EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA"

Transkrypt

1 Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0

2 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Wykorzystanie cech podzielności liczb całkowitych Rozwiązanie 6 4 Przekształcamy wyrażenie k k + k do postaci iloczynowej: 4 k ( k k + ) = k ( k ) = ( k ) k( k+ ) Wykazujemy, że dla każdej liczby całkowitej k liczba ( k ) k( k+ ) jest podzielna przez 6 Aby wykazać podzielność liczby rozpatrujemy jeden z trzech sposobów: sposób I Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych jest co najmniej jedna liczba parzysta i dokładnie jedna liczba podzielna przez Kwadrat iloczynu tych liczb jest podzielny przez Zatem liczba postaci k k + k, gdzie k jest liczbą całkowitą, dzieli się przez 6 sposób II Pokazujemy podzielność przez i przez : ) podzielność przez dla k parzystego czyli k = m, gdzie m jest liczbą całkowitą, otrzymujemy ( k ) k( k+ ) = ( m ) m(m+ ) = ( m ) m(m+ ) dla k nieparzystego czyli k = m+, gdzie m jest liczbą całkowitą, mamy k k( k+ ) = m(m+ ) m+, ( ) ( ) zatem w każdym przypadku liczba ( k ) k( k+ ) jest podzielna przez, ) podzielność przez dla k = m, gdzie m jest liczbą całkowitą, mamy ( k ) k( k+ ) = ( m ) m(m+ ) = ( m ) m(m+ ) dla k = m+, gdzie m jest liczbą całkowitą, mamy ( k ) k( k+ ) = m(m+ ) ( m+ ) dla k = m+, gdzie m jest liczbą całkowitą, mamy k k( k+ ) = (m+ ) m+ m+ = (m+ ) m+ m+, ( ) ( )( ) ( )( ) zatem w każdym przypadku liczba ( k ) k( k ) + jest podzielna przez Ponieważ liczba jest podzielna przez i przez, a liczby i są względnie pierwsze, więc liczba ( k ) k( k+ ) jest podzielna przez 6 Kwadrat tej liczby jest podzielny przez Zatem liczba k k + k, gdzie k jest liczbą całkowitą, dzieli się przez 6 sposób III Pokazujemy podzielność przez 6 na podstawie przypadków: dla k = 6m, gdzie m jest liczbą całkowitą, mamy ( k ) k( k+ ) = ( 6m ) 6 m(6m+ ) = 6 ( 6m ) m(6m+ ) dla k = 6m+, gdzie m jest liczbą całkowitą, mamy k k( k+ ) = 6 m(6m+ ) 6m+ ( ) ( )

3 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony dla k = 6m+, gdzie m jest liczbą całkowitą, mamy k k( k+ ) = (6m+ ) 6m+ 6m+ = 6(6m+ ) m+ m+ ( ) ( )( ) ( )( ) dla k = 6m+, gdzie m jest liczbą całkowitą, mamy k k( k+ ) = 6m+ 6m+ (6m+ 4) = 6 m+ m+ (6m+ 4) ( ) ( )( ) ( )( ) dla k = 6m+ 4, gdzie m jest liczbą całkowitą, mamy k k( k+ ) = 6m+ (6m+ 4) 6m+ 5 = 6 m+ m+ (6m+ 5) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dla k = 6m+ 5, gdzie m jest liczbą całkowitą, mamy k k( k+ ) = (6m+ 4) 6m+ 5 6m+ 6 = 6(6m+ 4) 6m+ 5 ( m+ ), ( ) ( )( ) ( ) zatem w każdym przypadku liczba ( k ) k( k ) + jest podzielna przez 6 Kwadrat tej liczby jest podzielny przez Zatem liczba k k + k, gdzie k jest liczbą całkowitą, dzieli się przez 6 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest postęp pkt 6 4 Zapisanie liczby n = k k + k w jednej z następujących postaci iloczynowych: k ( k ) lub k( k ) lub k( k )( k+ ) lub k ( k )( k+ ) lub ( k k) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykazanie podzielności liczby n przez albo przez Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Wykazanie podzielności liczby n przez i przez albo stwierdzenie, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6 Uwaga k + Zdający może zauważyć, że ( k+ ) k( k ) = 6 Przyznajemy wtedy punkty i nie wymagamy wyjaśnienia, że został tu użyty uogólniony współczynnik dwumianowy Rozwiązanie pełne 4 pkt Wyciągnięcie wniosku o podzielności liczby n przez 6 Zadanie (0 4) Rozumowanie i argumentacja I sposób rozwiązania Przekształcamy tezę w sposób równoważny a b Mnożymy obie strony równości + = przez ( a c)( b c), otrzymując: a c b c a b c + b a c = a c b c, czyli ab ac + ab bc = ab ac bc + c ( ) ( ) ( )( ) c ac bc= 0, czyli c( c a b) Stąd otrzymujemy Przekształcenie równoważne wyrażenia wymiernego = 0 Ta ostatnia równość jest prawdziwa, bo z założenia c a b= 0 Zatem teza też jest prawdziwa

4 4 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki pkt a( b c) + b( a c) Sprowadzenie lewej strony równości do wspólnego mianownika: = a c b c ( )( ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt a b Przekształcenie równości + = do postaci a c b c a b c + b a c = a c b c ( ) ( ) ( )( ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Wykonanie działań i doprowadzenie równości do postaci np: c ac bc= 0 Rozwiązanie pełne4 pkt c c a b = 0 i wnioskowanie o prawdziwości równości Uzasadnienie, że ( ) a b + = a c b c II sposób rozwiązania Z równania a + b = c wyznaczamy b= c a i wstawiamy do wyrażenia: a b a c a a c a a ( c a) ( a c) + = + = + = = = a c b c a c c a c a c c a a c a c Uwaga Z równania a + b = c można także wyznaczyć zmienną a lub c Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki pkt a( b c) + b( a c) Sprowadzenie lewej strony równości do wspólnego mianownika: = ( a c)( b c) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie z założenia a + b = c, np b i doprowadzenie wyrażenia do postaci a b a c a a c a + = + = + a c b c a c c a c a c c a Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a ( c a) Wykonanie działań i doprowadzenie wyrażenia do postaci np: a c Rozwiązanie pełne4 pkt a b ( a c) Przekształcenie wyrażenia do postaci + = = a c b c a c III sposób rozwiązania Z równania a + b = c otrzymujemy a c= c b, więc ciąg acb,, jest ciągiem arytmetycznym c= a+ r b= a+ r Wstawiamy do wyrażenia a b a a+ r a a+ r a+ a+ r r + = + = + = = = a c b c a a+ r a+ r a+ r r r r r ( ) ( )

5 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony 5 Uwaga Zdający może zauważyć, że a c= c b i przekształcić wyrażenie bez wprowadzania r, a b a b a b c b b c b np + = + = = = = a c b c c b b c c b c b c b Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki pkt Zapisanie, że liczby acb,, tworzą ciąg arytmetyczny Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt a a+ r Doprowadzenie wyrażenia do postaci, np + a a+ r a+ r a+ r ( ) ( ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a a+ r Wykonanie działań i doprowadzenie wyrażenia do postaci + r r Rozwiązanie pełne 4 pkt a+ a+ r r Przekształcenie wyrażenia do postaci = = r r Zadanie (0 6) Użycie i tworzenie strategii I sposób rozwiązania Zapisujemy warunki jakie muszą być spełnione, aby równanie x 4mx m + 6m + m = 0 posiadało dwa różne pierwiastki rzeczywiste x, x takie, że ( x x) < 8( m+ ) : Δ > 0 x x < 8 + ( ) ( m ) Rozwiązujemy nierówność Δ> 0 6m 4( m + 6m + m ) > 0 m m m + > 0 m+ m m > 0 ( )( )( ) Zatem m (,) (, + ) Rozwiązujemy nierówność x x x + x < 8m+ 8 x + x x x < 8m+ 8 x + x x + x 4x x < 8m+ 8 ( ) ( x x) 8( m ) < +, korzystając ze wzorów Viète a x + x 4x x < 8m+ 8 Ponieważ x+ x = 4m oraz x x = m + m + m, więc ( ) ( ) 4m 4 m + 6m + m < 8m+ 8 Przekształcamy tę nierówność do postaci Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem z zastosowaniem wzorów Viète a, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków 4m 8m m< 0 6

6 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony stąd m( m )( m ) 4 + < 0 Rozwiązaniem nierówności jest m, 0, ( ) ( ) Wyznaczamy część wspólną otrzymanych zbiorów rozwiązań nierówności: Δ> 0 i ( x x ) < 8( m+ ) Stąd m ( 0,) (,) Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności Δ > 0 : m (,) (, + ) Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Uwaga Jeżeli zdający zapisze Δ 0, to za tę część otrzymuje 0 punktów Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności ( x x ) < 8( m + ) Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu pierwszego i drugiego Za poprawne rozwiązanie trzeciego etapu zdający otrzymuje punkt Podział punktów za drugi etap rozwiązania: punkt zdający otrzymuje za zapisanie wyrażenia ( x x ) w postaci ( ) punkty zdający otrzymuje za zapisanie nierówności ( x x) 8( m ) stopnia z jedną niewiadomą m, np Δ x+ x 4xx lub a < + w postaci nierówności trzeciego 4m 8m m< 0 4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności trzeciego stopnia: m (, ) ( 0,) Rozwiązanie pełne (trzeci etap)6 pkt Wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności i podanie odpowiedzi: m 0,, ( ) ( ) Uwaga Przyznajemy punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności z etapu I i etapu II, gdy co najmniej jedna nierówność (albo z etapu I, albo z etapu II) jest rozwiązana poprawnie II sposób rozwiązania Równanie x 4mx m + 6m + m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x i x, gdy Δ> 0 Obliczamy Δ= 6m 4( m + 6m + m ) = 4( m m m+ ) Rozwiązujemy nierówność Δ> 0 m m m+ > 0 m+ m m > 0 ( )( )( )

7 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony 7 Zatem m (,) (, + ) Następnie wyznaczamy pierwiastki x, x : ( ) 4m 4 m m m+ x =, x Wówczas ( ) 4m+ 4 m m m+ = 4m m m m+ 4m+ m m m+ x x = x x = 4m m m m+ 4m m m m+ 4 m m m+ x x = = m m m+ i stąd ( x ) ( ) ( x m m m 4 m m m ) = + = + Z warunku Stąd ( x x) < 8( m+ ) otrzymujemy nierówność ( ) < 0, czyli m( m m ) < 0, m( m+ )( m ) < 0 m m m Zatem m (, ) ( 0,) Wyznaczamy część wspólną otrzymanych rozwiązań nierówności Δ> 0 i ( x x ) 8( m ) m 0,, < + : ( ) ( ) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności > 0 Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Uwaga Jeżeli zdający zapisze Δ 0, to za tę część otrzymuje 0 punktów 4 m m m+ < 8( m+ ) Δ : (,) (, ) m + Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności ( x x ) < 8( m + ) Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności z etapu pierwszego i drugiego Za poprawne rozwiązanie trzeciego etapu zdający otrzymuje punkt Podział punktów za drugi etap rozwiązania: punkt zdający otrzymuje za ( ) 4m 4 m m m+ wyznaczenie x i x : x =, punkty zdający otrzymuje za zapisanie x x = m m m+ x ( ) 4m+ 4 m m m+ =

8 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony punkty zdający otrzymuje za obliczenie ( x ) ( x 4 m m m ) 4( m m m+ ) < 8( m+ ) 4 punkty zdający otrzymuje za = + i zapisanie nierówności rozwiązanie nierówności trzeciego stopnia: (, ) ( 0,) m Rozwiązanie pełne (trzeci etap)6 pkt Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i podanie odpowiedzi: m 0,, Uwagi ( ) ( ) Przyznajemy punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności z etapu I i etapu II, gdy co najmniej jedna nierówność (albo z etapu I, albo z etapu II) jest rozwiązana poprawnie Jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to otrzymuje 5 punktów Zadanie 4 (0 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego I sposób rozwiązania Wyłączamy przed nawias sin x : sin x( cos x) = cos x i zapisujemy równanie w postaci iloczynowej: sin x ( cos x) ( cos x) = 0, ( sin x )( cos x) = 0 Zatem sin x = 0 lub cosx = 0 Stąd otrzymujemy: sin x = sin x = cos x = 5 7 x = π lub x = π lub x = π lub x = π lub x = 0 lub x = π albo albo albo x = 5 lub x = 5 x = 45 lub x = 5 x = 0 lub x = 60 Zatem rozwiązaniami równania sin x sin xcos x= cos x są: 5 7 x = 0 lub x = π lub x = π lub x = π lub x = π lub x = π albo x = 0 lub x = 45 lub x = 5 lub x = 5 lub x = 5 lub x = 60

9 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony 9 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Zapisanie równania w postaci, np sin x cos x = cos lub sin x ( cos x) ( cos x) = 0, ( ) x lub ( x ) x( x ) sin cos sin = 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie równania w postaci alternatywy: sin x = lub cos x = sin x = lub sin x =, lub cos x = cos x = 0 lub cos x = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie jednego z otrzymanych równań Rozwiązanie pełne 4 pkt Zapisanie wszystkich rozwiązań równania sin x sin x cos x = cos x w podanym przedziale: 5 7 x = 0, x = π, x = π, x = π, x = π, x = π albo x = 0, x = 45, x = 5, x = 5, x = 5, x = 60 Uwagi Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązania równania sin x sin x cos x = cos x bez uwzględnienia przedziału 0, π, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający zapisze równanie w postaci sin x( cos x) = cos x, a następnie podzieli obie strony równania przez cos x bez odpowiedniego założenia i rozwiąże tylko równanie sin x = 0, to za całe zadanie otrzymuje punkt sin x cos x = cos, a następnie podzieli obie strony równania przez cos x zakładając, że cos x, rozwiąże tylko równanie sin x = 0 i nie rozpatrzy równania cos x =, to za całe zadanie otrzymuje punkty Jeżeli zdający zapisze równanie w postaci ( ) x II sposób rozwiązania Zapisujemy równanie za pomocą jednej funkcji trygonometrycznej cos x cos x cos x = cos i przekształcamy do postaci ( ) ( ) x cos x cos x + cos x + cos x = 0 cos x cos x cos x + = 0 Następnie zapisujemy to równanie w postaci iloczynowej ( cos x )( cos x ) = 0 Zatem cos x = 0 lub cos x = 0

10 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Stąd otrzymujemy: cos x = cos x = cos x = 5 7 x = π lub x = π lub x = π lub x = π, lub x = 0 lub x = π albo albo albo x = 5 lub x = 5 x = 45 lub x = 5 x = 0 lub x = 60 Zatem rozwiązaniami równania sin x sin xcos x= cos x są: 5 7 x = 0 lub x = π lub x = π lub x = π lub x = π lub x = π albo x = 0 lub x = 45 lub x = 5 lub x = 5 lub x = 5 lub x = 60 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Zapisanie równania w postaci iloczynowej, np ( cos )( cos x ) = 0 x lub ( x )( x )( x ) cos cos + cos = 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie równania w postaci alternatywy: cos x = lub cos x = cos x = lub cos x =, lub cos x = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie jednego z otrzymanych równań Rozwiązanie pełne4 pkt Zapisanie wszystkich rozwiązań równania sin x sin x cos x = cos x w podanym przedziale: 5 7 x = 0, x = π, x = π, x = π, x = π, x = π albo x = 0, x = 45, x = 5, x = 5, x = 5, x = 60 Uwagi Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązania równania sin x sin x cos x = cos x bez uwzględnienia przedziału 0, π, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający zapisze równanie w postaci cos x ( cos x ) = cos x, a następnie podzieli obie strony równania przez cos x bez odpowiedniego założenia i rozwiąże tylko równanie cos x = 0, to za całe zadanie otrzymuje punkt cos x cos x = cos x, a następnie podzieli obie strony równania przez cos x zakładając, że cos x, rozwiąże tylko równanie cos x = 0 i nie rozpatrzy równania cos x =, to za całe zadanie otrzymuje punkty Jeżeli zdający zapisze równanie w postaci ( )

11 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie 5 (0 4) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu geometrycznego, wzorów na n-ty wyraz tego ciągu i na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego I sposób rozwiązania Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równość: q a xn+ n xn+ xn = + = = xn an x Zatem 7 n x = + n Stąd x n+ xn = Zauważamy, że jeśli dla dowolnej liczby naturalnej n: xn+ xn arytmetyczny o różnicy r = Z własności ciągu arytmetycznego zapisujemy układ równań x+ ( x+ r) + + ( x+ 9r) = 45 r = 0x + 45r = 45 Doprowadzamy układ do postaci: r = równania Otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą: 0x + 5 = 45 Stąd x = =, to ciąg ( x ) n jest i podstawiamy r = do pierwszego Schemat oceniania I sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie odpowiedniego równania, np x 7 n x = + n Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie zależności między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu ( x n ): x n x = + n (wystarczy zapis, np x x = ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie układu równań x+ ( x+ r) + + ( x+ 9r) = 45 x + 9r 0 = 45 0x + 45r = 45 lub, lub, r = r = r = x + x x + 7 = 45 i przekształcenie do równania w postaci, lub równania ( ) ( ) np: 0x + 5 = 45 Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie x : x = Uwaga Jeżeli zdający pomyli własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów

12 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony II sposób rozwiązania 45 Z warunków zadania zapisujemy równość: x + x + + x n = Zatem x x x 45 n = a jest geometryczny o ilorazie q = 7 otrzymujemy Korzystając z tego, że ciąg ( ) n 7 7 = Stąd 0x = 0x = 0x = 0x + 5 = 45 x x x x = 0 x = Schemat oceniania II sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt 45 Wykorzystanie warunków zadania i zapisanie równości: x + x + + x n = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie równania: 9 45 x x 7 x 7 = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie równania do postaci: 0x + 5 = 45 Rozwiązanie pełne4 pkt Obliczenie x : x = Zadanie 6 (0 4) Użycie i tworzenie strategii I sposób rozwiązania Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii C D A E 0 B Z treści zadania wynika, że BD = BC i ABC = 0 oraz BE = 4

13 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony BE Z trójkąta prostokątnego BEC otrzymujemy: cos0 = BC Zatem 4 BC = Stąd BC = i 8 4 BD = Obliczamy AD, stosując twierdzenie cosinusów dla trójkąta ABD AD = AB + BD AB BD cos ABD, 4 4 AD = 8 + 8, AD = 64 + = 7 4 Stąd AD = 4 = Schemat oceniania I sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Wprowadzenie oznaczeń i obliczenie długości odcinka BC lub CE: 8 4 BC = lub CE = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 4 Obliczenie długości odcinka BD: BD = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD: 4 4 AD = cos0 Rozwiązanie pełne 4 pkt 4 Wyznaczenie długości środkowej AD: AD = Uwaga Jeśli zdający błędnie wyznaczy wartość cos0 i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje punkty

14 4 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony II sposób rozwiązania x y C 0 x D A B Wprowadzamy oznaczenia: x długość ramienia trójkąta ABC, y długość środkowej AD tego trójkąta Zapisujemy twierdzenie cosinusów dla trójkąta ABC, gdzie ACB = 0 : 8 = x + x x cos0 Przekształcamy równanie do postaci 64 = x + x 8 4 Stąd otrzymujemy: x = Ponieważ CD = x, stąd CD = Obliczamy AD, stosując twierdzenie cosinusów dla trójkąta ADC: y = + cos0 = +, y = + + = Stąd otrzymujemy y = = Schemat oceniania II sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC, np 8 = x + x x cos0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 8 64 Obliczenie x lub x : x =, x = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta ADC: y = + cos0 albo y = + = + + = Rozwiązanie pełne4 pkt 4 Wyznaczenie długości środkowej AD: y = Uwaga Jeśli zdający błędnie wyznaczy wartość cos0 (np zapomina o znaku) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje punkty

15 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony 5 III sposób rozwiązania C x y D A 0 B Wprowadzamy oznaczenia: x długość ramienia trójkąta ABC, y długość środkowej AD tego trójkąta Zapisujemy twierdzenie cosinusów dla trójkąta ABC, gdzie ABC = 0 x x x = cos0 Przekształcamy równanie do postaci: 64 = 8 x 8 4 Stąd otrzymujemy: x = Ponieważ BD = x, stąd BD = Obliczamy AD stosując twierdzenie cosinusów dla trójkąta ABD : 4 4 y = cos0, Stąd otrzymujemy 4 y = y = = 64+ = Schemat oceniania III sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC, np x = 8 + x 8 x cos0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 8 64 Obliczenie x lub x : x =, x = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta ADC: 4 4 y = cos0 Rozwiązanie pełne 4 pkt 4 Wyznaczenie długości środkowej y: y = Uwaga Jeśli zdający błędnie wyznaczy wartość cos0 i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje punkty

16 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony IV sposób rozwiązania C D 0 A B E F Z treści zadania wynika, że AE = EB = 4 Ponieważ DF CE i D jest środkiem odcinka BC, to F jest środkiem odcinka EB Stąd FB = DF Trójkąt BDF jest połową trójkąta równobocznego o wysokości FB, więc FB = FB Stąd DF = = Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADF obliczamy długość środkowej AD: AD = AF + DF = 6 + = 6+ = = 4 = Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Obliczenie długości odcinka FB: FB = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości odcinka DF: DF = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równości wynikającej twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADF: AD = AF + DF Rozwiązanie pełne4 pkt 7 4 Wyznaczenie długości środkowej AD: AD = = 4 = Uwaga Rozwiązanie analityczne jest zastosowaniem IV sposobu rozwiązania

17 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony 7 V sposób rozwiązania C S D A E 0 B Z treści zadania wynika, że AE = EB = 4 Trójkąt CEB jest połową trójkąta równobocznego o wysokości FB, więc CE EB = Stąd EB 4 CE = = Z twierdzenia o środku ciężkości trójkąta wynika, że 4 4 i SE = CE = = Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASE mamy: 4 AS = AE + SE czyli AD = 4 + Stąd 4 6 AD = AD = AD = = 4 = Schemat oceniania V sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt 4 Obliczenie długości odcinka CE: CE = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie, że AS = AD i SE = CE Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równości wynikającej z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASE: AD = AF + DF Rozwiązanie pełne 4 pkt 7 4 Wyznaczenie długości środkowej AD: AD = 4 = AS = AD

18 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie 7 (0 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia prostej i okręgu I sposób rozwiązania (parametryczny) 4 y S Stwierdzamy, że prosta o równaniu x = nie jest styczna do okręgu x + y + x y = 0 (odległość środka okręgu od tej prostej jest większa od promienia) Zapisujemy równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt A = (,0) : ( ) y = a x lub y = ax a w zależności od parametru a (gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej) x + y + x y = 0 Zapisujemy układ równań i doprowadzamy do równania y = ax a kwadratowego z niewiadomą x, np x + ( ax a) + x ( ax a) = 0 Prosta y = ax a jest styczna do okręgu wtedy, gdy układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli gdy równanie kwadratowe x + ( ax a) + x ( ax a) = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie Przekształcamy równanie x + a x 4a x+ 4a + x ax+ 4a = 0, x + a + x 4a a+ + 4a + 4a = 0 ( ) ( ) Zapisujemy warunek na to, aby równanie ( ) ( ) - - A x a x a a a a = 0 miało jedno rozwiązanie: Δ = 0 4a a+ 4 + a 4a + 4a = 0 Zatem ( ) ( ) ( ) 4( a + a ) 4 ( + a ) ( 4a + 4a ) = 0 Stąd a + a = 0 x

19 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony 9 rozwiązujemy równanie a + a = 0: Δ= 5 a = luba = Z tego, że a, a oznaczają współczynniki kierunkowe prostych stycznych i a a = wynika, że styczne są do siebie prostopadłe Stąd miara kąta między stycznymi jest równa 90 albo korzystamy ze wzorów Viète a i zapisujemy a a = =, gdzie a i a są pierwiastkami równania a + a = 0 Z tego, że a, a oznaczają współczynniki kierunkowe prostych stycznych i a a = wynika, że styczne są do siebie prostopadłe Stąd miara kąta między stycznymi jest równa 90 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie równania kierunkowego prostej przechodzącej przez punkt A = (,0) w postaci, np: y = a( x ) lub y = ax a, lub ax y a = 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt x + y + x y = 0 Zapisanie układu równań i doprowadzenie do równania y = ax a kwadratowego z niewiadomą x, gdzie a jest parametrem, np x ( + a ) + x( 4a a+ ) + 4a + 4a = 0 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie wartości parametru a, dla których równanie ma jedno rozwiązanie i zapisanie, że dla tych wartości a proste styczne są prostopadłe albo Wykorzystanie wzorów Viète a do zapisania a a = i stwierdzenie, że proste styczne są prostopadłe II sposób rozwiązania (odległość punktu od prostej) Przekształcamy równanie okręgu + y + x y = 0 x do postaci ( x ) ( y ) Wyznaczamy współrzędne środka S i promień r tego okręgu: (,) + + = 5 S =, r = 5 Stwierdzamy, że prosta o równaniu x = nie jest styczna do okręgu x + y + x y = 0 Zapisujemy równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt A = (,0) i stycznej do okręgu: y = a( x ) lub y = ax a lub ax y a = 0 w zależności od parametru a (gdzie a oznacza współczynnik kierunkowy prostej stycznej)

20 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Wyznaczamy odległość środka S okręgu od prostej o równaniu ax y a = 0 : a a d = a + Ponieważ promień okręgu jest równy odległości środka okręgu S od stycznej, więc otrzymujemy równanie a a 5 = a + Przekształcamy to równanie 5a + 5 = a 5a + 5= 9a + 6a+ 4a + 6a 4= 0 stąd a + a = 0 Dalej postępujemy jak w sposobie I Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie równania prostej przechodzącej przez punkt A = (,0) i stycznej do okręgu w postaci, np: y = a( x ) lub y = ax a, lub ax y a = 0 (gdzie a oznacza współczynnik kierunkowy prostej stycznej) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a a Zapisanie równania 5 =, gdzie S = (,) jest środkiem okręgu o promieniu a + r = 5 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie wartości parametru a, dla których równanie ma jedno rozwiązanie i zapisanie, że dla tych wartości a, proste styczne są prostopadłe

21 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony III sposób rozwiązania (punkty styczności) Przekształcamy równanie okręgu + y + x y = 0 x do postaci ( x ) ( y ) S =, r = 5 Wyznaczamy współrzędne środka S i promień r tego okręgu: (,) Wykonujemy rysunek, na którym zaznaczamy okrąg o środku (,) oraz punkt A = (,0) y + + = 5 S = i promieniu r = 5 S C B Niech punkty B i C będą punktami styczności prostych poprowadzonych z punktu A = (,0) do okręgu o równaniu ( x ) ( y ) + + = 5 Wówczas SBA = SCA = 90 i SA jest przeciwprostokątną w trójkątach ACS i ABS Obliczamy lub odczytujemy długość odcinka SA : ( + ) + ( 0 ) = 9 + = 0 SA = Ponieważ Stąd SB + AB = SA i SB = AB = AC = SC A SC + CA = SA, to AB = 5 i AC = 5 Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie A = (,0) i promieniu AB = 5 : ( ) + y = 5 x Punkty przecięcia okręgów o równaniach ( x+ ) + ( y ) = 5 i ( x ) + y = 5 jednocześnie punktami styczności prostych stycznych do okręgu ( x ) ( y ) x, które są + + = 5, poprowadzonych przez punkt A = (,0), to punkty B i C Wyznaczamy ich współrzędne rozwiązując układ równań ( x + ) + ( y ) = 5 ( x ) + y = 5 lub odczytujemy z wykresu: B = (, ) i = ( 0, ) C

22 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Przekształcamy układ równań do równania i wyznaczamy y w zależności od x: x + + y = x + y ( ) ( ) ( ) x + x + + y y + = x 4x y 4 x + 4 x + y = 0 6 x + y + = 0 y = 6x y = x Podstawiamy = x Przekształcamy to równanie x + x = ( ) ( ) 5 y do równania ( ) x y 0x 0x = 0 0 x ( x ) = 0 Stąd x = 0 lub x = 0 Zatem x = 0 lub x = Zatem y = lub y = + = 5 Punkty styczności mają współrzędne B = (, ) i C = ( 0, ) Zapisujemy równania stycznych AB i AC do okręgu ( x ) ( y ) + + = 5: y = x + 4 i y = x lub tylko ich współczynniki kierunkowe: a =, a = Ponieważ =, to proste AB i AC są prostopadłe Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zauważenie, że trójkąty ACS i ABS są prostokątne i obliczenie długości przeciwprostokątnej, np SA = 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt ( x + ) + ( y ) = 5 x = x = 0 Zapisanie i rozwiązanie układu równań : lub ( x ) + y = 5 y = y = albo Odczytanie z wykresu współrzędnych punktów styczności: B = (, ), C = ( 0, ) Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie pełne 4 pkt Wyznaczenie równań stycznych do okręgu lub tylko ich współczynników kierunkowych i zapisanie, że proste styczne są prostopadłe

23 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony IV sposób rozwiązania S =, r = 5 Wyznaczamy współrzędne środka S i promień r tego okręgu: (,) Wykonujemy rysunek, na którym zaznaczamy okrąg o środku (,) oraz punkt A = (,0) S = i promieniu r = 5 4 y SB = 5 S ( ) ( ) SA = + 0 = 0 - C B A x sin SAB = 5 = 0 Stąd SAB = 45 czyli BAC = 90 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie promienia okręgu: SB = 5 i obliczenie długości odcinka SA: SA = 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie sin SAB = lub obliczenie AB = 5 (lub AC = 5 ) lub zapisanie SA = SB Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie miary kąta BAC: BAC = 90 lub zapisanie, że kąt BAC jest prosty

24 4 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie 8 (0 4) Modelowanie matematyczne Znalezienie związków miarowych w graniastosłupie, wyznaczenie największej wartości funkcji Rozwiązanie h a Wprowadzamy oznaczenia: a długość krawędzi podstawy graniastosłupa, h długość krawędzi bocznej graniastosłupa Z tego, że suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 4, mamy a+ 6h= 4 h Wyznaczamy jedną ze zmiennych: h= 4 a lub a = Pole P powierzchni bocznej jest równe P 6ah = dla a ( 0, ) oraz ( 0, 4) h Aby wyznaczyć długość krawędzi podstawy graniastosłupa, którego pole powierzchni bocznej jest największe, zapisujemy funkcję P w zależności od zmiennej a P( a) = 6a( 4 a), P( a) = a + 4a Pole P ma największą wartość, gdy a = albo zapisujemy funkcję P w zależności od zmiennej h h P( h) = 6h P h = h + h, ( ) Pole P ma największą wartość, gdy h = Zatem a = Schemat oceniania rozwiązania pkt Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie, że a+ 6h= 4 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie pola P powierzchni bocznej graniastosłupa oraz wyznaczenie a lub h w zależności od jednej zmiennej, np: h P = 6ahoraz a = lub h= 4 a

25 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie pola powierzchni bocznej w zależności od jednej zmiennej: h P( a) = 6a( 4 a) lub P( h) = 6h Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie długość krawędzi podstawy graniastosłupa, którego pole powierzchni bocznej jest największe: a = Uwaga Jeżeli zdający wyznaczy tylko wartość h =, dla której pole powierzchni bocznej jest największe, to otrzymuje punkty Zadanie 9 (0 4) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych Rozwiązanie 8 Wybieramy miejsce dla dwójek Jest = 8 takich miejsc 6 Wybieramy miejsce dla trójek Jest = 0 takich miejsc Na pozostałych trzech miejscach mogą wystąpić cyfry:, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Jest 7ciągów trójelementowych ze zbioru siedmioelementowego 4 Zatem jest = = 9080 liczb spełniających warunki zadania Schemat oceniania rozwiązania pkt Obliczenie liczby miejsc, na których mogą znajdować się dwójki albo obliczenie liczby miejsc, na których mogą znajdować się trójki, albo obliczenie na ile sposobów można zapełnić trzy pozostałe miejsca Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie obu wielkości: liczby miejsc, na których mogą znajdować się dwójki i liczby miejsc, na których mogą znajdować się trójki Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie liczby ciągów na pozostałych miejscach, skorzystanie z reguły mnożenia i obliczenie, że jest 9080 szukanych liczb

26 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Uwagi Zdający może obliczać liczby miejsc dla dwójek i trójek w sposób następujący: albo, albo najpierw miejsca dla cyfr różnych od i od i potem miejsca dla dwójek (lub trójek): ( 8 5 ) Jeżeli zdający rozwiąże zadanie przy założeniu, że pozostałe trzy liczby są różne, 8 6 otrzymując 765, to otrzymuje punkty Za rozwiązanie zdający otrzymuje 0 punktów 4 Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie: ile jest liczb ośmiocyfrowych w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują co najmniej dwie dwójki i występują co najmniej trzy trójki, to otrzymuje 4 punkty (poprawny wynik: 4740) Odpowiedź otrzymuje 0 punktów Zadanie 0 (0 ) Rozumowanie i argumentacja Rozwiązanie jest błędna (błąd merytoryczny) W takim przypadku zdający Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich Ponieważ punkty N i P są środkami boków DC i AC trójkąta ADC, więc NP AD Punkty M i Q są środkami boków AB i DB trójkąta ABD, więc MQ AD Zatem NP MQ Schemat oceniania rozwiązania pkt Zapisanie, że: NP AD lub MQ AD Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie i uzasadnienie, że NP AD oraz MQ AD Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie wniosku, że NP MQ

27 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony 7 Zadanie (0 6) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie I sposób rozwiązania S Wprowadzamy oznaczenia: A D H α = HMS, AC = 6x, AS = 5x Ponieważ stąd AH = x Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CHS otrzymujemy: ( ) ( ) SH = CS HC = 5x x = 5x 9x = 4x AC 6x Ponieważ BC =, stąd BC = 6x x Zatem CM = BC = = Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta MCS otrzymujemy Stąd SM x x x x SH 4x Zatem sinα = = = = SM x = 5 = =, SM B M C SM = CS CM 4 = x AH = AC

28 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Schemat oceniania I sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Wyznaczenie AH = x i SH = 4x przy przyjętych oznaczeniach, np: α = HMS, AC = 6x, AS = CS = 5x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt AC 6x Wyznaczenie długości BC: BC = = lub BC = x i wyznaczenie długości CM: x x CM = lub CM = Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt 4 8 Wyznaczenie długości SM: SM = x lub SM = x Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Rozwiązanie pełne 6 pkt 4 8 Wyznaczenie sinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy: sinα = 4 Uwagi Jeśli zdający wyznaczy jedną z wielkości BC lub BM i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, to za rozwiązanie otrzymuje punkty Jeżeli zdający obliczy tgα lub cosα, a nie obliczy sinα lub obliczy go z błędem, to otrzymuje 5 punktów II sposób rozwiązania S A D H B M C Wprowadzamy oznaczenia: i AH = a α = HMS, a = AB = BC = CD = AD, stąd AC = a

29 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony 9 Zapisujemy równość wynikającą z treści zadania: AC 6 AS = 5 czyli 6 aas = 5, stąd 5a AS = 6 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego ASH otrzymujemy: a a a a a a SH = AS AH, stąd SH = 6 = = = 6 8 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego SHM otrzymujemy: SM = SH + HM (gdzie HM = a Stąd SM = 4a a 6a a a + 9a 4a 4 + = + = = = a a SH Zatem sin a α = = = = SM 4a 4a 4 6 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Wprowadzenie oznaczeń: α = HMS, AC = a, gdzie a = AB = BC = CD = AD AC 6 AS = 5 oraz wyznaczenie 5a AS = 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego CSH : 5a a 4a a SH = 6 i wyznaczenie: SH = lub SH = Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Zapisanie z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego SHM: 4a a a a 4a SM = + lub SM = + i wyznaczenie SM : SM = 6 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Rozwiązanie pełne 6 pkt 4 8 Wyznaczenie sinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy: sinα = 4 Uwagi Jeśli zdający wyznaczy jedną z wielkości BC lub BM i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, to za rozwiązanie otrzymuje punkty Jeżeli zdający obliczy tgα lub cosα, a nie obliczy sinα lub obliczy go z błędem, to otrzymuje 5 punktów

30 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony III sposób rozwiązania S Wprowadzamy oznaczenia: AH = AC stąd AH = x 6x Wtedy BC = 6x, stąd BC = x x Zatem BM =, HM = A Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BMS otrzymujemy Stąd Zatem = = = cos HM x SM 4 x 4 SM 5x x x x D H B α = HMS, AC = 6x, HC = x, SC = 5x Ponieważ Stąd sinα = cos α = = = = M C SM = BS BM

31 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Schemat oceniania III sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Wprowadzenie oznaczeń: α = HMS, AC = 6x, HC = x, SC = 5x, AH = x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt AC 6x Wyznaczenie długości BC: BC = = lub BC = x i wyznaczenie długości x BM = HM = Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt 4 8 Wyznaczenie długości SM: SM = x lub SM = x Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Rozwiązanie pełne 6 pkt 4 8 Obliczenie cosα, a następnie sinα : cosα =, sinα = 4 4 Uwaga Jeżeli zdający obliczy jedynie cosα, to otrzymuje 5 punktów Zadanie (0 ) Użycia i tworzenia strategii I sposób rozwiązania A B A B' B Wiemy, że = ( ) i ( A B' ) B= oraz P( A B) Mamy więc: P( A B) = P( A B' ) + P( B), stąd P( A B' ) 0, Schemat oceniania I sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że A B= ( A B' ) B Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z dalszych rozważań Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie, że ( A B' ) B= oraz, że P( A B) Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z dalszych rozważań Rozwiązanie pełne pkt P A B' 0, Zapisanie wniosku: ( ) Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń

32 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony II sposób rozwiązania P A B P A P B P A B Wiemy, że ( ) = ( ) + ( ) ( ) Stąd P( A B) 0,6 Mamy więc: P( A B' ) = P( A) P( A B) 0,9 0,6 = 0, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt P A B' = P A P A B Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, Zapisanie, że ( ) ( ) ( ) o ile wynika to z dalszych rozważań Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt P A B P A B = P A + P B P A B, Uzasadnienie, że ( ) 0,6, np zapisze ( ) ( ) ( ) ( ) stąd P( A B) 0,6 Rozwiązanie pełne pkt P A B' 0, Wykazanie, że: ( ) III sposób rozwiązania Z faktu, że A B' B' wynika, że P( A B' ) P( B' ) Ponieważ P( B ) = 0, 7, więc P( B ') = 0, Stąd wynika, że P( A B ) P( B ) ' ' = 0, Schemat oceniania III sposobu rozwiązania rozwiązania zadania pkt Obliczenie P( B '): P( B ') = 0, Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie lub wykorzystanie faktu, że A B' B' Rozwiązanie pełne pkt P A B' 0, Zapisanie wniosku: ( )

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: Akceptowane są wszystkie

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Zapisanie dziedziny funkcji f:,.. Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja 017 r.

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń PESEL Kod ucznia Próbna matura z WSiP Marzec 07 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 011 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 4 czerwca 2019

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 0/0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA Copyright by Nowa Era Sp z oo Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania Odpowiedź C

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN W KLASIE TRZEIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 ZĘŚĆ 2. MATEMATYKA ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ GM-M7 KWIEIEŃ 2015 Zadanie 1. (0 1) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Umiejętność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 CZĘŚĆ 2. ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ

EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 CZĘŚĆ 2. ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 CZĘŚĆ 2. MATEMATYKA ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ GM-M7 KWIECIEŃ 2018 Zadanie 1. (0 1) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 8.

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 20 sierpnia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 25 SIERPNIA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 25 SIERPNIA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania.. Etapy rozwiązania zadania OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Zapisanie ceny wycieczki po podwyżce, np. x + 5% x, gdzie x oznacza pierwotną cenę wycieczki. Liczba punktów. Zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 1 sierpnia 018

Bardziej szczegółowo