KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Transkrypt

1 Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

2

3 Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli bezbłędnie uzupełni tabelę. Zdający otrzymuje punkt, jeśli poprawnie zapisze tylko wartości funkcji dla argumentów ( ) oraz albo wyznaczy tylko miejsce zerowe funkcji. x,5 f ( x ) 9 0 b) Rysowanie wykresu funkcji. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli bezbłędnie narysuje wykres funkcji f. y x c) Odczytywanie własności funkcji liniowej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli rozwiąże nierówność f ( x) 6. x. Wyznaczanie liczb całkowitych należących Wiadomości i rozumienie do danego przedziału liczbowego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli wypisze wszystkie całkowite argumenty funkcji f spełniające nierówność f ( x) 6., 0,,,,.

4 Matematyka poziom podstawowy Zadanie. Podawanie opisu matematycznego sytuacji przedstawionej w zadaniu w postaci układu równań. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli zapisze układ równań opisujący warunki zadania, np. m+ n= 0. m + 5n = 980 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze jedno z równań, które opisuje warunki zadania, 7 m+ n = 980 albo m+ 5n= 980 albo 6m= 8n. np. ( ) Rozwiązywanie układu równań liniowych. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli rozwiąże układ równań i poda liczby detali do wykonania przez każdego z rzemieślników. m = 80 i n = 60. Zadanie. a) Rozwiązywanie nierówności kwadratowej zapisanej na podstawie tekstu zadania. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli przekształci nierówność f ( x) + 5< x do postaci nierówności kwadratowej, np. x x+ 5< 0 i rozwiąże ją. 5 x, (, ). Zdający otrzymuje punkt, jeśli przekształci nierówność f ( x) + 5< x do postaci nierówności kwadratowej i na tym poprzestanie lub popełni błędy w rozwiązaniu tej nierówności. b) Podawanie zbioru wartości funkcji. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli poda zbiór wartości funkcji g. (,8. c) Przekształcanie wzoru funkcji do innej postaci. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy współczynniki b i c. b =, c = 0. Zdający otrzymuje punkt, jeśli poprawnie obliczy tylko jeden ze współczynników albo zapisze poprawnie warunki pozwalające na obliczenie współczynników b i c, ale popełni błąd przy obliczaniu tych współczynników.

5 Matematyka poziom podstawowy Zadanie. Stosowanie praw działań na potęgach o wykładniku naturalnym. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli poprawnie zastosuje prawa działań na potęgach i zapisze 5 7x = +. równanie w postaci umożliwiającej obliczenie niewiadomej, np. ( ) 7 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze liczby, 8, 9 w postaci potęg liczby i na tym poprzestanie lub w dalszej części rozwiązania popełni błędy. Wiadomości i rozumienie Rozwiązanie równania liniowego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli wykaże, że liczba ( ) 5 7 x = + stąd Zadanie 5. a) 5 7x = 7, więc 5 x =. 5 x = jest rozwiązaniem równania, np. Zapisywanie warunków wynikających z równości wielomianów. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wszystkie zależności wynikające z równości wielomianów a+ = a i a+ b+ c=, i b =. Rozwiązywanie układu równań liniowych. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy współczynniki a i c. a = i c = 0. Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy poprawnie tylko jeden ze współczynników. b) Rozkładanie wielomianu na czynniki. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli rozłoży wielomian na czynniki liniowe. W( x) = x( x+ )( x ). Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wielomian w postaci iloczynu wielomianów, W( x) x x x W( x) = x x + x, lub z których jeden jest stopnia drugiego = ( + ) lub ( )( ) W( x) = ( x+ )( x x) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. 0 5

6 Zadanie 6. a) Matematyka poziom podstawowy Zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznych do rozwiązania problemu. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli skorzysta z definicji trygonometrycznych kąta α w trójkącie prostokątnym i przekształci wyrażenie sinα tgα do postaci a( b c), gdzie bc a i b są odpowiednimi długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, zaś c jest długością przeciwprostokątnej. Zdający otrzymuje punkt, jeśli skorzysta z definicji funkcji trygonometrycznych kąta a a ostrego α w trójkącie prostokątnym i zapisze: sinα =, tgα = i na tym poprzestanie. c b Uzasadnienie nierówności. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli uzasadni nierówność sinα tgα < 0 powołując się, np. na znak różnicy b c< 0. b) Stosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta do przekształcania tożsamości trygonometrycznych. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy wartość wyrażenia. cos α + cosαsin α. Zdający otrzymuje punkt, jeśli tylko obliczy wartość funkcji cosα i na tym zakończy rozwiązanie. cosα =. Zadanie 7. a) Stosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy różnicę r ciągu ( a n ) oraz jego pierwszy wyraz. r =, a =. Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy tylko różnicę ciągu i na tym zakończy rozwiązanie lub w dalszych obliczeniach popełni błąd. b) Stosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy wyraz a

7 Matematyka poziom podstawowy a 8 =. Wiadomości i rozumienie Sprawdzanie z definicji, czy dany ciąg jest geometryczny. Zdający otrzymuje punkt, jeśli uzasadni, że ciąg (,, ) c) Wiadomości i rozumienie a a a jest ciągiem geometrycznym. Stosowanie definicji na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu ( a n ). S n = n n, n. Wykorzystanie własności funkcji kwadratowej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli wyznaczy liczbę n, dla której S n osiąga wartość najmniejszą. n = 6. Zadanie 8. 0 Dobieranie odpowiedniego algorytmu do rozwiązania zadania. 0 D 8 C 5 5 A B Zdający otrzymuje punkty, jeśli wykorzysta podobieństwo trójkątów ABD oraz BDC i obliczy długość przekątnej BD oraz podstawy AB. BD = 0, AB = 50. Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy długość odcinka BD wykorzystując przy tym podobieństwo trójkątów ABD oraz BDC. Zdający otrzymuje punkt, jeśli uzasadni, że trójkąty ABD i BDC są podobne i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy. Wiadomości i rozumienie Stosowanie związków miarowych w figurach płaskich. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy obwód trapezu (pod warunkiem, że poprawnie obliczy długość podstawy AB)

8 Matematyka poziom podstawowy Zadanie 9. Wyznaczenie równania prostej spełniającej warunki zadania. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli zapisze równanie prostej AB prostopadłej do prostej OA. y = x+ 0. Zdający otrzymuje punkt, jeśli wyznaczy tylko współczynnik kierunkowy prostej AB i na tym poprzestanie. ( ). y 0 B=(0,0) A=(,) x Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy współrzędne punktu A. A =,. ( ) Wiadomości i rozumienie Wykorzystanie pojęcia odległości na płaszczyźnie kartezjańskiej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy długość przyprostokątnej OA. OA = 5. Zadanie 0. a) Obliczanie średniej arytmetycznej. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy średnią liczbę błędów i zapisze wynik w zaokrągleniu do całości. 57 x = =, 9. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli poprawnie zastosuje wzór na średnią arytmetyczną i na tym poprzestanie lub popełni błąd w obliczaniu średniej, albo źle zaokrągli wynik. 8

9 Matematyka poziom podstawowy b) Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i zapisze wynik w postaci ułamka nieskracalnego. 6 PA= ( ). 5 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy moc zbioru Ω i moc zbioru A w tym samym modelu i na tym poprzestanie lub popełni błąd w obliczeniach, albo nie poda prawdopodobieństwa w postaci ułamka nieskracalnego. 0 9 Ω= = 5 i A = 9 = 89 lub Ω = 0 9 i A = 9. Zdający otrzymuje punkt, jeśli poprawnie policzy moc zbioru Ω. Zadanie. a) Stosowanie związków miarowych w bryłach z użyciem trygonometrii. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy objętość walca. 5 V =. π Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy pole powierzchni bocznej walca i promień jego podstawy i na tym zakończy lub popełni błąd w obliczaniu objętości walca. P b = 6, r =. π Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy pole powierzchni bocznej walca albo wysokość walca i promień jego podstawy i nie kontynuuje rozwiązania. P b = 6 albo h = 6 i r =. π Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy długość jednego z boków prostokąta, który jest powierzchnią boczną walca: h lub π r. h = 6 lub π r = 6. Wiadomości i rozumienie Szacowanie wartości liczbowej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli uzasadni, że objętość walca jest mniejsza od 8. Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w kluczu punktowania przyznajemy maksymalną liczbę punktów. 9

10

11 Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

12

13 Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości funkcji. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy wartość funkcji f dla x = 009. f 009 = = 009 ( ) Interpretowanie otrzymanych wyników. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wniosek. Punkt P należy do wykresu funkcji f. b) Rysowanie w układzie współrzędnych zbioru opisanego układem warunków. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli narysuje bezbłędnie zbiór opisany w zadaniu. y 0 x Zdający otrzymuje punkt, jeśli narysuje proste o równaniach y = x +, i na tym zakończy lub popełni błędy w zaznaczaniu opisanego zbioru. y = x Zadanie. Zapisanie wielomianu, który przy dzieleniu przez dany dwumian daje wskazany iloraz i daną resztę. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wielomian ( x) W w postaci wynikającej z warunków zadania. W ( x) = ( x )(8x + x ) 5 0

14 Matematyka poziom rozszerzony Wiadomości i rozumienie Wykonywanie działań na wielomianach. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli uporządkuje wielomian W ( x). W ( x) = 8x x 8x + 9. Wyznaczanie pierwiastków wielomianu. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy pierwiastki wielomianu W ( x). x =, 5, x = 0,5, x =, 5. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wielomian W ( x) w postaci iloczynu czynnika stopnia pierwszego i czynnika stopnia drugiego, np. W ( x) = (x )(x 9) i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu. Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Wykorzystanie definicji funkcji wykładniczej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy wartość podstawy a. a =. b) Rysowanie wykresu funkcji typu y = f ( x) b. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli narysuje wykres funkcji ( x) = f ( x) y g. 5 g(x) y= x Zdający otrzymuje punkt, jeśli narysuje tylko wykres funkcji y = f ( x) i na tym poprzestanie lub popełni błędy przy dalszym przekształcaniu wykresu. Interpretowanie liczby rozwiązań równania z parametrem. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli poda wszystkie wartości parametru m, dla których równanie g ( x) = m ma dokładnie jedno rozwiązanie. {} 0, + ) m.

15 Matematyka poziom rozszerzony Zadanie. Wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli rozpozna, że ciąg liczb monet wkładanych do skarbca przez kolejne dni przez skarbnika jest arytmetyczny. Liczby monet wkładanych przez kolejne dni przez skarbnika tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 5 i różnicy równej. Zdający podaje opis matematyczny sytuacji w postaci funkcji. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze wzór na ( n) po południu. ( n) [ 5 + ( n ) ] 0 M liczbę monet w n tym dniu 5 + M = k + n 50n = n 6n + k. Formułowanie wniosków wynikających z postaci badanego wyrażenia. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli zapisze warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i wyznaczy najmniejszą liczbę k. np. M ( n) = ( n ) + k 69 > 0, więc najmniejszą liczbą k jest 70 albo Δ < 0 (bo n w N ) czyli 6 k < 0, stąd k > 69, więc najmniejszą liczbą k jest 70. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze tylko warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy przy wyznaczaniu najmniejszej liczby k. np. ( ) ( ) 6 k < 0. M n = n + k 69 > 0 lub Δ < 0, bo n w N, stąd Posługiwanie się definicją i własnościami funkcji kwadratowej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet. n =. Zadanie 5. Wykonywanie działań na potęgach o wykładnikach rzeczywistych. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli wykaże równość B = 9 A. Zdający otrzymuje punkty, jeśli poprawnie zastosuje wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach i wzór na potęgę potęgi i na tym zakończy. ( + ) B = = = =, o ile dowód równości jest prowadzony od jej lewej strony do prawej albo ( ) 5

16 9 A = do lewej. + ( ) = + Matematyka poziom rozszerzony ( + ), o ile dowód równości jest prowadzony od jej prawej strony Zdający otrzymuje punkt, jeśli poprawnie zastosuje jedynie wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach albo tylko wzór na potęgę potęgi i na tym zakończy. + + ( + ) + B = = lub B =... = =,o ile dowód równości jest ( ) prowadzony od jej lewej strony do prawej albo ( + ) + 9 = ( ) = 9 A =... = równości jest prowadzony od jej prawej strony do lewej. + A lub ( ) Zadanie 6. = + ( + ), o ile dowód Posługiwanie się definicją logarytmu. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli wykorzysta definicję logarytmu i zapisze wszystkie warunki określające dziedzinę funkcji f. 9 x > 0, cosx > 0, cosx. Wiadomości i rozumienie Rozwiązywanie nierówności kwadratowej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli rozwiąże nierówność kwadratową. x,. ( ) Odczytywanie z wykresu odpowiedniej funkcji zbioru rozwiązań nierówności trygonometrycznej w przedziale ograniczonym. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli poda zbiór rozwiązań nierówności cos x > 0 i w przedziale (, ). cos x y π π π 0 π π π x π π x, i π π x i x. Zdający otrzymuje punkt, jeśli poda zbiór rozwiązań tylko jednej z nierówności. 6

17 Matematyka poziom rozszerzony Zapisanie części wspólnej zbiorów w postaci sumy przedziałów liczbowych. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze dziedzinę funkcji f. π π π π π π D f =,,,. Zadanie 7. Stosowanie własności ciągu geometrycznego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli wykorzysta własność ciągu geometrycznego i zapisze równanie opisujące warunki zadania. ( + ) = ( x )( 6x + ) x. Wiadomości i rozumienie Rozwiązywanie równania kwadratowego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli rozwiąże równanie kwadratowe. x = lub x = 5. 5 Wybór ciągu spełniającego warunki zadania. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli wybierze odpowiednią wartość x, tak aby wszystkie wyrazy ciągu były dodatnie. x = 5. Stosowanie definicji ciągu geometrycznego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy iloraz ciągu. q =. Oszacowanie ilorazu sumy 9-tu przez sumę 0-tu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli oszacuje iloraz. 9 np. Przekształcając równoważnie nierówność < dostaje kolejno: ( ) <, <, < 0, co jest prawdą. To kończy dowód. Zdający otrzymuje punkt, jeśli wykorzysta wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu S9 geometrycznego i zapisze iloraz w postaci umożliwiającej oszacowanie. S S S 9 0 =

18 Matematyka poziom rozszerzony Zadanie 8. Podanie opisu matematycznego danej sytuacji problemowej. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli zapisze zależność między promieniami okręgów. R + r = ( R r). Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC w zależności od R i r i na tym zakończy rozwiązanie lub w dalszej części popełni błędy. B R R r A r. C AB = R + r. Przetwarzanie informacji do postaci ułatwiającej rozwiązanie problemu. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy stosunek promieni większego i mniejszego okręgu. R = +. r R + r = R r do postaci Zdający otrzymuje punkt, jeśli przekształci zależność ( ) umożliwiającej obliczenie stosunku promieni i na tym zakończy rozwiązanie. R R np. r ( + ) = R( ) lub = +, r r r r lub + = R R. 8

19 Matematyka poziom rozszerzony Zadanie 9. Wiadomości i rozumienie Wyznaczanie środka i promienia okręgu. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli narysuje w układzie współrzędnych opisany w zadaniu okrąg i zaznaczy dany punkt A. y 5 0 A x Wyznaczanie równania rodziny prostych (nierównoległych do osi Oy) przechodzących przez dany punkt. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze równanie szukanej rodziny stycznych. y = ax lub ax y = 0. Analizowanie wzajemnego położenia prostej i okręgu. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze warunek styczności prostej k o równaniu y = ax i danego okręgu. Odległość środka okręgu S od prostej k jest równa promieniowi okręgu. Stosowanie wzoru na odległość punktu od prostej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze równanie z niewiadomą a. a ( ) =. a + Wyciąganie wniosku i zapisanie równania prostej. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze równanie szukanej stycznej. y = x. 9

20 Matematyka poziom rozszerzony Zadanie 0. Analizowanie sytuacji i budowanie jej modelu matematycznego. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A w tym samym modelu. n n n Ω= = n ( n ), A = = n n Ω = n n, A = n n gdzie n liczba kul czarnych, n liczba kul białych, dla lub ( ) n. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze tylko liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i na tym zakończy rozwiązanie. Obliczanie prawdopodobieństwa. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A w postaci wyrażenia wymiernego. n P ( A) =. n ( ) Analizowanie sytuacji i budowanie jej modelu matematycznego. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli rozwiąże nierówność w urnie. W urnie są kule albo jest 8 kul. n 9 > ( n ) i poda liczbę kul Zadanie. Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy cosinusa kąta między krawędzią boczną a krawędzią podstawy ostrosłupa. cosα =. Narysowanie przekroju ostrosłupa płaszczyzną. 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli zaznaczy właściwy przekrój na rysunku. 0 0

21 Matematyka poziom rozszerzony S F α C A E O B D Zastosowanie twierdzenia cosinusów. 0 Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy wysokość opuszczoną na podstawę AB w trójkącie równoramiennym ABF (szukanym przekroju). a 5 h p =. Zdający otrzymuje punkty, jeśli obliczy długość ramienia trójkąta równoramiennego ABF i na tym zakończy rozwiązanie. a 6 AF = BF =. Zdający otrzymuje punkt, jeśli zastosuje twierdzenie cosinusów i zapisze równanie z niewiadomą x, gdzie x = BF i na tym zakończy rozwiązanie lub w dalszej części popełni błędy. x = a + a a a. Obliczanie pola przekroju ostrosłupa 0 Zdający otrzymuje punkt, jeśli obliczy pole przekroju. a 5 P p =. Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w kluczu punktowania przyznajemy maksymalną liczbę punktów.