MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
|
|
- Filip Zawadzki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06
2 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie. (0 ) Wymagania ogólne. Wykorzystanie Zadanie. (0 ) Wymagania szczegółowe. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych oraz stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i rzeczywistych (.g). Poprawna odp. ( p.). Wykorzystanie. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (.h). Zadanie 3. (0 ). Modelowanie matematyczne.. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie procentu i punktu procentowego w obliczeniach (.d). Zadanie 4. (0 ). Wykorzystanie. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami skróconego mnożenia: (a ± b) (.a). Zadanie 5. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający oblicza wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej (.e). Strona z 0
3 Zadanie 6. (0 ). Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający interpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (8.d). Zadanie 7. (0 ) V. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu (7.a). Zadanie 8. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający wykorzystuje interpretację współczynników we wzorze funkcji liniowej (4.g). Zadanie 9. (0 ). Wykorzystanie 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub x+ x kwadratowych, np. =, + = x (3.e). x+ 3 x Zadanie 0. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu funkcji zbiór wartości (4.b). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym (4.k). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu (4.). Strona 3 z 0
4 Zadanie 3. (0 ) V. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii (7.c). Zadanie 4. (0 ). Modelowanie matematyczne. 5. iągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.c). Zadanie 5. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji. 5. iągi liczbowe. Zdający bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny (5.b). Zadanie 6. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji. 7. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach (7.b). Zadanie 7. (0 ) V. Użycie i tworzenie strategii. 6. Trygonometria. Zdający, znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego (6.d). Zadanie 8. (0 ). Wykorzystanie 7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich (7.c). Zadanie 9. (0 ) V. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich (7.c). Strona 4 z 0
5 Zadanie 0. (0 ). Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych (8.c). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka (8.f). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 0. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (0.d). Zadanie 3. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji. 9. Stereometria. Zdający wyznacza związki miarowe w bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii (9.b). Zadanie 4. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji. 9. Stereometria. Zdający wyznacza związki miarowe w wielościanach z zastosowaniem trygonometrii (9.b). Zadanie 5. (0 ). Wykorzystanie 0. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych (0.a). Strona 5 z 0
6 Zadanie 6. (0 ). Wykorzystanie 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy przedziałów (3.a). Przykładowe rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap rozwiązania: Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x + 5x 3. Obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ= 5 4 ( 3) = 49 i stąd x = = 3 oraz x = =, 4 4 stosujemy wzory Viète a: 3 5 x x = oraz x+ x =, stąd x = 3 oraz x =, podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub zaznaczając je na wykresie x = 3, x =. rugi etap rozwiązania: Szkicujemy parabolę, której ramiona skierowane są ku górze i zaznaczamy na osi Ox miejsca zerowe trójmianu. Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (, 3 ), lub x (, 3 ),, lub ( x < 3 lub x > ). Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy: poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x + 5x 3: x = 3, x = i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności popełni błędy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... p. gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: (, 3 ) (, ) x, 3, + lub ( x < 3 lub x > ). + lub ( ) ( ) Strona 6 z 0
7 sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, parabola) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x < 3, x >, poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Uwaga: Jeśli pierwiastki trójmianu są wyznaczone przy zastosowaniu błędnej metody, to za całe rozwiązanie zdający otrzymuje 0 punktów. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki kceptujemy zapis przedziałów nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej lub błędów w przepisaniu, np.: (, ) ( 3, + ) lub (, ) ( 3, + ), lub (,3) (, ) +. Zadanie 7. (0 ). Wykorzystanie 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania wielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d). Przykładowe rozwiązania sposób Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania x x 3 x 3 0 x x 3 x 0 x+ 3 x + = 0. wyrazów ( ) ( ) Ponieważ wyrażenie sposób Stwierdzamy, że liczba = lub ( + ) + ( + ) =, stąd ( )( ) wielomian przez dwumian ( 3) postaci ( x )( x ) x + jest dodatnie, więc 3 x =. jest pierwiastkiem wielomianu x 3 + 3x + x+ 6. zielimy ten x +. Mamy więc równanie x + i otrzymujemy iloraz ( ) = 0, a stąd otrzymujemy x = 3. Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynowej, np.: ( x+ 3)( x + ) = 0 gdy podzieli wielomian x 3 3x x 6 x + 3, otrzyma iloraz ( x + ) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy przez dwumian ( ) Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy rozwiązanie równania: x = 3. Strona 7 z 0
8 Zadanie 8. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji 3. Trygonometria. Zdający stosuje proste związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (6.c). Przykładowe rozwiązania sposób Przekształcamy wyrażenie ( ) sinα + cosα, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy sin α + sinαcosα + cos α. 3 Korzystając z tożsamości sin α + cos α =, otrzymujemy + sinαcosα =, a stąd sinαcosα =, a zatem sinαcosα =. 4 sposób Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz a b zaznaczamy kąt ostry α taki, że sinα = lub cosα =. c c a c b α Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej: c = a + b. Ponieważ ( sin cos ) 3 a b 3 a + ab+ b 3 α + α =, więc + =, czyli =. c c c c + ab ab 3 ab Stąd = + =, zatem c c c = 4. a b ab Ponieważ sinα = i cosα =, to c c c = 4. Zatem sinαcosα =. 4 Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy przekształci wyrażenie ( ) sinα + cosα do postaci sin α + sinαcosα + cos α Strona 8 z 0
9 gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym a b a + ab+ b 3 trójkącie kąt α i zapisze sinα =, cosα = oraz = c c c i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy, że sinαcosα =. 4 Uwaga: Jeżeli zdający błędnie wyznaczy funkcje trygonometryczne do kąta wskazanego na rysunku i z tego korzysta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. Zadanie 9. (0 ) V. Rozumowanie i argumentacja. 7. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach (7.b). Przykładowe rozwiązania sposób Niech = α. Ponieważ =, więc = α. W ΔE : E =, więc E = α. Trójkąt E jest prostokątny oraz E =, więc E = α. Podobnie trójkąt FG jest prostokątny i FG =, więc FG = α. Ponieważ trójkąty E i FG mają równe kąty, więc na podstawie cechy podobieństwa kkk są podobne. sposób Niech = E = α i = FG = β. Trójkąt E jest podobny do trójkąta (cecha kkk), bo = E = α oraz = E =. Podobnie trójkąt GF jest podobny do trójkąta, (cecha kkk), bo = FG = β oraz = FG =. Stąd trójkąt E jest podobny do trójkąta FG (z przechodniości relacji podobieństwa). Strona 9 z 0
10 Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy wskaże w dwóch trójkątach spośród trójkątów, E i FG jedną parę równych kątów ostrych i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, przy czym kąt przy wierzchołku musi być wskazany dwukrotnie, jako kąt w obu trójkątach i FG, np. zdający zapisze FG = lub stwierdzi, że jest to wspólny kąt trójkątów i FG (analogicznie z kątem przy wierzchołku w trójkątach i E) zapisze, że trójkąt jest podobny do trójkąta FG i do trójkąta E i stąd wywnioskuje, że trójkąt E jest podobny do trójkąta FG, ale nie wskaże żadnej pary równych kątów ostrych w tych trójkątach i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Uwagi:. Jeżeli zdający przyjmie konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający przyjmie błędne zależności między kątami, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie 30. (0 ) V. Rozumowanie i argumentacja.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami skróconego mnożenia: (a ± b) (.a). Przykładowe rozwiązanie Rozważmy wyraz an = n + n. Wyraz a n + można zapisać, jako a = n+ ( n + ) + ( n + ) = n + 6n + 4. Wtedy an+ an+ = n + n+ n + 6n+ 4= 4n + 8n + 4. Zatem a ( ) n + an+ = n +. Liczba n + jest naturalna. To kończy dowód. Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy poprawnie zapisze sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu, np: an+ an+ = n + n+ ( n+ ) + ( n+ ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Strona 0 z 0
11 Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Uwaga: Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych wartości n, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie 3. (0 ). Modelowanie matematyczne. 5. iągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego (5.c). Przykładowe rozwiązanie Wykorzystujemy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy równanie z niewiadomą n: Sn = n= 06. Obliczamy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego n: n = 4. Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze równanie z niewiadomą n: n = ( n ) r = 89 układ równań z niewiadomymi n i r: 7 + ( n ) r 06 = n i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego: 4. Strona z 0
12 Zadanie 3. (0 4) V. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich (7.c). Przykładowe rozwiązania sposób Niech α oznacza najmniejszy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są α + 50 oraz 3α. Suma kątów trójkąta jest równa 80, więc α + 3α + α + 50 = 80, 5α = 30, α = 6. Stąd α + 50 = 76 oraz 3α = 78. sposób Niech α oznacza największy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są α α oraz. 3 Suma kątów trójkąta jest równa 80, więc α α α = 80, 3 3 α Stąd 6 3 = sposób α oraz =. 5α = 3, α = 78. Niech α oznacza ten kąt trójkąta, który nie jest ani największy, ani najmniejszy. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są α 50 oraz 3( α 50 ). Suma kątów trójkąta jest równa 80, więc Stąd 50 = 6 α oraz ( ) ( ) α 50 + α + 3 α 50 = 80, 3 α 50 = 78. 5α = 380, α = 76. Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający zapisze: kąty trójkąta w zależności od jednego kąta, np.: α α α, α + 50, 3α lub, 50, α, lub α 50, α, 3( α 50 ) Strona z 0
13 układ dwóch równań, np. układ trzech równań, np. α + α β = 80 β = 3 α, α + β + γ = 80 γ = 3α β = α + 50 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: α α α + 3α + α + 50 = 80 lub α = 80, lub α 50 + α + 3( α 50 ) = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający obliczy jeden z kątów trójkąta, np.: α = 6 lub α = 78, lub α = 76 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie pełne... 4 p. Zdający obliczy wszystkie kąty trójkąta. Uwagi:. Jeżeli zdający tylko poda kąty ( 6, 76, 78 ), to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający tylko poda kąty i sprawdzi wszystkie warunki zadania, to otrzymuje punkty. Strona 3 z 0
14 Zadanie 33. (0 5) V. Użycie i tworzenie strategii. 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do równań i nierówności kwadratowych (3.b). Przykładowe rozwiązanie Przyjmujemy oznaczenia: x początkowa liczba osób planujących wyjazd, gdzie x jest liczbą naturalną dodatnią; y początkowy koszt wynajęcia busa przypadający na jednego uczestnika biwaku, y > 6. Zapisujemy zależność między ostateczną liczbą osób uczestniczących w wyjeździe, a ostatecznym jednostkowym kosztem wynajęcia busa, np.: ( x ) ( y ) x y = 960 Zapisujemy układ równań, np.. ( x+ ) ( y 6) = 960 Z pierwszego równania wyznaczamy 960 y =, x + 6 = x =, y podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy ( x + ) 6= 960. x + ( y 6 ) = 960. y Przekształcamy to równanie do równania Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np.: x + x 0= 0. kwadratowego, np.: y 6y 7680 = 0. Obliczamy Δ= =, Obliczamy Δ= = 76, x = =, co jest sprzeczne 6 76 y = = 80, co jest sprzeczne z założeniem x > 0, z założeniem y > 6, + x = = y = = 96. Obliczamy liczbę osób, które wyjechały Obliczamy początkową liczbę osób na biwak x + =. planujących wyjazd x = 960 = 0 oraz 96 obliczamy liczbę osób, które wyjechały na biwak x + =. Odpowiedź: Ostatecznie na biwak wyjechało osób. Strona 4 z 0
15 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zapisanie zależności między ostateczną liczbą osób uczestniczących w wyjeździe, a jednostkowym kosztem wynajęcia busa, np.: ( x+ ) ( y 6) = 960, gdzie x oznacza początkową liczbę osób planujących wyjazd, a y jednostkowy początkowy koszt wynajęcia busa. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zapisze układ równań z niewiadomymi x i y odpowiednio z początkową liczbę osób planujących wyjazd i jednostkowym początkowym kosztem wynajęcia busa: x y = 960 ( x+ ) ( y 6) = 960. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający sprowadzi układ równań do równania z jedną niewiadomą, np.: ( x + ) 6= 960 lub ( y 6 ) =, lub x + x 0 = 0, x y lub y 6y 7680 = 0. Uwaga: Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 p. Zdający rozwiąże równanie z niewiadomą x z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku rozwiąże równanie z niewiadomą x i nie obliczy liczby osób uczestniczących w biwaku, rozwiąże równanie z niewiadomą y i nie obliczy liczby osób uczestniczących w biwaku, obliczy y z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku. Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający obliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku:. Uwagi:. Jeżeli zdający tylko poda rozwiązanie, to może otrzymać maksymalnie punkt.. Jeżeli zdający założy, że koszt jest liczbą całkowitą, rozpatrzy rozkłady liczby 960 na iloczyn dwóch czynników, wśród których są rozkłady: Strona 5 z 0
16 0 96 = = 960 i poda poprawną odpowiedź, to może otrzymać maksymalnie punkty. 3. Jeżeli zdający przyjmie x jako liczbę osób, które ostatecznie pojechały na biwak i poda x + = 4, to może otrzymać maksymalnie 4 punkty. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki +. Jeżeli zdający popełni błąd (np.: x = = lub rachunkowy) w wyznaczaniu pierwiastków równania kwadratowego, przy czym otrzyma przynajmniej jedno rozwiązanie naturalne i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać 5 punktów.. Jeżeli zdający otrzyma poprawne równanie wymierne, a następnie przekształci je z błędem do równania kwadratowego i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać 5 punktów, o ile otrzymane równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie naturalne. Strona 6 z 0
17 Zadanie 34. (0 4). Modelowanie matematyczne. 0. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych; stosuje zasadę mnożenia, wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (0.b,d). Przykładowe rozwiązania sposób Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para ( x, y ) dwóch różnych liczb ze zbioru { 0,,,...,99 }, który zawiera liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω= 89. Wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem zdarzeniu sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: ( 0, 0 ), (,9 ), (,8 ), ( 3,7 ), ( 4,6 ), ( 6,4 ), ( 7,3 ), ( 8, ), ( 9, ), ( 0,0 ). ch liczba jest równa = 0. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe 0 P( ) = = = =. Ω Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 80. sposób Zdarzeniem elementarnym jest zbiór dwuelementowy { x, y } dwóch różnych liczb ze zbioru { 0,,,...,99 }, który zawiera liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest! 89 Ω= = = = Wszystkie zdarzenia elementarne są równo 88!! prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem zdarzeniu sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: równa ( ) { 0,0 }, {,9 }, {,8 }, { 3,7 }, { } 4,6. ch liczba jest równa = 5. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe 5 P( ) = = = =. Ω Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 80. Strona 7 z 0
18 sposób Rysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji sprzyjających zdarzeniu (polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30) Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe P( ) = 0 = = Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 80. Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu : 9,, ( 0, 0 ), (,9 ), (,8 ), ( 3,7 ), ( 4,6 ), ( 6,4 ), ( 7,3 ), ( 8, ), ( ) ( 0,0 ) lub { 0, 0 }, {,9 }, {,8 }, { 3,7 }, { 4,6 }, zapisze, że = 0 lub = 5, Strona 8 z 0
19 narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić wszystkie istotne gałęzie) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest oraz wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu : ( 0,0 ), (,9 ), (,8 ), ( 3,7 ), ( 4,6 ), ( 6,4 ), ( 7,3 ), ( 8, ), ( ) ( 0,0 ) lub { 0,0 }, {,9 }, {,8 }, { 3,7 }, { 4,6 } Strona 9 z 0 9,, zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest oraz zapisze, że =0 lub = 5, obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 89 Ω=, lub Ω= lub ( ) 89 Ω=, lub Ω= 4005, narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω= 89 oraz zapisze, że =0 obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: ( ) Ω= lub 89 Ω=, lub Ω= 4005 oraz zapisze, że = 5, obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi narysowanego drzewa: 89 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... 4 p. Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia : P( ) = =. Ω 80 Uwagi:. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale przy wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu pominie jedno zdarzenie elementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych
20 sprzyjających zdarzeniu i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.. Jeżeli zdający błędnie zapisze, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest 89 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty. 3. Jeżeli w rozwiązaniu występuje sprzeczność modeli probabilistycznych, to zdający może otrzymać, co najwyżej punkty. 4. kceptujemy sytuacje, gdy zdający zamiast wypisywania zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu zapisze następujące sumy 0 + 0, + 9, + 8, 3+ 7, 4 + 6, 6 + 4, 7 + 3, 8 +, 9 +, (lub tylko 0 + 0, + 9, + 8, 3+ 7, ). 5. Jeżeli zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest, ale przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, zapisuje sumę i na tym zakończy to otrzymuje punkt. 6. Jeżeli zdający bez żadnych obliczeń poda tylko wynik, np., to otrzymuje za całe 80 rozwiązanie punkt. Strona 0 z 0
MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 014 ( STR MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoIII. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU
III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 01 ( NOW MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoZdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoProjekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)
Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA
EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej
Bardziej szczegółowoProgram zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 05 Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoSponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoZestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)
CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Bardziej szczegółowoPODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne
PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki 2010
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 04/05 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMTY PUNKTOWNI Copyright by Nowa Era Sp z oo Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6 7 8 0 4 5 6 7 8 0 D
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 05 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P ( uaktualniona; 30 czerwca 05r.) MAJ 05 Uwaga: Akceptowane są
Bardziej szczegółowoPRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań
PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017. MATEMATYKA POZIOM Podstawowy. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM Podstawowy Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp z oo Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne
Bardziej szczegółowoIV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje
Bardziej szczegółowoZakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki
ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli
Bardziej szczegółowoIV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 01/014 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMT PUNKTOWNI MJ 014 Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów Opis wymagań Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas
WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.
Bardziej szczegółowoOdpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych
Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż
Bardziej szczegółowoNowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)
IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie
Bardziej szczegółowoWykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego
Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,
Bardziej szczegółowoPODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA
IV etap edukacyjny: liceum, technikum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia
MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia KLASA I (3 h w tygodniu x 32 tyg. = 96 h; reszta godzin do dyspozycji nauczyciela) 1. Liczby rzeczywiste Zbiory Liczby naturalne Liczby wymierne
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA
EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność
Bardziej szczegółowoPakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych
ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia KLASA I 1. Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne 1) Liczby naturalne, cechy podzielności stosuje cechy podzielności liczby przez 2, 3,
Bardziej szczegółowoMINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1
MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014
I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja
Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres podstawowy
MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:
MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA poziom rozszerzony Cele kształcenia wymagania ogólne wymienione w podstawie programowej
MATEMATYKA poziom rozszerzony Cele kształcenia wymagania ogólne wymienione w podstawie programowej ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoSpis treści. Zadania z rozwiązaniem krok po kroku Arkusz maturalny przykładowy zestaw zadań Odpowiedzi do zadań Indeks...
Spis treści 3 Spis treści I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne... 5. Pierwiastki, liczby niewymierne... 11 3. Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym... 15 4. Wyrażenia
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.
Bardziej szczegółowoI. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.
MATEMATYKA kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego«Adam Kolany rozkład materiału Projekt finansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu
Bardziej szczegółowo