PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

Transkrypt

1 PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 0/0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA Copyright by Nowa Era Sp z oo

2 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania Odpowiedź C C D A Zadanie (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Rachunek różniczkowy Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych Rozwiązanie ^x xhl^ x+ h ^x xh^x+ hl ^x h^x+ h ^x xh Mamy fl^xh ^x + h ^x + h ^$ h^+ h ^$ h Zatem f l^h ^+ h Odpowiedź C Schemat punktowania pkt za poprawną odpowiedź 0 pkt za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi Zadanie (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Rachunek różniczkowy Zdający oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych Wyrażenia algebraiczne Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ^a! bh oraz a! b Rozwiązanie x 8 ^x h^x + x + h x + x+ lim lim lim x x x x x x x x " " ^ h^ + h " + Odpowiedź Schemat punktowania pkt za poprawną odpowiedź 0 pkt za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi z 7

3 Zadanie (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji IV etap edukacyjny poziom podstawowy Liczby rzeczywiste Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych IV etap edukacyjny poziom rozszerzony Liczby rzeczywiste Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu Rozwiązanie ^ log log log log h ^ h Odpowiedź C Schemat punktowania pkt za poprawną odpowiedź 0 pkt za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi Zadanie (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii IV etap edukacyjny poziom podstawowy Trygonometria Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80 IV etap edukacyjny poziom rozszerzony Trygonometria Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów Rozwiązanie Zauważmy, że proste y x + i y x są równoległe, więc tworzą z osią Ox ten sam kąt rozwarty a Z twierdzenia Pitagorasa mamy: OP ^ h +, więc sina, cos a Zatem sina sinacos a $ $ x y P(, ) y x+ y α α 0 x Odpowiedź D Schemat punktowania pkt za poprawną odpowiedź 0 pkt za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi z 7

4 Zadanie (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający: ) oblicza odległość punktu od prostej ) posługuje się równaniem okręgu (x a) + (y b) r oraz opisuje koła za pomocą nierówności Rozwiązanie Promień okręgu r jest równy odległości środka okręgu S od stycznej: + 7 r Równanie tego okręgu ma postać (x + ) + y + ^ h Odpowiedź A Schemat punktowania pkt za poprawną odpowiedź 0 pkt za błędną odpowiedź lub brak odpowiedzi Klucz oceniania zadań otwartych Zadanie (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Równania i nierówności Zdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x a Z twierdzenia o reszcie wynika, że R W( ), więc W^ h H a ( ) 0 + (8 + a )( ) 0 7a + H a a 7a + H 7a H 0 0 a G 7 0 Zatem największa wartość parametru a jest równa 7,87 Kodujemy cyfry:,, Zdający otrzymuje pkt gdy zakoduje cyfry:,, Uwaga Należy zakodować cyfry otrzymanego wyniku, a nie wyniku przybliżonego, zatem kodujemy cyfry,,, a nie,, z 7

5 Zadanie 7 (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Ciągi Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu n, n oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że + ^n h n + n n + n g + ^n h $ n, więc an ^ n h n + n + n Obliczamy granicę: lim lim 0, 7 n n n " ^ h " ` j 8 n Kodujemy cyfry:, 7, Zdający otrzymuje pkt gdy zakoduje cyfry:, 7, Zadanie 8 (0 ) II Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Ciągi Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy Ciąg geometryczny jest zbieżny do zera, gdy jego iloraz spełnia warunek q < Wtedy również suma wszystkich jego wyrazów, czyli szereg geometryczny, jest zbieżna Szereg utworzony ze wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego o numerach parzystych jest również zbieżnym szeregiem geometrycznym o ilorazie qʹ q Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego możemy zapisać a a $ q równość: q 7 $ Z założenia, że a q > 0 (a więc różne od zera) oraz q < (a więc q ), możemy obie strony równania podzielić przez a i pomnożyć przez q Otrzymujemy wówczas: 7q, czyli + q 7q Stąd q + q Zdający otrzymuje pkt gdy wywnioskuje, że szereg utworzony ze wszystkich wyrazów zbieżnego ciągu geometrycznego o numerach parzystych jest zbieżnym szeregiem geometrycznym Zdający otrzymuje pkt gdy zauważy, że qʹ q i obliczy iloraz tego ciągu: q z 7

6 Zadanie 9 (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych Tworząc liczby sześciocyfrowe spełniające warunki zadania, musimy uwzględnić to, że: liczba ma być parzysta, zatem cyfrę jedności wybierzemy spośród {,, }, mają być dokładnie trzy cyfry, zatem miejsca dla nich wybierzemy na ` j sposobów (cyfrą jedności nie może być ), pozostają jeszcze dwa puste miejsca, na które możemy wybrać po jednej cyfrze ze zbioru {,,,, } Zatem z reguły mnożenia otrzymujemy:! $ ` j $ $ $! $! $ 70 wybór cyfry jedności wybór miejsc dla trzech wybór pozostałych cyfr Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze regułę mnożenia z opisem, np: $ ` j $ $ wybór cyfry jedności wybór miejsc dla trzech Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy szukaną liczbę: 70 Uwaga Jeśli zdający zapisze $ ` j $ $ 70, to otrzymuje punkty wybór pozostałych cyfr Zadanie 0 (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii Trygonometria Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów Przykładowe rozwiązania I sposób Korzystamy ze wzorów sin ` r a j cos a oraz sina+ sinb sin ^a+ bhcos ^a bh i przekształcamy wzór funkcji: r r r fx ^ h + sin`x+ j + cosx + sin`x+ j + sin` xj r r r r r r fx ^ h + sin ` x+ + xjcos ` x+ xj + sin cos`x j fx ^ h + cos`x r j z 7

7 Ponieważ G cosa G, więc G cos a G, stąd G + cosa G +, gdzie a x r Zatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział:, + II sposób Korzystamy ze wzorów cos ` r j sin oraz cosa+ cosb cos ^a+ bhcos ^a bh i przekształcamy wzór funkcji: r r r fx ^ h + sin`x+ j + cosx + cos` x j + cosx r r r r r r fx ^ h + cos ` x + xjcos ` x xj + cos cos` xj fx ^ h + cos` r x j Ponieważ G cosa G, więc G cos a G, stąd G + cosa G +, gdzie a r x Zatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział:, + obu sposobów Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt r r Zapisanie wzoru funkcji w postaci fx ^ h + sin`x+ j + sin` xj r r albo fx ^ h + cos` x j + cos x Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zastosowanie wzoru na sumę sinusów i zapisanie wzoru funkcji w postaci fx ^ h + cos`x r j albo wzoru na sumę cosinusów i zapisanie wzoru funkcji w postaci fx ^ h + cos ` r x j Rozwiązanie pełne pkt Wyznaczenie zbioru wartości:, + Zadanie (0 ) V Rozumowanie i argumentacja Równania i nierówności Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem IV etap edukacyjny poziom podstawowy Wyrażenia algebraiczne Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b Przekształcamy równanie paraboli: y ^x 8x + h y ^x h y+ ^x h 7 z 7

8 Zauważmy, że dla całkowitych liczb x i y lewa strona jest liczbą całkowitą, a prawa strona jest liczbą niewymierną albo zerem w zależności od wartości x Zatem równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (x ) 0, stąd x Wtedy również y + 0, czyli y Wynika stąd, że jedynym punktem o obu współrzędnych całkowitych należącym do paraboli o równaniu y x 8 x + jest punkt P (, ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie równania w postaci y ^x h, gdzie x, y! C Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania w postaci y+ ^x h i zauważenie, że po jego lewej stronie znajduje się liczba całkowita, a po prawej iloczyn liczby niewymiernej i całkowitej Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie wniosku: iloczyn liczby niewymiernej i całkowitej jest równy liczbie całkowitej wtedy i tylko wtedy, gdy liczba całkowita jest równa zero, czyli gdy (x ) 0, stąd x Wtedy y + 0, czyli y Zatem jedynym punktem o obu współrzędnych całkowitych należącym do krzywej jest P (, ) Uwaga Zdający może przeprowadzić rozumowanie na równaniu w postaci y ^x h Zadanie (0 ) V Rozumowanie i argumentacja 7 Planimetria Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów Przykładowe rozwiązania I sposób C α b b D x A a Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów ADC i AC i zapisujemy układ równań: x b b cosa * a b b cosa Drugie równanie dzielimy przez, a następnie odejmujemy równania stronami 8 z 7

9 Otrzymujemy: x a b x a + b a + b, czyli x II sposób C Próbny egzamin maturalny z Nową Erą b D x b A a α Stosujemy definicję cosinusa w trójkącie prostokątnym i twierdzenie cosinusów w trójkącie AD Z a ] cosa b i zapisujemy układ równań [ ] x a + b ab cosa \ Podstawiamy wyznaczony cosinus do drugiego równania i otrzymujemy: x a + b a, a + b a + b stąd x, czyli x obu sposobów Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wprowadzenie oznaczeń (np jak na rysunku) i zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta AC lub ADC lub AD lub użycie definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Z a x b b cos Zapisanie układu równań a ] cosa b * albo [ a b b cosa ] x a + b ab cosa \ Rozwiązanie pełne pkt Wyprowadzenie z układu równania bez cosinusa, np x a b a b albo x a + a + b i wyznaczenie x: x 9 z 7

10 Zadanie (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii Funkcje Zdający: ) szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw ) na podstawie wykresu funkcji y f(x) szkicuje wykresy funkcji y f^xh, y c f(x), y f(cx) IV etap edukacyjny poziom podstawowy Funkcje Zdający na podstawie wykresu funkcji y f(x) szkicuje wykresy funkcji y f(x + a), y f(x) + a, y f(x), y f( x) Wykonujemy kolejne przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej: u h^xh gx ^ h log x h^xh log ^x+ h fx ^ h log ^x + h, D f (, ) y 0 x Następnie interpretujemy graficznie równanie z parametrem (rysunek obok) Żeby równanie miało dwa ujemne rozwiązania x i x, musi być spełniony warunek m! (0, ) y y m x x 0 x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Narysowanie wykresu funkcji fx ^ h log ^x + h Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Narysowanie w tym samym układzie współrzędnych wykresu y m i zaznaczenie punktów przecięcia obu wykresów Rozwiązanie pełne pkt Podanie odpowiedzi: Równanie ma dwa ujemne rozwiązania dla m! (0, ) Zadanie (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii Rachunek różniczkowy Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej 0 z 7

11 Przekształcamy prostą do postaci kierunkowej: y x Z warunku prostopadłości, styczna do wykresu wielomianu ma równanie y x + b Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy pochodnej wielomianu w punkcie styczności P ^x0, fx ^ 0hh : a f' ^x0h Wyznaczamy funkcję pochodną wielomianu: f' ^xh x x+ i zapisujemy równanie: x0 x0 + x0 x0 + 0 : ^x0 h 0 x0, fx ^ 0 hf(), czyli punkt styczności P (, ) Wyznaczamy równanie stycznej, korzystając ze wzoru y f^x0h f' ^x0h^x x0h: y + (x ), zatem y x + Uwaga Zdający może wyznaczyć równanie stycznej, korzystając z informacji, że punkt P należy do stycznej o równaniu y x + b Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie warunku prostopadłości i zapisanie równości: a fl^x h Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Wyznaczenie funkcji pochodnej: fl^xh x x+ i rozwiązanie równania: fl^x0 h dla x0 Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie f() i podanie równania stycznej: y x + 0 Zadanie (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie trzywyrazowe ciągi o różnych wyrazach ze zbioru {,,,,,, 7, 8, 9}, czyli wariacje bez powtórzeń Wprowadzamy oznaczenia: A utworzono liczbę podzielną przez, iloczyn pierwszej i drugiej cyfry wynosi 8 Zauważmy, że liczba jest podzielna przez, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez A+ Mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe PA ^ h z 7

12 Zdarzeniu sprzyjają wariacje postaci: (, 8, a), (,, b), (,, c), (8,, d), gdzie trzeci wyraz każdego z tych ciągów można wybrać na 7 sposobów (wyrazy nie mogą się powtórzyć) Zatem $ 7 Zdarzeniu A+ sprzyjają wariacje postaci: (, 8, a), (,, b), (,, c), (8,, d), przy czym a + 9 i b + i c + i d + 9 Ponieważ suma dwóch pierwszych cyfr w każdym z wymienionych przypadków jest podzielna przez, więc a, b, c, d! {,, 9} Zatem A+ $ A+ $ Stąd PA ^ h $ 7 7 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wprowadzenie oznaczeń, np: A utworzono liczbę podzielną przez, iloczyn pierwszej i drugiej cyfry wynosi 8 i zauważenie, że liczba jest podzielna przez, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez, oraz że trzeba A+ obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe PA ^ h Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie $ 7 lub A+ $ Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego PA ^ h 7 Zadanie (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii IV etap edukacyjny poziom podstawowy Funkcje Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp (także osadzonych w kontekście praktycznym) IV etap edukacyjny poziom rozszerzony 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający posługuje się równaniem okręgu (x a) + (y b) r oraz opisuje koła za pomocą nierówności Wyrażenia algebraiczne Zdający dzieli wielomiany przez dwumian ax + b Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli: x b k w k a y w k k + k k + k k + z 7

13 Wierzchołek W (x w, y w ) należy do koła, gdy jego współrzędne spełniają nierówność: (x ) + (y ) ² Podstawiamy współrzędne wierzchołka: (k ) + (k k + ) ² i porządkujemy nierówność: k k (k k + )(k k + ) ² k k k 8k + 0k k + ² 0 k 8k + k k + 8 ² 0 Rozkładamy wielomian na czynniki, wykorzystując twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych i dzielenie przez dwumian Otrzymujemy np: (k )(k )(k k + ) ² 0 (k ) (k )(k ) ² 0 Pierwiastkami wielomianu są: k (dwukrotny), k, k Szkicujemy poglądowy wykres i odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: y 0 k Wierzchołek paraboli należy do danego koła dla k! ",,, Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt xw k Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka: ) lub zapisanie nierówności: yw k k + (x ) + (y ) ² Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie nierówności wynikającej z faktu, że wierzchołek paraboli należy do koła: (k ) + (k k + ) ² Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie nierówności w postaci iloczynowej, np: (k )(k )(k k + ) ² 0 lub (k ) (k )(k ) ² 0 Uwaga Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci uporządkowanej: k 8k + k k + 8 ² 0 i poprzestanie na tym lub dalej popełni błędy rzeczowe, to otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt łąd w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu i konsekwentna odpowiedź albo usterka w rozwiązaniu nierówności ( zgubienie jedynki, niedomknięcie przedziału) Rozwiązanie pełne pkt Rozwiązanie nierówności: k! ",,, z 7

14 Zadanie 7 (0 ) IV Użycie i tworzenie strategii 9 Stereometria Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną IV etap edukacyjny poziom podstawowy 7 Planimetria Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów S F a G D E C A a Ściana AS jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc S a Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACS mamy: SC AC + AS ^a h + a a, czyli SC a Zauważmy, że w przekroju otrzymujemy deltoid AEFG, musimy więc wyznaczyć długości jego przekątnych AF oraz EG Z faktu, że płaszczyzna przekroju jest prostopadła do krawędzi CS wynika, że AF jest wysokością trójkąta prostokątnego ACS opuszczoną na przeciwprostokątną AC $ AS SC $ AF Korzystając np ze wzoru na pole trójkąta, mamy:, stąd a a $ a AF, czyli AF Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AFS obliczamy: a a SF AS AF a c m a 9, czyli SF Zauważmy dalej, że prostokątne są trójkąty CS (np z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych) i FES (bo przekrój jest prostopadły do CS) Ponadto z cechy (kkk) trójkąt CS jest podobny SE SF do trójkąta FES Prawdziwa jest zatem równość:, z której wynika, że SC S a SC $ SF a $ a SE, zatem SE S a Zauważmy jeszcze, że EGS + DS w skali k SE S, więc EG D a a a a Możemy już obliczyć pole przekroju: PAEFG $ AF $ EG $ $ Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Wprowadzenie oznaczeń (np jak na rysunku), zauważenie, że przekrojem ostrosłupa jest deltoid AEFG i obliczenie: S a, SC a z 7

15 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt a Obliczenie przekątnej AF deltoidu AEFG: AF Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a Obliczenie SF i zauważenie, że trójkąt CS jest prostokątny i podobny do trójkąta FES, a stąd SE Uwaga a Jeżeli zdający obliczy SF i poprzestanie na tym lub dalej popełni błędy rzeczowe, to otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt SE Zauważenie, że EGS + DS w skali k, stąd EG S lub rozwiązanie do końca z błędem rachunkowym a i poprzestanie na tym Rozwiązanie pełne pkt a Obliczenie pola deltoidu: PAEFG Zadanie 8 (0 7) III Modelowanie matematyczne Rachunek różniczkowy Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych S P A C h a D a Q Wprowadzamy oznaczenia np jak na rysunku Zauważmy, że SP, PC PQ Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie PCS mamy: SC SP PC ^ h ^ h, więc SC Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DS mamy: S SD + D ^ h ^ + hh + a a 8h h a 8h h z 7

16 Zatem pole trójkąta AC w zależności od jego wysokości h wyraża się wzorem: P ^hh 8h h $ h h 8h + h AC gdzie dziedziną tej funkcji jest zbiór D: h! ^0, h Chcemy obliczyć, dla jakiej wysokości h! ^0, h funkcja P AC określona wzorem P ^hh h 8h + h przyjmuje wartość największą AC Ponieważ funkcja y x jest rosnąca, wystarczy zbadać funkcję fh ^ h h 8h + h Wyznaczamy pochodną tej funkcji: f' ^hh h h + h, D l D Obliczamy miejsca zerowe pochodnej: f' ^hh 0, hh ^ + h h 0 Stąd h! { 8, 0, } f (h) 0 8 h, adamy znak pochodnej funkcji f w dziedzinie: f' ^hh > 0 dla h! (0, ) oraz f' ^hh < 0 dla h! (, ) Zatem funkcja f jest rosnąca w przedziale ^ 0, i malejąca w przedziale, h Wynika stąd, że dla h funkcja f przyjmuje wartość największą, więc również pole P AC (h) przyjmuje wartość największą w dziedzinie Pozostało nam wyznaczyć długości boków trójkąta AC o największym polu: a 8h h, A a, AC C ^ h + Ogólny schemat oceniania Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego za pomocą rachunku różniczkowego składa się z trzech etapów: Zbudowanie modelu matematycznego ( punkty) Zbadanie tego modelu ( punkty) Wyciągnięcie wniosków, końcowe obliczenia itp ( punkt) W pierwszych dwóch etapach można wyróżnić następujące części: a) wybór zmiennej i wyrażenie za pomocą tej zmiennej wielkości, które będą potrzebne do zdefiniowania funkcji, b) zdefiniowanie funkcji jednej zmiennej, c) określenie dziedziny tej funkcji, a) wyznaczenie pochodnej i jej dziedziny, b) obliczenie miejsc zerowych tej pochodnej, c) uzasadnienie (np badanie monotoniczności funkcji), że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą/największą z 7

17 Za poprawne rozwiązanie każdej z powyższych części zdający otrzymuje punkt, o ile poprzednia część danego etapu została zrealizowana bezbłędnie W tym przypadku: a) Wprowadzenie oznaczeń (np jak na rysunku), wyznaczenie długości odcinka SC: SC oraz uzależnienie a od h: a 8h h b) Zapisanie pola trójkąta AC jako funkcji zmiennej h: PAC ^hh 8h h $ h lub PAC ^hh h 8h + h c) Zapisanie warunków, jakie musi spełniać wysokość trójkąta AC: h! (0, ) a) Zauważenie, że ponieważ funkcja y x jest rosnąca, wystarczy zbadać funkcję fh ^ h h 8h + h Wyznaczenie pochodnej: f' ^hh h h + h, D l D b) Obliczenie miejsc zerowych pochodnej: f' ^hh 0, h! " 80,,, c) Zbadanie znaku pochodnej w dziedzinie: f' ^hh > 0 dla h! (0, ) oraz f' ^hh < 0 dla h! (, ), określenie monotoniczności funkcji f : w przedziale ^ 0, funkcja f jest rosnąca i w przedziale, h jest malejąca Wynika stąd, że dla h funkcja f (więc również P AC ) przyjmuje wartość największą w dziedzinie Wyznaczenie długości boków trójkąta AC o największym polu: A a, AC C 7 z 7