MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY"

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0

2 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad Odp. A B D B B A A B A D C D B C C D A D C C D C A D B Zadanie. (0 ) Rozwiąż nierówność Schemat oceniania zadań otwartych x x ( x )( x 8). Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego x + x 8. Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej. x x + lub Pierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco: zapisujemy nierówność w postaci x + x 8 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x + x 8 o obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ= + = i stąd x = + = oraz x = = o stosujemy wzory Viète a: x x = 8 oraz x+ x =, stąd x = oraz x = przekształcamy nierówność do postaci ( x )( x+ 8) 0, skąd bezpośrednio odczytujemy pierwiastki: x =, x =, przekształcamy nierówność do postaci równoważnej x +, korzystając z własności wartości bezwzględnej, i odczytujemy te wartości x, dla których x + = : x =, x =. Drugi etap rozwiązania: Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (,, + ) lub (,, ) x +. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności Strona z 0

3 realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np. o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np.: x + x = i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o błędnie zapisze nierówność z wartością bezwzględną, np. x i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności. Zdający otrzymuje... p. gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: (,, + ) lub x (,, + ) lub ( x lub x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x, poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Uwagi. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci: x i x, x oraz x itp.. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x bez stosownego założenia, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, rozważając dwa przypadki x > 0 oraz x < 0, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków, ale nie rozważy przypadku x = 0, to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x =, x = i błędnie zapisze odpowiedź, np. (,, + ), popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje punkty. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Akceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np. (,, + ),, ) ( +,. Strona z 0

4 Zadania 7. (0 ) Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę. Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy, to otrzymamy liczbę 8. Wyznacz ten ułamek. 7 Rozwiązanie (I sposób) Niech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego. Z treści zadania otrzymujemy układ równań x+ y = oraz x 8 y =, y x 7 = + oraz 7( x ) 8( y ) =, y = x+ oraz 7x 0 = 8y 8. Stąd 7x 5 = x+ 8, x = 8, x =, więc y = + =. Zatem y =. Szukany ułamek to. Jest to ułamek nieskracalny. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.: + = i 8 x y x y = 7 Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy szukany ułamek:. Uwaga Jeżeli zdający obliczy licznik x = i mianownik y = szukanego ułamka, ale nie zapisze tego ułamka, to otrzymuje punkty. Rozwiązanie (II sposób) Dodając do licznika i do mianownika ułamka 8 7 liczbę, otrzymujemy ułamek. Jest to ułamek nieskracalny, a gdy do jego licznika dodamy liczbę, to otrzymujemy + = =. Zatem szukany ułamek to. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy doda do licznika i do mianownika ułamka 8 7 liczbę, zapisze, że szukanym ułamkiem jest i nie zapisze, że + = =, a więc, że spełnia on drugi z warunków podanych w treści zadania. Strona z 0

5 Zdający otrzymuje... p. gdy doda do licznika i do mianownika ułamka 8 liczbę, zapisze, że szukanym ułamkiem jest oraz sprawdzi, że + = =. Zadanie 8. (0 ) Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek abc =, to a + b + c = ab+ ac+ bc. Rozwiązanie Zauważmy, że bc + ac + ab a + b + c = + + =. a b c abc Wykorzystujemy warunek abc = i otrzymujemy zależność bc + ac + ab bc + ac + ab = = bc + ac + ab, abc co kończy dowód. Uwaga Tezę możemy też uzasadnić w inny sposób: ) Korzystamy z równości abc = a a + b + c = + + = bc ab + a b c a ) Z równości abc = otrzymujemy: bc =, a 7 c b ab c + = bc + ac + ab. c ac =, ab =. Zatem b c bc ac ab a b c a b c + + = + + = + +. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy wykorzysta definicję potęgi o wykładniku i zapisze lewą stronę podanej równości bc + ac + ab abc abc abc w postaci a + b + c = lub a + b + c = + + abc a b c wykorzysta definicję potęgi o wykładniku, pomnoży obie strony podanej równości przez iloczyn abc i zapisze równość w postaci równoważnej abc + abc + abc = ab abc + ac abc + bc abc, a b c wykorzysta założenie abc =, wyznaczając stąd iloczyny: ab =, ac =, bc = c b a oraz zapisze prawą stronę podanej równości w postaci ab + ac + bc = + + c b a Strona 5 z 0

6 Zdający otrzymuje... p. gdy poda pełne uzasadnienie. Uwaga Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość wzoru jedynie w wybranych przypadkach, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie 9. (0 ) Funkcja kwadratowa jest określona wzorem ( ) funkcji f w przedziale,. f x = x x. Oblicz najmniejszą wartość Rozwiązanie Wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie, którego pierwsza współrzędna jest równa x = =. Ponieważ argument x = = 5 należy do przedziału,, w b a w więc najmniejszą wartością funkcji f w przedziale, jest ( ) 0 f = =. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli x 5 w =, zapisze, że xw, i na tym zakończy lub dalej popełni błędy popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwszej współrzędnej wierzchołka tej paraboli i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy najmniejszą wartość funkcji f w przedziale,. Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze, że najmniejsza wartość funkcji f w przedziale, jest równa Uwagi ( ) 0 f =.. Jeżeli zdający zapisze jedynie trzy wartości funkcji: f ( ) = 0, f ( ) = 0 i ( ) f = 0 oraz sformułuje poprawną odpowiedź, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty. f = 0 oraz sformułuje poprawną odpowiedź, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający zapisze tylko obliczenie jednej wartości ( ) Strona z 0

7 Zadanie 0. (0 ) W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S. 5 Wykaż, że jeżeli AS = AC, to pole trójkąta ABS jest 5 razy większe od pola trójkąta DCS. Rozwiązanie (I sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. D S C Trójkąty ABS i DCS są podobne, gdyż kąty ASB i CSD są równe, jako kąty wierzchołkowe, natomiast naprzemianległe kąty SAB i SCD są równe, bo proste AB i CD są równoległe, podobnie kąty ABS i SDC są równe. Stąd, że AS = 5 AC, wynika równość CS = AC. Skala podobieństwa trójkąta ABS do trójkąta CDS jest równa 5 AS AC k = 5 CS = AC =. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, więc PABS = k, zatem PABS = 5 PCDS. PCDS To należało wykazać. Rozwiązanie (II sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. A α D S ϕ ϕ C β B β A B Kąty ASB i CSD to kąty wierzchołkowe, więc są równe. Ponieważ AS = 5 AC, więc CS = AC. Proste AB i CD są równoległe, więc z twierdzenia Talesa otrzymujemy proporcję AS BS =. CS DS Strona 7 z 0

8 Stąd i ze wzoru na pole trójkąta z sinusem, otrzymujemy 5 P AS BS sinϕ ABS AS BS AS AC = = = 5 P sin CDS CS DS CS DS = = CS, ϕ AC czyli P = 5 P, co należało wykazać. ABS CDS Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze, że trójkąty ABS i CDS są podobne oraz wyznaczy skalę ich podobieństwa: k = 5 wyznaczy pola trójkątów ABS i CDS w zależności od sinusa tego samego kąta i zapisze proporcję wynikającą z twierdzenia Talesa: P = AS BS sinϕ, AS BS P CDS = CS DS sinϕ, = CS DS Zdający otrzymuje... p. gdy wykaże, że PABS = 5 P CDS. Uwaga Jeżeli zdający przyjmie konkretne długości odcinków, np. AC = i AS = 5, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie. (0 ) Ciąg arytmetyczny ( a n ) określony jest wzorem an = 0 n, dla n. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu. Rozwiązanie Pierwszy wyraz ciągu ( a n ) jest równy a = 0, a każdy inny wyraz tego ciągu jest o mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym o różnicy r =. Wyznaczmy liczbę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu ( a n ): a n > 0, 0 n > 0, n < 0, a stąd n < 7. Zatem a, a, a,, a 7 to wszystkie dodatnie wyrazy tego ciągu. Obliczmy ich sumę: a+ a7 S 7 = 7 i a 7 = 0 7 =, S 0 7 = + 7 = 7 8. Uwaga Możemy obliczyć sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu, korzystając ze wzoru: a + 70r S7 = ( ) S = 7 = = = Strona 8 z 0 ABS

9 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu ( ) n a : a = 0 zapisze różnicę ciągu arytmetycznego ( a n ): r =, zapisze warunek pozwalający obliczyć liczbę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu ( a n ): np. 0 n > 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający obliczy pierwszy wyraz i ciągu ( a n ) oraz zapisze jego różnicę: a = 0 i r = zapisze warunek pozwalający obliczyć liczbę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu ( a n ): np. 0 n > 0 i zapisze różnicę ciągu arytmetycznego ( a n ): r =, zapisze warunek pozwalający obliczyć liczbę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu ( a n ): np. 0 n > 0 i obliczy pierwszy wyraz ciągu ( a n ): a = 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający a i obliczy liczbę wszystkich dodatnich wyrazów obliczy pierwszy wyraz ciągu ( ) n ciągu ( ) n a : a = 0, n = 7 obliczy pierwszy wyraz ciągu ( ) n wyraz tego ciągu:, obliczy pierwszy wyraz ciągu ( ) n równego 0: n = 7 a : a = 0 oraz wyznaczy najmniejszy dodatni a : a = 0 oraz wyznaczy numer wyrazu Rozwiązanie pełne... p. a : S 7 = 7 8. Zdający obliczy sumę wszystkich dodatnich wyrazów ciągu ( ) n Uwagi. Jeżeli zdający zauważy, że wyraz a 7 = 0 i obliczy sumę S 7 = 7 8, to może otrzymać maksymalną liczbę punktów, o ile nie popełni błędu w przedstawionym rozwiązaniu.. Jeżeli zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu ( a n ), wyznaczy najmniejszy dodatni wyraz ciągu, ale błędnie ustali jego numer i konsekwentnie obliczy sumę = 77 7, to otrzymuje punkty. Strona 9 z 0

10 Zadanie. (0 ) Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC: A = (, ) i C = (,7) oraz prosta o równaniu y x trójkąta =, zawierająca przeciwprostokątną AB tego x - A y C Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB. Rozwiązanie (I sposób) Współrzędne punktu B możemy obliczyć na kilka sposobów. Sposób a) Współczynnik kierunkowy prostej AC, a więc prostej przechodzącej przez punkty, C =,7, jest równy A = ( ) i ( ) a 7+ AC + = =. Prosta CB jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt C = (,7) równanie postaci ( x ) y = + 7, czyli y = x+ 8., więc ma Współrzędne punktu B obliczymy rozwiązując układ równań y = x i y = x+ 8. Stąd otrzymujemy x = x + 8, Zatem B = ( 7, ). x = x+, 5x = 5 x = 7 oraz y = 7+ 8=. Sposób b) Wektory CA i CB są prostopadłe. Współrzędne wektora CA są równe CA = [, 7] = [ 5, 0]. Strona 0 z 0

11 Punkt B leży na prostej AB, więc jego współrzędne możemy zapisać w postaci B = ( x, x ). Zatem współrzędne wektora CB są równe CB = x, x. Z warunku prostopadłości wektorów CA i CB otrzymujemy CA CB = 0, [ 5, 0 ] x, x = 0, Zatem B = ( 7, ). ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 5 0 = 0, + = 0, 5 5 x = 0, 5x = 5, x = 7. Sposób c) Punkt B leży na prostej AB, więc jego współrzędne możemy zapisać w postaci B = x, x. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC otrzymujemy ( ) AB = AC + BC, ( ) ( ) ( ) ( x+ ) + ( x + ) = ( + ) + ( 7+ ) + x + x 7, ( x ) ( x 9) 5 0 ( x ) ( x ) = + + +, x x 9 x x 5 x x x x = , Zatem ( 7, 7 ) ( 7, ) B = =. Długość odcinka AB jest równa x = 7. ( ) ( ) ( ) AB = = = + = = =. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC: a AC = wyznaczy współrzędne wektora CA = [ 5, 0], wyznaczy współrzędne wektora CB w zależności od jednej zmiennej, np: CB = x, x, zastosuje twierdzenie Pitagorasa i zapisze AB = AC + BC oraz uzależni współrzędne punktu B od tej samej zmiennej: np.: B = ( x, x ) Strona z 0

12 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający wyznaczy równanie prostej BC: y = x+ 8 równanie z jedną niewiadomą wynikające z warunku prostopadłości wektorów pozwalające obliczyć współrzędne punktu B: np. [ 5, 0 ] x, x = 0 (lub układ równań [ 5, 0] [ x, y 7] = 0 i y = x ), równanie z jedną niewiadomą wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC: ( ) ( ) ( ) ( x+ ) + ( x + ) = ( + ) + ( 7+ ) + x + x 7 lub układ równań z dwiema niewiadomymi ( ( x+ ) + ( y+ ) ) = ( ( + ) + ( 7+ ) ) + ( ( x ) + ( y 7) ) y = x Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B: B = ( 7, ) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... p. Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B oraz długość odcinka AB: B = ( 7, ), 5 AB = =. Rozwiązanie (II sposób) Trójkąt ABC jest prostokątny, więc środek S okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem przeciwprostokątnej AB. Jednocześnie leży on na symetralnej boku AC. Wyznaczamy najpierw równanie symetralnej boku AC. Jest to prosta prostopadła do prostej AC i przechodzi przez środek M odcinka AC. Ponieważ A = (, ) i C = (,7), więc punkt M ma współrzędne: M + (, + 7 ) (,) = =, a współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy a 7 AC = + + =, więc prosta AC ma równanie postaci ( x ) y = +, czyli y = x+. Współczynnik kierunkowy symetralnej MS boku AC jest zatem równy a MS =, a symetralna MS ma równanie postaci ( x ) y = + +, x 7 y = +. Strona z 0

13 Współrzędne środka S okręgu opisanego trójkącie ABC obliczymy, rozwiązując układ równań y = x i y = 7 x+. Stąd 7 x = x+, x = x+ 7, 5x = 0 x = oraz y = + 7 =. Zatem (, ) S =. Ponieważ S jest środkiem boku AB, to ( + xb + yb S, ) (, ) Stąd Zatem B = ( 7, ). Długość odcinka AB jest równa = =. +x B = i +y B = + x B = i + y B = x B = 7 i y B =. ( ) ( ) ( ) AB = = = + = = =. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC: a AC = wyznaczy współrzędne środka M odcinka AC: (,) M = i zapisze, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC to punkt przecięcia symetralnej boku AC i prostej AB. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający wyznaczy współrzędne środka S okręgu opisanego trójkącie ABC: (, ) tym zakończy lub dalej popełni błędy. S = i na Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B i nie obliczy długości boku AB: B = ( 7, ) obliczy długość boku AB i nie obliczy współrzędnych wierzchołka B: AB = AS = = Strona z 0

14 Rozwiązanie pełne... p. Zdający obliczy współrzędne wierzchołka B oraz długość odcinka AB: B = ( 7, ), 5 AB = =. Uwaga Jeżeli zdający błędnie zinterpretuje treść zadania, przyjmując, że wierzchołkiem kąta prostego trójkąta ABC jest B, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie. (0 5) Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 0, a krawędź boczna ma długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa. S C A B Rozwiązanie I sposób Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. S H h 7 C A a O B 0 D Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości a, ostrosłup jest prawidłowy, więc spodek O wysokości SO tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego i opisanego na podstawie ostrosłupa. Strona z 0

15 Zatem a a AO = oraz OD =. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 0, stąd otrzymujemy H tg0 OD =, H =, a a H =, a H =. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, otrzymujemy AO + OS = AS, a a + = 7, a a + = 9, 7a = 9, a = 7, a =. Zatem H =. Objętość ostrosłupa jest więc równa ( ) a V = H = = = 7. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa zapisze, że długość odcinka AO: AO = a, gdzie a oznacza długość krawędzi podstawy ostrosłupa, zapisze, że długość odcinka OD: podstawy ostrosłupa OD = a, gdzie a oznacza długość krawędzi Strona 5 z 0

16 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający wyznaczy w zależności od jednej zmiennej, np. a długości krawędzi podstawy zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz długość odcinka AO: AO = a zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz długość odcinka OD: OD = a Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający wyznaczy wysokość ostrosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. a długości a krawędzi podstawy: H = Rozwiązanie prawie pełne... p. Zdający obliczy wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (lub bezpośrednio pole podstawy ostrosłupa): H =, a = i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający obliczy objętość ostrosłupa: V = 7. Uwaga Zdający nie musi zaznaczać kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, o ile z rozwiązania wynika, że poprawnie interpretuje ten kąt. Rozwiązanie II sposób Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. S x x 7 0 A x O x D a B Trójkąt DOS jest prostokątny, w którym jeden kąt ostry ma miarę 0. Wysokość SD ściany bocznej oznaczmy przez x. Zatem H = SO = x oraz OD = x. C Strona z 0

17 Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku długości a, ostrosłup jest prawidłowy, więc spodek O wysokości SO tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego i opisanego na podstawie ostrosłupa. Zatem AO = x oraz a= x. Dla trójkąta AOS zapisujemy twierdzenie Pitagorasa i obliczamy x: AO + OS = AS, ( x) ( x ) + = 7, x + x = 9, 7x = 9, x = 7. Zatem H = 7 = oraz a= x =. Objętość ostrosłupa jest więc równa ( ) a V = H = = = 7. Uwaga Zdający może podać wynik w postaci V 55,5. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa zapisze zależność między długościami odcinków OA i OD, np. OD = x, OA = x, gdzie x pół wysokości ściany bocznej, Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający wyznaczy w zależności od jednej zmiennej, np. x pół wysokości ściany bocznej, wysokość ostrosłupa SO: SO = H = x zaznaczy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz zapisze zależność między długościami odcinków OA i OD, np. OD = x, OA = x Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający wyznaczy długość a krawędzi podstawy ostrosłupa w zależności od x: a= x Rozwiązanie prawie pełne... p. Zdający obliczy wysokość ostrosłupa oraz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (lub bezpośrednio pole podstawy ostrosłupa): H =, a = i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający obliczy objętość ostrosłupa: V = 7. Strona 7 z 0

18 Uwaga Zdający nie musi zaznaczać kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, o ile z rozwiązania wynika, że poprawnie interpretuje ten kąt. Zadanie. (0 ) Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych {,,,, 5,, 7 } losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba 5. Rozwiązanie (I sposób) Niech zdarzeniami elementarnymi będą uporządkowane pary (, ) takie że a b Strona 8 z 0 ab liczb z podanego zbioru,. Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 7 Ω= =. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch liczb, z których większą jest liczba 5. Zdarzeniu A sprzyja osiem zdarzeń elementarnych A=, 5,, 5,, 5,, 5, 5,, 5,, 5,, 5,. {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe P A = =. ( ) 8 Rozwiązanie (II sposób) Niech zdarzeniami elementarnymi będą dwuelementowe podzbiory { ab, } liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 7 Ω= ( ) =. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch liczb, z których większą jest liczba 5. Zdarzenia A sprzyjają cztery zdarzenia elementarne A= {{,5,,5,,5,,5 } { } { } { }}. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: P A =. ( ) Uwaga Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A możemy też zapisać w tabeli Symbol użyty w tabeli oznacza zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A.

19 Wówczas Ω= 7 7= i 8 A =. Zatem ( ) 8 P A = =. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy 7 obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω= 7 = (lub Ω= ( ) = ) obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzenia A : A = 8 (lub A = ). Zdający otrzymuje... p. P A = =. gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( ) 8 Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P( A ) > lub P( A ) < 0, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający popełni błąd przy zliczaniu w tabeli par, spełniających warunki zadania i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający zapisze tylko P( A ) = 8, to otrzymuje punkt. Rozwiązanie (III sposób) Niech A oznacza zdarzenie większa z wylosowanych liczb jest równa 5. Narysujmy drzewo zawierające tylko istotne gałęzie Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe P A = = =. ( ) Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy narysuje pełne drzewo oraz przynajmniej na jednej gałęzi zapisze poprawne prawdopodobieństwo Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A ) =. Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P( A ) > lub P( A ) < 0, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. Strona 9 z 0

20 . Jeśli zdający dodaje prawdopodobieństwa na gałęziach drzewa, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkt (pod warunkiem, że prawdopodobieństwa na gałęziach drzewa są zapisane prawidłowo).. Jeżeli zdający popełni błąd: przy przepisywaniu prawdopodobieństw z gałęzi drzewa lub w zapisaniu prawdopodobieństwa na jednej gałęzi drzewa, lub nie zaznaczy jednej istotnej gałęzi drzewa i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje punkt. Strona 0 z 0

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia

Bardziej szczegółowo

Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki

Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki Poniżej przedstawiamy zasady, dotyczące oceniania arkuszy egzaminacyjnych z matematyki Zasady te są omawiane

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 7 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 7 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 203 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 01 ( NOW MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 4 czerwca 2019

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja 017 r.

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 1 sierpnia 018

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania.. Etapy rozwiązania zadania OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Zapisanie ceny wycieczki po podwyżce, np. x + 5% x, gdzie x oznacza pierwotną cenę wycieczki. Liczba punktów. Zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń PESEL Kod ucznia Próbna matura z WSiP Marzec 07 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Zapisanie dziedziny funkcji f:,.. Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 20 sierpnia

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom podstawowy. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania 22 = 2

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom podstawowy. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania 22 = 2 Vademecum GIELMTURLN.PL OIERZ KO OSTĘPU* Matematyka - Twój indywidualny klucz do wiedzy! *Kod na końcu klucza odpowiedzi KRYTERI OENINI OPOWIEZI Próbna Matura z OPERONEM Operon 00% MTUR 07 V EMEUM Matematyka

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A Zadanie 14 15 16 17 18

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 209 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 7 maja 209 r.

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 2 MARCA 2019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena towaru bez podatku

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 05 Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo