EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA"

Transkrypt

1 Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0

2 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną (IVeR) I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: A,, B,, C, Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności A x, B x, C x, x x x x 9 x x x x x x x x x 7 x x W tym przypadku W tym przypadku W tym przypadku rozwiązaniem nierówności rozwiązaniem nierówności jest rozwiązaniem nierówności jest x jest x 7 x Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: x 7 lub x Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest, 7, II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków) Zapisujemy cztery przypadki: x 0 x 0 x 0 I II III x 0 x 0 x 0 W każdym z nich rozwiązujemy nierówność bądź układ nierówności x 0 x 0 x xx x x x x x x x x 0 x 0 x xx x x x niemożliwe IV x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x x x x x x x x 7 x x 7

3 Egzamin maturalny z matematyki Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: x 7 lub Schemat oceniania x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt wyróżni na osi liczbowej przedziały,,,,, zapisze cztery przypadki: x 0 x 0 x 0 x 0 I II III IV x 0 x 0 x 0 x 0 Uwaga Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy 0 punktów Podobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np: A dla x, mamy x x x, B dla x, mamy x x x, C dla x, mamy x x x zdający zapisze nierówności w poszczególnych przypadkach, np: I gdy x 0 i x 0, to wtedy x x x, II gdy x 0 i x 0, to wtedy x x x (lub stwierdzi, że ten przypadek jest niemożliwy), III gdy x 0 i x 0, to wtedy x x x, IV gdy x 0 i x 0, to wtedy x x x Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko dla dwóch przedziałów (spośród A, B, C), popełni błąd w trzecim i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach (spośród I, III, IV), popełni błąd w trzecim przypadku oraz stwierdzi, że przypadek II jest niemożliwy, i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca Rozwiązanie pełne pkt zapisze odpowiedź: x, 7,

4 Egzamin maturalny z matematyki Uwaga: We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie domknięte) Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre (przedziały otwarte), to przyznajemy za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie III sposób rozwiązania (graficzne) Rysujemy wykresy funkcji f x x x i g x x Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały:,,,,, Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np x 9 dla x, f xx dla x, x 9 dla x, Rysujemy wykresy funkcji f i g: y = f(x) y y = g(x) Odczytujemy odcięte punktów przecięcia wykresów funkcji f i g: x 7, x, sprawdzamy, czy spełniają one równanie x x x wszystkie argumenty, dla których f x g x x x,, a następnie podajemy te : x, 7, Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt wyróżni na osi liczbowej przedziały:,,,,,

5 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np: x, mamy f x x 9, A dla B dla x, mamy f x x, lub C dla, x mamy f x x 9 x9 dla x, f xx dlax, x 9 dla x,, Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y x Rozwiązanie pełne pkt zapisze odpowiedź: x, 7, Zadanie (0 ) Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r Wykaż, że r AB CD Obszar standardów Rozumowanie i argumentacja Opis wymagań Przeprowadzenie dowodu geometrycznego (V7c) I sposób rozwiązania Sporządzamy rysunek i wprowadzamy oznaczenia: okręgu wpisanego w trapez, h wysokość trapezu D b AB a, b C CD, AD c, r promień c h r O c r A E a Ponieważ trapez jest równoramienny i opisany na okręgu, więc a b AE, h r oraz a b c, czyli B a b c

6 6 Egzamin maturalny z matematyki Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AED otrzymujemy Podstawiając To kończy dowód a b c r a b c otrzymujemy r, skąd a b a b a b r c r, a ab b a ab, ab r, r ab b Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt a b wyznaczy długość odcinka AE : AE a b wyznaczy długość ramienia trapezu: c Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt a b a b wyznaczy długość odcinka AE i długość ramienia trapezu: AE, c Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt wykorzysta twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AED i zapisanie: a b r c Rozwiązanie pełne pkt wykaże tezę twierdzenia: r ab

7 Egzamin maturalny z matematyki 7 II sposób rozwiązania Sporządzamy rysunek i wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku c D β F r O b β β C c α α r Ponieważ w trapez jest wpisany okrąg, więc środek tego okręgu znajduje się na przecięciu dwusiecznych kątów trapezu Z własności kątów naprzemianległych i przyległych wynika, że 80, czyli 90 Stąd 90 Wnioskujemy stąd, że trójkąty prostokątne AEO i CFO są podobne Zatem OE FC r b r r, czyli (lub tg, tg i tg ) AE FO a r a b tg Stąd r ab, czyli r ab Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze zależność 90 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt OE FC uzasadni, że trójkąty AEO i CFO są podobne i zapisze, że AE FO r r wyznaczy tg oraz tg a b Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze proporcję r a wykorzysta równości A b r a E tg i zapisze tg r b tg Rozwiązanie pełne pkt wykaże tezę twierdzenia: r ab B

8 8 Egzamin maturalny z matematyki III sposób rozwiązania Sporządzamy rysunek i wprowadzamy oznaczenia D r O L b C β β r b M a A r K Z twierdzenia o odcinkach stycznych i własności trapezu równoramiennego wynika, że BM KB a oraz CM LC b Ponieważ w trapez jest wpisany okrąg, więc środek okręgu znajduje się na przecięciu dwusiecznych kątów wewnętrznych trapezu Z własności kątów trapezu: 80, czyli 90 Stąd wynika, że trójkąt BCO jest prostokątny Wysokość OM tego trójkąta jest średnią geometryczną długości odcinków BM i CM, czyli r a b, czyli r a b, co kończy dowód Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze, że trójkąt BCO jest prostokątny zapisanie, że BM KB a oraz CM LC b Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze, że trójkąt BCO jest prostokątny oraz że BM a oraz CM b Uwaga Jeżeli zdający zapisze np OM BM CM i narysuje odcinek OM (lub zapisze, że jest to koniec promienia okręgu poprowadzonego do punktu styczności okręgu i ramienia trapezu), ale nie zapisze, że BM a lub CM b (nie wykorzystuje twierdzenia o równości odcinków stycznych), to otrzymuje punkty Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a α α B

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 wykorzysta twierdzenie o wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną, i zapisze, np że OM BM CM r b wykorzysta podobieństwo trójkątów OMB i OMC i zapisze a Rozwiązanie pełne pkt wykaże tezę twierdzenia: r ab r Zadanie (0 ) Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (IV0R) I sposób rozwiązania Wybieramy z pięciu miejsc trzy miejsca, na których wstawiamy cyfrę 0, następnie wybieramy jedno z trzech miejsc dla cyfry, a na pozostałych dwóch miejscach rozmieszczamy cyfry różne od 0 i różne od Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt wybierze trzy miejsca z pięciu dla cyfry 0, wybierze jedno z trzech miejsc dla cyfry i rozmieści na pozostałych dwóch miejscach cyfry różne od 0 i od Rozwiązanie pełne pkt obliczy, ile jest liczb sześciocyfrowych, w zapisie których cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy i tylko raz występuje cyfra : 90 Uwaga Jeżeli zdający uzyska wynik końcowy, ale traktuje to jak jeden z kilku przypadków, to otrzymuje za rozwiązanie co najwyżej punkty

10 0 Egzamin maturalny z matematyki II sposób rozwiązania Rozróżniamy dwa przypadki: cyfra znajduje się na pierwszym miejscu (jest cyfrą setek tysięcy) cyfra nie znajduje się na pierwszym miejscu W pierwszym przypadku wybieramy trzy miejsca (spośród pięciu), na których umieszczamy cyfrę 0, a na pozostałych dwóch miejscach rozmieszczamy cyfry różne od 0 i różne od Takich liczb sześciocyfrowych jest 8 60 W drugim przypadku na pierwszym miejscu umieszczamy cyfrę różną od 0 i różną od (mamy 8 takich możliwości), następnie wybieramy miejsce w którym wstawimy cyfrę (mamy możliwości), a następnie z pozostałych czterech miejsc wybieramy trzy, w których wstawiamy cyfrę 0 (możemy to zrobić na sposoby), na pozostałym miejscu umieszczamy cyfrę różną od 0 i różną od ( możemy to zrobić na 8 sposobów) Zatem w tym przypadku mamy takich liczb Mamy więc liczb sześciocyfrowych spełniających warunki zadania Uwaga W drugim przypadku możemy także przeprowadzić inne rozumowanie: spośród miejsc od drugiego do szóstego wybieramy cztery, na których umieszczamy cyfrę i trzy cyfry 0 (mamy takich możliwości), następnie na pozostałych dwóch miejscach rozmieszczamy cyfry różne od 0 i różne od (mamy 8 takich możliwości) Tak więc w tym przypadku mamy 8 80 takich liczb Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze, że jest 8 liczb sześciocyfrowych, w zapisie których pierwszą cyfrą jest i cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy zapisze, że jest 88 liczb sześciocyfrowych, w zapisie których pierwszą cyfrą nie jest i cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze, że jest 8 liczb sześciocyfrowych, w zapisie których pierwszą cyfrą jest, cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy oraz że jest 88 liczb sześciocyfrowych, w zapisie których pierwszą cyfrą nie jest i cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy

11 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie pełne pkt zapisze, że jest 90 liczb sześciocyfrowych, w zapisie których cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy i cyfra występuje tylko raz Uwaga Jeżeli zdający uzyska wynik końcowy, ale traktuje to jak jeden z kilku przypadków, to otrzymuje za rozwiązanie co najwyżej punkty III sposób rozwiązania Wybieramy cztery miejsca, na których wstawiamy cyfrę i trzy cyfry 0, na pozostałych miejscach rozmieszczamy cyfry różne od 0 i różne od 6 Jest 8 80 takich ciągów sześciowyrazowych Wśród nich znajdują się te, w których cyfra 0 znajduje się na pierwszym miejscu Jest ich 8 90 Stąd wynika, że liczb sześciocyfrowych spełniających warunki zadania jest Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze liczbę ciągów sześciowyrazowych, w zapisie których tylko jeden raz występuje cyfra, a cyfra 0 pojawia się dokładnie trzy razy: 6 8 zapisze liczbę ciągów sześciowyrazowych, w zapisie których pierwszą cyfrą jest 0: 8 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze, że jest 6 8 ciągów sześciowyrazowych, w zapisie których tylko jeden raz występuje cyfra, a cyfra 0 pojawia się dokładnie trzy razy, w tym ciągów, w zapisie których pierwszą cyfrą jest 0 8 takich Rozwiązanie pełne pkt obliczy, ile jest liczb sześciocyfrowych, w zapisie których cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy i tylko raz występuje cyfra : 90 Uwaga Jeżeli zdający uzyska wynik końcowy, ale traktuje to jak jeden z kilku przypadków, to otrzymuje za rozwiązanie co najwyżej punkty

12 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż równanie cos x cos x 0 dla x 0, Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IV6eR) Rozwiązanie (I sposób) Ponieważ cos x cos x, więc równanie cos x cos x 0 jest równoważne równaniu cos x cosx 0, x x To równanie jest równoważne alternatywie równań czyli równaniu cos cos 0 cos x 0 lub cos x W przedziale 0, równanie cos x 0 ma dwa rozwiązania: x lub x Równanie cos x ma w przedziale 0, dwa rozwiązania: x lub x Zapisujemy odpowiedź: równanie cos x cos x 0 w przedziale 0, ma cztery rozwiązania: x, x, x, x Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze równanie w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej tego samego argumentu, np cos x cosx 0 i na tym zakończy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze alternatywę cos x 0 lub cos x wprowadzi pomocniczą niewiadomą, np t cos x i zapisze, że t 0 lub zakończy lub dalej popełni błędy t i na tym Rozwiązanie prawie pełne pkt rozwiąże równanie cos x 0 w przedziale 0, : rozwiąże równanie cos x w przedziale 0, : x lub x lub x x

13 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie pełne pkt zapisze rozwiązania obu równań w przedziale 0, : cos x 0 dla x lub x ( x 90 lub x 70 ), cos x dla x lub x ( x 0 lub x 0 ) Uwagi Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np t,, o ile z rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia ten warunek Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego: cos x 0 dla x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, cos x dla x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający dzieli stronami równanie cos x cosx 0 przez cos x bez rozpatrzenia dwóch przypadków i poprawnie rozwiąże równanie cosx 0, to otrzymuje za całe rozwiązanie punkty Rozwiązanie (II sposób) Równanie możemy zapisać w postaci równoważnej cos x cos x Rozpatrujemy dwie funkcje f x cos x g x (wystarczy ograniczyć się do przedziału 0, ) y oraz cos x y = f (x) π/6 π/ π/ π/ π/6 π 7π/6 π/ π/ π/ π/6 π i rysujemy ich wykres x - - y = g (x) Odczytujemy rozwiązania równania: x, x, x, x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze równanie w postaci równoważnej, np cos x cos x, wprowadzi dwie funkcje f x cos x oraz g x cos x i narysuje wykres jednej z tych funkcji Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze równanie w postaci równoważnej, np cos x cos x, wprowadzi f x x oraz g x cos x i narysuje wykresy obu funkcji dwie funkcje cos

14 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie pełne pkt zapisze rozwiązania obu równań w przedziale 0, : cos x 0 dla x lub x ( x 90 lub x 70 ), cos x dla x lub x ( x 0 lub x 0 ) Uwaga Jeżeli zdający poda poprawnie trzy spośród rozwiązań (błędnie odczyta czwarte rozwiązanie, to otrzymuje punkty, jeśli natomiast odczyta co najwyżej dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty Zadanie (0 ) Ciąg liczbowy a, b, c jest arytmetyczny i a bc, natomiast ciąg a, b, c 9 jest geometryczny Oblicz a, b, c Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego oraz własności ciągu arytmetycznego (III) I sposób rozwiązania Zapisujemy układ równań: a b c a c b b ac9 Podstawiamy do pierwszego równania, w miejsce a c wyrażenie b i otrzymujemy równanie b, skąd b Układ równań przyjmuje zatem postać: b a c 6 ac9 Równania drugie i trzecie tworzą układ z dwiema niewiadomymi, który rozwiążemy, podstawiając wyrażenie a w miejsce niewiadomej c w równaniu trzecim Otrzymujemy zatem równanie kwadratowe z niewiadomą a : a a97 0 Zatem a lub a 9 Jeżeli a, to c i oczywiście b Otrzymujemy zatem ciąg arytmetyczny,,, a po odpowiednich przekształceniach ciąg geometryczny, 6, 8 Jeżeli zaś a 9, to c i b Otrzymujemy teraz ciąg arytmetyczny 9,,, a po wykonaniu odpowiednich przekształceń ciąg geometryczny 8, 6, Szukanymi liczbami są zatem: a, b, c lub a 9, b, c

15 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania pkt wykorzysta własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i zapisze odpowiednie równanie, np ba c b ac 9 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt wykorzysta własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisze układ równań umożliwiający obliczenie liczb a, b, c, np a b c a c b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy b ac9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt przekształci układ równań do równania kwadratowego z niewiadomą a lub c, np a a97 0 lub c c 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt poprawne rozwiąże równanie kwadratowe, odrzuci jedno z rozwiązań i poprawnie wyznaczy drugą trójkę liczb przekształci układ równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne pkt wyznaczy szukane liczby: a, b, c lub a 9, b, c Uwagi Jeżeli zdający stosuje własności ciągu arytmetycznego przy rozważaniu ciągu geometrycznego (lub odwrotnie), to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający zapisze odpowiedź w postaci, z której nie można jednoznacznie stwierdzić, że są dwie trójki szukanych liczb, np zapisze: a lub a 9, b, c lub c, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a przez r różnicę tego ciągu Wówczas bar, c a r Z własności ciągu arytmetycznego i z treści zadania otrzymujemy równanie a( ar) ( a r) i stąd a r Zatem ciąg arytmetyczny możemy zapisać następująco: r,, r Ciąg a, b, c 9, a więc ciąg 0 r, 6, 0 r jest geometryczny, więc możemy zapisać równanie, np

16 6 Egzamin maturalny z matematyki r r Po przekształceniach i uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe r 0r 0 Rozwiązaniami tego równania są: r lub r Następnie obliczamy a, b, c a 9 a Szukane liczby to: b lub b c c Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt wprowadzi oznaczenia: a - pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a r różnica tego ciągu oraz wykorzysta definicję ciągu arytmetycznego do zapisania odpowiedniego równania, np a( ar) ( a r) lub a r i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt wykorzysta własności ciągu geometrycznego i zapisze układ równań, np ar ar aar9 zapisze wyrazy ciągu geometrycznego w zależności od r, np 0 r, 6, 0 r i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt przekształci układ równań do równania z niewiadomą r, np r r r r r 9 lub r i na tym zakończy lub dalej popełni błędy 0r 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, odrzuci jedno z rozwiązań, np r 0 i poprawnie wyznaczy drugą trójkę liczb przekształci układ równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne pkt

17 Egzamin maturalny z matematyki 7 wyznaczy dwie trójki liczb: a 9 b lub c a b c Uwagi Jeżeli zdający stosuje własności ciągu arytmetycznego przy rozważaniu ciągu geometrycznego (lub odwrotnie), to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający zapisze odpowiedź w postaci, z której nie można jednoznacznie stwierdzić, że są dwie trójki szukanych liczb, np zapisze: a lub a 9, b, c lub c, to otrzymuje punkty Zadanie 6 (0 6) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x mxm m 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x, x spełniające warunek xx 6m x x Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków (IVbR) Rozwiązanie Zapisujemy układ warunków: Rozwiązujemy nierówność 0 Nierówność 0 x x 6m x x, czyli m m m 0, m mm 0, m 0, m, m, x x 6m x x zapisujemy w postaci równoważnej xx 6m xx xx Wykorzystując wzory Viete a, otrzymujemy układ nierówności z niewiadomą m: czyli m m 6m i m m m m 6m, 7m 0 i 6mm m m m, mm 7 0 i m 6m 0, m 0,7 i m, 7 7,, m 0, 7 7, 7

18 8 Egzamin maturalny z matematyki Stąd i z poprzednio warunku otrzymujemy Schemat oceniania m 0, 7 Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności 0 :, m Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Uwaga Jeżeli zdający zapisze 0, to za tę część otrzymuje 0 punktów Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności zdający otrzymuje punkty Podział punktów za drugi etap rozwiązania: x x 6m x x Za tę część rozwiązania Za rozwiązanie nierówności xx 6m: m 0,7 zdający otrzymuje punkt Za rozwiązanie nierówności 6m x x zdający otrzymuje punkty Przy czym w tej części: punkt zdający otrzymuje za zapisanie wyrażenia x x w postaci x x xx, punkty zdający otrzymuje za zapisanie nierówności 6m x x w postaci nierówności z jedną niewiadomą, np: 6 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności m, 7 7, m m m m m, 6m x x : Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu pierwszego i drugiego Rozwiązanie pełne (trzeci etap) 6 pkt wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań nierówności i poda odpowiedź: m 0, 7 Uwaga W przypadku rozwiązania z usterkami, za ostatni etap przyznajemy punkt jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże co najmniej jedną nierówność z etapu II Zadanie 7 (0 ) Prosta o równaniu x y 6 0 S, w punktach A i B Długość odcinka AB jest równa 0 Wyznacz równanie tego okręgu przecina okrąg o środku Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Wyznaczenie równania okręgu (IV8egcR)

19 Egzamin maturalny z matematyki 9 I sposób rozwiązania Odległość środka S okręgu od prostej o równaniu x y6 0 jest równa 6 7 Jest to też długość odcinka SC, gdzie C jest środkiem cięciwy AB Ponieważ AB 0, więc AC 0 0 Trójkąt ACS jest prostokątny, a jego przeciwprostokątną jest promień r okręgu Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy AS AC SC, czyli r Równanie okręgu ma więc postać x y 6 Uwaga może obliczyć odległość punktu S od prostej o równaniu x y6 0 w inny sposób, np wybrać na prostej dwa punkty (np C,0 i D 0, 9 ), obliczyć pole trójkąta CDS ( PCDS ), a stąd obliczyć szukaną odległość, czyli wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka S: h Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt wykona rysunek, na którym zaznaczy środek cięciwy AB zapisze, że środek cięciwy AB, środek okręgu i koniec cięciwy to wierzchołki trójkąta prostokątnego, wykorzysta współrzędne środka okręgu i zapisze równanie okręgu w postaci: x y r, obliczy połowę długości cięciwy AB: 0 AB, obliczy odległość punktu S od prostej AB i nie interpretuje jej błędnie (np jako promień szukanego okręgu) i na tym zakończy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt obliczy odległość środka okręgu od prostej o równaniu x y6 0, np wykorzystując wzór na odległość punktu od prostej, obliczając wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka S na bok zawarty w tej prostej 6 lub P CDS CD, gdzie C i D leżą na prostej o równaniu x y6 0 oraz

20 0 Egzamin maturalny z matematyki wykona rysunek, na którym zaznaczy środek cięciwy AB lub zapisze, że środek cięciwy AB, środek okręgu i koniec cięciwy to wierzchołki trójkąta prostokątnego lub wykorzysta współrzędne środka okręgu i zapisze równanie okręgu w postaci: lub x y r obliczy połowę długości cięciwy AB: 0 AB Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACS, gdzie C oznacza środek cięciwy AB: r 0 Rozwiązanie pełne pkt x y 6 zapisze równanie okręgu: II sposób rozwiązania Prosta prostopadła do prostej o równaniu x y6 0 przechodząca przez środek szukanego okręgu jest symetralną cięciwy AB Jej równanie ma postać x y 0, x y8 0 Środek D cięciwy AB jest punktem przecięcia tej prostej z prostą AB Jego współrzędne obliczymy rozwiązując układ równań xy60 y x9 y x9 x,,,, xy80 x x980 x 7 0 y 0 więc D,0 Punkty A i B leżą na okręgu o środku D i promieniu 0 i na prostej AB Współrzędne punktów A i B obliczymy, rozwiązując układ równań x y 0 xy60 x y 0 y x 9 x x9 0 y x 9 9 x 6 x 00 y x 9 6 x 00 y x 9

21 Egzamin maturalny z matematyki Zatem, A, x 0 y x 9 x 6 y x 9 x x8 y x 9 x x8 y y B 8, Promień szukanego okręgu jest równy r AS Stąd wynika, że szukany okrąg ma równanie x y 6 6 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt wykona rysunek, na którym zaznaczy środek cięciwy AB zapisze, że środek cięciwy AB, środek okręgu i koniec cięciwy to wierzchołki trójkąta prostokątnego, wykorzysta współrzędne środka okręgu i zapisze równanie okręgu w postaci: x y r, obliczy połowę długości cięciwy AB: 0 AB, x y 0 wyznaczy równanie symetralnej cięciwy AB: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt D,0 obliczy współrzędne środka cięciwy AB: Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt, B 8, obliczy współrzędne jednego z punktów A lub B: A, Rozwiązanie pełne pkt zapisze równanie okręgu: x y 6

22 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8 (0 ) Reszta z dzielenia wielomianu Wxx x x m przez dwumian x jest równa 0 Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian Opis wymagań Zastosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x a i twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu (IIbcR) x jest równa W m 0 Stąd m 6 Wielomian W ma zatem postać W x x x x Zauważmy, że 6 Zatem W Zatem wielomian W jest podzielny przez dwumian x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy x x x6 xx 7x Obliczamy pierwiastki trójmianu x 7x : 7 8, 9, x, x 8 8 W rezultacie wielomian W ma trzy pierwiastki: x, x, x Uwaga Możemy też zauważyć, że pierwiastkiem wielomianu W jest liczba, gdyż W Zatem wielomian W jest podzielny przez dwumian x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy: x x x6 xx x Obliczamy pierwiastki trójmianu x x : 69 8,, x, x 8 8 W rezultacie wielomian W ma trzy pierwiastki: x, x, x Możemy zauważyć, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu W, gdyż W Zatem wielomian W jest podzielny przez dwumian x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy: x x x6 x x x Obliczamy pierwiastki trójmianu x x : 66 6, 0, 0 0 x, x 8 8

23 Egzamin maturalny z matematyki W rezultacie wielomian W ma trzy pierwiastki: x, x, x Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze równanie z niewiadomą m, np m 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt obliczy wartość współczynnika m: m 6 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt poda jeden z pierwiastków wielomianu, np:, podzieli wielomian przez dwumian x i otrzyma iloraz x 7x lub poda pierwiastek, podzieli wielomian przez dwumian x i otrzyma iloraz x x, W x x x x a zapisze wielomian W w postaci iloczynowej, np: Rozwiązanie pełne pkt wyznaczy wszystkie pierwiastki wielomianu W:,, Zadanie 9 (0 ) Dany jest trójkąt ABC, w którym AC 7 i BC 0 AD : DB : oraz DC 0 Oblicz pole trójkąta ABC Na boku AB leży punkt D taki, że Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Wykorzystanie związków miarowych w figurach płaskich (IV7) I sposób rozwiązania Poprowadźmy wysokość CE trójkąta ABC C 7 0 h 0 A x D x E x B Niech AD x, wtedy DB x Trójkąt DBC jest równoramienny, gdyż BC DC, więc DE EB x Stosując twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów BEC i AEC, otrzymujemy x h 0 oraz x h 7,

24 Egzamin maturalny z matematyki czyli x h 0 oraz x h 7 Stąd otrzymujemy h 0 x oraz x 0 x 7 Rozwiązujemy drugie z równań x 89, x 9, x Zatem h Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB h 7xh 8 8 Uwaga Po obliczeniu x mamy już długości wszystkich boków trójkąta, więc jego pole możemy również obliczyć ze wzoru Herona Wtedy mamy 0 7 p, pa 0, p b 7 7, p c ABC 7 8 P p pa pb pc

25 Egzamin maturalny z matematyki II sposób rozwiązania Poprowadźmy wysokość CE trójkąta ABC i oznaczmy niech ABC C 7 0 h 0 A x D x E x B Niech AD x, wtedy DB x Trójkąt DBC jest równoramienny, gdyż BC DC DE EB x Z trójkąta prostokątnego EBC obliczamy x x cos 0 Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC otrzymujemy Zatem 7 7x 0 7x0 cos x 89 9x 00 7x 0,, więc czyli 89 9x 8x, 89 x, x 9, x Zatem h Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB h 7xh 8 8 Uwaga Po obliczeniu x mamy już długości wszystkich boków trójkąta, więc jego pole możemy również obliczyć ze wzoru Herona Wtedy mamy 0 7 p, pa 0, p b 7 7, pc ABC 7 8 P p pa pb pc

26 6 III sposób rozwiązania Oznaczmy ABC Egzamin maturalny z matematyki C A x D x B Niech AD x, wtedy DB x Z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABC i DBC otrzymujemy 7 7x 0 7x0 cos oraz 0 x 0 x0 cos, czyli 89 9x 00 0x cos oraz 00 6x 00 80x cos Z drugiego równania obliczamy 6x x cos 80x Stąd i z pierwszego równania dostajemy x 89 9x 0x, 89 x, x 9, x Zatem h Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB h 7xh 8 8 Uwaga Po obliczeniu x mamy już długości wszystkich boków trójkąta, więc jego pole możemy również obliczyć ze wzoru Herona Wtedy mamy 0 7 p, pa 0, p b 7 7, p c ABC 7 8 P p pa pb pc Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze stosunek długości odcinków AD i DB, np: AD x, DB x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt

27 Egzamin maturalny z matematyki 7 zapisze układ równań pozwalający obliczyć wprowadzoną niewiadomą, np: x h 0 oraz x h 7 cos x oraz, 7 7x 0 7x0 cos, 7 7x 0 7x0 cos oraz 0 x 0 x0 cos Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt obliczy x h: x, h 8 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt obliczy x oraz wysokość trójkąta z błędem rachunkowym i konsekwentnie do tego błędu obliczy pole trójkąta ABC Rozwiązanie pełne pkt obliczy pole trójkąta ABC: PABC 8 Zadanie 0 (0 ) W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d Wyznacz objętość tego ostrosłupa Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Wyznaczanie związków miarowych w ostrosłupie (IV9ab) I sposób rozwiązania S E h d a C A a D a B

28 8 Egzamin maturalny z matematyki Zaznaczamy na rysunku odcinek AE, długość tego odcinka jest odległością wierzchołka A od ściany BCS i jednocześnie wysokością trójkąta prostokątnego DAS, gdzie D jest środkiem krawędzi BC danego ostrosłupa Zatem AE d Ponadto w trójkącie DAS wprowadzamy oznaczenia: miara kąta ADS i h AS wysokość ostrosłupa ABCS AS AE Z trójkątów prostokątnych DAS i AED, otrzymujemy sin SD AD a h d Ponieważ AD, to sin a h a h d Przekształcamy równość i wyznaczamy wysokość ostrosłupa h a h a Otrzymujemy kolejno: h d h a a h d h a a ad h a d czyli ad h a d Wyznaczamy objętość ostrosłupa ABCS: V a h a ad a d a d a d Uwaga h d Równość a h a trójkątów DAS i AED możemy również otrzymać, korzystając z podobieństwa Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt zaznaczy na rysunku odcinek o długości d prostopadły do płaszczyzny BCS Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze równość, z której można wyznaczyć h w zależności od a i d, np: h d a h a

29 Egzamin maturalny z matematyki 9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt ad wyznaczy wysokość h ostrosłupa: h a d Rozwiązanie pełne pkt ad wyznaczy objętość V ostrosłupa: V a d II sposób rozwiązania S E h d a C A a D a B Zaznaczamy na rysunku odcinek AE, długość tego odcinka jest odległością wierzchołka A od ściany BCS i jednocześnie wysokością ostrosłupa ABCS o podstawie BSC Zatem objętość V ostrosłupa ABCS jest równa: V P d BSC Obliczmy P BSC pole trójkąta BSC: PBSC a SD Wprowadzamy oznaczenie: miara kąta ADS i z trójkątów prostokątnych DAS i otrzymujemy: a cos AD SD SD i sin AE d AD a Z jedynki trygonometrycznej obliczamy SD : a d SD a a d SD a AA' D,

30 0 Egzamin maturalny z matematyki a a d SD a a SD a d Wyznaczamy objętość ostrosłupa ABCS: a a d V a d a d a d Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt zaznaczy na rysunku odcinek o długości d prostopadły do płaszczyzny BCS Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze równość, z której można wyznaczyć długość odcinka SD, np: a d SD a Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a wyznaczy długość odcinka SD: SD a d Rozwiązanie pełne pkt ad wyznaczy objętość ostrosłupa: V a d

31 Egzamin maturalny z matematyki III sposób rozwiązania S E h d a m C A a F D a B Płaszczyzny ABC i ABS są prostopadłe, trójkąt ABC jest równoboczny, więc jego wysokość a CF jest jednocześnie wysokością ostrosłupa opuszczoną na płaszczyznę podstawy ABS Zatem a () V PABS CF ah Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADS otrzymujemy DS AD AS, Stąd m a h a m h a h a h Odcinek AE jest wysokością ostrosłupa opuszczoną na podstawę BCS, więc V PBCS DS am d, () V a a h d Porównując prawe strony () i () otrzymujemy a ah a a h d Stąd ah d a h, ah d a h, ah ad dh, ah dh ad, h a d a d,

32 Egzamin maturalny z matematyki ad h, a d ad h a d Objętość ostrosłupa jest zatem równa a ad a d V PABC h a d a d Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt zaznaczy na rysunku odcinek o długości d prostopadły do płaszczyzny BCS Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze równość (wynikającą z wyrażenia objętości ostrosłupa na dwa sposoby), z której można wyznaczyć h w zależności od a i d, np: a am h d, gdzie a m h Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt ad wyznaczy wysokość h ostrosłupa: h a d Rozwiązanie pełne pkt ad wyznaczy objętość ostrosłupa: V a d Zadanie (0 ) Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60 Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Stosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (III0bd) Rozwiązanie Zdarzeniem elementarnym w tym doświadczeniu jest każdy ciąg czteroelementowy, którego wyrazami są liczby ze zbioru,,,,, 6 Jest to model klasyczny Wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest 6

33 Egzamin maturalny z matematyki Zauważmy, że 606 Oznacza to, że należy rozpatrzyć trzy przypadki:,,, 6 Jest ich! Ciągi, których wyrazami są liczby ze zbioru Ciągi, których wyrazami są liczby ze zbioru,,, Jest ich! Ciągi, których wyrazami są liczby ze zbioru,, i których dwa wyrazy są dwójkami Jest ich Otrzymujemy zatem 60 ciągów Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest więc równe Schemat oceniania Zasadnicze trudności tego zadania polegają na zauważeniu trzech różnych sposobów otrzymania iloczynu równego 60 oraz zliczeniu, w każdym przypadku, liczby różnych czterowyrazowych ciągów Za każdy rozpatrzony przypadek wraz z obliczoną poprawnie liczbę ciągów zdający otrzymuje punkt Czwarty punkt przyznamy zdającemu, który zapisze, że prawdopodobieństwo opisanego A w treści zadania zdarzenia jest równe, gdzie A oznacza obliczoną przez zdającego 6 liczbę ciągów Zadanie (0 ) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej wzorem f x log x p y x - - a) Podaj wartość p b) Narysuj wykres funkcji określonej wzorem y f x c) Podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f x m ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach

34 Egzamin maturalny z matematyki Obszar standardów Opis wymagań Użycie i tworzenie strategii Sporządzanie wykresu funkcji y f x na podstawie danego wykresu funkcji logarytmicznej y f x; badanie liczby rozwiązań równania z parametrem (IVad i aer) Rozwiązanie a) Odczytujemy z wykresu, że p Możemy również zauważyć, że log p Z definicji logarytmu mamy p f 0 Stąd otrzymujemy Stąd p b) Wykres funkcji określonej wzorem y f x uzyskamy z wykresu funkcji f W tym celu wystarczy tę część wykresu funkcji f, która leży pod osią Ox, odbić symetrycznie względem tej osi, a pozostałą część wykresu pozostawić bez zmian W rezultacie otrzymujemy wykres y x - - c) Z wykresu odczytujemy, że równanie f x m ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków dla m Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze, że p y f x narysuje wykres funkcji o wzorze poda wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f x m ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków Uwaga Jeżeli zdający ustala wartości parametru m na podstawie błędnie narysowanego wykresu funkcji y f x, to nie otrzymuje punktu za wyznaczenie tych wartości

35 Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze, że p i narysuje wykres funkcji o wzorze wartości parametru m, dla których równanie przeciwnych znaków nie poda wartości p, narysuje wykres funkcji o wzorze y f x wartości parametru m, dla których równanie przeciwnych znaków zapisze, że p, nie narysuje wykresu funkcji o wzorze wartości parametru m, dla których równanie przeciwnych znaków y f x i nie poda wszystkich f x m ma dwa rozwiązania i poda wszystkie f x m ma dwa rozwiązania y f x i poda wszystkie f x m ma dwa rozwiązania Rozwiązanie pełne pkt poda wartość p, narysuje wykres funkcji o wzorze y f x i poda wszystkie wartości parametru m, dla których równanie znaków: m f x m ma dwa rozwiązania przeciwnych

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Proponowane rozwiazania Matura 2013 MATEMATYKA Poziom rozszerzony

Proponowane rozwiazania Matura 2013 MATEMATYKA Poziom rozszerzony POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH Proponowane rozwiazania Matura 013 MATEMATYKA Poziom rozszerzony Autorzy: Kamil Kosiba Tomasz Kostrzewa Wojciech Ożański Agnieszka Piliszek

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: Akceptowane są wszystkie

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Marzec 2017 we współpracy z 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/04 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA MAJ 04 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie (0 4) x x Dana jest

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Zapisanie dziedziny funkcji f:,.. Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY (TECHNIKUM) 7 MARCA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( 5 Liczba

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA. Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA. Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA We współpracy Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY Marzec 014 Zadanie 1 Wyróżnienie na osi

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 142395 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Które z podanych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 155104 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Objętość stożka o

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2018 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo