 9,5t 9 4 t Mnożymy obie strony przez t: 9,5t 9t8 0 Dzielimy obie strony przez 9,5: t t4 0 t6 t4 0 t 6 lub t 4 t jest sprzeczne z warunkami zadania. Obliczamy średnią prędkość, z jaką jechał kolarz: 4 v 8,5. 4 II sposób rozwiązania: Zapisujemy zależności między czasem a prędkością w obu sytuacjach opisanych w zadaniu: vt 4 oraz v9,5t 4 vt 4 Następnie zapisujemy układ równań v9,5t4 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: 4 v 9,5 4 v v 9 4 v Mnożymy obie strony przez v v 9v v v 8, v jest sprzeczne z warunkami zadania. Średnia prędkość, z jaką jechał kolarz, jest równa 8,5 km/godzinę.

17 III sposób rozwiązania: Przyjmujemy oznaczenia, np.: t czas pokonania całej trasy w godzinach, v średnia prędkość w kilometrach na godzinę. v v 9,5 Narysowane duże prostokąty reprezentują trasę przebytą przez kolarza w obu sytuacjach opisanych w zadaniu, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość 9,5t v 9,5 i następnie 9,5t v i v4,75t. Ponieważ trasa przebyta przez kolarza ma długość 4 km, otrzymujemy równanie: 4, 75 t t 4 4, 75t 9,5t4 0. Dzielimy obie strony przez 4,75: t t4 0 t6 t4 0 t 6 lub t 4 t jest sprzeczne z warunkami zadania. 4 Obliczamy średnią prędkość, z jaką jechał kolarz: v 8,5. 4 Odp. Średnia prędkość, z jaką jechał kolarz, jest równa 8,5 km/godzinę. Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie równania w sytuacji domniemanej (t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach, a v średnią prędkość rowerzysty w kilometrach na godzinę) t v 9,5 4 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.: t v 4 t v 9,5 4 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.: 4 4 9,5 t 4 lub v 9,5 4 t v t t + lub t 4, 75 t 4

18 Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki... pkt Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt obliczenie czasu: t 4 lub t 6 i nie obliczenie prędkości lub obliczenie prędkości z błędem rachunkowym obliczenie czasu: t 4 lub t 6 i obliczenie prędkości: v 8,5 i v 9 i niewyeliminowanie prędkości niezgodnej z warunkami zadania obliczenie czasu z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Obliczenie średniej prędkości, z jaką jechał kolarz: v 8,5km/godzinę. Uwagi:. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający odgadnie średnią prędkość jazdy kolarza i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje punkt. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość kolarza, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez kolarza 4 v 9,5 t 4 vt 4 v9,5t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie 4 ujął wyrażenia t w nawias. Zapis równania v 9,5 wskazuje na poprawną t interpretację zależności między wielkościami.

19 Przykład. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość kolarza, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez kolarza 4 v 4 t 4 4 v 9,5 9,5 t 0 t t v 9,5 t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 4 4 trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 9,5 zdający t t przestawił cyfry w zapisie liczby 4 i pominął liczbę w mianowniku ułamka. Przykład 3. Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. v 9v v 9v zamiast równania (np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik, który może być realną prędkością jazdy kolarza, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.